O Teorema dos N´umeros Primos - MAT-UFG

O Teorema dos Números Primos
Alysson Tobias Ribeiro da Cunha(alyxz [email protected])
III Bienal da SBM - IME/UFG - 2006
Se σ > 1 então 7 converge uniformemente em cada subconjunto compacto deste semiplano, logo a função (7) é holomorfa no semiplano
σ > 1. Temos que
Resumo
Conclusões
Seja π(x) = quantidade de primos ≤ x. Gauss procurou uma função
f (x) que satisfizesse
Z N +1
Z n+1
N
N
X
X
[x]
N
dx
1
s
−
.
dx = s
=
n
s
s
1+s
1+s
n
(N + 1)
x
x
1
n
n=1
π(x)
lim
= 1.
x→∞ f (x)
A identidade de Euler
n=1
1
,
ζ(s) =
1
p 1 − ps
→ 0, comN → ∞. Logo
Como σ > 1 temos que (NN
+1)s
Em 1792 ele conjecturou(sem conseguir provar) que
Z x
dt
x
e ϕ(x) =
log(x)
2 log t
Y
Z ∞
[x]
dx.
ζ(s) = s
1+s
1 x
faz a conexão entre propriedades dos números primos e a Análise
Matematica. Isso justifica o fato de que a na demonstração do Teorema
de Distribuição dos Números Primos (1) usa-se muito mais análise do
que técnicas da teoria dos números.
Pondo b(x) = [x] − x, temos que
eram boas aproximações.
Em 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin, independentemente, mas
baseados nas idéias de Riemann demonstrarão que
Z ∞
s
b(x)
ζ(s) =
+s
dx.
1+s
s−1
1 x
log(x)
lim π(x)
= 1.
x→∞
x
Como b é limitada a última integral é uma função holomorfa no semiplano σ > 0. Logo (8) define uma continuação analı́tica para ζ em
σ > 0, que é holomorfa exceto no pólo simples s = 1, cujo resı́duo é 1.
Considere a identidade de Euler
Y 1
, (σ > 1).
ζ(s) =
1
p 1 − ps
(1)
Objetivo
(8)
Desta identidade temos ζ(s) 6= 0 se σ > 1 e
A seguir p denotara um número primo, pn sera sequência primos e se
x ∈ R, x > 0, então [x] sera o maior inteiro tal que [x] ≤ x. Considere
as funcões
log p, se n = p, p2, p3, ...
(2)
λ(n) =
0, caso contrário.
X
ψ(x) =
λ(n),
(3)
n≤x
log ζ(s) =
log(x)
1
ψ(x)
≤ π(x)
<
+
x
x
log x
x
log x
log x − 2 log(log x)
o
,
log |ζ 3(σ)ζ 4(σ+it)ζ(σ+2it)| =
(4)
(5)
p≤x
Assim obtemos a primeira desigualdade (4). Se 1 < y < x, então
y<p≤x
X log p ψ(x)
1≤
≤
,
log y
log y
y<p≤x
ψ(x)
logo π(x) < y + log y , fazendo y = x2 obtemos a segunda desiguallog x
dade em (4). Seja
X
n−1p−nσ Re{3+4p−int+p−2int} ≥ 0,
pois Re{3 + 4eiθ + e2iθ } = 2(1 + cos θ)2 para todo θ ∈ R. Logo
Prova de (4): [log x/ log p] e o número de potências de p que não
excedem x.Então
X
X h log x i
log p ≤
log x = π(x) log x.
ψ(x) =
log p
π(x) − π(y) =
Apoios
Seja t 6= 0, então da igualdade anterior temos
ζ(σ + it) 4
1
3
|(σ − 1)ζ(σ)| .
|ζ(σ + 2it| ≥
(σ − 1)
σ−1
logo (1) estará demonstrado se provarmos que
ψ(x)
= 1.
lim
x→∞ x
∞ X
x
F (x) =
ψ
.
n
Então e possı́vel mostrar(veja[1]) que
b(x) log x
F (x) = x log x − x + xc(x), onde c(x) =
,
x
(6)
(9)
Daı́ se ζ(1 + it) = 0, para algum t então o primeiro membro anterior
converge para o limite finito |ζ 0(1 + it)|4|(1 + 2it)| quando σ → 1. Pois
s = 1 e pólo simples de ζ com resı́duo 1 e
ζ(σ + it) ζ(σ + it) − ζ(1 + it)
=
→ ζ 0(1 + it), quando σ → 1.
(σ − 1)
(σ + it) − (1 + it)
Isto é uma contradição pois o segundo membro de (9) tende a infinito
com σ → 1, por valores maiores do que 1.
A prova do teorema anterior pode ser encontrada em [1]. Segue de
(1) que o n-ézimo primo é aproximadamente n log n. De fato como
π(pn) = n temos que
pn
=1
lim
n→∞ n log pn
Tomando o logaritmo e usando suas propriedades temos
log n
lim
=1
n→∞ log pn
logo
n=1
pn
log pn
pn
= lim
= 1.
·
lim
n→∞ n log pn log n
n→∞ n log n
para maiores detalhes veja [3]. Usando integração por partes é possı́vel
provar que (1) é equivalente a
e b(x) permanece limitada quando x → ∞. A prova de (5) segue de
(6) e do próximo teorema, fazendo g = ψ.
π(x)
lim
= 1,
x→∞ ϕ(x)
Teorema 1. Seja g não decrescente definida em R tal que g(x) = 0
se x < 1. Seja
∞ X
x
G(x) =
g
.
n
onde ϕ é a função definida no Resumo. Para maiores detalhes veja [3].
Uma demonstração alternativa do Teorema de Distribuição do
Números Primos ou simplesmente Teorema dos Números Primos
(1) pode ser encontrada em [2].
n=1
Se G puder ser escrita na forma G(x) = ax log x + bx + x(x), onde
a, b são constantes e (x) → 0 com x → ∞. Então
g(x)
lim
= a.
x→∞ x
A prova deste teorema se baseia em transformada de Fourier,
convoluções de funcões, convoluções de medidas, o teorema de
Wiener(veja[1]) e numa propriedade da função zeta de Riemann que
ilustraremos a seguir. A função Zeta de Riemann é definida por
∞
X
1
,
ζ(s) =
s
n
(σ > 1)
(7)
n=1
onde s = σ + it ∈ C. A propriedade referida é ζ(1 + it) 6=
0, para todo t ∈ R. Antes de provar esta identidade veremos que
ζ possui uma continuação analı́tica ao semiplano σ > 0.
[1] Rudin, Walter , Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company,USA,(1973).
[2] Apostol, T.M, Introduction to Analytic Number Theory, SpringerVerlag,(1976).
[3] Simmons, George F. Calculo com Geometria Analitica,Makron
Books do Brasil Editora Ltda, Sao Paulo.
(σ > 1)
p,n
ψ(x) n
X
n−1p−ns
Referências
p n=1
Mostraremos que se x > e então
p≤x
∞
XX
(σ > 1),