Semana da Matemática - Maio de 2012 Por que Marte dá a ré de

IFSP - GRU
Semana da Matemática - Maio de 2012
Por que Marte dá a ré de vez em quando?
Apresentador: Prof. Lin Chau Jen
Introdução/Motivação:
mostrar um exemplo de ferramentas matemáticas
elucidando questões físicas.
Problema colocado:
órbita peculiar do planeta Marte vista da Terra. Pode ser
melhor ilustrado por meio do vídeo da BBC do primeiro
episódio da “História da Ciência”.
Alguns dados astronômicos
Terra
Marte
150
228
Período de revolução
1
1,88
Inclinação da órbita em relação à
orbita da Terra
-
1,85o
0,0167
0,0934
Distância média ao Sol (106 km)
Excentricidade da órbita
Comentários
Distância média ao Sol:
Marte é o planeta mais próximo da Terra no sentido
crescente das distâncias em relação ao Sol. Em outras
palavras, adotando esse sentido, a Terra é o terceiro
planeta e Marte é o quarto.
Período de revolução:
Adotou-se como referência o período da Terra (365 dias).
Dessa forma, a velocidade angular de Marte é 1,88 vezes
menor que a velocidade da Terra.
Inclinação da órbita em relação à orbita da Terra:
A inclinação da órbita de Marte em relação à da Terra é
muito pequena. Isso quer dizer que é uma boa
aproximação colocar ambas as órbitas no mesmo plano
(isso é válido para todos os planetas do sistema solar a
menos de Plutão).
Excentricidade da órbita:
A excentricidade orbital é um parâmetro que indica
quanto uma órbita se desvia de uma circunferência
perfeita, em que o valor 0 indica uma circunferência
perfeita e o valor 1 indica uma trajetória parabólica (não é
mais uma órbita fechada). As excentricidades da Terra e
de Marte justificam aproximar suas órbitas como
circunferências perfeitas (isso é válido para todos os
planetas do sistema solar).
Método
Para que se evidencie as razões da órbita peculiar de
Marte vista da Terra, pode-se fazer o gráfico do
movimento de Marte visto da terra, considerando que os
dois planetas percorrem órbitas circulares em torno do Sol
com velocidade constante. Assim, com base em um
sistema de coordenadas com a origem no Sol é fácil se
obter as coordenadas dos planetas por meio de expressões
do tipo:
r⃗k = x k ⃗i + y k ⃗j ,
x k =R k∗cos(ω k t+φk ) e
onde
y k =Rk ∗sen(ωk t+φ k )
y
R
θ
x
É o que pode ser observado por meio da execução do
programa
Scilab
“trajetorias_T_M.sce”,
que
é
apresentado a seguir.
-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-xclear, // limpa as variáveis
clf, // limpa a janela gráfica
//
// eixo centrado em (0,0)
n=20;
raio=10;
time=0;
dtime=15;
rt=150;
rm=228;
omega_t=2*%pi/365;
omega_m=2*%pi/686.2;
dteta=2*%pi/n; //para traço do planeta
//
// para estabelecer os intervalos da janela grafica
teta=0;
x(1)=250*cos(teta);
y(1)=250*sin(teta);
for i=2:n+1,
teta=teta+dteta;
x(i)=250*cos(teta);
y(i)=250*sin(teta);
end
plot(x,y,'w');
//
for j=1:55,
xt=rt*cos(omega_t*time);
yt=rt*sin(omega_t*time);
xm=rm*cos(omega_m*time);
ym=rm*sin(omega_m*time);
// traço do planeta Marte
teta=0;
x2(1)=raio*cos(teta)+xm;
y2(1)=raio*sin(teta)+ym;
for i=2:n+1,
teta=teta+dteta;
x2(i)=raio*cos(teta)+xm;
y2(i)=raio*sin(teta)+ym;
end
plot(x2,y2);
// traço do planeta Terra
teta=0;
x2(1)=raio*cos(teta)+xt;
y2(1)=raio*sin(teta)+yt;
for i=2:n+1,
teta=teta+dteta;
x2(i)=raio*cos(teta)+xt;
y2(i)=raio*sin(teta)+yt;
end
plot(x2,y2);
time=time+dtime;
end
a=gca(); // manipulador da entidade Axes
a.x_location = "middle";
a.y_location = "middle";
-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-
Para traçar a órbita de Marte vista da Terra, basta
considerar um sistema de coordenadas com a origem no
planeta Terra e converter as coordenadas de Marte do
sistema com a origem no Sol para ele.
Em
outras
palavras,
ou
melhor,
em
linguagem
matemática, trata-se simplesmente de uma operação
vetorial, que é a subtração do vetor posição da Terra do
vetor posição de Marte, ambos os vetores com origem no
Sol. O resultado é o vetor posição com base na Terra.
M
T
S
O resultado pode ser observado por meio da execução do
programa
Scilab
apresentado a seguir.
“trajetoria_Marte3.sce”,
que
é
-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-xclear, // limpa as variáveis
clf, // limpa a janela gráfica
//
// eixo centrado em (0,0)
n=20;
raio=10;
time=0;
dtime=15;
rt=150;
rm=228;
omega_t=2*%pi/365;
omega_m=2*%pi/686.2;
dteta=2*%pi/n; //para traço do planeta
//
// para estabelecer os intervalos da janela grafica
teta=0;
x(1)=450*cos(teta);
y(1)=450*sin(teta);
for i=2:n+1,
teta=teta+dteta;
x(i)=450*cos(teta);
y(i)=450*sin(teta);
end
plot(x,y,'w');
//
// primeira posição
xt=rt*cos(omega_t*time);
yt=rt*sin(omega_t*time);
xm=rm*cos(omega_m*time);
ym=rm*sin(omega_m*time);
dx=xm-xt;
dy=ym-yt;
time=time+dtime;
// traço do planeta
teta=0;
x(1)=raio*cos(teta)+dx;
y(1)=raio*sin(teta)+dy;
for i=2:n+1,
teta=teta+dteta;
x(i)=raio*cos(teta)+dx;
y(i)=raio*sin(teta)+dy;
end
plot(x,y)
// posições posteriores
for j=1:150,
xt=rt*cos(omega_t*time);
yt=rt*sin(omega_t*time);
xm=rm*cos(omega_m*time);
ym=rm*sin(omega_m*time);
dx=xm-xt;
dy=ym-yt;
time=time+dtime;
// traço do planeta
teta=0;
x2(1)=raio*cos(teta)+dx;
y2(1)=raio*sin(teta)+dy;
for i=2:n+1,
teta=teta+dteta;
x2(i)=raio*cos(teta)+dx;
y2(i)=raio*sin(teta)+dy;
end
plot(x2,y2);
// plot(x,y,'w');
x=x2;
y=y2;
end
a=gca(); // manipulador da entidade Axes
a.x_location = "middle";
a.y_location = "middle";
-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-xConclusão:
As razões do movimento peculiar de Marte vista da Terra
puderam ser esclarecidas.
Essa conclusão, em outras palavras, encontra-se em umas
das páginas da Nasa (a agência aeroespacial dos Estados
Unidos): Astronomy Picture of the Day, 2008 May 11
(http://apod.nasa.gov/apod/ap080511.html)
Explanation: Why would Mars appear to move
backwards? Most of the time, the apparent motion of
Mars in Earth's sky is in one direction, slow but steady in
front of the far distant stars. About every two years,
however, the Earth passes Mars as they orbit around the
Sun. During the most recent such pass over the last year,
the proximity of Mars made the red planet appear larger
and brighter than usual. Also during this time, Mars
appeared to move backwards in the sky, a phenomenon
called retrograde motion. Pictured above is a series of
images digitally stacked so that all of the stars images
coincide. Here, Mars appears to trace out a loop in the
sky. Near the top of the loop, Earth passed Mars and the
retrograde motion was the highest. Retrograde motion can
also be seen for other Solar System planets.
Obrigado