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Pesquisa Operacional
NOTAS DE AULA
PESQUISA
OPERACIONAL
Programação Linear
Prof. Marcos P. Cassas
[email protected]
Prof. Marcos P. Cassas
São Paulo – SP
[email protected]
Rev. Ago/2012
Prof. Marcos Cassas
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Pesquisa Operacional
Este material refere-se às notas de aula do curso
Pesquisa Operacional da FMU - Faculdades
Metropolitanas Unidas. Não substitui o livro texto,
as referências recomendadas e nem as aulas
expositivas. Este material não pode ser
reproduzido sem autorização prévia do autor.
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Pesquisa Operacional
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1. APRESENTAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL
1.1 Histórico.............................................................................................................
1.2 Definição............................................................................................................
1.3 Fases de um estudo de pesquisa operacional....................................................
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO LINEAR
2.1 Histórico............................................................................................................
2.2 Conceito............................................................................................................
2.3 Formulação de Modelos....................................................................................
CAPÍTULO 3. MODELAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR
3.1 Definição……………………………………………………………..………….………
3.2 Premissas dos Modelos…………………………………..……..…………..………..
CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO GRÁFICA PARA PROBLEMAS COM DUAS VARIÁVEIS
4.1 Resolução……………………………………………………………………………….
4.2 Casos de impossibilidade de solução……………………………………………….
CAPÍTULO 5. MÉTODO SIMPLEX – MODELO PADRÃO
5.1 Introdução – Modelo de GAUSS-JORDAN…………….…………...…………….
5.2 Desenvolvimento…………………………………………………………...…………..
CAPÍTULO 6. MODELO SIMPLEX - CASOS ESPECIAIS
6.1 Introdução……………………………………………………………………………….
6.2 Método do big-M..............................................................................................
CAPÍTULO 7. DUALIDADE
7.1. Introdução………………………………………………………………………………
7.2. Modelagem……………………………………………………………………………..
7.3 Resolução pelo Simplex……………………………………………………………….
7.4 Interpretação do Problema Dual……………………………………………………
CAPÍTULO 8. A FERRAMENTA SOLVER………………………………………………….
CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9.1 Cap. 3. Modelagem Em Programação Linear………………………………………
9.2 Cap. 4. Solução Gráfica Para Problemas com duas variáveis……………………
9.3 Cap. 5. Método Simplex – Modelo Padrão………………………………………….
9.4 Cap. 6. Modelo Simplex - Casos Especiais…………………………………………
9.5 Cap. 7. Dualidade………………………………………………………………………
9.6 Cap. 8 Ferramenta Solver…………………………………………………………….
APÊNDICE - ÁLGEBRA LINEAR...............................................................................
BIBLIOGRAFIA.........................................................................................................
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Pesquisa Operacional
CAPÍTULO 1
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL.
1.1 HISTÓRICO
O início da atividade, assim denominada Pesquisa Operacional, geralmente é atribuído às atividades militares nos primórdios da Segunda Guerra Mundial.
Em razão do empreendimento da guerra, havia uma necessidade premente de se alocar de forma
eficiente os escassos recursos para as diversas operações militares e atividades internas a cada
operação.
Consequentemente, o comando militar britânico e norte-americano convocaram grande número de
cientistas para aplicar uma abordagem científica para lidar com este e outros problemas táticos e
estratégicos. Na prática lhes foi solicitado a realização de pesquisas sobre operações (militares).
Por intermédio dessas pesquisas sobre como melhor administrar operações de comboio e
antissubmarinos, esses cientistas desempenharam papel fundamental na vitória da Batalha do
Atlântico Norte e na Campanha Britânica no Pacífico.
Quando a guerra acabou, o sucesso da PO no empreendimento bélico despertou interesse na sua
aplicação fora do ambiente militar. À medida que ia se desenrolando o boom industrial pós-guerra,
os problemas causados pela crescente complexidade e especialização nas empresas foram
novamente ganhando o primeiro plano. Tornava-se aparente para um número cada vez maior de
pessoas, entre as quais consultores de negócios que trabalharam nas equipes de PO ou em
conjunto com elas durante a guerra, que estes foram basicamente os problemas enfrentados pelos
militares, porém, agora, em um contexto diferente. No início dos anos 1950, esses indivíduos
haviam introduzido o emprego da PO em uma diversidade de empresas nos setores comercial,
industrial e governamental.
Como o próprio nome indica, a Pesquisa Operacional envolve "pesquisa sobre operações”.
Portanto, a PO é aplicada a problemas envolvendo como conduzir e coordenar as operações (isto
é, as atividades) em uma empresa.
A palavra pesquisa da expressão significa que a PO usa uma abordagem que lembra a maneira
pela qual são conduzidas as pesquisas em campos científicos usuais. Em um grau considerável, o
método científico é utilizado para investigar o problema empresarial. Por esta razão, a expressão
Ciências da Administração é também usada como sinônimo de Pesquisa Operacional.
1.2 DEFINIÇÃO
Não há na literatura uma definição unânime para Pesquisa Operacional (P.O).
A P.O é um conceito muito abrangente sobre o estabelecimento de ferramentas quantitativas de
tomada de decisão que propicie a busca da melhor utilização técnica, econômica, social ou política
de recursos escassos, através da aplicação de métodos científicos.
De uma maneira geral, todas as ferramentas que constituem a PO se apoiam em quatro ciências
fundamentais: Economia, Matemática, Estatística e Tecnologia da Informação e são as seguintes:
a) Programação Linear: o uso desta ferramenta envolve o problema genérico de alocar da melhor
forma possível (isto é, ótima) recursos limitados para atividades que competem entre si. Mais
precisamente, esse problema envolve selecionar o nível de certas atividades que competem por
recursos escassos que são necessários para realizar essas atividades. A escolha do nível de
atividades determina, então, quanto de cada recurso será consumido por atividade. A variedade de
situações para as quais essa descrição se aplica é diversa, indo desde a alocação de recursos de
produção a produtos, da seleção de portfólio à seleção de padrões de embarque, do planejamento
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agrícola a sessões de radioterapia e assim por diante. Porém, o ingrediente mais comum em cada
uma dessas situações é a necessidade de alocar recursos para atividades escolhendo-se o nível
dessas atividades.
b) Problemas de Transporte e Designação: esta ferramenta recebeu essa denominação em
virtude de várias de suas aplicações envolverem a determinação de como transportar mercadorias
de maneira otimizada. Entretanto, algumas de suas importantes aplicações (por exemplo,
cronograma de produção), na verdade, não tem nada a ver com transporte. O segundo tipo,
denominado problema da designação, envolve aplicações tais como distribuir pessoas para realizar
determinadas tarefas. Embora as aplicações pareçam ser bem diferentes daquelas do problema de
transporte, o problema da designação pode ser visto como um tipo especial de problema de
transporte.
c) Teoria das Filas: as filas (filas de espera) fazem parte do dia-a-dia de nossa vida. Todos nós
esperamos em uma fila para: comprar o ingresso para uma sessão de cinema, fazer um depósito
bancário, pagar as compras em um supermercado, remeter um pacote no correio, comprar um
sanduíche em uma lanchonete, brincar em um parque de diversões etc. A teoria das filas é o
estudo da espera em todas essas formas diversas. Ela usa modelos matemáticos para representar
os diversos tipos de sistemas de filas que surgem na prática indicando como ele deve funcionar
inclusive o tempo de espera médio que ocorrerá. Portanto, esses modelos são muito úteis para
determinar como operar um sistema de filas da forma mais eficiente. Os modelos permitem
encontrar um equilíbrio apropriado entre custo de serviço e o tempo de espera.
d) Simulação: esta é uma técnica chave da Pesquisa Operacional. A simulação se destaca entre
todas as técnicas sendo a mais usada delas. Além disso, por ser uma ferramenta tão flexível,
poderosa e intuitiva, ela continua a ganhar rapidamente popularidade. Essa técnica envolve o uso
de um computador para imitar (simular) a operação de um processo ou sistema. Por exemplo, a
simulação é frequentemente usada para realizar análises de risco em processos financeiros,
imitando repetidamente a evolução das transações envolvidas para gerar um perfil de possíveis
resultados. A simulação também é amplamente usada para analisar sistemas aleatórios que
continuarão a operar indefinidamente. Para tais sistemas, o computador gera e registra,
aleatoriamente, as ocorrências dos vários eventos que dirigem o sistema como se eles estivessem
operando fisicamente. Em virtude de sua velocidade, o computador pode simular até mesmo anos
de operação em uma questão de segundos. Registrar o desempenho da operação simulada do
sistema para uma série de projetos ou procedimentos operacionais alternativos habilita então a
avaliação e a comparação dessas alternativas antes de escolher uma.
e) Programação Dinâmica: a programação dinâmica é uma técnica matemática útil para criar uma
sequência de decisões inter-relacionadas. Ela fornece um procedimento sistemático para
determinar a combinação de decisões ótimas. Ao contrário da programação linear, não existe uma
formulação matemática padrão "do" problema de programação dinâmica. Em vez disso, a
programação dinâmica é um tipo genérico de metodologia para resolução de problemas e as
equações particulares usadas têm de ser desenvolvidas para cada situação. Portanto, é necessário
certo grau de engenhosidade e de insight na estrutura geral dos problemas de programação
dinâmica para reconhecer quando e como um problema pode ser resolvido pelos procedimentos da
programação dinâmica,
f) Teoria dos Jogos: inúmeros exemplos envolvendo adversários em conflito abrangem jogos de
mesa, batalhas militares, campanhas políticas, campanhas publicitárias e de marketing realizadas
por empresas concorrentes e assim por diante. Uma característica básica em muitas dessas
situações é que o resultado final depende basicamente da combinação de estratégias selecionadas
pelos adversários. A teoria dos jogos é uma teoria matemática que trata das características gerais
de situações competitivas como estas de maneira formal e abstrata. Ela coloca particular ênfase
nos processos de tomada de decisão dos adversários.
g) Teoria dos Grafos: Grafos são extensivamente utilizados em diversas situações. Constituem
uma abstração matemática de uma série de situações caracterizadas por interligações entre
"locais" denominados vértices (ou nós). Os grafos também são denominados redes. As
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representações em formato de rede são amplamente usadas para problemas em áreas tão
diversas como produção, distribuição, planejamento de projetos, posicionamento de instalações,
administração de recursos e planejamento financeiro - apenas para citar alguns exemplos. Na
realidade, uma representação em rede fornece uma ferramenta conceitual e visual tão poderosa
para descrever as relações entre os componentes de sistemas que é utilizada praticamente em
todos os campos dos empreendimentos científico, social e econômico. Uma das conquistas mais
fascinantes no campo da pesquisa operacional (PO) nos últimos anos foi o rápido avanço tanto na
metodologia quanto na aplicação de modelos de otimização de redes.
h) Teoria dos Estoques: são modelos matemáticos que permitem às empresas otimizarem suas
políticas de estoques para quando e em que nível reabastecer seus estoques.
i) Cadeias de Markov: algumas decisões precisam levar em conta a incerteza em relação a
diversos eventos futuros. As cadeias de Markov possuem a propriedade especial de que as
probabilidades que envolvem como o processo evolui no futuro dependem apenas do estado atual
do processo e, portanto, são independentes de eventos no passado. Muitos processos se encaixam
nesta descrição, de modo que as cadeias de Markov proporcionam um tipo de modelo
probabilístico especialmente importante.
A PO tem sido largamente aplicada em áreas tão distintas como fábricas, escritórios, hospitais,
fazendas, estradas, manufatura, transportes, construção, telecomunicações, planejamento
financeiro, assistência médica, militar, serviços públicos etc.
Exemplo: Considere três alternativas de investimentos de mesmo risco:
A
B
C
Rentabilidad
e mensal
2,5%
3,8%
1,8%
Limites
R$ 1.000.000,00
R$ 600.000,00
R$ 800.000,00
Pela Análise de Investimentos a alternativa a ser selecionada é a B (3,8%).
Mas, se tivermos um valor limite para ser aplicado, por exemplo R$ 1.500.000,00 para distribuir nos
investimentos descritos, quanto seria aplicado em cada alternativa para que obtivéssemos a
máxima rentabilidade?
Pela PO a resposta seria: R$ 600.000,00 em B e R$ 900.000,00 em A
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Para se ter uma ideia do âmbito de aplicação da PO o quadro abaixo apresenta aplicações reais,
dos últimos 20 anos onde se podem observar as significativas economias geradas com a resolução
de problemas com a utilização de modelos de PO.
Quadro extraído de HILLlER, Frederick et aI. Introdução a Pesquisa Operacional. 8a Ed, São Paulo: Ed CAMPUS Ltda, 2006.
pág. 4.
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CAPÍTULO 2
INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO LINEAR
2.1 HISTÓRICO
Assim como outros ramos da matemática, a Programação Linear também teve a sua origem em
aplicações práticas. Seu início se deveu às necessidades de mecanização do processo de
planejamento e dimensionamento de recursos materiais, financeiros, tecnológicos e humanos. Foi
desenvolvida, sobretudo nos anos 40. As aplicações em problemas de transporte nesta década, em
particular, pelas forças armadas americanas durante a segunda grande guerra mundial, foi um
passo importante na criação da Programação Linear.
A sua base matemática concentra-se na resolução de sistemas de equações lineares e operações
com matrizes. Sob o ponto de vista histórico, essas ferramentas matemáticas, já eram conhecidas
dois mil anos antes de Cristo. Babilônios, gregos e chineses conheciam a ideia de eliminação de
variáveis para resolver equações lineares (ou quadráticas).
A técnica de resolução de sistemas de equações lineares, hoje conhecida como o método de
eliminação Gaussiana, foi descrito explicitamente na China entre 202 a.C. e 9 d.C. na obra “Nove
Livros da Aritmética” e descreve métodos que provavelmente foram escritos muito antes. Equações
lineares e eliminação de variáveis também foram estudadas por Diophantos de Alexandria
(aproximadamente séc. III d.C.).
Entre os pioneiros que fizeram o desenvolvimento da área estão George Bernard Dantzig em
Washington e Leonid Vitaliyevich Kantorovich em Leningrado. Ambos ilustraram muito bem as
fontes
de
aplicações
da
Programação
Linear.
Dantzig
trabalhava para o Pentágono,
inclusive durante o período da
guerra entre 1941 a 1945,
enquanto
Kantorovich
foi
motivado pelo plano econômico
soviético.
.
Em 1946 Dantzig era consultor do
Pentágono. Foi no Pentágono que
Dantzig recebeu dos seus colegas
D. Hitchcock e M. Wood o desafio
de tentar ver o que poderia ser
feito para mecanizar o processo de
planejamento. Em 1947 Dantzig
propôs o Método Simplex que
Leonid Vitaliyevich
tornou possível a solução de
George Bernard Dantzig,
Kantorovich
problemas de otimização de vários tipos,
1914–2005.
1912 - 1986
como transporte, produção, alocação de
recursos e problemas de escalonamento (scheduling).
Entretanto, apesar de o algoritmo Simplex ser um algoritmo eficiente, ele é muito trabalhoso
quando utilizado em problemas com grande quantidade de variáveis, já que o número de
operações executadas pelo algoritmo, nesses casos, é muito grande. Desta forma, o
desenvolvimento dos computadores foi decisivo no sucesso da Programação Linear e permitiu a
aplicação do Método Simplex a problemas de grande porte.
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2.2 CONCEITO
A Programação Linear é uma ferramenta de tomada de decisão utilizada para otimizar (maximizar
ou minimizar) sistemas onde os recursos estão sujeitos a escassez. Assim, problemas tais como
definir um Plano de Produção que seja o mais rentável levando-se em conta que há uma
quantidade limitada de matéria prima e mão de obra é um problema típico de Programação Linear.
Vamos detalhar o seu conceito através de um exemplo prático:
Vamos supor que uma fábrica de confecções queira aproveitar a temporada de Carnaval vendendo
fantasias. Ela pretende fabricar dois modelos M1 e M2. Sabe-se que o preço de M1 é R$ 600,00 e o
de M2 é R$ 1.000,00.
Pergunta-se: quanto ela deverá vender de cada modelo de fantasia para ter o máximo de Receita?
Resposta: o máximo que o mercado absorver.
Esta resposta estaria correta se a empresa tivesse matéria prima em quantidades ilimitadas.
Obviamente, esta não é a realidade. O estoque de tecido para fabricar as fantasias é limitado.
Digamos que em levantamento realizado, foram encontrados:
Brim = 32 m²
Seda = 22 m²
Cetim = 30 m²
Para conseguirmos equacionar nosso problema necessitamos ainda saber quanto cada modelo
consome de cada tipo de tecido. Assim, feito novo levantamento, conseguimos saber que:
Modelo M1 - consome 4 m² de brim, 2 m² de seda e 2 m² de cetim.
Modelo M2 - consome 2 m² de brim, 4 m² de seda e 6 m² de cetim
Assim, vamos denominar:
X1 – quantidade a ser vendida do modelo de fantasia M1
X2 – quantidade a ser vendida do modelo de fantasia M2
Então,
Máximo de Receita = 600 x X1 + 1.000 x X2
Essas quantidades estão sujeitas às limitações da quantidade de cada tecido em estoque, isto é,
Limitação do brim
Limitação da seda
Limitação do cetim
4 x X1 + 2 x X2  32 (não pode ultrapassar 32 m²)
2 x X1 + 4 x X2  22 (não pode ultrapassar 22 m²
2 x X1 + 6 x X2  30 (não pode ultrapassar 30 m²
Limitação de não-negatividade X1 e X2  0 (pois, não é possível vender quantidade negativa de
fantasias)
Solução: os valores de X1 e X2 deverão ser calculados de tal forma que obedeçam às limitações de
disponibilidade de tecidos e não-negatividade.
.
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2.3 FORMULAÇÃO DE MODELOS
Ao longo dos tempos uma das preocupações básicas da Ciência foi a preocupação de observar,
reproduzir e formular mecanismos que dizem respeito à reprodução e aprimoramento de
fenômenos da Natureza. A partir do momento em que se considere que o comportamento de tais
fenômenos é devidamente compreendido e, eventualmente, controlável, haverá condições de se
obter uma grande probabilidade de acerto nas previsões de ocorrência de eventos correlatos.
Para tanto, a Ciência constroi modelos que é uma idealização simplificada de um sistema que
possui maior complexidade, mas que ainda assim supostamente reproduz na sua essência o
comportamento do sistema complexo que é o alvo de estudo e entendimento.
A metodologia científica consta de, dado um sistema (conjunto de elementos inter-relacionados),
observamos e definimos as variáveis relevantes que descrevem seu funcionamento e criamos um
modelo que nos permita operar o sistema da melhor maneira, bem como, dimensionar suas
principais variáveis. Podemos dizer que este modelo representa uma aproximação da realidade.
Esquematicamente,
SISTEMA REAL
MODELO
SISTEMA
REDUZIDO ÀS
VARIÁVEIS
PRINCIPAIS
Desta forma, criar um modelo refere-se ao resultado do processo de produzir uma representação
abstrata, conceitual, gráfica ou visual de fenômenos, sistemas ou processos com o propósito de
analisar, descrever, explicar, simular, explorar, controlar e predizer estes fenômenos ou processos.
Considera-se que a criação de um modelo é uma parte essencial de qualquer atividade científica.
Exemplos de Modelos Científicos:
- Modelo do átomo: o clássico desenho do átomo que se vê nos livros escolares é um modelo
científico. Ele, mesmo sendo a representação do átomo real, não é a verdade do átomo, porque
inclusive este modelo já foi revisto várias vezes e continuará sendo.
- Modelo da molécula de DNA: é uma representação do real que levou anos para ter o aspecto que
conhecemos hoje, mas não há nenhuma certeza de que não possa ser mudado;
- Modelos matemáticos climáticos: diferentemente dos modelos deterministas da física Newtoniana,
em que bastava se conhecer as condições iniciais de um sistema para se prever posições futuras,
o clima se comporta de maneira não linear e caótica. Assim, pequenas alterações nas condições
iniciais podem provocar resultados imprevisíveis. Por isso, foram concebidos modelos climáticos
probabilísticos, que operam com faixas de janelas de possibilidades. Assim, as previsões obtidas
por estes modelos são apresentadas através de resultados estatísticos, dentro de margens de erro
e acerto.
Assim sendo, modelos, de maneira geral, são representações idealizadas para situações do
mundo real. Propiciam a aquisição de novos conhecimentos e facilitam o planejamento e previsões
de atividades. Apesar da dificuldade para a validação de modelos, sempre haverá uma indicação
do nível de sucesso do processo de modelagem, o que estará intimamente ligado à eventual
reprodução da verdade em investigação.
Nós podemos caracterizar os modelos em três grupos:


Físicos
Analógicos
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
Simbólicos
Modelos Físicos: são tangíveis, de fácil compreensão, porém de reprodução difícil.
Exemplos:
Modelo de aeronaves (Túnel de Vento), residências, cidades (Maquetes)
Modelos Analógicos: são tangíveis, de compreensão difícil, reprodução mais fácil e manipulação
mais fácil.
Exemplos: mapas de estradas, velocímetro, relógio, gráficos.
Modelos Simbólicos: intangível, compreensão mais difícil, reprodução muito fácil, manipulação
muito fácil, escopo de uso: amplo
Exemplos: planilhas, modelos matemáticos
Exemplos:
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Lei da Gravitação Universal
F  G
S  S o  V0 t 
at 2
2
M m
d2
CAPÍTULO 3
MODELAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR
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3.1 DEFINIÇÃO
Os modelos utilizados em Programação Linear enquadram-se no grupo de Modelos Simbólicos.
Conforme vimos, a Programação Linear é utilizada para otimizar (maximizar ou minimizar) sistemas
sujeitos a limitações de recursos.
Assim, para a elaboração de modelagem em Programação Linear devem ser seguidos alguns
passos básicos:

Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, a otimização a ser alcançada. Por
exemplo, maximização de lucros, de desempenhos ou de bem-estar social; minimização de
custos, de perdas, de tempo. Tal objetivo será representado por uma função linear de variáveis,
chamada de FUNÇÃO OBJETIVO, a ser maximizada ou minimizada;

Para que esta função objetivo seja matematicamente especificada, devem ser definidas as
variáveis de decisão envolvidas. Por exemplo, número de máquinas, área a ser explorada,
classes de investimento à disposição etc. Normalmente, assume-se que todas estas variáveis
possam assumir somente valores positivos;

Estas variáveis normalmente estão sujeitas a uma série de RESTRIÇÕES, normalmente
representadas por inequações. Por exemplo, quantidade de equipamento disponível, tamanho
da área a ser explorada, capacidade de um reservatório, exigências nutricionais para
determinada dieta etc.
Todas essas expressões, entretanto, devem estar de acordo com a hipótese principal da
Programação Linear, ou seja, todas as relações entre as variáveis devem ser lineares. Isto implica
proporcionalidade das quantidades envolvidas. Esta característica de linearidade pode ser
interessante no tocante à simplificação da estrutura matemática envolvida, mas prejudicial na
representação de fenômenos não lineares (por exemplo, funções de custo tipicamente
quadráticas).
Assim, o problema geral de Programação Linear pode ser definido por:
Maximizar (ou minimizar)
Z  c1 x1  c2 x2  .......... .  cn xn
Sujeito a:
Restrições técnicas
a11 x1  a12 x2  .......... .  a1n xn  b1 (ou  ou )
a21 x1  a22 x2  .......... .  a2 n xn  b2 (ou  ou )
..................
...
am1 x1  am2 x2  .......... .  amn xn  bm (ou  ou )
Restrições de não
negatividade
x1 , x2 ,......... ..xn  0
As variáveis de decisão são: X1, X2, X3,........................ Xn
A função objetivo mede o desempenho do sistema, para cada solução apresentada. O objetivo é
maximizar ou minimizar uma determinada grandeza. As restrições garantem que essas soluções
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estejam de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema. As últimas restrições exigem
a não negatividade das variáveis de decisão, o que deverá acontecer sempre que a técnica de
abordagem for a de Programação Linear.
A construção do modelo matemático, no caso um modelo linear, é a parte mais complicada de
nosso estudo. Não há regra fixa para esse trabalho, mas podemos sugerir um roteiro que ajuda a
ordenar o raciocínio.
a) Quais as variáveis de decisão?
Aqui o trabalho consiste em explicitar as decisões que devem ser tomadas e representar as
possíveis decisões através de variáveis de decisão. Se o problema é de programação de produção
as\111 variáveis de decisão são as quantidades a produzir no período; se for um problema de
programação de investimento, as variáveis vão representar as decisões de investimento, isto é,
quanto investir em cada alternativa de investimento, e em que período. Isto fica claro quando lemos
a questão proposta, isto é, a pergunta do problema.
b) Qual o objetivo?
Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de decisão. Ele aparece geralmente na forma da
maximização de lucros ou receitas, minimização de custos, perdas etc. A função objetivo é a
expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, custo, receita, perda etc.), em função das variáveis
de decisão.
c) Quais as restrições?
Trata-se de estabelecer as condições a serem respeitadas pelas variáveis de decisão. Cada
restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade
ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão.
Exemplo:
Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: PIT e BULL. Para a manufatura das
rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:



Cada pacote da ração PIT utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e cada pacote da ração BUL
utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais;
Estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais.
A ração PIT gera um lucro de R$ 11,00 por pacote e a ração BULL R$ 12,00.
“Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração que deve ser produzida de modo a
maximizar o lucro.”
Formulação do Modelo:
a) Variáveis de decisão
X1 – quantidade de pacotes de PIT
X2 – quantidade de pacotes de BULL
b) Objetivo
Nosso modelo deseja maximizar o lucro Z a partir da quantidade X1 de ração PIT e X2 de ração
BULL. Isto é,
Maximizar
Z  11x1  12 x2
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 (função objetivo)
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c) Restrições
Sujeito a
1x1  4 x2  10.000
5x1  2 x2  30.000
x1 , x2  0
 (restrição de carne)
 (restrição de cereais)
 (positividade das variáveis)
3.2 PREMISSAS DOS MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
As limitações no uso dos modelos de Programação Linear, para representar sistemas reais,
devem-se ás premissas que temos que adotar para podermos operacionalizá-los.
1. Linearidade: o Objetivo e as Restrições são todas funções lineares. Linearidade implica
satisfazer às seguintes condições:
 Proporcionalidade: essa propriedade requer que a contribuição de cada variável de
decisão, tanto na função objetivo quanto nas restrições, seja diretamente proporcional ao
valor da variável.
Por exemplo, no modelo das rações, as quantidades 11X1 e 12X2 dão os lucros para a
produção de X1e X2, pacotes de ração PIT e BULL, respectivamente, sendo que os lucros
unitários por pacote, 11 e 12, darão as constantes de proporcionalidade. Por outro lado, se
a empresa concedesse algum tipo de desconto por pacote quando as vendas
ultrapassarem certas quantidades, o lucro não seria mais proporcional às quantidades de
produção, X1 e X2 e a função lucro se tornaria não linear.
 Aditividade: essa propriedade requer que a contribuição total de todas as variáveis da
função objetivo e das restrições seja a soma direta das contribuições individuais de cada
variável. No modelo das rações, o lucro total é igual à soma dos dois componentes
individuais do lucro. Contudo, se os dois produtos competirem por participação de mercado
de tal modo que um aumento nas vendas de um deles provoque um efeito adverso nas
vendas do outro, então a propriedade de aditividade não é satisfeita e o modelo deixa de
ser linear.
2. Certeza: todos os coeficientes da função objetivo e das restrições do modelo de PL são
determinísticos, o que significa que são constantes conhecidas - uma ocorrência rara na vida real,
na qual o mais provável é que os dados sejam representados por distribuições de probabilidade.
Em essência, os coeficientes em PL são aproximações do valor médio das distribuições de
probabilidade. Se os desvios-padrão dessas distribuições forem suficientemente pequenos, a
aproximação será aceitável. Grandes desvios-padrão podem ser levados em conta diretamente
com a utilização de outros algoritmos que não será abordado neste trabalho ou indiretamente pela
aplicação de análise de sensibilidade à solução ótima, visto adiante.
3. Divisibilidade: As variáveis de decisão podem ser fracionadas. A importância deste pressuposto
depende do porte de nosso problema. Se lidarmos com quantidades da ordem de milhares, a
aproximação para valores inteiros não implicará em erros importantes, mas se lidamos com valores
da ordem de poucas unidades, certamente poderemos incorrer em erros significativos. Neste caso,
é preciso utilizar a Programação Linear Inteira.
CAPÍTULO 4
SOLUÇÃO GRÁFICA PARA PROBLEMAS COM DUAS VARIÁVEIS
4.1 RESOLUÇÃO
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14
Pesquisa Operacional
Conforme observamos nos exemplos acima, a solução do problema geral de Programação Linear
envolve a resolução de um sistema de equações lineares.
Esta técnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis
soluções do problema, isto é, o conjunto de pontos (X1, X2) que obedecem ao grupo de
RESTRIÇÕES impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da
representação gráfica da FUNÇÃO OBJETIVO. As soluções são classificadas de acordo com sua
posição no gráfico.
Vamos aplicar esta solução ao problema das rações PIT e BULL:
1º PASSO: Traça-se um gráfico com os seus eixos sendo as duas variáveis X1 e X2.
2º PASSO: A partir daí, traçam-se as retas referentes às restrições do problema e delimita-se a
região viável.
x
1
1x1  4 x2  10.000
Região
viável
5x1  2 x2  30.000
x2
3º PASSO: Encontrada a região viável, deve-se traçar uma reta com a inclinação da função objetivo Z.
Para achar a inclinação de Z procede-se como abaixo:
x1
10.00
0
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6.000
11x1  12 x2  0
x1  
12
x2
11
Se x2 Então x1
0
1.000
0
-1.091
15
Pesquisa Operacional
Então, são traçadas diversas paralelas a ela no sentido de Z crescente (maximização da função),
como na figura abaixo.
x1
Max Z  11x1  12 x2  11 5.555  12 1.111  74.444
Z  11 6.000  12  0  66.000
Z  11 0  12  2.500  30.000
x2
Z  11 0  12  0  0
Conclusão: O ponto ótimo é o ponto onde a reta de maior valor possível corta a região viável
(normalmente num vértice).
4.2 CASOS DE IMPOSSIBILIDADE DE SOLUÇÃO
Aplicando-se a visualização gráfica podemos observar que a solução ótima pode não existir em
dois casos:
 Quando não há nenhuma solução viável para o problema, devido a restrições
incompatíveis;
 Ou quando não há máximo (ou mínimo), isto é, uma ou mais variáveis podem tender a
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16
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infinito e as restrições continuarem sendo satisfeitas, o que fornece um valor sem limites para a
função objetivo.
Exemplos:
MaxZ  2 x1  2 x2
MaxZ  3x1  2 x2
MaxZ  3x1  2 x2
1x1  x2  1
 0,5x1  x2  2
x1 , x2  0
x1  x2  0
x1  3
x1 , x2  0
x1  x2  1
2 x1  2 x2  4
x1 , x2  0
Z 
Z 
Z  Não há solução
MaxZ   x1  2x2
MaxZ  x1  x2
x1  x2  1
 0,5x1  x2  2
x1 , x2  0
x1  x2  0
3x1  x2  3
x1 , x2  0
Z  Não há solução,  pares x1 e x2
Z  Não há solução, pois x tem que ser  0
CAPÍTULO 5
MÉTODO SIMPLEX – MODELO PADRÃO
5.1 INTRODUÇÃO
O Método Simplex é um procedimento para solucionar problemas de Programação Linear.
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17
Pesquisa Operacional
Desenvolvido por George B. Dantzig em 1947 esta ferramenta provou ser um método
extremamente eficiente que é usado rotineiramente para solucionar problemas de grandes
dimensões nos computadores de hoje. Exceto pelo seu emprego em problemas muito pequenos,
esse método é sempre executado num computador e pacotes de softwares sofisticados se
encontram disponíveis, tais como LINGO, LINDO, XPRESS, SOLVER (EXCEL), entre outros.
O Método Simplex para solução de problemas de Programação Linear usa os conceitos básicos da
álgebra matricial para achar a intersecção de duas ou mais linhas ou planos.
Desta forma, vamos apresentar um método de solução de sistemas de equações lineares o qual
será uma das ferramentas utilizadas no desenvolvimento do Método Simplex.
Suponha o seguinte sistema de equações lineares:
4 x1  8 x2  160
6 x1  4 x2  120
Para solução desse sistema, além dos métodos algébricos convencionais, vamos apresentar o
método Gauss-Jordan. Consiste na transformação de um sistema específico de equações
lineares para outro que tenha a mesma solução que o sistema original. Este novo sistema deverá
ter o formato de uma matriz identidade, o que pode ser obtido através de combinações lineares das
equações originais. Assim, pretende-se que
4 x1  8 x2  160
1x1  0 x2  m
transforme-se em
6 x1  4 x2  120
0 x1  1x2  n
São permitidas as seguintes transformações lineares:
- Troca de linhas
- Multiplicação ou divisão da linha por um número qualquer
- Soma de uma linha multiplicada/dividida por um número, com outra linha.
Para resolver o exemplo acima, são seguidos os seguintes passos:
1. Divisão da linha 1 por 4: transformação do coeficiente de X1 da 1ª equação para 1.
x1 x2
b
x1 x2
b
4 8 160
1 2
40
6 4 120
6 4 120
2. Multiplicar a linha 1 por 6 e subtrair da linha 2 : transformação do coeficiente de X1 da equação 2
para 0.
x1 x2
1
b
2
40
0  8  120
3. Divisão da linha 2 por (-8): transformação do coeficiente de X2 na equação 2 para 1.
x1 x2
b
1 2 40
0 1 15
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18
Pesquisa Operacional
4. Multiplicar a linha 2 por 2 e subtrair da linha 1: transformação do coeficiente de X2 para 0.
x1 x2
b
1 0 10
0 1 15
Portanto, a solução é:
x1  10
x2  15
Vamos resolver o problema das rações PIT e BUL usando o método de GAUSS-JORDAN:
Maximizar
Sujeito a
Z  11x1  12 x2
 (função objetivo)
1x1  4 x2  10.000
5x1  2 x2  30.000
x1 , x2  0
 (restrição de carne)
 (restrição de cereais)
 (positividade das variáveis)
Vamos achar o ponto de intersecção das restrições:
1x1  4 x2  10.000
5x1  2 x2  30.000
x1 x2
b
1 4 10.000
5 1 30.000
a) Fazendo-se L2 – 5 x L1
x1
x2
1
4
b
10.000
0  18  20.000
b) Fazendo-se L2 / (-18)
x1 x2
b
1 4 10.000
0 1
1.111
c) Fazendo-se L1 – 4 x L2
x1 x2
b
1 0 5.555,55
0 1 1.111,11
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19
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Portanto,
x1  5.555 pacotes; x 2  1.111 pacotes
Calculando o lucro agora, obtemos,
Z = 11 x 5.555 + 12 x 1.111 = R$ 74.444,00
Resposta: deverão ser produzidas por mês 5.555 pacotes de ração PIT e 1.111 pacotes de BUL,
obtendo-se o lucro de R$ 74.444,00
5.2 DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO SIMPLEX
Conforme já exposto acima, o modelo de Programação Linear pode ser resolvido por um método
de solução de sistema de equações lineares.
Começa com uma solução viável, que satisfaz todas as restrições e sucessivamente obtém
soluções nas intersecções que oferecem valores melhores na função objetivo. Finalmente este
método de solução possibilita um indicador que determina quando a solução ótima foi atingida.
O Método Simplex caminha pelos vértices da região viável até encontrar uma solução que
não possua soluções vizinhas melhores do que ela. Esta será, então, a solução ótima.
O processo que será apresentado no exemplo a seguir, retirado de ANDRADE (2009), é bastante
intuitivo e tem por finalidade apresentar a metodologia utilizada pelo Método Simplex.
Considere como exemplo o problema abaixo:
"Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina
faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação,
vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-deobra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.
Recurso
Madeira
Mão-de-obra
Disponibilidade
12 m²
8 Homem-Hora
O processo de produção é tal que, para fazer uma mesa a fábrica gasta 2 m² de madeira e 2 HH de
mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3 m² de madeira e 1 HH de mão de obra.
Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de R$
4,00 e cada armário de R$ 1,00.
“O problema é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total
para o lucro.”
As variáveis de decisão envolvidas no problema são:
X1 - quantidade a produzir de mesas
X2 - quantidade a produzir de armários
A função objetivo é:
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Z  4 x1  x2
20
Pesquisa Operacional
Para as restrições, a relação lógica existente é:
Utilização de recurso
 Disponibilidade
Assim, temos
Madeira:
2 x1  3x2  12
Mão de obra:
2 x1  x2  8
x1 , x2  0
O modelo completo é
Max
Sujeito a
Z  4 x1  x2
2 x1  3x2  12
2 x1  x2  8
x1 , x2  0
Para solução deste problema teremos inicialmente que transformar as restrições do problema de
inequações em equações introduzindo VARIÁVEIS DE FOLGA.
Neste problema, as restrições têm a seguinte estrutura lógica:
Utilização de recurso
 Disponibilidade.
Ao se introduzir o conceito de folga de recurso, a inequação pode ser escrita como uma igualdade:
Utilização de recurso + Folga = Disponibilidade.
Isso significa que:
Utilização de recurso < Disponibilidade
Utilização de recurso = Disponibilidade
implica:
implica:
Folga > O
Folga = O
Deste modo, a folga de cada recurso pode ser representada por uma variável da mesma forma que
a variável de quantidade de produção de cada produto. Desse modo, vamos chamar:
f1 - folga de madeira
f2 - folga de mão-de-obra
Introduzindo as variáveis de folga, o problema a ser resolvido passa a ser:
Max Z  4 x1  x2  0 f1  0 f 2
2 x1  3x2  f1  12
Sujeito a
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2 x1  x2  f 2  8
x1 , x2 , f1 , f 2  0
21
Pesquisa Operacional
O problema se transformou em encontrar a solução do sistema de equações lineares que maximiza
o lucro. Como neste caso o número de variáveis (m = 4) é superior ao número de equações (n = 2),
o sistema é indeterminado, apresentando infinitas soluções.
No entanto, todas as variáveis devem ser maiores ou iguais a zero. Atribuir zero a uma variável
significa não produzir um dos produtos (se a variável for X1 ou X2) ou utilizar toda a disponibilidade
de recursos (se a variável for f1 ou f2).
Desta forma, podemos encontrar soluções para o sistema de equações zerando duas variáveis
(m – n = 2) e encontrando o valor para as duas variáveis restantes.
Teremos que resolver então,
C42 
43
6
2!
sistemas de equações lineares.
Uma vez resolvido um sistema, serão aplicados na função objetivo os valores encontrados. As
variáveis zeradas são chamadas variáveis não-básicas. As variáveis cujos valores são calculados
pelo sistema de equações são chamadas variáveis básicas.
a) Primeira solução
Variáveis não-básicas
x1  0
x2  0
Lucro: Z = 4 x 0 + 0 = 0
b) Segunda solução
Variáveis não-básicas
x1  0
f1  0
Lucro:
Z=4x0+4=4
c) Terceira solução
Variáveis não-básicas
x1  0
f2  0
Variáveis básicas
f2  8
f1  12
Variáveis básicas
x2  4
f2  4
Variáveis básicas
x2  8
f1  12
Lucro: Como f1 < 0, a solução obtida é INVIÁ VEL.
d) Quarta solução
Variáveis não-básicas
x2  0
f1  0
Variáveis básicas
x1  6
f2  4
Lucro: Como f2 < 0, a solução obtida é INVIÁVEL.
e) Quinta solução
Variáveis não-básicas
x2  0
f2  0
Variáveis básicas
x1  4
f1  4
Lucro: Z = 4 x 4 + 0 =16
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22
Pesquisa Operacional
f) Sexta solução
Variáveis não-básicas
Variáveis básicas
x1  3
x2  2
f1  0
f2  0
Lucro: Z = 4 x 3 + 2 =14
Portanto, a solução que maximiza o lucro é:
x1  4
Lucro
x2  0
f1  4
f2  0
Z = 16
Interpretação econômica dos resultados
A solução ótima do problema representa o de Plano de Produção:
x1  4
Significa que deverão ser produzidas 4 unidades de mesas.
x2  0
Significa que não deverão ser produzidos armários.
A utilização dos recursos está programada da seguinte forma:
f1  4
Significa que sobrarão 4 m² de madeira
f2  0
Significa que será utilizada a totalidade da mão de obra disponível, isto
é, 8 homens-hora.
Da forma como foi resolvido o problema anteriormente é necessário que muitos sistemas de
equações sejam resolvidos e suas soluções comparadas.
Para problemas reais de Programação Linear, esta solução se toma inviável. Vamos imaginar que
tivéssemos 8 incógnitas com 5 equações. Teríamos que anular 3 incógnitas de cada vez, ou seja,
seria necessário resolver:
C 58 
8  7  6  5  4  3  21
 56 equações
5!
Assim, para resolver um problema de Programação Linear, precisamos de uma sistemática que
nos responda as seguintes questões:



Qual o sistema de equações que deve ser resolvido?
O próximo sistema a ser resolvido fornecerá uma solução melhor que os anteriores?
Como identificar uma solução ótima, uma vez que a tenhamos encontrado?
Essa sistemática é o Método Simplex, também conhecido como Método Tabular, e as regras que o
método utiliza para atender às três questões acima são, basicamente, os critérios que
desenvolvemos nos itens anteriores.
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23
Pesquisa Operacional
Vamos voltar ao nosso problema, já com as variáveis de folga:
Max Z  4x1  x 2  0f1  0f2
2x1  3x 2  f1  0f2  12
Sujeito a
2x1  x 2  0f1  f2  8
x1, x 2 , f1, f2  0
No caso da função objetivo, vamos realizar a seguinte transformação:
De:
Z  4x1  x 2  0f1  0f2
Para:
Z  4x1  x 2  0f1  0f2  0
Esta função será denominada Função Objetivo Transformada.
Vamos montar um quadro para ordenarmos as operações, colocando nele apenas os coeficientes
das variáveis (Quadro 1).
Assim,
Variáveis
Básicas
Base x1 x 2
f1
2
3
f2
2
1
Z
 4 1
f1
1
0
0
f2 b
0 12
1 8
0 0
←
1ª Equação
←
2ª Equação
←
Função Objetivo Transformada
Quadro 1
A última coluna corresponde aos termos independentes das equações, e a última linha contém os
coeficientes das variáveis na função objetivo transformada. Nessa última linha teremos sempre a
contribuição que cada variável dá para o lucro total Z, por unidade, em cada iteração do processo
de solução.
a) Solução inicial
A solução inicial para o problema será sempre obtida fazendo-se as variáveis originais do modelo
(no caso X1 e X2) iguais a zero e achando-se o valor das demais.
Fazendo-se as devidas transformações aplicando o Método Gauss-Jordan obtemos:
0
0
2x1  3x 2  f1  0f2  12
0
0
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2x1  x 2  0f1  f2  8
f1  0f2  12
0f1  f2  8
24
Pesquisa Operacional
Portanto, f1 = 12, f2 = 8 e consequentemente Z = 0.
Esta solução pode ser visualizada no Quadro 1 cobrindo-se as colunas das variáveis X1 e X2, pois
elas são zeros, e desta forma fica evidente a Matriz Identidade composta pelas variáveis f1 e f2:
Variáveis
Básicas
Base x1 x 2
f1
2
3
f2
2
1
Z
 4 1
f1
1
0
0
f2 b
0 12
1 8
0 0
Matriz Identidade
As variáveis básicas, isto é diferentes de zero, são indicadas na primeira coluna do quadro, para
facilitar o acompanhamento das operações.
b) Segunda solução
Como a primeira solução claramente não é a melhor, vamos procurar outra que dê um valor maior
para Z. O problema, então, é descobrir:


Das duas variáveis não básicas (nulas) na primeira solução, qual deve se tornar não
nula?
Das duas variáveis básicas (positivas) na primeira solução, qual deverá ser anulada?
Qual variável deverá se tornar não nula?
Vamos observar que na última linha do Quadro 1 temos os coeficientes da função objetivo que
mostram a contribuição para o lucro Z de cada unidade produzida de mesa (X1) e de armário (X2).
Assim, aplicando o critério de que devemos produzir primeiro o produto que mais contribui para o
lucro, vamos começar a produção pela variável X1, já que sua contribuição unitária para o lucro (4)
é maior que a contribuição de X2, igual a 1.
Logo, a variável que deverá se tornar não nula é X1. Vamos denominar coluna-pivô a coluna que
contém a incógnita X1 (Quadro 2).
Variáveis
Básicas
Base
f1
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f2
x1
2
2
x2
3
1
f1 f2 b
1 0 12
0 1 8
25
Pesquisa Operacional
Qual variável deverá ser anulada?
Temos duas candidatas: f1 e f2
Análise do que ocorrerá se f1 = 0:
Da primeira equação de restrição podemos calcular o valor de X1, pois é a variável que concluímos,
no item anterior, que será a que se tornará não nula.
0
0
2 x1  3x2  f1  0 f 2  12
2 x1  12  x1 
12
6
2
Assim, o valor de X1 é 6 quando f1 for igual a zero (note que X2 vale zero por ser variável não
básica).
Substituindo X1 = 6 na segunda equação de restrição, para encontrarmos o valor de f2, teremos:
2 x1  x2  0 f1  f 2  8
2  6  0  0 f1  f 2  8
f 2  8  12  4
Porém, nenhuma variável pode ser negativa de acordo com a restrição X1, X2, f1, f2  0.
Portanto, a alternativa f1 = 0 nos levará a uma solução INVIÁVEL.
Análise do que ocorrerá se f2 = 0:
Da segunda equação de restrição podemos calcular o valor de X1, pois é a variável que concluímos,
no item anterior, que será a que se tornará não nula.
0
0
2 x1  x2  0 f1  f 2  8
8
2 x1  8  x1   4
2
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26
Pesquisa Operacional
Assim, o valor de X1 é 4 quando f2 for igual a zero.
Substituindo X1 = 4 na primeira equação de restrição, para encontrarmos o valor de f1, teremos:
2 x1  3x2  f1  0 f 2  12
2  4  0  0 f1  f 2  12
f1  12  8  4
Portanto, a alternativa f2 = 0 nos levará a uma solução VIÁVEL.
Conclusão:
Observando-se as duas análises acima, percebe-se que o maior valor possível para X1 é 4, pois se
fosse 6 notamos que o valor de f2 teria que ser negativo, o que tornaria a solução inviável.
Desta forma, deveremos adotar X1 = 4, o que significa tornar a folga f2 = 0.
Portanto, a variável f2 é a que deverá sair da base. Vamos denominar linha-pivô aquela que
contém a variável f2 que deverá sair da base. (Quadro 3).
Variáveis
Básicas
Base x1 x 2
f1
2
3
f2
2
1
Z
 4 1
f1
1
0
0
f2 b
0 12
1 8
0 0
Linha-pivô
Coluna-pivô
Quadro 3
Observe que esta análise pode ser feita diretamente do Quadro 3, através da divisão dos
elementos da coluna b pelos correspondentes elementos da coluna X1. O menor quociente indica,
pela linha em que ocorreu, qual a variável básica que deve ser anulada. Assim, como o menor
quociente é dado pela divisão 8/2 = 4, a variável básica a ser anulada é f2, que é a variável positiva
na atual solução, cujo valor foi encontrado na segunda linha.
Assim temos, então:
x2  0
f2  0
E o sistema restante deve ser resolvido para acharmos o valor de X1 e f1. A solução desse sistema
será feita usando o quadro com as equações completas e usando as operações válidas com as
linhas da matriz.
Em outras palavras devemos transformar a matriz representada pelas variáveis X1 e f1 em Matriz
Identidade.
1ª operação: Dividir a linha pivô pelo elemento pivô: 2
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27
Pesquisa Operacional
Variáveis
Base
x1 x 2 f1 f2
b
Básicas
f1
2
3 1 0 12
x1
1 1/2 0 1/2 4
Z
 4 1 0 0
0
Quadro 3A
2ª operação: Multiplicar a segunda linha do Quadro 3A por (-2) e somar com a primeira linha do
mesmo quadro, colocando o resultado na primeira linha.
Variáveis
Base
x1 x 2 f1 f2 b
Básicas
f1
0
2 1 0 4
x1
1 1/2 0 1/2 4
Z
 4 1 0 0 0
Quadro 3B
3ª operação: A última operação a ser efetuada visa atualizar as contribuições que as variáveis não
básicas (X2 e f2) dariam para a função-objetivo, caso passassem a integrar a solução. Para isso, é
preciso que os valores correspondentes das variáveis básicas X1 e f1 na última linha (-4 e 0) sejam
zero. O valor correspondente de f1 já é zero, portanto, falta zerar o valor correspondente de X1.
Para obter zero no valor correspondente de X1, na última linha, vamos multiplicar a segunda linha
do Quadro 3B por 4 e somar com a terceira linha do mesmo quadro, colocando o resultado na
terceira linha.
Base x1 x 2 f1 f2
b
f1
0
2 1 -1 4
x1
1 1/2 0 1/2 4
Z
0
1 0 2 16
Variávei
s
Básicas
Quadro 3C
Como a última linha (função Z – transformada) apresenta valores positivos, isto significa que a
solução não pode ser melhorada, isto é, não há mais contribuição para aumentar o lucro.
Desta forma, concluímos que a solução encontrada no Quadro 3C é ótima. Isto é,
X1 = 4 mesas
X2 = 0 armários
f1 = 4 m² da madeira
f2 = 0 HH
Z = R$ 16,00
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28
Pesquisa Operacional
RESUMO DO PROCEDIMENTO DO MÉTODO SIMPLEX PARA PROBLEMAS DE
MAXIMIZAÇÃO
Passo 1: Introduzir as variáveis de folga, uma para cada desigualdade.
Passo 2: Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as variáveis com
os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função objetivo transformada.
Passo 3: Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às variáveis
originais e achando valores positivos para as variáveis de folga.
Passo 4: Para a próxima variável a entrar na base, escolher a variável não básica que oferece, na
última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem o maior valor
negativo). Se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos
nesta linha, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver coeficiente nulo, isto significa
que ela pode ser introduzida na base sem alimentar o valor da função objetivo. Isso quer dizer que
temos uma solução ótima, com o mesmo valor da função objetivo.
Passo 5: Para escolher a variável que deve deixar a base, deve-se realizar o seguinte
procedimento:
a) Dividir os elementos da última coluna, à direita, pelos correspondentes elementos positivos
da coluna da variável que vai entrar na base. Caso não haja elemento algum positivo nesta
coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada.
b) O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser anulada,
tornando-se variável não básica.
Passo 6: Usando operações válidas com as linhas da matriz, transformar o quadro de cálculos de
forma a encontrar a nova solução básica. A coluna da nova variável básica deverá se tornar um
vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo
anulada.
Passo 7: Zerar os valores correspondentes das variáveis básicas na linha da função objetivo
transformada.
Passo 8: Retomar ao passo 4 para iniciar outra iteração, até que todos os valores da função
objetivo transformada resultem positivos.
5.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS
1. Resolver o modelo abaixo em Programação Linear, usando o Método Simplex:
Max L  2 x1  3x2  4 x3
x1  x2  x3  100
2 x1  x2  210
x1  80
x1 , x2 , x3  0
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29
Pesquisa Operacional
Vamos introduzir variáveis de folga para cada desigualdade:
Max L  2 x1  3x2  4 x3  0 f1  0 f 2  0 f 3
x1  x2  x3  f1  0 f 2  0 f 3  100
2 x1  x2  0 x3  0 f1  f 2  0 f 3  210
x1  0 x2  0 x3  0 f1  0 f 2  f 3  80
x1 , x2 , x3  0
Função objetivo transformada:
L  2x1  3x 2  4x 3  0f1  0f2  0f3  0
a) Solução inicial
Variáveis
Básicas
Base
f1
f2
f3
L
x1 x 2
x3
1
2
1
1
0
0
1
1
0
-2 -3 -4
Variáveis básicas :
f1 f2 f3
b
1 0 0 100
0 1 0 210
0 0 1 80
0 0 0
Variáveis nulas :
f1  100
x1  0
f2  210
x2  0
f3  80
x3  0
0
Valor de Z original
Z0
b) Cálculo da nova solução
b.1) Variável que entra: X3, pois é a que tem maior coeficiente negativo (-4)
b.2) Variável que sai: 100  1 = 100  sai variável da primeira linha (f1)
210  0 = prejudicada
80  0 = prejudicada
Variáveis
Básicas
Base
f1
f2
Prof. Marcos Cassas f
3
L
x1 x 2
x3
1
2
1
1
0
0
1
1
0
-2 -3 -4
f1 f2 f3
b
1 0 0 100
0 1 0 210
0 0 1 80
0 0 0
0
30
Pesquisa Operacional
b.3) Transformar a matriz representada pelas variáveis X3, f2 e f3 em matriz identidade:
1. Dividir a linha pivô pelo elemento pivô: 1
Variáveis
Básicas
Base
x3
f2
f3
L
x1 x 2
x3
1
2
1
1
0
0
1
1
0
-2 -3 -4
f1 f2 f3
b
1 0 0 100
0 1 0 210
0 0 1 80
0 0 0
0
2. Multiplicar a linha 1 por 4 e somar com a linha da função objetivo transformada.
Variáveis
Básicas
Base
x1 x 2
x3
x3
f2
f3
1
2
1
1
1
0
1
0
0
f1 f2 f3
b
1 0 0 100
0 1 0 210
0 0 1 80
Z
2
1
0
4 0 0 400
Variáveis básicas :
Variáveis nulas :
x 3  100
x1  0
f2  210
x2  0
f3  80
f1  0
Valor de Z original
Z  400
f2  0
Conclusão: como todos os coeficientes da função objetivo transformada são positivos, não há
mais como aumentar o lucro além de 400, portanto chegamos à solução ótima.
2. Um fabricante de fantasias tem em estoque 32 m de brim, 22 m de seda e 30 m de cetim e
pretende fabricar dois modelos de fantasias. O primeiro modelo (M1) consome 4 m de brim, 2 m de
seda e 2 m de cetim. O segundo modelo (M2) consome 2 m de brim, 4 m de seda e 6 m de cetim.
Se M1 é vendido a R$ 6.000,00 e M2 a R$ 10.000,00, quantas peças de cada tipo o fabricante deve
fazer para obter a receita máxima?
Prof. Marcos Cassas
31
Pesquisa Operacional
SOLUÇÃO
Construção do modelo:
Max Z  6.000 x1  10.000 x2
4 x1  2 x2  32
2 x1  4 x2  22
2 x1  6 x2  30
x1 , x2  0
Introduzir variáveis de folga para cada desigualdade
Max Z  6.000 x1  10.000 x2  0 f1  0 f 2  0 f 3
4 x1  2 x2  f1  0 f 2  0 f 3  32
2 x1  4 x2  0 f1  f 2  0 f 3  22
2 x1  6 x2  0 f1  0 f 2  f 3  30
x1 , x2 , f1 , f 2 , f 3  0
Função objetivo transformada
Z  6.000x1  10.000x 2  0f1  0f2  0f3  0
a) Solução inicial
Variáveis
Básicas
BASE
f1
f2
f3
Z
x1
x2
f1 f2
f3
b
4
2
2
2
4
6
1
0
0
0
1
0
0 32
0 22
1 30
 6.000  10.000 0
0
0
0
Solução
Variáveis básicas :
f1  32
f2  22
Variáveis nulas :
x1  0
Valor de Z original
Z0
x2  0
f3  30
b) Cálculo da nova solução
b.1) Variável que entra: X2, pois é a que tem maior coeficiente negativo (-10.000)
b.2) Variável que sai: 32  2 = 16
22  4 =5,5
30  6 = 5  sai variável da terceira linha (f3)
Prof. Marcos Cassas
32
Pesquisa Operacional
Variáveis
Básicas
BASE
f1
f2
f3
Z
x1
x2
f1 f2
f3
b
4
2
2
2
4
6
1
0
0
0
1
0
0 32
0 22
1 30
 6.000  10.000 0
0
0
0
b.3) Transformar a matriz representada pelas variáveis f1, f2 e X2 em matriz identidade:
1. Dividir a linha pivô pelo elemento pivô: 6
Variáveis
Básicas
BASE
f1
f2
x2
Z
x1
x2
f1 f2
4
2
1/3
2
4
1
1
0
0
 6.000  10.000 0
f3
b
0 0 32
1 0 22
0 1/6 5
0
0
f3
0
2. Multiplicar a linha 3 por 4 e subtrair da linha 2
Variáveis
Básicas
BASE
f1
f2
x2
Z
x1
x2
f1 f2
4
2/3
1/3
2
0
1
1
0
0
 6.000  10.000 0
b
0
0
32
1 - 2/3 2
0 1/6 5
0
0
0
f3
b
3. Multiplicar linha 3 por 2 e subtrair da linha 1
Variáveis
Básicas
BASE
f1
f2
x2
Z
x1
x2
f1 f2
10/3
2/3
1/3
0
0
1
1
0
0
 6.000  10.000 0
0 - 1/3 22
1 - 2/3 2
0 1/6 5
0
0
0
4. Multiplicar linha 3 por 10.000 e somar com linha 4
Variáveis
Básicas
BASE
Prof. Marcos Cassas
x1
x2
f1 f2
f1
f2
x2
10/3
2/3
1/3
0
0
1
1
0
0
0
1
0
Z
 8.000/3
0
0
0
f3
b
- 1/3
- 2/3
1/6
22
2
5
5.000/3 50.000
33
Pesquisa Operacional
Solução:
Variáveis básicas :
Variáveis nulas :
f1  22
f3  0
f2  2
x1  0
Valor de Z original
Z  50.000
x2  5
c) Cálculo da nova solução
c.1) Variável que entra: X1, pois é a que tem maior coeficiente negativo (-8.000/3)
c.2) Variável que sai: 22  10/3 = 6,6
2  2/3 = 3  sai variável da segunda linha (f2)
5  1/3 = 15
Variáveis
Básicas
BASE
x1
x2
f1 f2
f1
f2
x2
10/3
2/3
1/3
0
0
1
1
0
0
0
1
0
Z
 8.000/3
0
0
0
f3
b
- 1/3
- 2/3
1/6
22
2
5
5.000/3 50.000
c.3) Transformar a matriz representada pelas variáveis X1, f1 e X2 em matriz identidade:
1. Dividir a linha pivô pelo elemento pivô: 2/3
Variáveis
Básicas
BASE
x1
x2
f1
f2
f1
x1
x2
10/3
1
1/3
0
0
1
1 0
0 3/2
0 0
Z
 8.000/3
0
0
0
f3
b
- 1/3
-1
1/6
22
3
5
5.000/3 50.000
2. Multiplicar linha 2 por 1/3 e subtrair da linha 3
Variáveis
Básicas
BASE
Prof. Marcos Cassas
f1
x1
x1
x2
f1
f2
f3
b
10/3
1
0
0
1
0
0
3/2
- 1/3
-1
22
3
34
Pesquisa Operacional
3. Multiplicar linha 2 por 10/3 e subtrair da linha 1
Variáveis
Básicas
BASE
x1
x2
f1
f2
f1
x1
x2
0
1
0
0
0
1
1 -5
0 3/2
0 - 1/2
Z
 8.000/3
0
0
0
f3
b
3
-1
1/2
12
3
4
5.000/3 50.000
4. Multiplicar linha 2 por 8.000/3 e somar com linha 4
Variáveis
Básicas
BASE
x1
x2
f1
f2
f3
b
f1
x1
x2
0
1
0
0
0
1
1
0
0
-5
3/2
- 1/2
3
-1
1/2
12
3
4
Z
0
0
0
4.000 - 1.000 58.000
Solução:
Variáveis básicas :
Variáveis nulas :
f1  12
f2  0
x1  3
f3  0
Valor de Z original
Z  58.000
x2  4
d) Cálculo da nova solução
d.1) Variável que entra: f3, pois é a que tem maior coeficiente negativo (-1.000)
d.2) Variável que sai: 12  3 = 4  sai variável da primeira linha (f1)
3  (-1) = -3 prejudicada
4  1/2 =8
Variáveis
Básicas
BASE
x1
x2
f1
f2
f3
b
f1
x1
x2
0
1
0
0
0
1
1
0
0
-5
3/2
- 1/2
3
-1
1/2
12
3
4
Z
0
0
0 4.000 - 1.000 58.000
d.3) Transformar a matriz representada pelas variáveis f3, X1 e X2 em matriz identidade:
Prof. Marcos Cassas
35
Pesquisa Operacional
1. Dividir a linha pivô pelo elemento pivô: 3
Variáveis
Básicas
BASE
x1
x2
f1
f2
f3
b
f3
x1
x2
0
1
0
0
0
1
1/3
0
0
- 5/3
3/2
- 1/2
1
-1
1/2
4
3
4
Z
0
0
0
x1
x2
f1
f2
f3
b
f3
x1
x2
0
1
0
0
0
1
1/3
1/3
0
- 5/3
- 1/6
- 1/2
1
0
1/2
4
7
4
Z
0
0
0
4.000 - 1.000 58.000
2. Somar linha 1 à linha 2
Variáveis
Básicas
BASE
4.000 - 1.000 58.000
3. Multiplicar linha 1 por ½ e subtrair da linha 3
Variáveis
Básicas
BASE
x1
x2
f1
f2
f3
b
f3
x1
x2
0
1
0
0
0
1
1/3
1/3
- 1/6
- 5/3
- 1/6
1/3
1
0
0
4
7
2
Z
0
0
0
4.000 - 1.000 58.000
4. Multiplicar linha 1 por 1.000 e somar à linha 4
Variáveis
Básicas
BASE
x1
x2
f1
f2
f3
b
f3
x1
x2
0
1
0
0
0
1
1/3
1/3
- 1/6
- 5/3
- 1/6
1/3
1
0
0
4
7
2
Z
0
0
0
62.000
1.000/3 7.000/3
Solução:
Variáveis básicas :
Variáveis nulas :
f3  4
f1  0
x1  7
f2  0
Valor de Z original
Z  62.000
x2  2
Conclusão: como todos os coeficientes da função objetivo transformada são positivos, não há
Prof. Marcos Cassas
36
Pesquisa Operacional
mais como aumentar a Receita além de R$ 62.000,00, portanto chegamos à solução ótima:
X1 = 7 fantasias do modelo M1
X2 = 2 fantasias do modelo M2
f3 = 4 m (sobram 4 m de cetim)
Z = Receita máxima = R$ 62.000,00
CAPÍTULO 6
MÉTODO SIMPLEX - CASOS ESPECIAIS
6.1 INTRODUÇÃO
O Modelo Simplex resolve qualquer problema de Programação Linear, desde que este apresente
as seguintes características:



A função objetivo deve ser maximizada
Todas as variáveis são positivas
As restrições são da forma ≤ com lados direitos positivos
Exemplo
Max Z  645x1  680x2
4 x1  2 x2  32
2 x1  4 x2  22
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2 x1  6 x2  30
37
Pesquisa Operacional
x1 , x2  0
Nesta seção vamos estudar como fazer os ajustes ao Modelo Simplex para que ele possa resolver
outras formas de problemas de Programação Linear, tais como:




A função objetivo deve ser minimizada
As variáveis podem ser positivas ou negativas
As restrições podem apresentar a forma ≥ ou =
Os lados direitos das restrições podem ser negativos
Exemplo
Min Z  645x1  680x2
2 x1  6 x2  2 x1  4 x2 ≥ 22
2 x1  6 x2  3
2
x1  0, x 2  livre
a) Minimização da função objetivo
Para resolver problemas de programação Linear que apresentem função objetiva de minimização,
pelo Algoritmo Simplex, devemos alterar o critério de entrada das variáveis na base. A variável que
entra na base passa a ser aquela que tem o maior valor positivo na linha Z-transformada.
Caso todas tenham coeficientes negativos ou nulos, a solução obtida é ótima.
Entretanto, para evitar essa mudança no critério podemos utilizar uma maneira mais simples de
transformar uma função objetivo de minimização em maximização. Basta multiplica-la por (-1)
obtendo uma função equivalente para maximização.
Exemplo:
Minimizar Z = 3x1 + 4x2 + x3
O modelo equivalente é: Maximizar (-Z) = -3x1 - 4x2 - x3
Resolvido o modelo equivalente, teremos a solução do modelo original com a troca do sinal de Z.
b) Variável Livre
Se alguma variável do modelo não possuir a condição de não negatividade, podemos
substituí-Ia pela diferença de duas outras variáveis não negativas, pois um número qualquer
sempre pode ser escrito como a diferença de dois números positivos.
Exemplo:
Max Z  x1  2 x2  x3
x1  x2  x3  10
Prof. Marcos Cassas
2 x  4 x  x  30
38
Pesquisa Operacional
x1  0, x 2  livre
Fazendo x2  x4
modelo equivalente:
 x5
com
x4  0 e x 5  0 e substituindo no modelo anterior, teremos o
Max Z  x1  2 x4  2 x5  x3
x1  x4  x5  x3  10
2 x1  4 x4  4 x5  x3  30
x1  0, x4  0, x5  0, x3  0
Com todas as variáveis positivas e assim, a solução deste modelo resolve o anterior.
c) Os lados direitos das restrições podem ser negativos
Neste caso basta multiplicar ambos os lados da inequação por (-1) e alterar a desigualdade.
Exemplo:
x1  x2  x3  10
É equivalente a
 x1  x2  x3  10
d) Solução Básica Inicial Artificial
Como foi visto nas seções anteriores, problemas de PL nos quais todas as restrições são ( ≤ ) com
lados direitos não negativos oferecem uma solução básica inicial viável conveniente na qual
todas as variáveis são de folga. Entretanto, isso não acontece com modelos que envolvem
restrições do tipo (=) e/ou ( ≥ ).
O procedimento para iniciar a resolução de problemas de PL “'mal comportados” com restrições (=)
e ( ≥ ) é usar variáveis artificiais que desempenham o papel de folgas na primeira iteração e então
descartá-las em iterações posteriores.
Quando queremos a eliminação das variáveis auxiliares, não necessariamente o que pretendemos
é a rnaximização/minimização do objetivo, mas sim a eliminação das variáveis auxiliares,
retornando assim ao problema original. Podemos escolher para entrar na base uma variável com
qualquer coeficiente na função objetivo, desde que a entrada dessa variável provoque a saída de
uma variável auxiliar. Para isto basta verificar se na divisão dos termos independentes pelos
coeficientes de uma variável não básica, o menor resultado positivo está na linha da variável
auxiliar básica. Se isso é verdade, a variável auxiliar deixa a base, independente do coeficiente
na função objetivo da variável.
Suponha, por exemplo, que estamos diante do quadro:
Prof. Marcos Cassas
39
Pesquisa Operacional
Base x1
x2
x3
x3
f1
a2
1
0
1
2
1
5
1
0
0
f1 a 2 a 3
0 0 12
1 0 -1
0 1 4
Z
4
5
0
0
0 0
b
20
10
30
100
Embora os coeficientes na função objetivo sejam todos positivos, a solução não é ótima, pois o
problema original está alterado pela presença da variável auxiliar a2. Qual variável deverá entrar na
base para a saída da variável a2?
Se entra X1:
20 ÷1 = 20 → sai a variável da primeira linha: X3
10 ÷ 0 → prejudicado
30 ÷ 1 = 30
Se entra X2:
20 ÷2=10
10÷1=10
30÷5=6 → sal a variável da terceira linha: a2
Portanto, a entrada de X2 resolve o problema. Caso nenhuma das variáveis não básicas possa
fazer o papel de expulsar a variável auxiliar da base, o problema não tem solução básica e,
portanto, não tem solução.
Quando o problema contiver mais de uma variável artificial, então deverá ser escolhida
indiferentemente qualquer uma delas para ser a primeira a ser eliminada. Entretanto, caso
nenhuma das variáveis, candidatas a entrar na base, provoque a expulsão da variável artificial
selecionada, deverá então ser escolhida outra para ser eliminada. Se nenhuma das variáveis
artificiais puderem ser eliminadas o problema não terá solução.
Exemplo:
Max Z  x1  2 x2  x3
x1  x2  x3  10
2 x1  4 x2  x3  30
3x1  x2  x3  40
x1  0, x2  0, x3  0
Acrescentando as variáveis de folga:
x1  x2  x3  f1  0 f 2  10
2 x1  4 x2  x3  0 f1  f 2  30
3x1 
Prof. Marcos Cassas
x2  x3  0 f1  0 f 2  40
40
Pesquisa Operacional
Não temos uma solução básica inicial devido à segunda e terceira restrições. Porém, se
acrescentarmos as variáveis artificiais a2 e a3 na segunda e terceira restrições, teremos uma
solução básica inicial:
x1  x2  x3  f1  0 f 2  0a2  0a3  10
2 x1  4 x2  x3  0 f1  f 2  a2  0a3  30
3x1  x2  x3  0 f1  0 f 2  0a2  a3  40
Isto é
x1  0 x2  0
x3  0
f2  0
f1  10 a2  30 e a3  40
O retorno ao modelo original deve ser feito com a eliminação das variáveis auxiliares e a
manutenção da solução básica. Isto pode ser feito através do Método do M-grande.
6.2 MÉTODO DO M-GRANDE (OU GRANDE NÚMERO OU BIG M)
O método do M-Grande começa analisando as restrições. Se elas não tiverem uma folga (ou uma
variável que possa desempenhar o papel de uma folga), uma variável artificial a é adicionada para
formar uma solução inicial semelhante à solução básica na qual todas as variáveis são de folga.
Dado M, um valor positivo suficientemente alto (em termos matemáticos, M→ ∞), ele será utilizado
como coeficiente na função objetivo das variáveis artificiais.
Escrevemos, então, a função objetiva, acrescentando as variáveis auxiliares com coeficientes (–)
M se o problema for de maximização, ou M se de minimização. À medida que a função é otimizada,
as variáveis artificiais deixam a base, devido ao grande valor de M.
Exemplo:
Min Z  10x1  40x 2
x1  x 2  300
x1  200
x 2  400
x1  0, x2  0
Prof. Marcos Cassas
41
Pesquisa Operacional
Modelo artificial
Max (Z)  10x1  40x 2  0f1  0f2  0f3  Ma1
x1  x 2  f1  0f2  0f3  a1  300
x1  0x 2  0f1  f2  0f3  0a1  200
0x1  x 2  0f1  0f2  f3  0a1  400
x1  0; x 2  0; f1  0; f2  0; f3  0; a1  0
Z  10x1  40x 2  0f1  0f2  0f3  Ma1  0
Função objetivo transformada:
a) Solução inicial
Variáveis
Básicas
Base
a1
f2
x1 x 2
1 1
1 0
f1 f2 f3
-1 0 0
0 1 0
a1
b
1 300
0 200
f3
0
1
0
0
1
0
10 40
0
0
0 M
Z
Variáveis básica
:
Variáveis nulas :
f3  400
x1  0
f 2  200
x2  0
a 1  300
f1  0
400
0
Valor de Z original
Z0
b) Cálculo da nova solução
Nesta primeira parte do exercício o que pretendemos não é maximizar o objetivo, mas sim eliminar
a variável auxiliar a1, retornando assim ao problema original. Podemos escolher para entrar na
base uma variável com qualquer coeficiente na função objetivo, desde que a entrada dessa variável
provoque a saída da variável auxiliar.
Para isto basta verificar se na divisão dos termos independentes pelos coeficientes de uma variável
não básica, o menor resultado positivo está na linha da variável auxiliar básica. Se isso é verdade, a
variável auxiliar deixa a base, independente do coeficiente na função objetivo da variável que entra.
No nosso exemplo, embora os coeficientes na função objetivo sejam todos positivos, a solução não
é ótima, pois o problema original está alterado pela presença da variável auxiliar a1. Qual variável
deverá entrar na base para a saída da variável a1?
Se entra x1:
300 ÷ 1 = 300
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42
Pesquisa Operacional
200 ÷ 1 = 200
400 ÷ O = prejudicado
Portanto, sai a variável da segunda linha: f2
Se entra x2:
300 ÷ 1 = 300
200 ÷ 0 = prejudicado
400 ÷ 1 = 400
Portanto, sai a variável da primeira linha, exatamente a1.
Desta forma, a entrada de x2 resolve o problema.
Nota: Caso nenhuma das variáveis não básicas possa fazer o papel de expulsar a variável
auxiliar da base, o problema não tem solução básica e, portanto não tem solução.
Variáveis
Básicas
Base
a1
f2
x1 x 2
1 1
1 0
f1 f2 f3
-1 0 0
0 1 0
a1
b
1 300
0 200
f3
0
1
0
0
1
0
10 40
0
0
0 M
Z
400
0
b.1) Transformar a matriz representada pelas variáveis X2, f2 e f3 em matriz identidade: L´3 = L3 L1. A coluna correspondente à variável artificial a1 pode ser eliminada da matriz, pois uma vez
eliminada ela não será mais candidata a retornar à base porque o seu coeficiente na função
objetivo transformada é um número infinitamente grande (M).
Variáveis
Básicas
Base
x2
f2
x1
1
1
x2
1
0
f3
1
0
Z
10 40
f1 f2 f3
b
- 1 0 0 300
0 1 0 200
1 0 1 100
0
0
0 0
b.2) Zerar o coeficiente, na função objetivo transformada (40), da variável (X2) que entrou na base:
L´4 = L4 – 40 x L1
Variáveis
Básicas
Base
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x2
f2
x1
1
1
x2
1
0
f3
1
0
f1 f2 f3
b
- 1 0 0 300
0 1 0 200
1 0 1 100
43
Pesquisa Operacional
c) Cálculo da nova solução
Como a variável artificial já foi eliminada, a continuação da solução segue os passos convencionais
do modelo Simplex.
Variáveis
Básicas
Base
x2
f2
x1
1
1
x2
1
0
f3
1
0
Z
- 30 0
f1 f2 f3
b
- 1 0 0 300
0 1 0 200
1 0 1 100
40
0 0 - 12.000
c.1) Variável que entra: X1, pois é a que tem maior coeficiente negativo (-30)
c.2) Variável que sai: 300  1 = 300
200  1 = 200  sai variável da segunda linha (f2)
400  -1 = prejudicada
c.3) Transformar a matriz representada pelas variáveis X2, X1 e f3 em matriz identidade:
L´1 = L1 – L2.
Variáveis
Básicas
Base
x2
x1
x1
0
1
x2
1
0
f3
1
0
Z
- 30 0
f1 f2 f3
b
- 1 - 1 0 100
0 1 0 200
1 0 1 100
40
0 0 - 12.000
c.4) L´3 = L3 + L2.
Variáveis
Básicas
Base
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x2
x1
x1 x 2
0 1
1 0
f3
0
Z
0
- 30 0
f1 f2 f3
b
- 1 - 1 0 100
0 1 0 200
1 1 1 300
40
0 0 - 12.000
44
Pesquisa Operacional
c.5) Zerar o coeficiente, na função objetivo transformada (-30), da variável (X1) que entrou na base:
L´4 = L4 + 30 x L2
Variáveis
Básicas
Base
x2
x1
x1 x 2
0 1
1 0
f1 f2
-1 -1
0 1
f3
0
0
1
Z
0
0
40
1
f3
0
0
b
100
200
1
300
30 0
- 6.000
Conclusão: como todos os coeficientes da função objetivo transformada são positivos, não há
mais como aumentar o Z além de 6.000, portanto chegamos à solução ótima.
Resposta:
X1 = 200
X2 = 100
(-Z) = - 6.000 → Z = 6.000
CAPÍTULO 7
DUALIDADE
7.1 INTRODUÇÃO
Em determinadas situações, a quantidade de cálculos necessária para resolver um problema de
Programação Linear pelo Método Simplex pode ser reduzida através de uma das descobertas mais
importantes feitas desde os primórdios do desenvolvimento da programação linear que foi o
conceito da dualidade e suas diversas ramificações importantes.
A descoberta da dualidade revelou que todo problema de programação linear pode ser expresso de
duas formas, a princípio distintas. A primeira, ou original, é chamada de PRIMAL, enquanto a
segunda é chamada de DUAL. Uma vez solucionado uma delas, a solução da outra é imediata.
Os estudos de dualidade possibilitam:
 Resoluções menos trabalhosas já que grande parte da dificuldade computacional do Método
Simplex depende do número de restrições e não do número de variáveis.
 A melhor compreensão estrutural dos problemas de programação linear.
 A interpretação econômica de alguns parâmetros, como o preço-sombra (shadow price) e o
custo de oportunidade.
 Problemas de Teoria dos Jogos de duas pessoas podem ser formulados por Programação
Linear. Neste caso, as formulações primal e dual correspondem às óticas do primeiro e
segundo jogador.
7.2 MODELAGEM DO PROBLEMA DUAL
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45
Pesquisa Operacional
As regras de transformação para a serem aplicadas ao formato PRIMAL, para obtenção do DUAL,
são:
a) A cada variável do PRIMAL corresponde uma restrição no DUAL.
b) A cada restrição do PRIMAL corresponde uma variável do DUAL.
c) Os coeficientes da função objetivo do PRIMAL correspondem aos termos independentes
das restrições do DUAL.
d) Os termos independentes das restrições do PRIMAL correspondem aos coeficientes da
função objetivo do DUAL.
e) Para a transformação deverão ainda ser observadas as seguintes condições:
f) Se o PRIMAL apresentar restrições com sinal de igualdade a variável correspondente no
DUAL não terá restrição de sinal, isto é, será LIVRE e vice-versa.
Para exemplificar, vamos considerar o problema da dieta ótima formulado por George B. Dantzig:
Em uma dieta cada 100 g de alimento A e B fornecem os seguintes elementos nutritivos:
Elemento nutritivo
Carboidratos
Vitaminas
Proteinas
A (100 g)
1 unidade
3 unidades
3 unidades
B (100 g)
3 unidades
4 unidades
1 unidade
As quantidades mínimas necessárias de elementos nutritivos por dia são: 8 unidades de
carboidratos, 19 unidades de vitaminas e 7 unidades de proteínas. O custo de 100 g de A é
$ 50 e de 100 g de B é $ 25.
Formular e resolver o problema de PL de modo a minimizar o custo da dieta formada peIos
alimentos A e B.
Min Z  50x1  25x 2
x1  3 x 2  8
(carboidratos)
3x1  4x 2  19
(vitaminas)
3 x1  x 2  7
(proteínas)
x1  0, x 2  0
A este modelo, chamado PRIMAL, podemos associar outro modelo que chamaremos DUAL. Como
pode ser observado trata-se de um problema de minimização com todas as restrições do tipo ≥ e
todas as variáveis não negativas. Portanto, ele está no formato padrão podendo-se então, a partir
dele, construir-se o modelo DUAL.
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46
Pesquisa Operacional
a) Variáveis de decisão do DUAL: a cada restrição do PRIMAL faremos corresponder uma
variável Yi;
b) Objetivo: a função objetivo será de maximização. Cada uma de suas parcelas será o produto da
variável Yi pelo termo da direita da restrição correspondente;
b) Restrições: cada variável de decisão PRIMAL gera uma restrição no DUAL. Cada termo da
esquerda será obtido pelo produto da variável dual Yi pelo coeficiente respectivo da variável de
decisão primal.
c) As variáveis Yi: são todas positivas
Assim,
PRIMAL
Min Z  50x1  25x 2
x1  3x 2  8
3x1  4x 2
3x1 
 19
x2  7
(carboidratos) → y1
(vitaminas)
→ y2
(proteínas)
→ y3
Variáveis Duais associadas a
cada Restrição
↑
W
DUAL
Max W  8y1  19y 2  7y 3
y1  3y 2  3y 3  50
3y1  4y 2  y 3  25
(Restrição associada à variável Primal X1)
(Restrição associada à variável Primal X2)
y1; y 2  0
Definição das variáveis PRIMAIS:
Definição das variáveis DUAIS:
X1 - quantidade de produto A
X2 - quantidade de produto B
Y1 - quantidade de carboidratos
Y2 - quantidade de vitaminas
Y3 - quantidade de proteínas
Outros exemplos:
Transformar os problemas no formato PRIMAL abaixo, em equivalentes no formato DUAL:
1º)
Min W  10y1  20y 2
Max Z = 2 X1 + 3X2 + X3
X1 + X2 ≤ 10
2X1 + 4X2 – X3 = 20
X1; X2 ; X3 ≥ 0
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DUAL
y1  2y 2  2
y1  4y 2  3
 y2  1
y1  0; y 2  R
( X1)
( X2)
( X3)
47
Pesquisa Operacional
2º)
Max Z = 2 X1 + X2
X1 + X2 = 5
X1 ≤ 3
X2 ≥ 3
X1; X2 ≥ 0
Colocando no formato padrão, teremos:
Min W  5y1  3y 2  3y 3
Max Z = 2 X1 + X2
X1 + X2 = 5
X1 + 0 X2 ≤ 3
0X1 - X2 ≤ -3
X1; X2 ≥ 0
3º) Min
DUAL
y1  y 2  0y 3  2
y1  0 y 2  y 3  1
y1  R; y 2 ; y 3  0
( X1)
( X2)
Z = 8 X1 + 3 X2
2X1 + 5X2 ≥ 25
X1 + 2X2 ≤ 15
X1≥ 0; X2 ε R
Colocando no formato padrão, teremos:
Max W  25y1  15y 2
Min Z = 8 X1 + 3 X2
2X1 + 5X2 ≥ 25
-X1 - 2X2 ≥ -15
X1≥ 0; X2 ε R
DUAL
2y1  y 2  8
5y1  2y 2  3
y1; y 2  0
( X1)
( X2)
7.3 RESOLUÇÃO DO DUAL PELO MÉTODO SIMPLEX
Dado um problema de programação linear, podemos escolher entre solucionar o modelo primal ou
o modelo dual correspondente. A escolha leva em consideração o esforço computacional, que
depende do número de restrições, variáveis artificiais etc.
Correspondência entre as Soluções PRIMAL e DUAL
a) A cada solução básica PRIMAL não ótima corresponde uma solução básica inviável DUAL.
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48
Pesquisa Operacional
b) A solução ótima PRIMAL corresponde à solução ótima DUAL com Z = W.
c) O coeficiente da variável de decisão na função objetivo PRIMAL é o valor da variável de folga
correspondente na solução DUAL.
d) O coeficiente da variável de folga da função objetivo PRIMAL é o valor da variável de decisão
correspondente na solução DUAL.
Vamos considerar o seguinte problema:
Max W  24y1  30y 2  8y 3
Min Z = 4 X1 + 3X2
8X1 + 3X2 ≥ 24
5X1 + 6X2 ≥ 30
X1 + 2X2 ≥ 8
X1; X2 ≥ 0
8y1  5y 2  y 3  4
3 y 1  6 y 2  2y 3  3
y1; y 2 ; y 3  0
DUAL
( X1)
( X2)
Vamos considerar o quadro final de resolução do DUAL pelo Simplex
Variáveis
Básicas
Base
y1
y2
W
y1 y 2
y3
g1
1
0
0
0
1
0
↑
↑
↑
↑
f1
f2
f3
X1
g2
- 4/33 2/11
26/66 - 1/11
10/11 18/11
Folgas do
PRIMAL
- 10/66
16/66
40/11
b
3/11
261/22
192/11
↑
X2
Z=W
Incógnitas
do PRIMAL
Resposta do PRIMAL
Z = 192/11
f1 = 0
f2 = 0
f3 = excesso de 10/11 sobre o limite de 8
X1 = 18/11
X2 = 40/11
7.4 INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA DO PROBLEMA DUAL
A interpretação econômica é possível quando a função objetivo expressa o lucro proveniente de
uma atividade produtiva e as restrições provêm de escassez dos recursos de produção.
Neste contexto,
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49
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VARIÁVEIS
DUAIS
PREÇOS ASSOCIADOS AOS DIVERSOS
RECURSOS DE PRODUÇÃO (shadow price)
De uma maneira geral podemos dar a interpretação econômica dos problemas PRIMAL e DUAL da
seguinte maneira:
PROBLEMA PRIMAL
Conhecido o valor unitário de cada produto e a quantidade máxima disponível de cada recurso,
determinar a quantidade de cada produto que torne máximo o valor da produção total.
PROBLEMA DUAL
Dadas as quantidades de cada recurso e um limite inferior para o valor unitário de cada produto,
determinar os valores unitários que devemos atribuir a cada recurso de modo a tornar mínimo o
valor total dos recursos investidos.
Para ilustrar, será considerado o seguinte exemplo.
Um agricultor deseja cultivar duas variedades de cereais, A e B. Os recursos produtivos são: terra
para o plantio, homens-hora de trabalho e horas de trabalho de um trator. A tabela a seguir
sumariza as necessidades de emprego desses recursos por variedade de cereal, assim como os
lucros oriundos da venda. O agricultor deseja planejar sua produção de forma a maximizar seu
lucro.
Variedade de
cereal
Área de plantio Homens-hora de
(ha)
trabalho por ha
Horas de
trabalho do
trator, por ha
Lucro líquido/ha
cultivado
A
1
10
1,4
600
B
1
20
0,9
800
100
1.600
Disponibilidade
126
Considerando X1 = área de terra cultivada pelo cereal A e X2 = área de terra cultivada pelo cereal B,
em ha, obtém-se o seguinte problema de PL:
Max Z = 600 X1 + 800 X2
sujeito a
X1 + X2 ≤ 100
10X1 + 20 X2 ≤ 1600
1,4X1 + 0,9 X2 ≤126
(área disponível ao plantio)
(homens-hora de trabalho)
(horas de uso do trator)
X1; X2 ≥ O
Admita agora que o agricultor se disponha a vender todos os seus recursos de produção e que se
deseja determinar o preço de venda (shadow price – “preço sombra”) de cada um desses
recursos. Para tanto, denominaremos:
y1 = preço por hectare de plantio;
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Pesquisa Operacional
y2 = preço por homem-hora de trabalho;
y3 = preço da hora de uso do trator.
Para o comprador, o objetivo passa a ser pagar uma quantia W mínima por todos esses recursos.
Em outras palavras a função objetivo DUAL representa a capacidade dos recursos gerarem lucro,
isto é,
Min W = 100y1 + 1.600y2 + 126y3
Existem, porém, restrições impostas pelo agricultor vendedor desses recursos. Seu ganho, advindo
da venda dos recursos, deve ser maior ou igual ao ganho que obteria caso ele mesmo fosse
desenvolver cada uma dessas atividades produtivas. Assim,
1y1 + 10y2 + 1,4y3 ≥ 600
Ocorrendo o mesmo com relação à produção de um hectare do cereal B:
1y1 + 20y2 + 0,9y3 ≥ 800
O problema DUAL correspondente será:
Min W = 100y1 + 1.600y2 + 126y3
Sujeito a
y1 + 10y2 + 1,4y3 ≥ 600
y1 + 20y2 + 0,9y3 ≥ 800
y1 , y2, y3 ≥ 0
Abaixo vamos analisar o quadro final de resolução pelo Simplex:
Variáveis
Básicas
Base
y1
y2
-W
y1 y 2
y3
g1
g2
1
0
0
0
1
0
1,9
-2
- 0,05 0,1
16
40
↑
↑
↑
↑
f1
f2
f3
X1
Folgas do
PRIMAL
1
- 0,1
60
b
400
20
- 72.000
Custo de oportunidade da área
Custo de oportunidade da MO
↑
X2
L = -W
Incógnitas
do PRIMAL
L = R$ 72.000,00 de lucro
f1 = 0
f2 = 0
f3 = sobram 16 h ociosas de trator
X1 = 40 ha de cereal A
X2 = 60 ha de cereal B
y1 = R$ 400,00 – custo de oportunidade de 1 ha de área
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y2 = R$ 20,00 – custo de oportunidade de 1 hh de MO
Interpretação econômica:
A variável DUAL y1 representa o preço que deveria ser vendido 1 ha de área para outra pessoa
produzir o cereal A, para se ter o mesmo lucro obtido pela produção própria.
Idem para y2 e y3 para 1 hh de MO e 1h de trator, respectivamente.
Já na função objetivo DUAL, cada parcela mede, então, o valor de oportunidade dos recursos
envolvidos na produção (estoque X custo de oportunidade de cada recurso). A função objetivo
DUAL mede, portanto, a capacidade do estoque dos recursos gerarem lucro.
O problema utilizado acima para fazer a interpretação econômica da dualidade é aparentemente o
mais clássico para esse fim, pois o problema primal e dual são relativamente fáceis de serem
explicados e entendidos. Outros problemas talvez sejam mais difíceis de se interpretar de maneira
tão clara, e eventualmente pode não haver uma interpretação possível para o problema dual.
Entretanto, esse tipo de análise, mesmo sendo difícil, pode promover uma melhor compreensão do
problema em questão.
CAPÍTULO 8
FERRAMENTA SOLVER (EXCEL)
Diversas ferramentas para solução de problemas de otimização, comerciais ou acadêmicos, sejam
eles lineares ou não, foram desenvolvidas. Dentre as ferramentas disponíveis, vamos apresentar a
ferramenta SOLVER, que acompanha o Microsoft Excel.
O Solver pode ser utilizado para resolver problemas com até 200 variáveis de decisão, 100
restrições implícitas e 400 restrições simples (limites inferior e superior e/ou restrições de inteiros
nas variáveis de decisão).
Apesar de a ferramenta SOLVER poder ser utilizada também para problemas de programação não
linear, será apresentado apenas a sua utilização para a solução de problemas de Programação
Linear. A utilização para outros tipos de problemas segue o mesmo padrão, sendo por isso intuitivo
ao usuário o seu aprendizado.
8.1 INSTALANDO O SOLVER
Caso a opção Solver não esteja presente no menu Dados do Excel 2010 ou no menu Ferramentas
nas versões anteriores é porque a ferramenta Solver não foi instalada. Para instalá-Ia, proceda da
seguinte maneira:
a) Versão EXCEL 2010
O Solver Add-in é um programa de suplemento (suplemento: um programa suplementar que
adiciona comandos ou recursos personalizados ao Microsoft Office.) do Microsoft Office Excel,
disponível quando você instala o Microsoft Office ou o Excel. Entretanto, para usá-lo no Excel, é
necessário carregá-lo primeiro.
1. Clique no Botão Microsoft Office
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e, em seguida, clique em Opções do Excel.
52
Pesquisa Operacional
2. Clique em Suplementos e, na caixa Gerenciar, selecione Suplementos do Excel.
3. Clique em Ir.
4. Na caixa Suplementos disponíveis, marque a caixa de seleção Solver Add-in e clique em OK.
Dica
se o Solver Add-in não estiver listado na caixa Suplementos disponíveis, clique em
Procurar para localizá-lo.
5. Se você for avisado de que o Solver Add-in não está atualmente instalado no computador, clique
em Sim para instalá-lo.
6. Depois de carregar o Solver Add-in, o comando Solver torna-se disponível no grupo Análise, na
guia Dados.
b) Versões anteriores ao EXCEL 2010
1. No menu Ferramentas, clique em Suplementos. Se o Solver não estiver listado na caixa de
diálogo Suplementos, clique em Procurar e localize a unidade de disco, a pasta e o nome de
arquivo para o suplemento Solver.xla (geralmente localizado na pasta Biblioteca\Solver) ou execute
o programa de instalação se não conseguir localizar o arquivo .
2. Na caixa de diálogo Suplementos, marque a caixa de seleção Solver.
3. Os suplementos que você selecionar na caixa de diálogo Suplementos permanecerão ativos até
que você os remova.
8.2 Definindo e Resolvendo um Problema
Inicialmente, devemos definir o problema na planilha do Excel. Vamos resolver como exemplo o
problema abaixo.
Max R  6.000 x1  10.000 x2
4 x1  2 x2  32
2 x1  4 x2  22
2 x1  6 x2  30
x1 , x2  0
Para definir o problema na planilha, devemos definir células para representar as variáveis de
decisão e uma célula para representar o valor da função objetivo. Além disso, as restrições também
devem ser definidas.
1º Passo: Abra um novo arquivo no Microsoft Excel e siga as seguintes instruções:




Na célula AI digite "x1 "
Na célula BI digite "0"
Na célula A2 digite "x2"
Na célula B2 digite "0"
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53
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As células A2 e B2 guardarão os valores das variáveis de decisão X1 e X2 respectivamente.
Vamos agora definir a função objetivo. As equações do Excel são sempre precedidas do sinal de
igualdade (=), que indica que nesta célula será efetuada uma conta. Preencha as células da
planilha conforme indicado a seguir:


Na célula A4 digite: Função objetivo
Na célula B4 digite: = 6000*B1 + 10000*B2
Na célula B4 será calculado automaticamente o valor da função objetivo, a partir da função
fornecida. Qualquer alteração nos valores das células B1 ou B2 fará com que o valor da função
objetivo seja recalculado.
Serão definidas agora as restrições do problema: As células de restrição devem ser preenchidas da
seguinte forma:
















Na célula A6 digite "Restrições";
Na célula B6 digite "= 4*B1 +2*B2"
Na célula C6 digite "<=";
Na célula D6 digite "32";
Na célula B7 digite "= 2*B1+4*B2";
Na célula C7 digite "<=";
Na célula D7 digite "22";
Na célula B8 digite "=2*B1+6*B2 ";
Na célula C8 digite "<=";
Na célula D8 digite "30";
Na célula B9 digite "=B1";
Na célula C9 digite ">=";
Na célula D9 digite "0".
Na célula B10 digite "=B2";
Na célula C10 digite ">=";
Na célula D10 digite "0".
Depois de preenchidas as células, a planilha deve estar igual à apresentada na figura abaixo.
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54
Pesquisa Operacional
2º Passo: Para otimizar a função objetivo, vamos utilizar a ferramenta Solver.
Mantendo a planilha de EXCEL aberta, clique no menu Dados, Análise (ou Ferramentas) e em
seguida clique em SOLVER. A janela apresentada na figura abaixo se abrirá.
Na caixa "Definir célula de destino", selecione a célula da função objetivo (B4) clicando sobre ela,
ou simplesmente digite B4 .
 Logo abaixo, é requerido que se escolha entre três opções: Máx, para maximizar a função
objetivo, Mín, para minimizar a função objetivo, e Valor, que faz com que a função objetivo
tenha determinado valor. No nosso exemplo, como queremos maximizar a função objetivo,
escolheremos a opção Máx .
 Na caixa "Células variáveis", devem ser inseridas as células ajustáveis, que contêm os
valores das variáveis de decisão. Deve-se inserir um nome ou uma referência para cada
célula ajustável, separando as células não-adjacentes por ponto-e-vírgula. As células
ajustáveis devem estar relacionadas direta ou indiretamente à célula que contém o valor da
função objetivo. Podem ser especificadas até 200 células ajustáveis. No nosso exemplo,
selecione a célula B1, clique em ; e selecione a célula B2. Para que o Solver proponha
automaticamente as células ajustáveis com base na célula de destino, clique em “Estimar”.
 Na caixa Submeter às restrições, devem ser inseridas as restrições do problema. Para
inserir uma restrição, siga os seguintes passos:
 Clique no botão "Adicionar". A janela apresentada na figura abaixo se abrirá;

 Na caixa "Referência de célula", selecione a célula contendo a primeira restrição (B6);
 Na caixa de seleção, escolha a opção que corresponde ao tipo de restrição, que pode
ser menor ou igual (<=), maior ou igual (>=), igual (=), valor inteiro (núm) ou valor
binário (bin). No nosso caso a opção a ser escolhida é <=;
 Na caixa "Restrição", defina a célula que contém o valor limite da restrição, ou seja, D6;
 Clique em OK para adicionar a restrição;
 Repita estes passos até que todas as restrições estejam adicionadas.

Após serem adicionadas as restrições, a janela deve estar igual à janela da figura abaixo.
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55
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
Para resolver o problema, clique no botão "Resolver". Se tudo estiver correto, a janela da
figura abaixo será apresentada e na planilha EXCEL será apresentada a solução do
problema. Nesta janela, podemos escolher entre manter a solução encontrada pelo Solver
ou restaurar os valores originais. Também podemos selecionar relatórios, que contém
informações sobre o processo de solução do problema.
O processo de solução pode ser interrompido pressionando-se ESC. O Microsoft Excel recalculará
a planilha com os últimos valores encontrados para as células ajustáveis.
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56
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CAPÍTULO 9
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9.1 CAP. 3. MODELAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR
Construa modelos de PL para as situações descritas nos problemas abaixo. Descreva claramente
quais são as variáveis de decisão, as restrições e a função objetivo.
1. Um vendedor de frutas pode transportar em seu caminhão até 800 caixas de frutas para sua
região de vendas. Ele transporta 200 caixas de laranjas a R$ 20,00 de lucro por caixa, pelo menos
100 caixas de pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$
30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?
Construa o modelo do problema.
2. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 20
minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores,
enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção
de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no
mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música.
Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de
telespectadores? Construa o modelo do sistema.
3. Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima
de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem
disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas
e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de
proteínas.
Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de
vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada
unidade de ovo custa R$ 2,5. Construa o modelo do sistema descrito.
4. Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com
100 m3 (loja 1), 160 m3 (loja 2), 80 m3 (loja 3) e 200 m3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser
carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujos custos de transporte até as lojas estão no quadro abaixo
(em R$/m³):
L1
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L2
L3
L4
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P1
P2
P3
20
12
15
30
36
22
24
30
32
18
24
31
Os portos têm areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte
de mínimo custo. Construa o modelo linear do problema.
5. Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. A disponibilidade de couro permite fabricar
800 cintos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para
M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para M2. Qual o
programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do
sistema descrito.
6. Uma empresa quer determinar o Programa de Produção Mensal de máximo lucro para seus dois
produtos A e B. Sabe-se que
Produto A:
Composto de 5 Kg da matéria prima M1, 4 Kg da matéria prima M2 e 8 Kg da matéria prima M3.
Para sua fabricação é necessário a aplicação de 2,5 Homens-Hora/unidade
O lucro na sua venda é de R$ 2.000,00
Produto B:
Composto de 7 Kg da matéria prima M1, 11 Kg da matéria prima M2 e 9 Kg da matéria prima M3.
Para sua fabricação é necessário aplicação de 2,0 Homens-Hora/unidade
O lucro na sua venda é de R$ 2.500,00
Sabendo-se que as quantidades de matérias primas disponíveis são: M1 – 1.000 kg; M2 – 2.500 Kg
e M3 820 Kg e para essa produção há o recurso de mão de obra de 2 operários trabalhando 200
horas por mês. Construa o modelo do sistema.
7. Uma pequena fábrica produz dois tipos de peças para automóveis. A fábrica compra unidades
fundidas que são torneadas, furadas e retificadas. Os dados relativos à produção estão na tabela
abaixo:
Peça A
Peça B
Capacidade de torneamento
25 unid/hora
40 unid/hora
Capacidade de furação
28 unid/hora
35 unid/hora
Capacidade de retificação
35 unid/hora
25 unid/hora
As unidades fundidas para o tipo A custam R$ 20,00 cada e para o tipo B custam R$ 30,00 cada. O
preço de venda é R$ 50,00 e R$ 60,00, respectivamente. As três máquinas têm custos
operacionais de R$ 200,00/hora, R$ 140,00/hora e R$170,50/hora. Supondo que qualquer
combinação dos tipos A e B possa ser posta à venda, qual o plano de produção que maximiza o
lucro? Construa o modelo do sistema.
8. A Companhia PEER produz quatro produtos numerados de 1 a 4. As exigências de matériaprima, espaço de estocagem, taxas de produção e lucros são dados no quadro seguinte. A quantia
total de matéria-prima disponível por dia para todos os quatro produtos é de 180 Kg. O espaço total
disponível para estocagem é de 230 m² e empregam-se 7 horas e meia por dia para produção.
1
Matéria-prima, Kg/peça
Espaço, m² /peça
Taxa de produção, peças/hora
Lucro, R$/peça
8
2
15
5,00
2
2
2,5
30
6,50
3
4
1,5
8
10
5,00
4
1,5
5
5,50
Quantas unidades de cada produto devem ser produzidas para se maximizar o lucro total?
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58
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Construa o modelo do sistema.
9. Um distribuidor de produtos para festas infantis compra dos produtores chapéus de papel,
línguas-de-sogra e bexigas, e prepara caixas com esses três produtos na forma de kits para festas.
Observações anteriores mostram que:
a) A quantidade de chapéus e línguas-de-sogra deve ser pelo menos 50% do total.
b) O pacote deve ter pelo menos 20 bexigas.
c) Cada item deve concorrer com pelo menos 25% do total da caixa.
O custo dos componentes por unidade é :
Chapéu de papel: R$ 0,60
Língua-de-sogra: R$ 0,40
Bexigas: R$ 0,70
Qual a composição da caixa que tem o menor custo? Construa o modelo do sistema.
10. Uma fábrica de brinquedos pretende produzir dois tipos de aeromodelos. O 1o tipo tem corpo de
madeira, uma hélice e um conjunto de rodas. O 2o tipo tem corpo de aço, 2 hélices e dois conjuntos
de rodas. Sabe-se que a fábrica pode produzir 30 hélices, 20 conjuntos de rodas, 10 corpos de
madeira e 6 corpos de aço por hora. Determinar qual a quantidade de cada dos aeromodelos
devem ser produzidos por hora visando maximizar o lucro, sabendo-se que o aeromodelo de
madeira fornece lucro unitário de R$2,00 e o aço, de R$5,00.
11. Uma empresa pode fabricar 3 produtos, A, B e C na mesma máquina. Sabe-se que a máquina
trabalha no máximo 45 h/semana e que a produção para cada artigo é respectivamente: 50 peças
A/hora; 25 peças B/hora; 75 peças C/hora. Uma análise mercadológica revelou que no máximo
serão absorvidas: 1.000 peças A por semana; 500 peças B por semana; 1.500 peças C por
semana. Sabendo-se que os lucros unitários são respectivamente:R$4,00; R$12,00 e R$3,00 para
os produtos A, B e C, determinar o plano semanal de produção que garanta máximo lucro.
12. Numa fundição que está equipada para produzir no máximo 1.100 kg de ferro/hora, devem ser
feitos dois produtos: A e B. A peça A pesa 10 kg sem rebarbas e sem quebra de canais e o peso de
areia por peça é de 6 kg para areia de moldagem e 4 kg para areia de macho. A peça B pesa 11 kg
e são utilizadas 10 kg de areia de moldagem 1 kg de areia de macho. A produção de areia de
moldagem é de 800 kg/h e a areia de macho 180 kg/h. Sabendo-se que a demanda máxima de
peças/hora é 40 para peças A e 70 para peças B e que o lucro de cada peça A é R$2,40 e o lucro
de cada peça B é R$4,00, determinar a quantidade de peças de cada tipo a serem produzidas por
hora para que se tenha lucro máximo.
13. Um jovem possui dois grupos de amigos: G1 e G2. Sabe, por experiência, que:
a) O G1 gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três
horas custará R$240,00;
b) O G2, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que, uma saída de três
horas custará R$160,00;
c) Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão;
d) Seus afazeres escolares lhe darão liberdade de dispor de, no máximo, 18 horas e 40.000
calorias de sua energia para atividades sociais;
e) Cada saída com o G1 consome 5.000 calorias, mas com o G2, mais alegre e extrovertido, gasta
o dobro;
f) Ele gosta dos dois grupos com a mesma intensidade.
Como deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas ?
14. Uma companhia deseja produzir locomotivas, vagões e unidades de controle. A fábrica possui
três seções principais. Cada vagão produzido consome por mês 3 unidades da capacidade da
seção A, 1 da seção B e 3 da seção C; cada locomotiva produzida consome 2 unidades da
capacidade da seção A, 4 da seção B e 3 da seção C; e cada unidade de controle consome 1
unidade da capacidade da seção C. Sabendo-se que as capacidades mensais das seções A, B e C
são respectivamente 10, 11 e 13, e que os lucros auferidos por cada unidade de locomotivas,
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59
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vagões e unidades de controle produzidas são respectivamente 4, 5 e 1 unidades monetárias,
determine um programa ótimo de produção.
15. Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A
produção esperada é de 1.800 kg por unidade de área plantada de trigo, 2.100 kg por unidade de
área plantada de arroz e 2.900 kg por unidade de área plantada de milho. Para manter o consumo
interno e sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 12 unidades de área de trigo, 16 unidades de
área de arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem condições de armazenar no máximo
700.000 kg. Sabendo que o trigo dá um lucro de R$1,20 por kg, o arroz R$0,60 por kg e o milho
R$0,28 por kg, quantas unidades de área de cada produto ele deve plantar para que o seu lucro
seja o maior possível?
16. Uma refinaria deseja produzir com mínimo custo a gasolina “Premium” que contenha, no
mínimo, as seguintes porcentagens dos componentes A, B e C, a saber: 10% de A, 20% de B e
12% de C.
Ela dispõe de três diferentes tipos de óleo cru provenientes:
(a) do Texas, custando R$2/barril e tendo 15% de A, 10% de B e 9% de C;
(b) da Pensilvânia, custando R$2,5 o barril e tendo 18% de A, 25% de B e 3% de C;
(c) da Califórnia, custando R$1,30/barril e tendo 10% de A, 15% de B e 30% de C
17. É preciso programar a produção agrícola alocando as atividades para três tipos de regiões. As
características por região seguem na tabela abaixo.
REGIÕES
A
B
C
ÁREA TOTAL EM
ALQUEIRES
400
600
300
DISPONIBILIDADE DE
ÁGUA NA REGIÃO (m³)
600
800
375
Por sua vez, os produtos podem ser trigo, algodão e soja. As características dos produtos são:
PRODUTO
Trigo
Algodão
Soja
ÁREA MÁXIMA
POR PRODUTO
(ALQUEIRES)
600
500
325
CONSUMO DE ÁGUA
POR ÁREA DE
TERRENO (m³/alq.)
3
2
1
LUCRO POR
UNIDADE DE
ÁREA (R$/alq.)
400
300
100
Formule o problema para a alocação das atividades. Variáveis de decisão sugeridas para a
formulação: Xij = área de plantio da região i destinada ao produto j.
18. Deseja-se determinar as misturas de 4 derivados do petróleo, que serão os constituintes de três
tipos de gasolina (extra, super e comum). O objetivo é maximizar o lucro.
Constituintes
1
2
3
4
Máximo disponível
(barris/dia)
3.000
2.000
4.000
1.000
Custo
(R$/barril)
3
6
4
5
A fim de manter a qualidade de cada tipo de gasolina, é preciso manter as porcentagens dos
diversos constituintes dentro dos limites especificados. Os preços de venda de cada tipo de
gasolina por barril também estão indicados a seguir:
Tipo de
Gasolina
Especificações
Preço de venda
(R$/barril)
não mais que 30% de 1
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60
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EXTRA
SUPER
COMUM
não mais que 50% de 3
não menos que 40% de 2
não mais que 50% de 1
não menos que 10% de 2
não mais que 70% de 1
5,50
4,50
3,50
19. Considere o problema de encontrar a produção de duas ligas metálicas A e B, que são feitas de
quatro metais distintos, I, II, III, IV, de acordo com a especificação apresentada no Quadro a seguir:
Ligas
A
B
Especificação
no máximo 80% de M1
no máximo 30% de M2
no mínimo 50% de M4
Entre 40% e 60% de M2
no mínimo 30% de M3
no máximo 70% de M4
Os quatro metais são extraídos de três minérios diferentes,
cujas percentagens em peso
destes metais, quantidades máximas dos minérios e custos por toneladas são fornecidas na
Tabela abaixo:
Minério
1
2
3
Quantidade máxima (ton.)
disponível
1.000
2.000
3.000
M1
20
10
5
Componentes (%)
M2 M3 M4 Outros
10
30
30
10
20
30
30
10
5
70
20
0
Custo por ton.
(R$)
30,00
40,00
50,00
Considere que os preços de venda das ligas A e B sejam R$ 200,00 e R$ 300,00 por tonelada,
respectivamente.
20. Uma indústria produz sucos de laranja e de tomate. O processo consiste na fabricação da lata,
extração do suco e enlatamento. O mercado fornecedor pode fornecer tomate para 20.000 latas por
semana, e laranjas para 30.000 latas por semana. Cada lata de suco de tomate dá um lucro de
R$ 0,20 e de laranja de R$ 0,30. As latas são idênticas, diferindo apenas no rótulo. As seções de
fabricação de latas têm capacidade para produzirem 40.000 latas por semana. A seção de extração
trabalha 40 horas por semana e pode produzir 1.000 latas de suco de laranja por hora ou 2.000
latas de suco de tomate por hora (ou qualquer outra combinação entre estas produções, ou seja, se
produzir 1.000 latas de suco de laranja por hora, esgota toda sua capacidade e não pode produzir
sucos de tomate; se dedicar metade de sua capacidade à produção de cada tipo de suco, produzirá
500 latas de suco de laranja por hora e ainda 1.000 latas de suco de tomate por hora).
A seção de enlatamento pode enlatar até 35.000 latas por semana, de um tipo ou de outro, pois as
latas são idênticas.
Determinar a programação semanal de produção que leva a máximo lucro.
21. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades
produtivas:
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61
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A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a
uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$ 300,00 por alqueire
por ano.
P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens
requer adubação (100 kg/Alq) e irrigação (100.000 I de água/Alq) por ano. O lucro estimado nessa
atividade é de R$ 400,00 por alqueire por ano.
S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por
alqueire de adubos e 200.000 I de água/Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa
atividade é de R$ 500,00/alqueire no ano.
Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 I de água, 14.000 kg de adubo e 100 alqueires de
terra.
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o
modelo de decisão.
22. Uma empresa vende dois produtos: P1 e P2. O seu departamento de marketing estuda a forma
de investir o mínimo possível em propaganda e conseguir um aumento de pelo menos 30% no total
das vendas. A empresa dispõe de R$ 10.000,00 para este investimento.
As alternativas são:
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa
requer um investimento mínimo de R$ 3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas
vendas, para cada R$ 1.000,00 investidos.
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $ 1.000,00 investidos em P1 retomam um
aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%.
Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.
23. Um fabricante de café, leite e chocolate em pó está lançando uma nova linha de capuccino, em
latas de 300g, resultantes da mistura de 250g de leite, 40g de café e 10g de chocolate. Cada
tonelada de leite, café e chocolate produzidos requer recursos segundo a tabela abaixo.
Insumos
Mão de Obra hh
LEITE
R$ 3.000,00
15
CAFÉ
R$ 5.000,00
10
CHOCOLATE
R$ 7.500,00
12
DISPONIBILIDADE
R$ 5.000.000,00
10.000
A empresa pergunta: quanto deve ser produzido de leite, café e chocolate de forma a maximizar a
quantidade de capuccino vendida?
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9.2 cap. 4. Solução gráfica para problemas com duas variáveis
1. Resolver graficamente os modelos de programação linear:
Resp. X1 = 6; X2 = 0; L = 12
Resp. X1 = 0,6; X2 = 0,8; R = 0,58
Resp. X1 = 6/5; X2 = 13/5; L = 51/5
2. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer
somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade couro
para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e
que o lucro unitário por sapato é de R$ 5,00 e o do cinto é de R$ 2,00, pede-se: o modelo do
sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
Resp. X1 = 0 sapatos; X2 = 6 cintos; Lucro = R$ 12,00.
3. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de R$ 100,00 e o lucro
unitário de P2 é de R$180,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120
horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes
produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.
Qual a produção dos modelos para maximizar o lucro da empresa?.
Resp. X1 = 15 P1; X2 = 30 P2; Lucro = R$ 6.900,00
4. Um vendedor de frutas pode transportar em seu caminhão até 800 caixas de frutas para sua
região de vendas. Ele transporta 200 caixas de laranjas a R$ 20,00 de lucro por caixa, pelo menos
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100 caixas de pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$
30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?
Construa o modelo do problema.
Resp. X2 = 400 cx pêssegos; X3 = 200 cx de tangerinas; Lucro = R$ 14.000,00.
5. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 20
minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores,
enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção
de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no
mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música.
Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de
telespectadores? Resp. X1 = 3 inserções de A; X2 = 2 inserções de B; T = 110.000 telespectadores.
6. Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer
o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo
M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar
800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja
disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1
e R$ 3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da
empresa?
Resp. X1 = 400 M1; X2 = 400 M2; Lucro = R$ 2.800,00.
7. A empresa ABC quer estabelecer um plano de produção para seus dois produtos P1 e P2. As
características básicas de cada produto são apresentadas no quadro abaixo:
Sabe-se que a empresa tem 600 unidades de matéria prima disponível e 600 HH de mão de obra.
A empresa deseja determinar a quantidade a ser produzida de cada produto para obter o mínimo
custo e ter um lucro de pelo menos R$ 1.000,00.
Resp. X1 = 20 P1; X2 = 20 P2; Lucro = R$ 13.200,00
8. Um fazendeiro possui 100 acres (1 acre = 4.047 m²) de terra para plantio. A terra só é apropriada
para cereais e beterraba para fabricação de açúcar. O problema é determinar qual a melhor política
para plantio, isto é, o que e o quanto plantar, com os recursos disponíveis.
Resp. X1= 60 acres de cereal; X2 = 25 acres de beterraba; L = R$ 5.400,00.
9. Uma marcenaria produz mesas e cadeiras de um único modelo, utilizando dois insumos: trabalho
e madeira. Para se produzir uma mesa são necessários 10 homens-hora e para produzir uma
cadeira, 2 homens-hora. Cada mesa requer 10 unidades de madeira e cada cadeira 5 unidades.
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64
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A marcenaria dispõe de 200 homens-hora e 260 unidades de madeira. Se cada mesa é vendida a
R$ 700 e cada cadeira por R$100, qual a produção que maximiza a receita de vendas naquele
período?
Resp. X1=20 mesas; X2 = 0 cadeiras; R = R$ 14.000,00
10. (PETROBRAS/2008) Resolver graficamente:
MAX Z  3x1  x2
6x1  3x2  12
4x1  8x2  16
6x1  5x2  30
6x1  7 x2  36
x1 , x2  0
Resp. X1=5; X2 = 0; Z = 15
11. Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem
um contrato para produzir pelo menos 16 toneladas de papel fino, pelo menos 6 toneladas de papel
médio e no máximo 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de
espessura. O custo de produção na primeira fábrica é de R$ 2.000,00 e o da segunda fábrica é de
R$ 1.000,00, por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel
médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de
papel fino, 1 tonelada de papel
médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os
pedidos mais economicamente?
Resp. Fábrica 1: 2,8 dias; Fábrica 2: 3,2 dias; Custo: R$ 8.800,00
12. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo “A" tem 2 m³ de espaço
refrigerado e 3 m³ de espaço não refrigerado; o tipo "B" tem 2 m³ de espaço refrigerado e 1 m³ de
não refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitará 16 m³ de área refrigerada e
12 m³ de área não refrigerada. A companhia calcula em 1. 100 I o combustível para uma viagem
com o caminhão "A" e 750 I para o caminhão "B". Quantos caminhões de cada tipo deverão ser
usados no transporte do produto, com o menor consumo de combustível?
Resp. Caminhão tipo A: 2 viagens; Caminhão tipo B: 6 viagens; Gasto combustível: 6.700 l.
13. Uma companhia fabrica dois produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos produtivos:
matéria-prima, forja e polimento. Cada unidade de P1 exige 4 horas de forjaria, 2 h de polimento e
utiliza 100 u de matéria-prima. Cada unidade de P2 requer 2 horas de forjaria, 3 h de polimento e
200 u. de matéria-prima. O preço de venda de P1 é R$ 1.900,00 e de P2, R$ 2.100,00. Toda
produção tem mercado garantido. As disponibilidades são de: 20 h de forja; 10 h de polimento e
500 unidades de matéria-prima, por dia.
a) Determinar as quantidades a produzir de P1 e P2 que otimizem a receita diária dos produtos.
b) Qual o plano de produção que maximiza o lucro diário supondo que os custos dos insumos
sejam:
matéria-prima R$ 1,00 por unidade
forjaria
R$ 150,00 por hora
polimento
R$ 100,00 por hora
Resp. a) P1 = 5 unidades; P2 = 0 unidades; Receita = R$ 9.500,00
b) P1 = 5 unidades; P2 = 0 unidades; Lucro = R$ 5.000,00
14. Uma indústria produz sucos de laranja e de tomate. O processo consiste na fabricação da lata,
extração do suco e enlatamento. O mercado fornecedor pode fornecer tomate para 20.000 latas por
semana, e laranjas para 30.000 latas por semana. Cada lata de suco de tomate dá um lucro de
R$ 0,20 e de laranja de R$ 0,30. As latas são idênticas, diferindo apenas no rótulo. As seções de
fabricação de latas têm capacidade para produzirem 40.000 latas por semana. A seção de extração
trabalha 40 horas por semana e pode produzir 1.000 latas de suco de laranja por hora ou 2.000
Prof. Marcos Cassas
65
Pesquisa Operacional
latas de suco de tomate por hora (ou qualquer outra combinação entre estas produções, ou seja, se
produzir 1.000 latas de suco de laranja por hora, esgota toda sua capacidade e não pode produzir
sucos de tomate; se dedicar metade de sua capacidade à produção de cada tipo de suco, produzirá
500 latas de suco de laranja por hora e ainda 1.000 latas de suco de tomate por hora).
A seção de enlatamento pode enlatar até 35.000 latas por semana, de um tipo ou de outro, pois as
latas são idênticas. Determinar a programação semanal de produção que leva a máximo lucro.
Resp. 5.000 latas de tomate; 30.000 latas de laranja; 15.000 latas de polpa de tomate sobraram
no fornecedor; R$ 10.000,00 de lucro.
9.3 Cap. 5. Método Simplex – Modelo Padrão
9.3.1 Introdução
Resolva os seguintes sistemas de equações lineares aplicando o método Gauss-Jordan:
1.
 x1  4 x2  34
Resp. x1=10; x2=11
5x1  3x2  17
2.
3x1  6 x2  24
Resp. x1=8; x2=0
2 x1  4 x2  16
3.
9 x1  18 x2  216
Resp. x1=16; x2=4
5 x1  4 x2  96
4.
5 x1  4 x2  43
Resp. x1=3; x2=7
x1  10 x2  73
5.
6.
x1  2 x2  x 3  1
2x1  x2  x3  0
x1  x2  x3  1
5 x1  2 x2  5 x3  6
4 x1  3 x2  10 x3  5
Prof. Marcos Cassas
7 x1  4 x2  3 x3  22
Resp. x1=1/3; x2=0; x3=2/3
Resp. x1=1; x2=3; x3=1
66
Pesquisa Operacional
9.3.2 Desenvolvimento do Algoritmo SIMPLEX
1. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer
somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade couro
para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e
que o lucro unitário por sapato é de R$ 5,00 e o do cinto é de R$ 2,00, qual a quantidade de
sapatos e cintos para maximizar seu lucro por hora?.
Resp. 3 sapatos, 0 cintos e Lucro = R$ 15,00.
2. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de R$ 100,00 e o lucro
unitário de P2 é de R$180,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120
horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes
produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.
Qual a quantidade de produtos P1 e P2 para maximizar o lucro da empresa?.
Resp. 15 P1, 30 P2 e Lucro = R$ 6.900,00.
3. Uma empresa produz dois tipos de produtos: A e B. Cada unidade de produto A utiliza, para sua
produção, 3 Kg de matéria prima, 4 homens-hora de mão de obra e ocupa 2 m² de área da fábrica
enquanto o produto B, 2 Kg, 6 homens-hora e 8 m². Sabendo-se que o produto dá um lucro de R$
500,00/unid e o produto B R$ 800,00, calcular as quantidades de produção para cada produto de
forma a obter-se o máximo lucro.
Resp. Prod. A = 64 unidades; B = 24; sobram 200 hh e Lucro = R$ 51.200,00
4. Um fabricante de artigos eletrônicos tem distribuidores que irão receber remessas de rádios e
calculadoras eletrônicas, para formar o estoque de Natal. Os rádios dão ao fabricante R$10,00 de
lucro por unidade e as calculadoras, R$15,00. Cada rádio requer 4 diodos e 4 resistores, enquanto
cada calculadora requer 10 diodos e 2 resistores. Cada rádio exige 12,0 minutos e as calculadoras,
9,6 minutos de tempo na máquina eletrônica de teste da empresa e o gerente de produção calcula
que 160 horas de tempo de teste estão disponíveis. A firma tem 8.000 diodos e 3.000 resistores em
estoque. Que produto ou combinação de produtos deve ser escolhido para obter o maior lucro?
Resp. 235 rádios, 706 calculadoras, sobram 647 diodos, Lucro R$ 12.940,00.
5. Uma empresa produzindo secadores de roupa tipo padrão e de luxo tem as exigências de tempo
(em minutos) mostradas na tabela abaixo em departamentos onde ambos os modelos podem ser
processados.
Estampagem da base metálica
Instalação do motor elétrico
Fiação
Prof. Marcos Cassas
Padrão
De luxo
3
10
10
6
10
15
67
Pesquisa Operacional
Os modelos tipo padrão contribuem para os lucros com R$30,00 cada e os de luxo, com R$ 50,00
cada. A linha de produção de motores tem 60 minutos completos disponíveis a cada hora, mas a
máquina impressora está disponível somente 30 minutos por hora. Há duas linhas para a fiação, e
assim o tempo disponível é de 120 minutos por hora. Qual a combinação ótima de produção em
unidades por hora?
Resp.: Tipo padrão = 2; de luxo = 4; sobram 40 min. por hora de tempo de fiação. Lucro = R$
260,00/h
6. Uma fábrica de móveis quer produzir dois tipos de móveis: A e B. Eles são compostos de três
tipos de madeira: mogno, imbuia e carvalho. As quantidades em m² a serem utilizadas em cada tipo
de madeira estão resumidas na tabela abaixo.
Mogno
Imbuia
Carvalho
1
5
4
5
3
9
A
B
O modelo tipo A contribui para os lucros com R$15,00 cada e o B, com R$ 70,00 cada. A empresa
tem em seus estoques 50 m² de mogno, 120 m² de imbuia e 102 m² de carvalho. Qual a combinação ótima de produção para que se obtenha o máximo lucro?
Resp. 10 unidades do móvel A; 8 unidades do móvel B; sobra de 40 m² de imbuia; Lucro = R$
710,00
7. (POLI/70) Uma empresa tem como limite de gasto mensal R$ 4.000.000,00. Ela tem uma
disponibilidade de matéria prima de 1.000 Kg/mês a um custo de R$ 2.000,00/Kg e 4 operários
trabalhando 200 horas/mês, cada um, a um custo de R$ 2.000,00/h trabalhando em hora normal e
R$ 3.000,00 trabalhando em hora extra. Ela produz dois tipos de produtos: A e B, dos quais são
conhecidos os seguintes dados:.
Sabendo-se que a empresa tem um custo fixo mensal de R$ 1.100.000,00, definir um programa
mensal de produção determinando as quantidades a serem produzidas de cada produto em hora
normal e extra para se obter o máximo lucro.
Resp. 55 prod. A, 155 prod. B, Lucro= R$ 1.625.000,00, Sobram 352 HH
8. (Petrobras/2008) Uma pequena loja de móveis produz três tipos diferentes de mesa: A, B e C.
Cada uma requer um determinado tempo para o corte das peças componentes, para a montagem
e para a pintura. Alternativamente, a mesa do tipo C também pode ser vendida sem a pintura. A
disponibilidade de funcionários e a prática do serviço vêm permitindo que os tempos de execução
tenham comportamento bastante regular. Assim, a tabela a seguir apresenta:

Os tempos de execução de cada serviço para cada produto, em horas-homem;

O lucro de cada tipo de mesa produzida, em reais;

A capacidade máxima de produção de cada serviço, em horas-homem.
MESA
A
B
C
C sem pintura
CAPACIDADE
CORTE (HH)
3
1
4
4
150
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MONTAGEM (HH)
4
2
5
5
250
PINTURA (HH)
5
5
4
0
350
LUCRO (R$)
50,00
40,00
80,00
60,00
68
Pesquisa Operacional
Resp. A = 0; B = 50; C = 25; Csem = 0; L = R$ 4.000,00; Sobram 25 HH
9. Uma agência de propaganda mediu a captação relativa de audiência resultante da colocação de
um único anúncio em cada um de três diferentes veículos de divulgação: rádio, TV canal A e TV
canal B. A agência dispõe de dados sobre os custos em cada veículo e sobre a composição da
audiência. Supondo que os efeitos da propaganda sejam aditivos, estabeleça a seleção dos meios
em termos de quantidade de inserções/mês para que a agência atinja o máximo de audiência. São
dados:
Custo/inserção
Audiência/inserção
Quant. Máxima de
inserções/mês
Rádio
R$ 2.000,00
3.000
400
TV – Canal A
R$ 5.000,00
10.000
TV – Canal B
R$ 5.000,00
8.500
500
Disponibilidade
R$ 2.000.000,00
-
Resp. Rádio = 0; TV – Canal A = 400 inserções/mês; TV – Canal B = 0; Audiência = 4.000.000,00
10. Uma propriedade apresenta duas áreas florestais aptas para corte de madeira: área 1 com 40
ha e 84 m3/ha de madeira disponíveis; e área 2 com 18 ha e uma produtividade de 112 m3/ha. O
custo por ha para a administração da venda de madeira é de R$ 300,00, e a disponibilidade de
capital é de R$ 15.000,00. Ambas os áreas permitem o desenvolvimento de atividades
recreacionistas. Anualmente, a área 1 é capaz de sustentar 480 visitantes por hectare e a área 2
apresenta capacidade para 1.920 visitantes por hectare. A propriedade deve ser capaz de receber
no mínimo 10.000 visitantes/ano. Naturalmente, cada hectare cortado fica inutilizado para
atividades de recreação. O problema é determinar quantos hectares explorar em cada área de
forma a maximizar o volume de madeira cortada.
Resp. 36,28 ha da área 1; 13,72 ha área 2; 20,83 ha de recreação área 1 e 4,28 ha área 2;
4.584,22 m³ de madeira.
11. Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros são de R$
2.000,00 por alqueire de milho e de R$ 1.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha que suas
limitações sejam: terra disponível é de 8 alqueires e água disponível para irrigação de 80.000 litros
sendo que se deseja plantar no máximo 4 alqueires de milho. Cada alqueire de milho requererá
10.000 litros de água para irrigação e cada alqueire de alfafa requererá 20.000 litros de água.
Modele e resolva o problema.
Resp. 4 alq. de milho; 2 alq. de alfafa; sobram 2 alq. de terra; Lucro = R$ 10.000,00
12. Resolva novamente o problema anterior supondo que seja requerido que mais de 50% do total
cultivado sejam plantados com alfafa.
Resp. 2,67 alq. de milho; 2,67 alq. de alfafa; sobram 1,33 alq. de milho e 2,67 alq. de terra; Lucro =
R$ 8.000,00
13. Uma indústria produz sucos de laranja e de tomate. O processo consiste na fabricação da lata,
extração do suco e enlatamento. O mercado fornecedor pode fornecer tomate para 20.000 latas por
semana, e laranjas para 30.000 latas por semana. Cada lata de suco de tomate dá um lucro de
R$ 0,20 e de laranja de R$ 0,30. As latas são idênticas, diferindo apenas no rótulo. As seções de
fabricação de latas têm capacidade para produzirem 40.000 latas por semana. A seção de extração
trabalha 40 horas por semana e pode produzir 1.000 latas de suco de laranja por hora ou 2.000
latas de suco de tomate por hora (ou qualquer outra combinação entre estas produções, ou seja, se
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69
Pesquisa Operacional
produzir 1.000 latas de suco de laranja por hora, esgota toda sua capacidade e não pode produzir
sucos de tomate; se dedicar metade de sua capacidade à produção de cada tipo de suco, produzirá
500 latas de suco de laranja por hora e ainda 1.000 latas de suco de tomate por hora).
A seção de enlatamento pode enlatar até 35.000 latas por semana, de um tipo ou de outro, pois as
latas são idênticas.
Determinar a programação semanal de produção que leva a máximo lucro.
Resp. 5.000 latas de tomate; 30.000 latas de laranja; 15.000 latas de polpa de tomate sobraram
no fornecedor; R$ 10.000,00 de lucro.
9.4 Cap. 6. Modelo Simplex - Casos Especiais
1. Resolver
Max Z  x1  x2  x3
2 x1  x2  x3  10
x1  x2  2 x3  20
2 x1  x2  3x3  60
x1  0, x2  0, x3  0
Resp. X2=22,5; X3=12,5; X1=0; f2=27,5; Z=35
2. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 20
minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores,
enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção
de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no
mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música.
Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de
telespectadores?
Resp. 3 vezes o programa A, 2 vezes o programa B, 110.000 telespectadores.
3. Uma empresa fabrica dois produtos: A e B. O produto A tem um custo de fabricação de R$ 10,00
e um lucro de R$ 1,00, enquanto o produto B, R$ 40,00 de custo e um lucro também de R$ 1,00. A
empresa estabeleceu que quer ganhar no mínimo R$ 300,00 de lucro na operação de produção e
venda. Estabeleceu ainda que a quantidade a ser produzida deverá ser no máximo 200 unidades
do produto A e 400 unidades do produto B. Determinar a quantidade a ser produzida do produto A e
B para que a empresa tenha o mínimo custo.
Resp. 200 A; 100 B; sobram 300 produtos B; R$ 6.000,00
4. Resolver:
Min Z  2x1  8x 2
2x1  5x 2  25
x1  2x 2  15
x1  0; x 2  livre
Resp. X1=25; X2=-5; Z=10
5. Resolver:
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Min Z  30x1  10x 2
8x1  9x 2  144
x1  12
8x1  4x 2  48
x 2  0; x1  livre
Resp. X1=-3,6; X2=19,2; f2=15,6; Z=84
6. A Mínimo Risco Ltda. é uma empresa especializada em gestão de riscos. O Dr. Alexandre Assaf,
proprietário da empresa, é especialista em planejar carteiras de investimentos. Ele acaba de
realizar uma consultoria a um cliente que dispõe de R$ 500.000,00. O cliente deseja aplicar o total
do seu capital em dois tipos de fundos de investimentos: fundo de ações e fundo de renda fixa.
Cada quota do fundo de ações custa R$ 100,00 e proporciona uma taxa de retorno de 8%. Cada
quota do fundo de renda fixa custa R$ 200,00 e proporciona uma taxa de retorno de 4%. O objetivo
do cliente é minimizar o risco, mas pretende obter o retorno de pelo menos R$ 25.000,00. Cada
quota do fundo de ações apresenta um índice de risco = 6 e cada quota do fundo de renda fixa um
índice de risco = 2. O cliente especificou também que devem ser investidos em pelo menos 800
quotas do fundo de renda fixa. Pede-se determinar quantas quotas devem ser adquiridas de cada
fundo, com o objetivo de minimizar o índice de risco total da carteira
Resp. 1.250 quotas do fundo de ações, 1.875 de renda fixa, Risco=11.250
7. Resolver
Min Z  10 x1  4 x2  5x3
8 x1  3x2  4 x3  10
4 x1  3x2  8
x1  0, x2  0, x3  0
Resp. X1=1,25; X2=0; f2=3; Z=12,5
8. Uma paciente deverá ser submetida a sessões de radioterapia para tratamento de uma doença.
Serão utilizados dois fluxos de radiação, pois com mais de um fluxo (administrado
sequencialmente), a absorção da radiação é aditiva. Após ampla análise desse tipo, a equipe
médica estimou cuidadosamente os dados necessários para planejar o tratamento da paciente,
conforme sintetizado na tabela abaixo. A primeira coluna enumera as áreas do corpo que precisam
ser consideradas e as duas colunas seguintes dão a fração da dose de radiação no ponto de
entrada para cada fluxo que é absorvido pelas respectivas áreas em média. Por exemplo, para o
fluxo 1, 40% será absorvida por todos os tecidos sãos; 30%, pelos tecidos críticos próximos; 50%,
pelas várias partes da lesão; e 60%, pelo núcleo da lesão. A última coluna apresenta as restrições
na dosagem total de ambos os fluxos que são absorvidos na média pelas respectivas áreas do
corpo. Em particular, a absorção de dosagem média para os tecidos saudáveis deve ser a menor
possível; para os tecidos críticos, não pode exceder a 2,7 kilorads; a média por toda a lesão tem de
ser igual a 6 kilorads; e para o núcleo da lesão deve ser de pelo menos 6 kilorads. Determinar a
intensidade dos fluxos 1 e 2 de tal forma que se obtenha a mínima dosagem pelos tecidos
saudáveis.
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Resp. X1=7,5 kilorads; X2=4,5 kilorads; f2=0,3 kilorads; Z=5,25 kilorads
9. Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima
de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem
disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas
e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de
proteínas.
Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de
vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada
unidade de ovo custa R$ 2,5.
Resp. X1=0 de carne; X2=6 ovos; f1=16 vitaminas; C=R$ 15,00
10. Uma empresa vende dois produtos: P1 e P2. O seu departamento de marketing estuda a forma
de investir o mínimo possível em propaganda e conseguir um aumento de pelo menos 30% no total
das vendas. A empresa dispõe de R$ 10.000,00 para este investimento.
As alternativas são:
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa
requer um investimento mínimo de R$ 3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas
vendas, para cada R$ 1.000,00 investidos.
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada R$ 1.000,00 investidos em P1 retornam
um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2, o retorno é de 10%.
Quanto deverá destinar a cada atividade?
Resp. X1 = R$ 3.000,00; X2 = 0; X3 = R$ 2.100,00; Sobram R$ 4.900,00 do capital; Custo = R$
5.100,00
11. Uma indústria quer otimizar o desempenho de dois produtos do seu portfólio, A e B. Para tanto,
ela quer determinar o plano de produção mensal que propicie o mínimo custo e garanta no mínimo
R$ 1.000,00 de lucro por mês. O quadro abaixo resume os dados de cada produto.
A
B
Disponibilidade
Matéria Prima
10 unidades
20 unidades
600 unidades
Mão de Obra
5 HH
20 HH
400 HH
Lucro
R$ 30,00/unidade
R$ 20,00/unidade
Custo
R$ 560,00
R$ 100,00
Resp. X1=24 unidades de A; X2=14 unidades de B; f1=80 Kg; C=R$ 14.840,00
12. A empresa ABC possui dois armazéns para abastecer duas fábricas. Determinar o plano de
distribuição de cargas de mínimo custo de transporte. O quadro abaixo resume os custos de
transporte e respectivas quantidades disponíveis em cada armazém e necessidades em cada
fábrica.
F1
F2
Disponibilidades
A1
R$ 2,00
R$ 5,00
1.500 unidades
A2
R$ 3,00
R$ 6,00
200 unidades
Necessidades
1.000 unidades
700 unidades
Resp. X11=800 unidades; X12=700 unidades; X21= 200 unidades; X22 = 0; C=R$ 5.700,00
13. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele
necessita transportar 200 caixas de laranjas a R$ 20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas
de pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$ 30,00 de
lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?
Resp. 200 laranjas; 400 pêssegos; 200 tangerinas; Lucro = R$ 14.000,00.
14. Resolver
Max Z  4 x1  5x2  3x3
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72
Pesquisa Operacional
x1  x2  x3  10
x1  x2  1
2 x1  3x2  x3  20
x1  0, x2  0, x3  0
Resp. X1 = 10; X2 = 0; X3 = 0; Sobram 9; Z = 40
15. Para projetar o contrapeso de um elevador tem-se a possibilidade de combinar elementos de
metal e de concreto cujos preços de aquisição são: R$ 4,00/Kg para o de metal e R$ 0,50/Kg para
o de concreto. Cada elemento de metal possui 26,5 Kg e tem uma altura de 0,03 m e cada
elemento de concreto 25 Kg e 0,1 m de altura. Segundo a ABNT o contrapeso tem que apresentar
peso igual ao da cabine vazia acrescido de 50% da carga máxima de passageiros e uma altura
máxima de 2,5 m. Adotar 600 Kg para o peso da cabine vazia e carga máxima de 8 passageiros
com peso médio de 70 Kg. Qual a quantidade de elementos de metal e de concreto deverá ser
adotada para obter-se o mínimo custo? As quantidades deverão ser inteiras e as eventuais
diferenças para atingir o peso da cabine deverão ser absorvidas pelo cabo de compensação.
Resp. 13,42 blocos de metal; 20,97 blocos de concreto; Custo = R$ 1.685,27.
Elemento de concreto
Elemento de metal
Cabine
Altura do contrapeso = 2,5 m
Cabo de compensação
16. Uma empresa do ramo de madeira produz madeira serrada comum e tipo compensado e seus
recursos são 40 m 3 de pinho e 80 m 3 de canela. A madeira serrada comum dá um lucro de R$ 5,00
por m3 e a madeira compensada dá um lucro de R$ 0,70 por m 3. Para produzir uma mistura de 1
metro cúbico de madeira serrada comum são requeridos 1 m 3 de pinho e 3 m3 de canela. Para
produzir 100 m3 de madeira compensada são requeridos 3 m 3 de pinho e 5 m 3 de canela.
Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5 m 3 de madeira serrada
comum e 900 m³ de madeira compensada. Qual é o esquema de produção que maximiza o lucro?
Resp. 5 m³ serrada comum; 1.166,67 m³ compensado; sobra de 6,67 m³ de canela; 0 sobra de
pinho; Lucro = R$ 841,67.
17. Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem
um contrato para produzir pelo menos 16 toneladas de papel fino, pelo menos 6 toneladas de papel
médio e no máximo 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de
espessura. O custo de produção na primeira fábrica é de R$ 2.000,00 e o da segunda fábrica é de
R$ 1.000,00, por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel
médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de
papel fino, 1 tonelada de papel
médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os
pedidos mais economicamente?
Resp. Fábrica 1: 2,8 dias; Fábrica 2: 3,2 dias; Custo: R$ 8.800,00
18. Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A
produção esperada é de 1.800 kg por unidade de área plantada de trigo, 2.100 kg por unidade de
área plantada de arroz e 2.900 kg por unidade de área plantada de milho. Para manter o consumo
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73
Pesquisa Operacional
interno e sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 12 unidades de área de trigo, 16 unidades de
área de arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem condições de armazenar no máximo
700.000 kg. Sabendo que o trigo dá um lucro de R$1,20 por kg, o arroz R$0,60 por kg e o milho
R$0,28 por kg, quantas unidades de área de cada produto ele deve plantar para que o seu lucro
seja o maior possível?
Resp. 164 unidades de trigo; 16 unid. De arroz; 20 de milho; sobram 313.200 Kg de capac.; Lucro =
R$ 386.800,00
19. Uma empresa distribuidora de vidro laminado selecionou três fornecedores, tecnicamente
equivalentes em termos de qualidade, para atender à sua demanda mensal de matéria prima. Sua
necessidade é de 3.500 chapas e os fornecedores apresentaram seus preços e condições de
fornecimento conforme tabela abaixo:
FORNECEDOR
A
B
C
PREÇOS
UNITÁRIOS
40,00
35,00
28,00
QUANTIDADES FORNECIDAS
Mínimo de 500 chapas
Máximo de 1.000 chapas
Quais devem ser as quantidades a serem compradas de cada fornecedor para que ela tenha o
custo mínimo nas suas compras?
Resp. 500 chapas do fornecedor A; 2.000 do fornecedor B e 1.000 de C. Custo=R$ 118.000,00
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74
Pesquisa Operacional
9.5
CAP. 7. DUALIDADE
9.5.1 Formulação do Problema Dual
Transformar os problemas dados no formato PRIMAL abaixo, em equivalentes no formato DUAL.
1.
Max Z  2x1  x 2
 x1  x 2  1
x1  x 2  3
x1  2x 2  4
x1; x 2  0
2.
Max Z  x1  2x 2
3x1  x 2  6
2x1  x 2  3
x1; x 2  0
3.
Min Z  2,5x1  3x 2  x 3
x1  4x 2  20
2x 1  3 x 3  5
x1  x 2  x 3  12
x1; x 2 ; x 3  0
4.
Min Z  2,5x1  3x 2  x 3
x1  4x 2  20
2x 1  3 x 3  5
x1  x 2  x 3  12
x1; x 2Cassas
; x3  0
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75
Pesquisa Operacional
9.5.2
Resolução do DUAL pelo Método Simplex
1.(DANTZIG). Em uma dieta cada 100 g de alimento A e B fornecem os seguintes elementos
nutritivos:
Elemento nutritivo
Carboidratos
Vitaminas
Proteinas
A (100 g)
1 unidade
3 unidades
3 unidades
B (100 g)
3 unidades
4 unidades
1 unidade
As quantidades mínimas necessárias de elementos nutritivos por dia são: 8 unidades de
carboidratos, 19 unidades de vitaminas e 7 unidades de proteínas. O custo de 100 g de A é $ 50 e
de 100 g de B é $ 25.
Formular e resolver o problema de PL, através do seu DUAL, de modo a minimizar o custo da dieta
formada peIos alimentos A e B.
Resp. 100g de A; 400g de B; Custo = $150
2. Um agricultor deseja cultivar duas variedades de cereais, A e B. Os recursos produtivos são:
terra para o plantio, homens-hora de trabalho e horas de trabalho de um trator. A tabela a seguir
sumariza as necessidades de emprego desses recursos por variedade de cereal, assim como os
lucros oriundos da venda.
Variedade de
cereal
Área de plantio Homens-hora de
(ha)
trabalho por ha
Horas de
trabalho do
trator, por ha
Lucro líquido/ha
cultivado
A
1
10
1,4
600
B
1
20
0,9
800
100
1.600
Disponibilidade
126
Pedem-se:
a) Quantos hectares de cada tipo de cereal o agricultor deverá plantar de forma a maximizar seu
lucro?
b) Supondo que o agricultor ao invés de cultivar os cereais resolva vender os seus recursos de
área, mão de obra e trator. Qual o preço mínimo unitário que ele deveria cobrar de cada recurso
para que ele tivesse o mesmo lucro produzindo os cereais?
Resp. a) x1=40 há de cereal A; x2 = 60 há de cereal B; sobram 16h ociosas de trator; Lucro =
$72.000,00.
b) y1 = $400/ha de área; y2 = $200/hh de mão de obra; y3 = 0 (não precisa vender hora do trator
para ter o mesmo lucro).
3. Resolver através do DUAL o problema de PL abaixo:
Min Z = 4 X1 + 3X2
s.a
8X1 + 3X2 ≥ 24
5X1 + 6X2 ≥ 30
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76
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X1 + 2X2 ≥ 8
X1; X2 ≥ 0
Resp. x1 = 18/11; x2 = 40/11; Z = 192/11
4. Uma fábrica produz dois tipos de móveis de madeira: prateleiras e mesas. Uma prateleira é
vendida por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada prateleira produzida tem um custo adicional de
$14 relativo à mão de obra. Uma mesa é vendida por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de
mão ele obra adicional para cada mesa é de S 10. A. fabricação destes móveis requer dois tipos de
mão de obra: carpintaria e acabamento. Uma prateleira necessita de 2 horas para acabamento e 1
de carpintaria. Uma mesa necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada
semana, a fábrica pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100
horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por mesas é ilimitada, mas a venda de
prateleiras é de no máximo 40 por semana. A fábrica quer maximizar seu lucro diário. Formular o
modelo matemático que poderá ser usado para maximizar o lucro semanal da fábrica.
Resp. x1 = 20 prateleiras; x2 = 60 mesas; 20 prateleiras a menos do que o limite; Lucro = $180
5. Um Empreendedor de Shopping Centers deseja estabelecer as dimensões de um novo
empreendimento a ser construído em um município da Grande São Paulo. Para tanto, contratou
uma empresa para realizar uma pesquisa de mercado a qual recomendou que o empreendimento
tivesse no máximo 50.000 m² de área total de lojas (ABL – Área Bruta Locável) e que poderia ser
definido o aluguel de R$ 30,00/m² para lojas grandes (Âncoras) e de R$ 150,00/m² para lojas
pequenas (Satélites). O Empreendedor estabeleceu que a área total das lojas Âncoras, devido à
sua importância em gerar tráfego de clientes, deve representar no mínimo 20% da área total do
Empreendimento, assim como a área das Satélites, no máximo 70%. Determinar as áreas a serem
definidas para lojas Âncoras e Satélites de tal forma que propicie o máximo de renda de aluguel.
Formular o problema e resolvê-lo pelo DUAL.
Resp. x1 = 15.000 m² de Âncoras; x2 = 35.000 m² de Satélites; 25.000 m² de excesso acima de zero;
Renda = R$ 5.700.000,00.
6. A Lincoln Properties quer investir no desenvolvimento de um Shopping Center nos subúrbios de
Kansas City. Deve agora planejar o seu tamanho e a quantidade de lojas. As lojas menores que
têm 225 m² são mais rentáveis, mas as lojas grandes denominadas âncoras (aproximadamente
22.500 m²) são necessárias para atrair volumes de tráfego suficientes. Lojas de tamanho médio ao
redor de 9.000 m². O Shopping deverá ter, no máximo 90.000 m² e a Lincoln Properties quer pelo
menos uma grande loja âncora. Além disso, ela quer uma relação de 3 para 1 de loja média para
grande e a área total das lojas pequenas deve ter pelo menos 1,5 vezes a soma das áreas das
lojas médias e grandes combinadas. Os valores de aluguel são estimados em R$ 530.000,00,
R$340.000,00 e R$40.000,00 por ano para lojas grandes, médias e pequenas, respectivamente.
Formule um modelo do LP para determinar a configuração de lojas mais rentável para o novo
shopping.
9.6 Cap. 8 Ferramenta Solver
1. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer
somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade couro
para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e
que o lucro unitário por sapato é de R$ 5,00 e o do cinto é de R$ 2,00, qual a quantidade de
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77
Pesquisa Operacional
sapatos e cintos para maximizar seu lucro por hora?.
Resp. 3 sapatos, 0 cintos e Lucro = R$ 15,00.
2. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de R$ 100,00 e o lucro
unitário de P2 é de R$180,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120
horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes
produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.
Qual a quantidade de produtos P1 e P2 para maximizar o lucro da empresa?.
Resp. 15 P1, 30 P2 e Lucro = R$ 6.900,00.
3. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele
necessita transportar 200 caixas de laranjas a R$ 20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas
de pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$ 30,00 de
lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?
Resp. 200 caixas de laranjas, 400 caixas de pêssegos, 200 caixas de tangerinas e Lucro = R$
14.000,00.
4. Um fabricante de artigos eletrônicos tem distribuidores que irão receber remessas de rádios e
calculadoras eletrônicas, para formar o estoque de Natal. Os rádios dão ao fabricante R$10,00 de
lucro por unidade e as calculadoras, R$15,00. Cada rádio requer 4 diodos e 4 resistores, enquanto
cada calculadora requer 10 diodos e 2 resistores. Cada rádio exige 12,0 minutos e as calculadoras,
9,6 minutos de tempo na máquina eletrônica de teste da empresa e o gerente de produção calcula
que 160 horas de tempo de teste estão disponíveis. A firma tem 8.000 diodos e 3.000 resistores em
estoque. Que produto ou combinação de produtos deve ser escolhido para obter o maior lucro?
Resp. 235 rádios, 705 calculadoras, Lucro R$ 12.925,00.
5. Urna empresa produzindo secadores de roupa tipo padrão e de luxo tem as exigências de tempo
(em minutos) mostradas na tabela abaixo em departamentos onde ambos os modelos podem ser
processados.
Estampagem da base metálica
Instalação do motor elétrico
Fiação
Padrão
De luxo
3
10
10
6
10
15
Os modelos tipo padrão contribuem para os lucros com R$30,00 cada e os de luxo, com R$ 50,00
cada. A linha de produção de motores tem 60 minutos completos disponíveis a cada hora, mas a
máquina impressora está disponível somente 30 minutos por hora. Há duas linhas para a fiação, e
assim o tempo disponível é de 120 minutos por hora. Qual a combinação ótima de produção em
unidades por hora?
Resp.: Tipo padrão = 2; de luxo = 4; sobram 40 min. por hora de tempo de fiação.
6. Um distribuidor de produtos para festas infantis compra dos produtores chapéus de papel,
línguas-de-sogra e bexigas, e prepara caixas com esses três produtos na forma de kits para festas.
Observações anteriores mostram que:
a) A quantidade de chapéus e línguas-de-sogra deve ser pelo menos 50% do total.
b) O pacote deve ter pelo menos 20 bexigas.
c) Cada item deve concorrer com pelo menos 25% do total da caixa.
O custo dos componentes por unidade é :
Chapéu de papel: R$ 0,60
Língua-de-sogra: R$ 0,40
Bexigas: R$ 0,70
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78
Pesquisa Operacional
Qual a composição da caixa que tem o menor custo?
Resp. 10 chapéus; 10 línguas-de-sogra; 20 bexigas; Custo R$ 24,00
7. A Companhia PEER produz quatro produtos numerados de 1 a 4. As exigências de matériaprima, espaço de estocagem, taxas de produção e lucros são dados no quadro seguinte. A quantia
total de matéria-prima disponível por dia para todos os quatro produtos é de 180 Kg. O espaço total
disponível para estocagem é de 230 m² e empregam-se 7 horas e meia por dia para produção.
1
Matéria-prima, Kg/peça
Espaço, m² /peça
Taxa de produção, peças/hora
Lucro, R$/peça
8
2
15
5,00
2
2
2,5
30
6,50
3
4
1,5
8
10
5,00
4
1,5
5
5,50
Quantas unidades de cada produto devem ser produzidas para se maximizar o lucro total?
Resp. 6,2 prod. 1; 0 prod. 2; 22,68 prod. 3; 24,09 prod. 4; Lucro = R$ 276,92
8. Uma empresa distribuidora de vidro laminado selecionou três fornecedores, tecnicamente
equivalentes em termos de qualidade, para atender à sua demanda mensal de matéria prima. Sua
necessidade é de 3.500 chapas e os fornecedores apresentaram seus preços e condições de
fornecimento conforme tabela abaixo:
FORNECEDOR
A
B
C
PREÇOS
UNITÁRIOS
40,00
35,00
28,00
QUANTIDADES FORNECIDAS
Mínimo de 500 chapas
Mínimo de 600 chapas e Máximo de 1.500
Máximo de 1.000 chapas
Quais devem ser as quantidades a serem compradas de cada fornecedor para que ela tenha o
custo mínimo nas suas compras?
Resp. 1.000 chapas do fornecedor A; 1.500 do fornecedor B e 1.000 de C. Custo=R$ 120.500,00
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79
Pesquisa Operacional
APÊNDICE
ÁLGEBRA LINEAR
Os conceitos de álgebra linear são largamente usados em tópicos da Pesquisa Operacional,
principalmente em Programação Linear, razão pela qual apresentaremos uma breve revisão desta
prática ferramenta matemática.
1. Matrizes
O nome MATRIZ (originalmente MATRIX) foi adotado por James Joseph Sylvester em 1850. Ele
usou o significado coloquial da palavra matriz, que significa um local onde algo se gera ou se cria.
Segundo suas próprias palavras "...um bloco retangular de termos... como se fosse uma
MATRIZ..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
a
x
b
y
c
.
.
coeficientes
.
z
.
.
soluções
.
MATRIZ
Seu amigo Arthur Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse
nome e iniciou a demonstração da sua utilidade.
“Quando tentava resolver sistemas de equações algébricas de duas, três e mais variáveis
defrontei-me com resultados que induziram a possibilidade de um novo estilo de se fazer
matemática. Aconteceu quando esquematicamente procurava a solução do seguinte sistema:”
ax + by + cz + .............+ d = 0
ex + fy + gz + ..............+ h = 0
ix + jy + kz + ................+ l = 0
(Sir Arthur Cayley no seu artigo On some theorems of geometry of position, escrito em 1846 no
Crelle´s Journal)
Dado o sistema:
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
(1)
(2)
Isolando x na equação (1) e substituindo na equação (2), obtemos
b
c
x   y
a
a
y
af  cd
ae  bd
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b
c
d( y  )  ey  f  0
a
a
x
ce  bf
ae  bd
80
Pesquisa Operacional
Cayley dispôs os coeficientes na forma de uma tabela o que simplificava e organizava melhor a
apresentação da solução, do que no formato escalar.
x
c
f
a
d
b
e
b
e
y 
a
d
a
d
c
f
b
e
Assim, a álgebra matricial tornou-se um método adequado para se manipular grandes quantidades
de dados. Estas manipulações passaram a ser usadas para resolver conjuntos de equações lineares.
Uma matriz é um conjunto retangular de números, que pode ser escrito da seguinte maneira:
A=
a11
a12
a13
. a1n
a21
a22
a23
. a2n
a31
a32
a33
. a3n
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 . amn
A matriz A é de ordem m x n, ou seja, possui m linhas e n colunas. Matrizes são geralmente
representadas por letras maiúsculas em negrito, e seus elementos são geralmente representados
por letras minúsculas com dois subscritos.
A letra usada para os elementos é normalmente a mesma letra utilizada para a matriz. Os
subscritos representam respectivamente a linha e a coluna ocupadas pelo elemento na matriz.
Por exemplo, a23 é o elemento localizado na segunda linha e na terceira coluna da matriz.
Uma matriz não tem um valor numérico, ela é simplesmente uma maneira conveniente de
representar um conjunto de números.
1.1 Operações com Matrizes
Igualdade
Duas matrizes A e B são iguais se aij = bij para qualquer i e j. Para isso, é necessário que as
matrizes A e B sejam de mesma ordem, ou seja, tenham o mesmo número de linhas e colunas.
Soma
Duas matrizes podem ser somadas se, e somente se, elas forem da mesma ordem. Para somar
duas matrizes, basta somar individualmente cada elemento delas. A matriz resultante será da
mesma ordem das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se T = A + B, então,
para todo i e j:
tij = aij + bij
Subtração
Duas matrizes podem ser subtraídas se, e somente se, elas forem da mesma ordem. Para subtrair
duas matrizes, basta subtrair individualmente cada elemento delas. A matriz resultante será da
mesma ordem das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se S = A + B, então,
para todo i e j:
sij  aij  bij
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81
Pesquisa Operacional
Multiplicação por um escalar
Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por
este escalar. Simbolicamente, temos que, k x A = | k  aij |
Exemplos: Dadas as matrizes:
A=
C=
1 -2 3 -4
4 5 1 7
5 2 0 1
1 3 2 4
B=
4 5 1 7
5 2 0 1
1 3 2 4
2
4
1
0
2 0
1 -5
1 5 4
2 7 0
2 1 3
D=
Temos que:
1) A = C
2) A+D ou B+D = impossível, pois são de ordens diferentes
4 1
3) A+B =
52
 1 4
2 1
5) 2 X D =
74
5 3 4
3
5  2 2  1 0  2 1 0  7 3 2 1
 1 4 3  0 2  1 4  5
3 3 3 1
4 1
4) A-B =
5  2 1 3
5 - (-2) 1 3
2 1
30
25
02
2 1
24
2  2 2  (7) 2  0
22
2 1 2  3
7  ( 4)
1 0
4 - (-5)
2
3

10
7 - 2 11
3 1 -2
-5 3 1
1
9
8
 4  14 0
4
2
6
Produto de matrizes
O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de colunas da matriz à
esquerda for igual ao número de linhas da matriz à direita. O produto de matrizes é, em geral, não
comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e,
se existe, pode não ser igual a AB. O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à
esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x
p, C é m x p.
Os elementos da matriz resultante são calculados através do somatório dos produtos de elementos
das duas matrizes. Especificamente,
c ij  ai1  b1j  ai2  b2j  ..........  ain  bnj
onde n é o número de colunas de A e de linhas de B.
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82
Pesquisa Operacional
Exemplo:
A=
a b
c
d
f
e
AXB=
B=
x y
z w
k t
a  x b z  c k
a  y  b  w  c t
d  x  e z  f k
d  y  e  w  f t
1.2 Matrizes especiais
Matriz quadrada
Qualquer matriz que tenha mesmo número de linhas e colunas é chamada de matriz quadrada.
Exemplo: F =
1 5 4
2 7 0
2 1 3
Matriz nula
A matriz cujos elementos são todos zeros e chamada de matriz zero e é denotada por O. Exemplo:
O=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Ela equivale ao zero para adição em álgebra escalar.
Matriz identidade
Uma matriz identidade, denotada por I, é uma matriz quadrada onde sua diagonal principal é
composta de 1 e todos os outros elementos são zero. É indicada pela notação I. Exemplo:
I=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ela equivale ao 1 para produto em álgebra escalar. Ou seja, AI = A
Matriz transposta
A transposta de uma matriz é aquela obtida pela troca das linhas pelas colunas da matriz original,
de modo que a coluna i da matriz original passe a ser a linha i da matriz transposta e a linha i da
matriz original passe a ser a coluna i da matriz transposta. A transposta de uma matriz A é indicada
pela notação AT.
A transposta de uma matriz m x n será sempre uma matriz n x m.
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83
Pesquisa Operacional
Exemplo:
1 3 4
A=
1 0
3 1
4 6
AT 
0 1 6
Matriz simétrica
Uma matriz é dita simétrica se ela for igual à sua transposta. Ou seja, uma matriz A, simétrica, é
necessariamente quadrada e aij= aji.
Exemplo:
A=
4 5 1
5 7 0
1 0 3
A 
T
Matriz anti-simétrica
Uma matriz é dita anti-simétrica quando ela for igual à sua transposta com sinal trocado, isto é,
A = - AT. Ou seja, uma matriz A, anti-simétrica, é necessariamente quadrada e aij = - aji. Os
elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são necessariamente nulos.
A=
0
-3 2
3
-2
0
0
0
AT =
0
0
3 -2
-3 0
2 0
0
0
-
AT =
0
-3 2
3
-2
0
0
0
0
A inversa de uma matriz
A operação de divisão não é definida em álgebra matricial. Entretanto, para certas matrizes
quadradas existe outra (única) matriz quadrada de mesma ordem que o produto das duas matrizes
é a matriz identidade. Esta matriz é chamada de matriz inversa da primeira matriz. A inversa de
uma matriz é designada pelo expoente -1.
Isto é,
Ax A
A=
1
 I
1 2
1 2
4 6
4 6
a + 2c =1
4a + 6c = 0
b + 2d = 0
4b + 6d = 1
A1 
a b
c
d

a b
c
d

1 0
0 1
a = -3
b=1
c=2
d=-½

-3
1
2
- 1/2
2. Vetores
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84
Pesquisa Operacional
As matrizes que têm uma única linha ou coluna são chamadas de VETORES. Uma matriz de uma
única linha é chamada de vetor linha, e uma matriz de uma única coluna é chamada um vetor
coluna. Os vetores serão denotados por uma letra minúscula em negrito. Exemplos:
a=
1
3
4
p=
3 6 8 1
Dado o vetor a abaixo,
a  ( a1 , a2 , .......an )
Ele será denominado vetor de dimensão n.
a  ( a1 , a2 , a3 ) pode ser
a  ( a1 , a2 , a3 ,.........an )
Podemos dar uma interpretação geométrica aos vetores. Assim,
considerado um ponto no espaço tridimensional, da mesma forma que
pode ser imaginado um ponto em um espaço n - dimensional.
Para ilustrar esta interpretação geométrica, representaremos um vetor por uma linha traçada da
origem ao ponto que caracteriza o vetor. Uma seta é colocada no ponto localizado na extremidade
da linha.
Exemplos
x2
x1
a2
a
a2
a
a1
a3
x3
a1
x2
x1
Não há nenhuma distinção geométrica entre vetores linha ou vetores coluna. Geometricamente
eles são considerados equivalentes. A decisão de escrever um vetor como uma linha ou como uma
coluna é meramente de conveniência notacional. Nós adotaremos vetores coluna e será escrito
a  ( a1 , a2 , a3 ,.........an )
2.1 Operações com vetores
Soma
Dois vetores podem ser somados se e somente se eles tiverem a mesma· dimensão. Para somar
dois vetores, basta somar individualmente cada elemento deles. O vetor resultante será da mesma
dimensão dos vetores originais. Simbolicamente, temos que, se r = p + q, então ri = pi + qi,
para todo i.
Dados os vetores
p = (4,5,1)
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q = (1,-2,3)
r = (1,5)
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Temos que:
p + q = (4+1, 5-2, 1+3) = (5,3,4)
Não é possível computar p + r, nem q + r, visto que p e q são de 3 dimensões e r é de 2.
Subtração
Subtração entre dois vetores é equivalente a somar o primeiro com o produto do segundo pelo
escalar -1. Então s - t = s + (-t).
Por exemplo.
(1,4,3) - (O, 2, -1) = (1, 4, 3) + (O, -2, 1) = (1, 2, 4)
Multiplicação por um escalar
Um vetor pode ser multiplicado por um escalar, multiplicando-se cada elemento do vetor por este
escalar. Por exemplo,
a = 2 x b = (3,5,6,7) = (6,10,12,14)
3. Espaço Vetorial
Espaço Vetorial n-dimensional, cujo símbolo é Rn , é definido como sendo a coleção de todos os
vetores (pontos) a = (a1, a2, a3,..........an)
.
Exemplos:
a) Posicionamento de um ponto: são os familiares espaços da geometria elementar denominados
Espaço Euclideano.
Com duas dimensões
(no plano)
Posição = (largura, comprimento)
Com três dimensões
(no espaço)
Posição = (largura, comprimento, altura)
a  (a1 , a2 )
a  ( a1 , a2 , a3 )
b) Lucro de uma empresa:
Fenômeno com n dimensões
Lucro = f ( projeto do produto, qualidade, mercado, custo,
capacidade de produção, estrutura
organizacional,.......)
a  ( a1 , a2 , a3 ,.........an )
Para esses vetores, as operações de soma e multiplicação por um escalar são definidas pelas
regras de operações das matrizes.
3.1 Combinação linear de vetores
Dado um grupo de vetores de um espaço vetorial, podemos multiplicar cada um deles por um
número qualquer e em seguida somar os resultados. O vetor obtido nessa operação é uma
combinação linear dos vetores dados:
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Ex.: Dados os vetores (3,2,1) e (6,4,9), achar dois vetores que sejam combinação linear.
4 x (3,2,1) + 5 x (6,4,9) = (12,8,4) + (30,20,45) = (42,28,49)
-2 x (3,2,1) + 1 x (6,4,9) = (-6,-4,-2) + (6,4,9) = (0,0,7)
Quando um vetor puder ser escrito como combinação linear de um grupo de vetores, dizemos que
ele é Linearmente Dependente dos vetores do grupo.
Se este vetor não puder ser escrito como combinação linear do grupo, dizemos então que ele é
Linearmente Independente.
Exemplo de caso de dois vetores:
a = (3,6) e b = (6,12)
b é combinação linear de a, pois b = 2 x a, portanto são L.D.
p = (8,7) e q = (4, 2)
p não é combinação linear de q, pois não existe número k que permita
a igualdade p = k x q , portanto são L.I.
3.2 Base de um Espaço Vetorial
Base do espaço vetorial
Rn é um conjunto de n vetores linearmente independentes.
A Base de um espaço vetorial é um gerador do espaço, isto é, qualquer vetor do espaço pode ser
obtido como combinação linear dos vetores da base.
Exemplos:
Base do R2: conjunto de 2 vetores independentes representando a largura e comprimento.
Base do R3: conjunto de 3 vetores independentes representando a largura, comprimento e altura.
Base do R6: conjunto de 6 vetores independentes representando as dimensões que definem o
Espaço com 6 dimensões.
Exercícios
Estabeleça a base, isto é, vetores independentes que definem os seguintes espaços vetoriais:
a) Estratégia de uma empresa
b) Produção mensal de uma empresa.
E
P
E
BIBLIOGRAFIA
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