ET720 – Sistemas de Energia Elétrica I Apêndice Revisão de circuitos de corrente alternada e sistema por unidade A.1 Circuitos de corrente alternada I Circuito de corrente alternada genérico: Carga Fonte PSfrag replacements + ∼ i (t) + vf (t) vc (t) − Z − I Tensão alternada da fonte aplicada sobre a carga: vf (t) = Vp sen (ωt + α) em que Vp é o valor de pico da tensão, α é o ângulo de fase e ω é a freqüência angular dada por: ω = 2π f – 1– No Brasil, f = 60Hz → ω = 377rad/s. O valor eficaz da tensão é: √ Vp = 2 Vef I Corrente elétrica que circula pela fonte e pela carga: i (t) = Ip sen (ωt + β) √ em que Ip é o valor de pico da corrente e β é o ângulo de fase. Ief = Ip/ 2 é o valor eficaz da corrente. I As formas de onda de tensão e corrente podem ser representadas na forma fasorial, em que as expressões no tempo são substituı́das por números complexos (fasores): √ 2 Vef sen (ωt + α) n√ o j(ωt+α) == 2 Vef e √ jα jωt 2 Vef e e == | {z } v (t) = V~ em que o fasor V~ é um número complexo com módulo igual ao valor eficaz da tensão Vef e ângulo igual ao ângulo de fase da tensão α. Pode-se escrever: ~ = Vef ejα = Vef ∠α V V Para a corrente: I~ = Ief ejβ = Ief ∠β A – 2– I Diagrama fasorial: V~ PSfrag replacements α β I~ I A relação entre os fasores de tensão na carga e corrente pela carga é definida como a impedância da carga: Z= ~ Vef V = ∠ (α − β) =| Z | ∠φ = R + jX Ω Ief I~ em que R é a resistência e X é a reatância. Se a carga tiver caracterı́stica indutiva X e φ serão positivos. Se a carga tiver caracterı́stica capacitiva X e φ serão negativos. I A potência entregue à carga pela fonte é: p (t) = v (t) · i (t) = Vef Ief cos (φ) [1 − cos (2ωt)] − Vef Ief sen (φ) sen (2ωt) = P [1 − cos (2ωt)] −Q sen (2ωt) | {z }| {z } A B – 3– Observações: −π/2 ≤ φ ≤ π/2 A → potência ativa instantânea P = Vef Ief cos φ = valor médio de p (t) = valor médio de A P só existe quando há elementos resistivos no circuito (φ 6= ±π/2) P ≥ 0, para qualquer φ B → potência reativa instantânea Q = Vef Ief sen φ = valor de pico de B Q só existe quando há elementos reativos no circuito (φ 6= 0) Q ≥ 0 para 0 ≤ φ ≤ π/2 (carga indutiva → consome potência reativa) Q ≤ 0 para −π/2 ≤ φ ≤ 0 (carga capacitiva → fornece potência reativa) I Definição – potência complexa: ~ I~∗ S=V = Vef ∠α Ief ∠ − β = Vef Ief ∠ (α − β) = | S | ∠φ = Vef Ief cos φ + j Vef Ief sen φ = P + j Q VA P – potência ativa (W) Q – potência reativa (var) | S | – potência aparente (VA) – 4– Exemplo Considere o circuito a seguir e mostre que a potência instantânea entregue ao resistor é igual ao termo A e a potência instantânea entregue ao indutor é igual ao termo B na expressão da potência instantânea. i (t) PSfrag replacements + v (t) = √ 2 Vef sen (ωt) V ir (t) R ix (t) X − Fasor de tensão: ~ = Vef ∠0◦ V V Corrente pelo resistor: ~ V Vef ◦ I~r = = ∠0 = Ir ∠0◦ A R R Corrente pelo indutor: V~ Vef = ∠ − 90◦ = Ix ∠ − 90◦ A I~x = jωL X – 5– Diagrama fasorial: PSfrag replacements I~r V~ φ I~x I~ Formas de onda das correntes no domı́nio do tempo: √ ir (t) = 2 Ir sen (ωt) √ ix (t) = 2 Ix sen (ωt − 90◦) Potência instantânea no resistor: pr (t) = v (t) ir (t) = 2 Vef Ir sen2 (ωt) = Vef Ir [1 − cos (2ωt)] Pelo diagrama fasorial, Ir é a projeção de I no eixo real: pr (t) = Vef I cos φ [1 − cos (2ωt)] que é igual ao termo A da expressão geral da potência instantânea. – 6– Para o indutor: px (t) = v(t) ix(t) = 2 Vef Ix sen (ωt) sen (ωt − 90◦) = −2 Vef Ix sen (ωt) cos (ωt) = −Vef Ix sen (2ωt) = −Vef I sen φ sen (2ωt) que é igual ao termo B da expressão geral da potência instantânea. I Circuitos trifásicos: em condições normais de operação → equilibrado (fontes e cargas); cargas monofásicas são distribuı́das de forma a manter o equilı́brio; tensões têm mesmo valor eficaz e são defasadas de 120◦; correntes têm mesmo valor eficaz e são defasadas de 120◦; pode-se calcular as grandezas de interesse somente para uma fase (em função das observações anteriores) → diagrama unifilar; I Potências em circuitos trifásicos: √ P = 3 Vf If cos φ = 3 Vl Il cos φ √ Q = 3 Vf If sen φ = 3 Vl Il sen φ em que φ é o ângulo da impedância e os subscritos f e l indicam valores de fase e de linha, respectivamente. As expressões acima independem da forma como a carga e a fonte estão conectadas. – 7– Exercı́cio Um motor, modelado como uma carga em Y equilibrada com impedância 10∠20◦ Ω por fase é alimentado por uma fonte cuja tensão de linha é de 173 V. Calcular a corrente fornecida à carga, o fator de potência da carga e as potências aparente, ativa e reativa consumidas pela carga. (Resposta: 10 A; 0,94; 3 kVA; 2,82 kW; 1,03 kvar). Exercı́cio Uma tensão de linha de 4,4 kV é aplicada sobre uma carga conectada em Y consistindo de três impedâncias iguais de 20∠30◦ Ω. A impedância de cada uma das três linhas que conectam a carga ao barramento da subestação é 1, 4∠75◦ Ω. Determinar a tensão de linha no barramento da subestação. Determinar também o fator de potência visto pela fonte e a potência aparente fornecida pela fonte. (Resposta: 4,62 kV; 0,84; 1,02 MVA). – 8– A.2 Sistema por unidade (pu) – revisão I Quatro grandezas fundamentais: tensão, corrente, potência e impedância. I Sempre que duas forem definidas, as outras duas podem ser obtidas. I Idéia básica: exprimir as grandezas fundamentais de forma normalizada, ou seja, exprimir cada grandeza como uma fração de grandezas fixadas arbitrariamente, chamadas de grandezas de base: grandeza em pu = grandeza na unidade apropriada valor de base I Os valores de base são números reais → os módulos de números complexos são expressos em pu e os ângulos de fase não são alterados. – 9– A.2.1 Circuitos monofásicos em pu Exemplo Considere o circuito a seguir. PSfrag replacements 0,024 Ω 0,08 Ω I ∼ 100 kVA 200 V fp = 80% atrasado E Os seguintes valores de base são definidos arbitrariamente: Sb = 100 kVA Vb = 200 V As outras duas grandezas fundamentais (corrente e impedância) ficam automaticamente determinadas: Sb = 500 A Vb Vb Zb = = 0,4 Ω Ib Ib = – 10– Basta dividir cada grandeza do circuito pela sua respectiva grandeza de base e PSfrag replacements obter o circuito em pu: 0,06 pu 0,2 pu i ∼ sc = 1 pu vc = 1 pu fp = 80% atrasado e Os cálculos são realizados em pu. Como a carga tem fator de potência 80% (atrasado, carga indutiva), a potência complexa em pu é definida como: sc = 1 ∠36, 87◦ pu Assumindo a tensão na carga como nominal (200 V) e também como referência angular do circuito: vc = 1 ∠0◦ pu A corrente pelo circuito é dada por: ∗ sc = 1 ∠ − 36,87◦ pu i= vc A tensão da fonte é dada por: e = vc + z i = 1,1746 ∠6,06◦ pu em que z é a impedância que conecta a carga à fonte. A tensão da fonte é portanto de 234,9127 V (multiplicando o valor em pu pela tensão de base). – 11– As grandezas também são normalmente expressas em valores percentuais → a resistência do circuito vale 0,024 Ω, 0,06 pu ou 6%. A.2.2 Circuitos trifásicos em pu I Para circuitos trifásicos equilibrados utiliza-se o modelo por fase I Componente em Y → tomar uma fase do Y Componente em ∆ → transformar em um Y equivalente e tomar uma fase do Y equivalente I Especialmente em estudos de geração e transmissão → assume-se circuito equilibrado → modelo por fase → é como se fosse um circuito monofásico I Em estudos relacionados com sistemas de distribuição, algumas vezes considera-se como equilibrado. Outras, o desequilı́brio é importante e não pode ser desprezado I Escolha das bases → escolher valores adequados de tensão de fase e de linha de base – 12– Exemplo Uma fonte trifásica equilibrada de 220 V de linha alimenta uma carga conectada em Y com impedância Z = 32,2 ∠60◦ Ω. Escolha as bases adequadas e calcular a impedância da carga em pu. Com relação à potência de base, pode-se arbitrar os valores: Sbf = 1000 VA e Sbl = 3000 VA em que Sbf é a potência de base por fase e Sbl é a potência de base total (3Sbf ). Para as tensões, tem-se: Vbf = 127 V e Vbl = 220 V A escolha destes valores de base fazem com que em pu não haja diferença entre os valores de fase e de linha, evitando as usuais confusões de cálculo. A partir dos valores de base arbitrados, pode-se obter os outros valores de base: Ibf = = Sbf Vbf Sbl /3 √ Vbl / 3 Sbl = 7,8740 A =√ 3Vbl – 13– Zbf = Vbf Ibf √ Vbl / 3 √ = Sbl / 3Vbl Vbl2 = = 16,13 Ω Sbl A impedância da carga em pu fica: z= Z 32,2 ∠60◦ = = 2 ∠60◦ pu Zbf 16,13 O modelo em pu é idêntico a um circuito monofásico com uma fonte de 1 pu alimentando uma carga da impedância z, resultando em uma corrente: i= 1 = 0,5 ∠ − 60◦ pu z que transformada em unidades de corrente resulta em: I = i Ibf = 3,94 ∠ − 60◦ A – 14– Referências [1] C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada: um curso introdutório, UNICAMP, 1995. [2] J.J. Grainger, W.D. Stevenson, Power System Analysis, McGraw-Hill, 1994. [3] A.J. Monticelli, A.V. Garcia, Introdução a sistemas de energia elétrica, Unicamp, 1999. – 15–