Apostila - Professor Walteno

Lógica Matemática e Computacional
4
ÁLGEBRA ELEMENTAR
4.1
Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4.1.1 - Introdução:
As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua
solução são denominados polinômios e são formuladas partindo da compreensão do enunciado de
cada problema que pretendemos resolver. Pontos Principais:
•
Monômio e polinômio.
•
Equação polinomial na variável x.
•
Valor numérico de um polinômio.
•
Operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão.
4.1.2 - Monômio e polinômio.
Monômio: expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a
parte literal. Exemplo: 4x³y² , -3x , 2z² , xyz .
Polinômios: expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência
de operações entre eles. Exemplo: x³-3x²+5x-2 e 3x + 5 .
Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos.
Polinômio é um ou mais monômios separados por operações. 3xy é monômio, mas também
considerado polinômio, assim pode-se dividir os polinômios em monômios (apenas um
monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios).
Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são
separados. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau
do polinômio.
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão,
multiplicação, potenciação.
4.1.3 - Equação polinomial na variável x.
Dada a equação:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O
coeficiente ao é o termo constante. Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é
denominado polinômio inteiro em x.
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é
chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O
grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será
denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
•
Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em
estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos
aqui.
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•
Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será
chamado mônico.
•
Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou
decrescente.
•
Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
•
Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio
será menor do que n+1.
•
Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o
grau mais alto até o termo constante.
•
Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será
exatamente n+1.
Considerando que o grau de dois polinômios são: gr(p)=m e gr(q)=n então
gr(p.q) = gr(p) + gr(q) e gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}
4.1.4 - Valor numérico de um polinômio.
O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo
número a, para obter p(a).
Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:
p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27
4.1.5 - Operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão.
a) Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ b nxn
são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
tem-se que ak = bk
Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja
identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.
Assim, um polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
tem-se que ak = 0
O polinômio nulo é denotado por p o=0 em P[x].
O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn
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tal que ao = 1 e ak = 0, para todo k=1,2,3,...,n.
b) Soma de polinômios
Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn
q(x) = bo + b 1x + b2x² + b3x³ +... + b nxn
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b 1)x+(a2+b2)x²+...+(an+b n)xn
A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a
soma definida acima, possui algumas propriedades:
•
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r)
•
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p + q = q + p
•
Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que po + p = p, qualquer que seja
p em P[x].
•
Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que
p+q=0
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.
c) Produto de polinômios
Sejam p, q em P[x], dados por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b 1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:
r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn
tal que:
ck = aob k + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3b k-3 +...+ ak-1 b 1 + akbo
para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a
soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o
produto definido acima, possui várias propriedades:
•
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p · q) · r = p · (q · r)
•
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p · q = q · p
•
Elemento nulo: Existe um polinômio p o(x)=0 tal que po · p = po, qualquer que seja p
em P[x].
•
Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que p1 · p = p
•
qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios
Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p · (q + r) = p · q + p · r
•
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Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática
(P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.
Exemplo: Efetue a multiplicação (x + 2).(x + 3).
(x + 2).(x + 3) = x.(x + 3) + 2.(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6
d) Algoritmo da divisão de polinômios
Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em
P[x] tal que p(x) = g(x) q(x)
Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n,
então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:
p(x) = q(x) g(x) + r(x)
Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:
xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )
então para p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn temos que
p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn
e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:
p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)
o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter p(x)- p(c)=(x-c) q(x)
onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:
p(x)=(x-c) q(x)+p(c) e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.
4.2
Expressões algébricas: produtos notáveis e fatoração.
4.2.1 - Introdução:
As operações básicas com polinômios tratam algebricamente as proposições próprias das
operações com números. Em especial, a multiplicação de polinômios tem características que
permitem converter uma expressão algébrica formada por adição e subtração de monômios em
um produto e vice-versa. Observar a expressão algébrica que corresponde ao enunciado de
determinado problema nos permite escolher a forma mais conveniente de representá-la, seja por
um produto ou pela adição de monômios. Pontos Principais:
•
Produtos notáveis.
•
Fatoração.
Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas
um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos
envolvendo a variável x.
Exemplos
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•
•
2x²+3x+7=0
3x²+7x½=2x+3
A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos
contendo potências de x: ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...
assim, a equação x²+7x=ex
não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.
Quando a equação é da forma: p(x) = 0
onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.
Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação
irracional.
Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas
a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.
4.2.2 - Produtos Notáveis
a) Quadrado da Soma de Dois Termos
Definição: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Exemplo: (x + 3y)2= x2 + 2.x.(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
b) Quadrado da Diferença de Dois Termos
Definição: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro,
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Exemplo: (7x – 4)2= (7x)2 – 2.(7x).4 + 4 2 = 49x2 – 56x + 16
c) Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
Definição: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Exemplo: (3a + x) . (3a – x)= (3a)2 – (x)2 = 9a2 – x2
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4.2.3 - Fatoração
Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais
números. Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em
evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém
dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.
a) Diferença de Quadrados
Considere o polinômio x2 – y2. Nos produtos notáveis, vimos que essa diferença de
quadrados é o resultado de (x + y).(x – y). Portanto, x2 – y2 = (x + y).(x – y).
Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como acima.
Exemplo: Fatorar x2 – 25. Como 25 = 52, x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5)(x – 5).
b) Trinômio Quadrado Perfeito
O polinômio x2 +2xy + y2 é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio porque tem
três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de (x + y), ou seja, é o
resultado de (x + y)2. Outro trinômio quadrado perfeito é x2 – 2xy + y2, que é o resultado de
(x – y)2. Assim, temos mais dois polinômios que sabemos fatorar:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2.
Exemplo: Fatorar x2 + 12x + 36. Neste caso x2 e 36 são quadrados e suas bases são x e 6
e, além disso, 12x = 2.x.6. Assim, x2 + 12x + 36 = (x + 6)2.
4.3
Equações de primeiro grau.
4.3.1 - Introdução:
As equações da forma ax = b, com a, b ε R e a ≠ 0 são chamadas de forma reduzida das
equações do 1° grau na incógnita x. Resolver uma equação significa determinar os valores de x
que a tornam verdadeira.
Equação é a sentença matemática expressa por uma igualdade na qual exista uma ou mais
letras representativas de números desconhecidos dessa sentença. A igualdade é denominada
Equação de Primeiro Grau quando a letra que representa o número desconhecido está elevada a
um. Normalmente, as equações de primeiro grau correspondem a enunciados de problemas que
envolvem grandezas em uma dimensão. Pontos Principais:
•
Raiz de uma equação de primeiro grau.
•
Solução de uma equação de primeiro em domínio determinado.
4.3.2 - Raiz de uma equação de primeiro grau.
A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por: x = -b/a
4.4
Equações de segundo grau.
4.4.1 - Introdução:
Uma equação do 2° grau na variável x é toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, onde a,
b e c são os coeficientes da equação, representado por números reais, com a ≠ 0.
Exemplo: Considere a resolução das seguintes equações do 2° grau:
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a) x2 – 7x = 0.
x(x – 7) = 0 ⇒ x = 0 ou x – 7 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 7. Logo, S = {x ε R| x = 0 ou x = 7}.
b) x2 – 25 = 0.
x2 = 25 ⇒ x = ± 5. Logo, S = {x ε R| x = 5 ou x = -5}.
c) x2 – 10x + 25 = 0.
(x – 5)2 = 0 ⇒ x = 5. Logo, S = {x ε R| x = 5}.
A igualdade é denominada Equação de Segundo Grau quando a letra que representa o
número desconhecido na sentença matemática está elevada a dois. Normalmente, as equações de
segundo grau correspondem a enunciados de problemas que envolvem grandezas em duas
dimensões. Pontos Principais:
•
Raiz de uma equação de segundo grau.
•
Solução de uma equação de segundo em domínio determinado.
4.4.2 - Raiz de uma equação de segundo grau.
A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no
conjunto dos números complexos, dadas por:
•
x1=(-b+R[b²-4ac] / 2a
•
x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a
onde R[z] é a raiz quadrada de z.
4.4.3 - A fórmula de Bhaskara
Na equação do 2° grau, ax2 + bx + c = 0, indica-se b2 – 4ac por ∆.
Quando ∆ < 0, a equação não tem soluções reais.
Quando ∆ ≥ 0, as soluções são obtidas pela fórmula:
4.5
Problemas: equações de primeiro e segundo graus.
4.5.1 - Introdução:
Ao interpretar os enunciados de problemas, distinguimos as grandezas nele envolvidas e
optamos por representá-lo matematicamente por uma equação observando seu respectivo grau. A
quantidade de raízes que uma equação admite está relacionada ao seu grau e determina métodos
particulares de solução. Pontos Principais:
4.6
•
Interpretação de problemas.
•
Coerência nas respostas que representam a solução de problemas interpretados por
equações de primeiro ou segundo graus.
Exercícios
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4.7.1 – Dada a expressão 9x3 y2 + 7x3y2 – 14x3y2 + 2x3 y2, pede-se:
a) a forma mais simples de se escrever essa expressão
b) o valor numérico da expressão, quando x = –2 e y = –5
4.7.2 - Escreva na forma mais simples:
a) 7a2 – 10a2 + 6a2
b) 29ax – 33ax + ax
c) 6bc – 20bc – 2bc + 9bc
d) - 1,7xy + xy - 0,3xy + xy
4.7.3 – Calcule o resultados da operação dos polinômios:
a) (x2 + 10) + (x – 8)
b) (5 – y) + (7 + y)
c) (5x3 – 2x2+ 7) + (3x2 + 2x – 4)
d) (2y2 + 3y + 1) + (3y2 – 2y – 11)
4.7.4 – Calcule o resultados da operação dos polinômios:
a) (x + 10).(x – 8)
b) (5 – y).(7 + y)
c) (5x + 7).(3x2 + 2x – 4)
d) (2y + 1).(3y2 – 2y – 11)
4.7.5 – Calcule o resultados do polinômio sabendo que x = 2 e y = 3:
a) p(x) = (x + 10)
b) p(y) = (7y2 + y + 3)
c) p(x) = (3x2 + 2x – 4)
d) p(y) = (3y2 – 2y – 11)
4.7.6 - Desenvolver os produtos indicados:
a) (2x2 + 5)2
b) (3x2 + 4y3)2
c) (5x + 1).(5x – 1)
d) (2x2 + 1).(2x2 – 1)
4.7.7 - Desenvolva os itens abaixo usando as regras dos produtos notáveis:
a) (a + b)2
b) (2a + 3)2
c) (3x + 4y)2
d) (a – b)2
e) (2a – 3)2
f) (3x – 4y)2
g) (a + b) (a – b)
h) (2a + 3) (2a – 3)
i) (4x + 3y) (4x – 3y)
4.7.8 - Fatorar as seguintes expressões:
a) x2 – 4
b) y2 – 36
c) 9x2 – 16
d) 81x2 – 64
e) y2 – 25x2
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4.7.9 - No conjunto dos números reais (R), determine o conjunto solução de cada uma das
seguintes equações:
a) 4x – 5 + 3x – 2x = 9 – 2x
b) 6 – (3x – 3) – [2 – (-4x – 1)] = -(-3x + 2)
c) 11(2x – 3) – 4(3x – 2) = 4(-2x +1) + 7
4.7.10 - Uma indústria produziu uma certa quantidade de determinado aparelho eletrônico.
Vendeu 50% da produção par uma loja A, 30% para uma loja B e 1000 aparelhos para uma loja
C. Tendo vendido toda a produção, quantos aparelhos essa fábrica produziu?
4.7.11 - Seis pessoas foram almoçar e todas pediram o prato do dia. Das seis, apenas quatro
pediram sobremesa. Ao todo gastaram R$ 45,00. Sabendo que cada sobremesa custa R$ 2,50 a
menos que o prato do dia, qual o preço do prato do dia?
4.7.12 - Resolva as seguintes equações do 2º grau:
a) 2x2 – 1 = 0
b) x2 + x= 0
c) 10x2 – 15x = 0
d) 2x2 – 50 = 0
e) (x – 10)2 = 36
f) (x + 5)2 = 4
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