Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração

Prof V Vargas, IST
Sistemas de Numeração
24/07/12, Pg 1/3
Sistemas de Numeração
{pNS.doc}
1. [09P1.1] Escreva as potências de 2 desde 2-3 até 215, e ainda 225 e 235.
R: 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768;
25
15 10
35
25 10
2 =2 *2 =32768*1024=33554432; 2 =2 *2 =33554432*1024=34359738368
2. [09P1.2] Conversão de bases
2. 1. Converta para base 10 o número 11010101
2. 2. Converta 213(10) para código BCD (binário-decimal).
2. 3. Converta 213(10) para base 2
R1: 213(10) (=27 + 26 + 24 + 22 + 20)
R2: 213(10) = 0010 0001 0011(BCD) ← cada dígito é codificado separadamente em 4-bits de BCD
R3: 213(10) = 11010101(2) ← usando (por ex.) o método de divisões sucessivas por 2:
2 1 3 2
0 1 3 1 0 6 2
1
0 6 5 3 2
0 1 3 2 6 2
1 0 6 1 3 2
0
1 6 2
0 3 2
1 1
213213 a dividir por 2 dá quociente 106 e resto 1
106 a dividir por 2 dá quociente 53 e resto 0
53 a dividir por 2 dá quociente 26 e resto 1
26 a dividir por 2 dá quociente 13 e resto 0
13 a dividir por 2 dá quociente 6 e resto 1
6 a dividir por 2 dá quociente 3 e resto 0
3 a dividir por 2 dá quociente 1 e resto 1
⇒ 213(2)=11010101(2)
3. [11T1.2] Escreva as representações binárias, octal e hexadecimal de: 1498(10).
R: 2732(8), 10111011010(2) e 5DA(16)
Comentário: Para converter da base 10 para a base 8, usa-se o método de divisões sucessivas por 8:
A partir da representação em base 8, converte-se directamente para a base 2, substituindo cada octal pelo 3-bit
equivalente.
A partir da representação em base 2, converte-se directamente para a base 16, substituindo cada 4-bit pelo
hexadecimal equivalente.
1 4 9 8 8
6 9
1 8 7 8
5 8
2 7 2 3 8
2
3
7 2
1498 a dividir por 8 dá quociente 187 e resto 2
187 a dividir por 8 dá quociente 23 e resto 3
23 a dividir por 8 dá quociente 2 e resto 7
⇒
1498(10)=2732(8)
=10 111 011 010(2)
=0101 1101 1010(2)=
=5DA(16)
4. [11E2.1] Escreva as representações binárias, decimall e hexadecimal de 65(8).
R: 65(8) = 110 101(2) = 11 0101(2) = 35(16) = 3*16+5(10) = 53(10). Confirmação:
53(10).
Confirmação 65(8) = 6*8+5(10) =53
5. Escreva as representações binária, octal e hexadecimal de:
A = 25,25(10); B= 212,5(10); C=4,9865(10);
D=53,15(10);
R: A = 11001,01(2) = 31,2(8) = 19 ,4(16)
B= 11010100,1(2) = 324,4(8) = D4,8(16)
C = 100,111111001100...(2) = 4,7714714...(8) = 4,FCCC..(16)
D= 110101,00100110011...(2) = 65,I14631463...(8) = 35,2666(16)
E= 1001011,0011000111...(2) = 113,I436(8) = 48,31E...(16)
6. [11P2.1] Conversão para bases 2, 8 e 16:
6. 1. Converta da base 2 para as bases 8 e 16 o número 10110(2)
6. 2. Converta para a base 2 o número 354(6)
6. 3. Converta para a base 8 o número 276(16)
E = 75,195(10)
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R1: 10110(2) = 010 110(2) → 26(8)
10110(2) = 0001 0110(2) → 16(16)
4
2
1
Confirmação:
Confirmação 2 +2 +2 =22(10), 2*8+6=22(10), 1*16+6=22(10)
2
R2: 354(6) → 3*6 + 5*6 +4 = 142(10) → 216(8) → 10 001110(2)
Confirmação:
Confirmação 10001110(2) → 128+8+4+2 = 142(10) → 354(6) (por divisões sucessivas)
R3: 276(16) → 0010 0111 0110(2) = 001 001 110 110(2) → 1166(8)
3
2
Confirmação:
Confirmação 1166(8) → 8 +8 +6*8+6(10) = 630(10) → 276(16) (por divisões sucessivas)
7. Passe para a base 10 os números seguintes:
A = 4371(8);
B=325(6);
C = 0,245(8); D = 0,43(7)
E = 101011,100101(2); F = 11001010,0101(2); G = 55,464(8)
H = 732,56(8);
I= A2D,9A(16);
J = A21,A2(16);
K = 325,42(7)
R: A=287(10) , B=125(10); C= 0,322265625(10); D= 0,632653. . (10);
E=43,578125(10); F=202,3125(10); G=45,6015625(10) =; H=474,71875(10)
T=2605,6015624(10); J=2593,6328125(10); K=166,6122448979...(10)
8. Conversão entre duas bases quaisquer;
Y = AB0,E9(16)
8. 1. Passe para a base 8 os números
X = 2AF,DF(16);
8. 2. Passe para a base 2 o número hexadecimal
Z=B0CA(16)
R: soluções: X = 1257,675(8); Y = 5260,722(8); Z=1011000011001010(2)
9. Determinação de bases de numeração…
9. 1. Determinar b, sendo 5A(16) = 132(b)
9. 2. Dado 20(10)=110(b), calcular b;
9. 3. Qual é a base em que as raízes da equação (escrita nessa base) 5*x2+50x+125=0 são -5 e -8?
9. 4. Verificar quais as bases de numeração possíveis em que
1234+5432 = 6666; 4l/3 = 13; 23+44+14+32 = 223; 302/20=12,1; √41=5
R: 1) 8; 2) 4; 3) 13; 4) todas as bases ≥7; 8; 5; 4; 6.
10.
Conversões directas entre as bases 2, 8 e 16
10. 1. Passe para as bases 4, 8 e 16
X = 1101101,1001101(2); Y = 11001101,0101(2); Z = 111010,01I11(2); W = 10111110,00001111(2)
10. 2. Passe para a base 2 os números: X=2031,123(4); Y=432,56(8); Z=EA2,F5(16);
W=210,74(8)
10. 3. Passe para a base 2, passando primeiro pela base 16, os números: Y = 760,21(10); I = 24,32(10)
10. 4. Passe para a base 3 os números: X = 585(9); Y = 467(9)
R1: X = 1231,2122(4) = 155,464(8) = 6D,9A(16)
Y = 3031,11(4) = 315,24(8) = CD,5(16)
Z = 322,132(4) = 72,36(8) = 3A,78(16)
W = 2332,0033(4) = 276,036(8) = BE,0F(16)
R2: X = 10001101,011011(Z); Y = 100011010,10111(2)
Z = 111010100010,11110101(2); W = 10001000,1111(2)
R3: Y = 2F8,35(16) = 1011111000,00110101(2); Z = 18,51(16) = 11000,01010001(2)
R4: X = 122212(3), Y = 112021(3)
11.
[09P1.3] Pretende-se converter o número 38(10) para a base 16
11. 1. Faça a conversão directamente.
11. 2. Faça a conversão através da base 2 (converta primeiro para base 2 e depois para base 16).
R1: 38(10) = 26(16); Confirmação:
Confirmação 2*16+6=32+6=38(10)
Comentário: Para converter da base 10 para a base 16, usa-se o método de divisões sucessivas por 16:
3 8 1 6
6 2
38 a dividir por 16 dá quociente 2 e resto 6
⇒
38(10)=26(16)
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R2: 38(10) = 10110(2)=26(16):
Comentário: Para converter da base 10 para a base 2, usa-se o método de divisões sucessivas por 2. A
partir da representação em base 2, converte-se directamente para a base 16, substituindo cada 4-bit pelo
hexadecimal equivalente.
3 8 2
1 8 1 9 2
0
1 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1
38 a dividir por 2 dá quociente 19 e resto 1
19 a dividir por 2 dá quociente 9 e resto 1
9 a dividir por 2 dá quociente 4 e resto 1
4 a dividir por 2 dá quociente 2 e resto 0
2 a dividir por 2 dá quociente 1 e resto 0
12.
Passe o número 428,32(9) para a base 10
13.
Determine a base b em que 32(b )+24(b)=102(b)
14.
⇒
38(10)=100110(2)
=10 0110(2)
=0010 0110(2)
=26(16)
Seja x o seu número de BI dividido por 100;
14. 1. Qual é o menor valor, diferente de 10, que pode ter b?
14. 2. Passe o número x(b) para as bases 2, 3, 8 e 16
14. 3. Escreva o triplo do número x(b) na base 8.
15. Suponha que escreve números N, numa base b, com 3 algarismos inteiros e 3 algarismos fraccionários,
sendo o maior número admissível nesta base o número 333,333(b). Exemplos de números nesta base são 003,230,
110,001 e 000,000. Considere o número N = 231,312(b)
15. 1. Passe N para a base 2
15. 2. Passe N para a base 10, com o número necessário e suficiente de casas decimais (log 10 / log 2 = 3,33)
16.
16. 1. Converta o número A37,6B(13) nas bases 2, 6 e 16
16. 2. Determine a base de numeração b em que 51(b) = 6
17.
17. 1.
17. 2.
17. 3.
17. 4.
18.
Converta o número 514,2113(6) nas bases 2, 8 e 16.
Qual a base de numeração b em que 127(8) = 322(b)?
Realize as seguintes operações: a-b, a b e a : b em que a = 100100,11(2) e b=1011,011(2)
Idem (excepto a divisão) para a = 321,54(U) e 163,62(8)
Exprimir
1431(8) na base 10; 548(10) na base 8;
11001101,0101(2) nas bases 8 e 4;
0,3125(10) na base 8
1984(10) na base 8;
1101,01(2) na base 10;
1776(10) na base 6;
432,354(10) na base 2
432,2(8) na base 10;
3,1415(10) nas bases 2 e 8
19.
Dado 16(10) = 100(b), calcule b
20.
Dados a=1010,1, b=101,01 e c=1001,1, calcular a+c, a-b, a+b e a/b
21.
Exprimir 11011101,1001101(2) nas bases 8 e 16
22.
Considere o número X = 2013(4)
22. 1. Diga se existe alguma base de numeração b em que 249(b)= X
22. 2. Escreva o número X nas bases 2, 8 e 16