QUADRILÁTEROS

Geometria – 8° Ano A/B/C/D
Prof. Israel Lopes
QUADRILÁTEROS (Cap. 18)
A presença da forma dos quadriláteros é muito frequente em
situações do dia a dia, como em caixas, malas, casas, edifícios
etc. Vejamos!
Elementos de um quadrilátero
Observando o quadrilátero AEOU da figura, podemos destacar:
Vértices: A, E, O, U.
Ângulos internos: Â, Ê, Ô e Û.
Lados: AE, EO, OU, UA.
Diagonais: AO e EU.
É importante destacar outros vértices, lados e ângulos
internos. Nesse quadrilátero, temos:
Vértices opostos: A e O ; E e U.
Lados opostos: AE e OU ; AU e EO.
Ângulos internos opostos: Â e Ô ; Ê e Û.
Ângulos consecutivos: Â e Û ; Ô e Ê ....
Perímetro
É a soma de todos os lados AE + EO + OU + UA.
Somas dos Ângulos Internos de um quadrilátero
Experiência:
Desenhe um quadrilátero ABCD e trace a diagonal BD.
O que vocês observam?
Vocês poderiam dizer qual é a soma dos ângulos internos
desse quadrilátero, só observando o que fizeram?
Como obtemos dois triângulos, podemos dizer que:
Soma dos ângulos internos é igual a 360º.
Exemplo:
1) Página 225. Questão 5: a)
2) Página 225. Questão 7: a)
Trapézios
Trapézios são quadriláteros que tem dois lados paralelos.
Observe os seguintes quadriláteros:
R
S
U RS // TU
T
RS é a base menor;
TU é a base maior.
J .
N
.
M
L
M
JL // NM
JL é a base menor;
MN é a base maior.
JN ┴ MN
Q
N
P
NP // MQ
Eles são trapézios!
No trapézio MNPQ, os lados não paralelos são congruentes, por
isso ele é chamado de trapézio isósceles.
No trapézio JLMN, existem dois ângulos retos, por isso ele é
chamado trapézio retângulo.
No trapézio RSUT, todos os lados são diferentes, por isso é
chamado de trapézio escaleno.
Paralelogramos
Um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Observe os seguintes quadriláteros:
E
M
A
B
AB // CD
AD // BC
S
U
T
Q
N
D
R
F
C
P
MQ // NP e MN // PQ
RS // TU
RU // ST
H
EF // GH
EH // FG
G
Losango
É um quadrilátero cujos quatro lados são congruentes.
Veja:
AB = BC = CD = DA
Obs.: um losango também é um paralelogramo.
Retângulo
É um quadrilátero cujos quatro ângulos são
retos.
Veja:
A = B = C = D = 90°
Obs.: um retângulo também é um
paralelogramo.
Quadrado
É um quadrilátero cujos quatro lados são
congruentes e cujos quatro ângulos são retos.
Veja:
AB = BC = CD = DA, por isso todo quadrado é um
losango.
A = B = C = D = 90°, por isso todo quadrado é um
retângulo.
Capítulo 19: Propriedades dos Quadriláteros Notáveis.
B
A
a
Paralelogramo
b
O
d
c
Propriedades dos ângulos e dos lados
C
D
Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
a=ceb=d
Em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
AB = DC e AD = BC
Em um paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
AO = OC e BO = OD
Obs.: as propriedades vistas são válidas também para o retângulo, losango e
quadrados, pois são casos particulares de paralelogramos
Retângulo
Todo retângulo é um paralelogramo. Por isso, em
qualquer retângulo:
A
D
.
.
.
.
B
• Ângulos opostos são congruentes
• Lados opostos são congruentes
• Diagonais cortam-se ao meio
C
Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
AC = BD
Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.
Losango
Todo retângulo é um paralelogramo. Por isso, em
qualquer retângulo:
a
c
d
• Ângulos opostos são congruentes
• Lados opostos são congruentes
• Diagonais cortam-se ao meio
b
Em todo losango as diagonais são perpendiculares.
Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.
Conclusões:
Em todo paralelogramo:
os lados opostos são congruentes;
os ângulos opostos são congruentes;
as diagonais cortam-se ao meio;
os ângulos consecutivos são suplementares.
No retângulo (além das propriedades acima):
as diagonais são congruentes.
No losango (além das propriedades acima):
as diagonais são perpendiculares entre si e estão
contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.
No quadrado (além das propriedades acima):
as diagonais são congruentes, perpendiculares
entres si e estão contidas nas bissetrizes dos
ângulos internos.
Exemplo: No losango ABCD, determine:
D
A
y
x
B
x+37°
C
a) as medidas x e y indicadas;
b) as medidas dos quatro ângulos
do losango.
I) Sabendo-se que as diagonais do
losango são perpendiculares, então:
x + 37º = 90º
x = 53º.
II) Sendo as diagonais bissetrizes dos
ângulos, temos:
ângulo B = 2x;
ângulo B = 106º.
III) Sabendo-se que A + B + C + D = 360º
e os ângulos opostos são congruentes,
temos:
106º + 106º + 2y + 2y = 360º
4y = 360º - 212º
4y = 148º
IV) Logo, as medidas dos ângulos do
y = 37º
losango são: 106º, 106º, 74º e 74º.