Rodada #1 Raciocínio Lógico

Rodada #1
Raciocínio Lógico
Professor Guilherme Neves
Assuntos da Rodada
RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias,
inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1
Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelas-verdade. 3.3 Equivalências. 3.4 Leis
de De Morgan. 3.5 Diagramas lógicos.4 Lógica de primeira ordem. 5 Princípios de
contagem e probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7 Raciocínio lógico envolvendo
problemas aritméticos, geométricos e matriciais.
RACIOCÍNIO LÓGICO
a. Teoria em Tópicos
1. Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira
ou falsa, mas não as duas.
Exemplo: Paris está na Inglaterra (Falso).
2. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Portanto, expressões como “Os
alunos do Ponto dos Concursos” não são proposições lógicas, pois não possuem
predicado (verbo).
3. Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa.
Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições.
i) Que belo dia! (exclamativa)
ii) Qual é o seu nome? (interrogativa)
iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa – indica ordem)
iv) Que Deus te abençoe. (optativa – exprime desejo).
4. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta
ou função proposicional. Sentença aberta é aquela em que o sujeito é um termo
variável.
Exemplo: Ele foi aprovado no concurso da Receita Federal em 2009.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
A frase acima não é uma proposição lógica, pois não pode ser classificada em V ou F, já
que não sabemos quem é “ele”.
Exemplo: x + 2 = 8
A sentença acima não pode ser classificada em V ou F, pois não sabemos o valor de x.
A sentença x + 2 = 8 é, portanto, uma sentença aberta (não é proposição lógica).
5. A partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições com o auxílio
de operadores lógicos. Os operadores lógicos são o modificador (advérbio não) e os
conectivos.
6. O modificador é um operador lógico que “troca” o valor lógico das proposições. Se
temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador,
teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos uma proposição
falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira.
7. Os símbolos que indicam que uma proposição foi “modificada” são:
. A
proposição modificada é chamada de negação da proposição original.
Exemplos:
Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição
verdadeira.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Esta frase também pode ser lida das seguintes formas:
8. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo principal para
negar a frase. Vejamos outro exemplo:
Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma
proposição falsa.
9. Uma tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições.
Tabelas-verdade são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de
proposições construídas a partir de proposições simples.
Observe a tabela que dispõe as relações entre uma proposição p e a sua negação ~p.
p
~p
V
F
F
V
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RACIOCÍNIO LÓGICO
10. Além do modificador, podemos construir novas proposições utilizando conectivos
lógicos.
11. Os conectivos cobrados em provas são Conjunção (e), Disjunção Inclusiva (ou),
Disjunção Exclusiva (ou...ou), Condicional (se..., então) e o Bicondicional (...se e
somente se...).
12. Caso o problema fale apenas “disjunção”, consideraremos que se trata da
Disjunção Inclusiva.
13. Os conectivos podem estar “disfarçados” sob expressões equivalentes.
Exemplo 1: “Fui à praia, mas não estudei” = “Fui à praia e não estudei.
Exemplo 2: “Quando vou à praia, não durmo”= “Se vou à praia, então não durmo”.
Exemplo 3: “Penso, logo existo” = “Se penso, então existo”.
14. A proposição “Guilherme e Moraes são professores” é uma proposição simples. O
sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição “Guilherme é professor e
Moraes é professor” é uma proposição composta.
15. Cada um dos conectivos é representado por um símbolo.
Nome do Conectivo
Forma mais comum
Símbolo
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjunção
e
Disjunção (Inclusiva)
ou
Disjunção Exclusiva
Ou...ou
Condicional
Se..., então
Bicondicional
...se e somente se
16. Como distinguir os símbolos  e ? Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos.
Observe:
O
/
O
Em qual das duas situações você consegue ler “OU”? Na “palavra da esquerda!
Portanto, aquele símbolo é o “ou”. Consequentemente o outro é o “e”.
Outro processo mnemônico consiste em colocar um “pontinho” em cima do símbolo.
Vejamos:
Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva “i”? No símbolo da
direita! Portanto, aquele símbolo é o “e” (mesmo fonema do “i”).
17. Para classificar uma proposição composta em V ou F, devemos saber a regra de
cada um dos conectivos.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
18. Uma proposição composta pelo conectivo “e” (conjunção) só é verdadeira quando
as duas frases componentes são verdadeiras. Se pelo menos uma das frases
componentes for falsa, a proposição composta será falsa.
Exemplo: Se a proposição “João é pobre” for falsa e se a proposição “João pratica atos
violentos” for verdadeira, então a proposição “João não é pobre, mas pratica atos
violentos” será verdadeira.
Exemplo: A proposição “2+3 = 5 e a Lua é quadrada” é falsa, pois um de seus
componentes é falso.
19. Uma proposição composta pelo conectivo “ou” (disjunção (inclusiva)) só é
verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. A disjunção só
será falsa se os dois componentes forem falsos.
Exemplo: A proposição “2+3 = 5 ou a Lua é quadrada” é verdadeira, pois pelo menos
um de seus componentes é verdadeiro.
Exemplo: A proposição “Paris está na Inglaterra ou √16=3” é falsa, pois seus dois
componentes são falsos.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
20. Observe que o conectivo "ou" tem um sentido inclusivo, ou seja, classificamos
como verdadeira a proposição composta pelo “ou” que possui os dois componentes
verdadeiros.
21. Ao utilizar o conectivo “Ou...ou...” a proposição composta só será verdadeira
quando APENAS um dos componentes for verdadeiro. Se as duas frases componentes
forem verdadeiras, a composta será falsa. Se as duas frases forem falsas, a composta
será falsa.
Há exercícios em que a banca enfatiza o conectivo “ou...ou...” colocando a expressão
“mas não ambos” ao final da frase.
Assim, “Ou p ou q” = “Ou p ou q, mas não ambos”.
22. Na proposição condicional “Se p, então q”, a proposição p é o antecedente e a
proposição q é o consequente.
Exemplo: Se Guilherme é recifense, então é Igor é mineiro.
O antecedente é a proposição “Guilherme é recifense” e o consequente é a proposição
“Igor é mineiro”.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
A proposição “Se p, então q” pode ser lida como “p é condição suficiente para q” ou
como “q é condição necessária para p”.
23. Uma proposição composta pelo conectivo “Se..., então...” só é falsa quando ocorre
VF, ou seja, quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em qualquer
outra possibilidade (VV, FV, FF) a composta será verdadeira.
Exemplos:
24. O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer VF, ou seja, se o antecedente for
verdadeiro e o consequente for falso, a proposição composta pelo “se..., então” é falsa.
Em todos os outros casos a proposição composta será verdadeira.
V
V
V
V
F
F
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RACIOCÍNIO LÓGICO
F
V
V
F
F
V
25. Uma proposição composta pelo conectivo “...se e somente se...” (bicondicional) é
verdadeira quando os dois componentes têm valores iguais, ou seja, VV ou FF. Se os
componentes têm valores opostos (VF ou FV), a composta será falsa.
26. O conectivo “se e somente se” corresponde à conjunção (e) de dois condicionais
(se...,então...). Em outras palavras, as proposições “P se e somente se Q” e “Se P, então
Q e se Q, então Q” querem dizer a mesma coisa (são equivalentes).
Exemplo: São equivalentes as proposições “Hoje é Natal se e somente se hoje é 25/12”
e “Se hoje é Natal, então hoje é 25/12 e se hoje é 25/12, então hoje é Natal”.
A proposição “p se e somente se q” pode ser lida como “p é condição necessária e
suficiente para q” ou “q é condição necessária e suficiente para p”.
10
RACIOCÍNIO LÓGICO
27. Podemos resumir tudo o que foi dito sobre conectivos com a seguinte tabelaverdade.
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
28. Para facilitar o processo mnemônico, podemos fixar as regras que tornam as
compostas verdadeiras.
Conjunção
As duas proposições p, q devem ser verdadeiras
Disjunção Inclusiva
Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira.
Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.
Disjunção Exclusiva
Apenas uma das proposições pode ser verdadeira. A
proposição composta será falsa se os dois componentes
forem verdadeiros ou se os dois componentes forem falsos.
Condicional
Não pode acontecer o caso de o antecedente ser
verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode
acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal,
dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem.
Bicondicional
Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.
29. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n
proposições simples é 2n.
Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas
leis do pensamento a proposição psó pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou
F.
p
V
F
Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 22 = 4. SEMPRE
que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos
com a seguinte disposição.
pq
VV
VF
FV
FF
Para 3 proposições p, q e r,o número de linhas da tabela-verdade é 23 = 8.
SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições,
começaremos com a seguinte disposição.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
pqr
VVV
VVF
VF V
VF F
F VV
F VF
FFV
FFF
Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma
valoração.
30. Tautologia é uma proposição composta que é verdadeira independentemente dos
valores das proposições simples que a compõem.
Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade
envolvendo apenas estas três proposições terá
linhas.
Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição ( p  r )  (~ q  r ) .
E o que significa “construir a tabela-verdade” desta proposição?
13
RACIOCÍNIO LÓGICO
Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta
proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta
proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa.
Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição:
pqr
VVV
VVF
VF V
VF F
FVV
FVF
FFV
FFF
Neste “começo” de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações
destas 3 proposições. Observe que há um padrão na construção deste início.
Na primeira coluna, temos 4 “V” seguidos de 4 “F”. Na segunda coluna temos 2 “V”
seguidos de 2 “F” alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos “V” e “F” que se
alternam.
Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim.
Queremos construir a tabela-verdade da proposição ( p  r )  (~ q  r ) .
14
RACIOCÍNIO LÓGICO
Observe que não aparece a proposição
propriamente dia e sim a sua negação.
Portanto, o primeiro passo é construir a negação de
. Lembre-se que se uma
proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e reciprocamente.
p q
r
~q
V V V F
V V F F
V F V V
V F F V
F V V F
F V F F
F F V V
F F F V
Valores opostos!!
Vamos obedecer a ordem de preferência. Vamos construir as proposições compostas
que estão dentro dos parênteses. Comecemos por
proposição
com a proposição
. Devemos conectar a
através do conectivo “e”. Lembre-se que uma
proposição composta pelo “e” só é verdadeira quando os dois componentes são
verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas
outras possibilidades tornam a composta
p q
r
e
são verdadeiras. Todas as
falsa.
~ q pr
15
RACIOCÍNIO LÓGICO
V V V F
V
V V F F
F
V F V V
V
V F F V
F
F V V F
F
F V F F
F
F F V V
F
F F F V
F
Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de
parênteses:
.
Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo “ou” é verdadeira quando
pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas
linhas em que pelo menos uma das duas
p q
r
ou
for verdadeira.
~ q pr ~ qr
V V V F
V
V
V V F F
F
F
V F V V
V
V
V F F V
F
V
F V V F
F
V
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RACIOCÍNIO LÓGICO
F V F F
F
F
F F V V
F
V
F F F V
F
V
Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e
portanto, a composta construída é falsa nestes casos.
Podemos agora, finalmente construir a composta ( p  r )  (~ q  r ) . Lembre-se que há
apenas um caso em que a composta pelo “se..., então” é falsa: quando o primeiro
componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar apenas as
duas últimas colunas.
Vejamos cada linha de per si:
1ª linha: V V (o condicional é verdadeiro).
2ª linha: F F (o condicional é verdadeiro).
3ª linha: V V (o condicional é verdadeiro).
4ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
5ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
6ª linha: F F (o condicional é verdadeiro).
7ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
8ª linha: F V (o condicional é verdadeiro).
Desta forma:
p q
r
~ q p  r ~ q  r ( p  r )  (~ q  r )
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RACIOCÍNIO LÓGICO
V V V F
V
V
V
V V F F
F
F
V
V F V V
V
V
V
V F F V
F
V
V
F V V F
F
V
V
F V F F
F
F
V
F F V V
F
V
V
F F F V
F
V
V
Concluímos que a proposição composta ( p  r )  (~ q  r ) é sempre verdadeira,
independentemente dos valores atribuídos às proposições
.
Dizemos então que a proposição ( p  r )  (~ q  r ) é uma tautologia (ou proposição
logicamente verdadeira).
31. Contradição é uma proposição composta que é falsa independentemente dos
valores das proposições simples que a compõem.
Para verificar se uma proposição é uma contradição, devemos construir a sua tabelaverdade.
32. Contingência é uma proposição composta que assume valores V ou F a depender
dos valores das proposições componentes.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Para verificar se uma proposição é uma contingência, devemos construir a sua tabelaverdade.
33. Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas “dizem
a mesma coisa”.
Por exemplo:
Eu joguei o lápis.
O lápis foi jogado por mim.
As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma
coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for
falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes.
Em símbolos, escrevemos
.
34. Para mostrar que duas proposições são equivalentes, devemos construir as
tabelas-verdade e verificar se elas possuem as mesmas valorações em todas as linhas.
Exemplo: Mostre que são equivalentes as proposições
,
e
.
Precisamos apenas construir a tabela-verdade.
p q ~ q ~ p p  q ~ q ~ p ~ p  q
V V F
F
V
V
V
V F V
F
F
F
F
F V F
V
V
V
V
19
RACIOCÍNIO LÓGICO
F F V
V
V
V
V
Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente
equivalentes.
35. As proposições equivalentes do tópico anterior são responsáveis por 99% das
questões de concurso sobre este assunto. Portanto, não se preocupe. Você não
precisará construir uma tabela para resolver a questão da sua prova (afirmo isso com
99% de probabilidade de acertar. Rs...).
Portanto, memorize as seguintes equivalências:
36. A equivalência
permite construir uma proposição composta
pelo “se...,então...” a partir de outra proposição composta pelo “se...,então”. Para tanto,
basta negar os dois componentes e trocar a ordem.
Exemplo: São equivalentes as proposições “Se bebo, então não dirijo” e “Se dirijo,
então não bebo”.
37. A equivalência
permite construir uma proposição composta
pelo “ou” a partir de uma composta pelo “se...,então...”. Para tanto, basta negar o
primeiro componente.
Exemplo: São equivalentes as proposições “Penso, logo existo” e “Não penso ou
existo”.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
38. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “ou”, deve-se negar os
componentes e trocar o conectivo por “e”.
Exemplo: A negação de “Corro ou não durmo” é “Não corro e durmo”.
39. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, deve-se negar os
componentes e trocar o conectivo por “ou”.
Exemplo: A negação de “Corro e não durmo” é “Não corro ou durmo”.
40. Para negar uma proposição composta pelo “Se...,então...”: copie o antecedente,
negue o consequente e troque o conectivo por “e”. Em outras palavras, copie a
primeira parte, negue a segunda e troque por “e”.
Exemplo: A negação de “Penso, logo existo” é “Penso e não existo”.
41. Proposições quantificadas são aquelas utilizam expressões como “Todo”,
“Nenhum”, “Algum”.
Observação: Algum = Existe = Pelo menos um = Existe um = Existe pelo menos um =
Existe algum
42. Uma proposição do tipo “Todo...é”... é chamada de Proposição Universal Afirmativa
(U.A.)
Exemplo de U.A.: Todo recifense é pernambucano.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
43. Uma proposição do tipo “Todo...não é”... é chamada de Proposição Universal
Negativa (U.N.). A Universal Negativa também pode ser representada por
“Nenhum...é...”.
Exemplo de U.N.: Todo brasileiro não é uruguaio = Nenhum brasileiro é uruguaio.
44. Uma proposição do tipo “Algum...é”... é chamada de Proposição Particular
Afirmativa (P.A.)
Exemplo de P.A.: Algum recifense é pernambucano.
45. Uma proposição do tipo “Algum... não é”... é chamada de Proposição Particular
Negativa (P.N.)
Exemplo de P.N.: Algum carioca não é pernambucano.
46. Resumo das proposições quantificadas.
Proposição universal afirmativa
Todo recifense é pernambucano.
Proposição universal negativa
Nenhum
recifense
é
pernambucano.
Proposição particular afirmativa
Algum recifense é pernambucano.
Proposição particular negativa
Algum
recifense
não
é
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RACIOCÍNIO LÓGICO
pernambucano.
47. Como negar proposições quantificadas? Se for Particular, troca por Universal (e
vice-versa). Se Afirmativa, troca por Negativa.
Afirmação
Negação
Particular afirmativa (“algum...”)
Universal negativa (“nenhum...” ou
“todo... não ...”)
Universal negativa (“nenhum...” ou Particular afirmativa (“algum...”)
“todo... não...”)
Universal afirmativa (“todo...”)
Particular negativa (“algum... não”)
Particular negativa (“algum... não”)
Universal afirmativa (“todo...”)
Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua negação
terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um quantificador
PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL.
Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será
NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será AFIRMATIVA.
Vejamos alguns exemplos:
p : Algum político é honesto.
p : Existe político honesto.
A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma
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RACIOCÍNIO LÓGICO
UNIVERSAL NEGATIVA.
~ p : Nenhum político é honesto.
~ p : Todo político não é honesto.
q : Nenhum brasileiro é europeu.
q : Todo brasileiro não é europeu.
A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR
AFIRMATIVA.
~ q : Algum brasileiro é europeu.
~ q : Existe brasileiro que é europeu.
r : Todo concurseiro é persistente.
A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma
PARTICULAR NEGATIVA.
~ r : Algum concurseiro não é persistente.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
~ r : Existe concurseiro que não é persistente.
t : Algum recifense não é pernambucano.
t : Existe recifense que não é pernambucano.
A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL
AFIRMARTIVA.
~ t : Todo recifense é pernambucano.
48. Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação?
De três maneiras:
i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada.
ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa.
iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.
49. O estudo das proposições categóricas (que utilizam quantificadores) pode
ser feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um
conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
50. Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das
proposições categóricas.
Todo A é B  Todo elemento de A também é elemento de B.
Nenhum A é B  A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem
elementos comuns.
Algum A é B  Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em
comum.
Algum A não é B  O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é
elemento de B.
51. Todo A é B
A proposição categórica “Todo A é B” é equivalente a:
A é subconjunto de B.
A é parte de B.
A está contido em B.
B contém A.
B é universo de A.
B é superconjunto de A.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Se sabemos que a proposição “Todo A é B” é verdadeira, qual será o valor
lógico das demais proposições categóricas?
“Algum A é B” é necessariamente verdadeira.
“Nenhum A é B” é necessariamente falsa.
“Algum A não é B” é necessariamente falsa.
52. Algum A é B
A proposição categórica “Algum A é B” equivale a “Algum B é A”.
Se “algum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?
“Nenhum A é B” é necessariamente falsa.
“Todo A é B” e “Algum A não é B” são indeterminadas.
Observe que quando afirmamos que “Algum A é B” estamos dizendo que existe
pelo menos um elemento de A que também é elemento de B.
53. Nenhum A é B
A proposição categórica “Nenhum A é B” equivale a:
Nenhum B é A.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Todo A não é B.
Todo B não é A.
A e B são conjuntos disjuntos.
Se “nenhum A é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?
“Todo A é B” é necessariamente falsa.
“Algum A não é B” é necessariamente verdadeira.
“Algum A é B” é necessariamente falsa.
54. Algum A não é B
Observe que “Algum A não é B” não equivale a “Algum B não é A”. Por
exemplo, dizer que “Algum brasileiro não é pernambucano” não equivale a dizer
que “Algum pernambucano não é brasileiro”.
Se “algum A não é B” é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?
“Nenhum A é B” é indeterminada, pois poderia haver elementos na
interseção dos conjuntos A e B.
“Algum A é B” é indeterminada,pois pode haver ou não elementos na
interseção dos conjuntos A e B.
“Todo A é B” é necessariamente falsa.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
b. Revisão 1 (Questões)
CESPE/UnB 2016 – POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE
Considere as seguintes proposições para responder às duas próximas questões.
P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de
criminosos.
P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar.
P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com
as próprias mãos.
01. A quantidade de linhas da tabela verdade associada à proposição P1 é igual a
a) 32.
29
RACIOCÍNIO LÓGICO
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 16.
02. Assinale a opção que apresenta uma negação correta da proposição P1.
a) Se não há punição de criminosos, então não há investigação ou o suspeito não é
flagrado cometendo delito.
b) Há punição de criminosos, mas não há investigação nem o suspeito é flagrado
cometendo delito.
c) Há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, mas não há punição de
criminosos.
d) Se não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito, então não há
punição de criminosos.
e) Se não há investigação e o suspeito não é flagrado cometendo delito, então não há
punição de criminosos.
CESPE/UnB 2016 – ANALISTA - INSS
Julgue os itens a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos.
03. A sentença Bruna, acesse a internet e verifique a data da aposentadoria do Sr.
Carlos!” é uma proposição composta que pode ser escrita na forma
.
30
RACIOCÍNIO LÓGICO
04. Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional
será, sempre, uma tautologia.
05. Caso a proposição simples “Aposentados são idosos” tenha valor lógico falso, então
o valor lógico da proposição “Aposentados são idosos, logo eles devem repousar” será
falso.
06. Dadas as proposições simples p: “Sou aposentado” e q: “Nunca faltei ao trabalho”, a
proposição composta “Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou
aposentado” deverá ser escrita na forma
usando-se os conectivos lógicos.
CESPE/UnB 2016 – TÉCNICO - INSS
Com relação a lógica proposicional, julgue os itens subsequentes.
07. Supondo-se que p seja a proposição simples “João é fumante”, que q seja a
proposição simples “João não é saudável” e que
, então o valor lógico da
proposição “João não é fumante, logo ele é saudável” será verdadeiro.
08. Considerando-se as proposições simples “Cláudio pratica esportes” e “Cláudio tem
uma alimentação balanceada”, é correto afirmar que a proposição “Cláudio pratica
esportes ou ele não pratica esportes e não tem uma alimentação balanceada” é uma
tautologia.
31
RACIOCÍNIO LÓGICO
09. Na lógica proposicional, a oração “Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a
probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que não é
fumante” representa uma proposição composta.
c. Revisão 2 (Questões)
CESPE/UnB 2016 – DPU
Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua
própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto
à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu
vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será́ punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá́ optar pelo pagamento de fiança.
32
RACIOCÍNIO LÓGICO
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B,
lembrou que ele era inafiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
10. Caso as proposições R e S se refiram à mesma pessoa e a um único crime, então,
independentemente das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas, a proposição
será sempre falsa.
11. A proposição “Caso tenha cometido os crimes A e B, não será́ necessariamente
encarcerado nem poderá́ pagar fiança” pode ser corretamente simbolizada na forma
.
12. A sentença
será́ sempre verdadeira, independentemente
das valorações de P e Q como verdadeiras ou falsas.
13. A sentença
é verdadeira.
14. A sentença
é falsa.
33
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 15 – CESPE/UnB – 2015 - TRE/MT
A negação da proposição: “Se o número inteiro m > 2 é primo, então o número m é
ímpar" pode ser expressa corretamente por:
a) “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar".
b) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar".
c) “Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo".
d) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar".
e) “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar".
QUESTÃO 16 – CESPE/UnB – 2015 - TRE/MT
Considerando três variáveis (A, B e C), tais que A = 12, B = 15 e C = 3, bem como a
notação para operadores lógicos, assinale a opção que apresenta uma expressão cujo
valor lógico é verdadeiro.
a) (A + B) > 30 ou (A + B - 5) = (A + C)
b) (A ≥ C) e (A + B) = C
c) (A > B) e (C + B) < A
d) (A + C) > B
e) B ≥ A + 2
34
RACIOCÍNIO LÓGICO
CESPE/UnB 2015 – TCE/RN
Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório
estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não
registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador
não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja verdadeira, julgue os itens
seguintes.
17. A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador escritura o
imóvel, ou não o registra”.
18. Se A for o conjunto dos compradores que escrituram o imóvel, e B for o conjunto
dos que o registram, então B será́ subconjunto de A.
19. A proposição do cartaz é logicamente equivalente a “Se o comprador não escritura
o imóvel ou não o registra, então não se torna seu dono”.
20. Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o escriturou.
35
RACIOCÍNIO LÓGICO
d. Revisão 3 (Questões)
CESPE/UnB 2015 – TCE/RN
Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório
estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não
registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador
não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja verdadeira, julgue os itens
seguintes.
21. A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por “Se o comprador
escritura o imóvel, então ele o registra”.
22. Considerando-se a veracidade da proposição P, é correto afirmar que, após a
eliminação das linhas de uma tabela-verdade associada à proposição do cartaz do
cartório que impliquem a falsidade da proposição P, a tabela-verdade resultante terá́
seis linhas.
CESPE/UnB 2015 - STJ
Mariana é uma estudante que tem grande apreço pela matemática, apesar de achar
essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo suficiente para estudar, Mariana é
aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste semestre,
36
RACIOCÍNIO LÓGICO
Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No
entanto, ela não tem tempo suficiente para estudar e não será́ aprovada nessa
disciplina.
A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue os itens a
seguir, acerca das estruturas lógicas.
23. Designando por p e q as proposições “Mariana tem tempo suficiente para estudar”
e “Mariana será́ aprovada nessa disciplina”, respectivamente, então a proposição
“Mariana não tem tempo suficiente para estudar e nãoserá́ aprovada nesta disciplina”
é equivalente a
.
24. Considerando-se como p a proposição “Mariana acha a matemática uma área
muito difícil” de valor lógico verdadeiro e como q a proposição “Mariana tem grande
apreço pela matemática” de valor lógico falso, então o valor lógico de
é falso.
CESPE/UnB 2015 – MEC
Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e
utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a respeito de lógica
proposicional.
37
RACIOCÍNIO LÓGICO
25. A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento
adequado de estudos” pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica
em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.
26. A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode ser simbolicamente
representada pela expressão lógica
, em que P e Q são proposições
adequadamente escolhidas.
27. A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer
e desenvolver um sentimento de cidadania” pode ser simbolicamente representada
pela expressão lógica
, em que P, Q e R são proposições adequadamente
escolhidas.
CESPE/UnB 2015 – MEC
38
RACIOCÍNIO LÓGICO
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R
representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores
lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens
subsecutivos.
28.
A
última
coluna
da
tabela-verdade
referente
à
proposição
lógica
quando representada na posição horizontal é igual a
29. A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica
quando
representada na posição horizontal é igual a
39
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 30 – CESPE/UnB – 2015 – MPOG
Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o
que desejar”, julgue o item a seguir.
A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou
o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava”.
e. Gabarito
1
2
3
4
5
D
C
E
C
E
6
7
8
9
10
C
E
E
C
E
11
12
13
14
15
E
C
E
E
E
16
17
18
19
20
40
RACIOCÍNIO LÓGICO
E
C
C
E
C
21
22
23
24
25
E
C
C
E
E
26
27
28
29
30
C
E
C
E
E
41
RACIOCÍNIO LÓGICO
f. Breves comentários às questões
QUESTÃO 01 - CESPE/UnB 2016 – POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE
Três proposições simples compõem a proposição P1, a saber:
p: há investigação
q: o suspeito é flagrado cometendo delito.
r: há punição de criminosos.
O total de linhas da tabela verdade associada é 2n = 23 = 8.
QUESTÃO 02 - CESPE/UnB 2016 – POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE
Comentário em vídeo
CESPE/UnB 2016 – ANALISTA - INSS
03. A sentença dada é imperativa e exclamativa. Portanto, a sentença não é uma
proposição.
04. Comentário em vídeo.
05. Comentário em vídeo.
42
RACIOCÍNIO LÓGICO
06. Comentário em vídeo.
CESPE/UnB 2016 – TÉCNICO - INSS
07. Não sabemos os valores lógicos das proposições p e q. Portanto, não há como
determinar o valor lógico de “João não é fumante, logo ele é saudável”.
08. Comentário em vídeo.
09. “Logo” tem o mesmo significado que “Se..., então...”.
CESPE/UnB 2016 – DPU
10. Comentário em vídeo.
11. Comentário em vídeo.
12. Comentário em vídeo.
13. Comentário em vídeo.
14. Comentário em vídeo.
43
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUESTÃO 15 – CESPE/UnB – 2015 - TRE/MT
A negação de “Se p, então q” é “p e não-q”, ou seja, devemos copiar o antecedente e negar o
consequente. A correta negação é “O número inteiro m>2 é primo e o número m não é
ímpar”.
QUESTÃO 16 – CESPE/UnB – 2015 - TRE/MT
Comentário em vídeo.
CESPE/UnB 2015 – TCE/RN
17. Para transformar uma proposição composta pelo “se..., então...” para “ou”, negue a
primeira parte da proposição e copie a segunda parte.
18. Comentário em vídeo.
19. Comentário em vídeo.
20. Comentário em vídeo.
21. NUNCA negue uma proposição composta pelo “se...,então...” com outra proposição
composta pelo “se...,então...”. A correta negação de Se p, então q” é “p e não-q”. Em outras
44
RACIOCÍNIO LÓGICO
palavras, copie a primeira parte, coloque “e” e negue a segunda parte. A correta negação da
proposição P é “O comprador não escritura o imóvel e ele o registra.”
22. Comentário em vídeo.
CESPE/UnB 2015 – STJ
23. O item está certo, pois estamos conectando as negações de p e de q através do
conectivo “e”.
24. A proposição p é verdadeira e a proposição ¬q também é verdadeira (já que q é falsa).
Desta maneira, a proposição
é verdadeira. Lembre-se que uma proposição
composta pelo “se...,então...” só é falsa quando ocorre VF (nesta ordem).
CESPE/UnB 2015 – MEC
25. Comentário em vídeo.
26. Neste caso, a proposição P é “A vida é curta” e proposição Q é “a morte é certa”. O
símbolo adotado está correto, pois
representa o conectivo “e”.
27. Comentário em vídeo.
45
RACIOCÍNIO LÓGICO
CESPE/UnB 2015 – MEC
28. Comentário em vídeo
29. Comentário em vídeo
QUESTÃO 30 – CESPE/UnB – 2015 – MPOG
A negação de “Se p, então q” é “p e não-q”. A correta negação da proposição P é “João se
esforçou o bastante e João não conseguiu o que desejava”. Poderíamos também ter
substituído o conectivo “e” pela palavra “mas” obtendo “João se esforçou o bastante, mas
João não conseguiu o que desejava.”
46