Geometria

da
GEOMETRIA
do grêmio politécnico
1ª Aula
3- Ângulos Consecutivos:
Introdução à Geometria Plana
1- Conceitos Primitivos:
Na figura, os ângulos AÔB e
BÔC são consecutivos,
portanto AÔC=AÔB+AÔC
a) Ponto
A
b) Reta
c) Semi-reta
d) Segmento de Reta
r
4- Bissetriz (corta em duas metades iguais):
e) Plano
Na figura a semi-reta
OB é a bissetriz do
ângulo AÔC
5- Relações entre dois ângulos podem ser:
a) complementares:
AÔB+CÊD=90º
2- Ângulo Geométrico:
O ângulo “alfa” formado pelos pontos A, O e B é
indicado da seguinte maneira: AÔB ou BÔA.
E a sua unidade é em graus (º).
A soma dos ângulos vale 90 graus, portanto AÔB e
CÊD são ângulos complementares.
b) suplementares:
AÔB+CÊD=180º
Podemos classificar o ângulo de abertura segundo
a medida de α em:
A soma dos ângulos vale 180 graus, portanto AÔB
e CÊD são ângulos suplementares.
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6- Ângulos Adjacentes:
9- Retas Perpendiculares (forma 90º):
Alfa e beta são ângulos adjacentes.
7- OPV, Ângulos Opostos pelo Vértice:
Alfa e beta
são ângulos
opostos pelo
vértice.
Portanto:
10- Retas Paralelas cortadas (mesma inclinação):
8- Duas Retas distintas Coplanares (no mesmo
plano):
a) Concorrentes (cruzam-se):
EXERCÍCIOS DE AULA:
Nas figuras, determinar o valor de X:
a)
b) Paralelas (não se cruzam):
b)
4
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c)
d)
4)
EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
2)
3)
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2- Ângulo Externo:
5)
3- Triângulo Isósceles (dois lados congruentes,
mesma medida, tudo que acontece de um lado,
acontece do outro também.):
6)
2ª Aula
4- Triângulo Equilátero (todos os lados e ângulos
congruentes).
Ângulos Num Triângulo
1- Soma dos Ângulos Internos:
6
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5- Triângulo Retângulo:
EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
EXERCÍCIOS DE AULA:
1- O ângulo BÂC mede:
a) 20º
b) 40º
c) 60º
d) 80º
e) 100º
2- No triângulo abaixo, AB=AC, o ângulo α é de:
a) 110º
b) 120º
c) 130º
d) 140º
e) 150º
2)
3- Na figura, BC=AC=DC. Calcule o valor de α:
a) 70º
b) 80º
c) 90º
d) 100º
e) 110º
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5)
3)
6)
3ª Aula
Polígonos Convexos
1- Polígono:
Determinemos três ou mais pontos consecutivos,
em um plano, não colineares (P1, P2, P3, ... , Pn). As
ligações destes pontos formam segmentos que originam
um polígono.
Exemplos:
4)
8
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De maneira geral, para ser um polígono, a figura
deve estar contidas em um único plano e fechadas. O
polígono só será convexo se, e somente se, qualquer
segmento PQ, (cujos extremos pertencem à região
poligonal) está inteiramente contido à região poligonal.
Do contrário será um polígono não-convexo.
Exemplos:
1º passo: escolha um vértice.
2º passo: una todos os demais vértices ao vértice escolhido
e forme os triângulos.
3º passo: conte os triângulos.
4º passo: Como cada triângulo possui a soma das medidas
dos ângulos internos igual a 180º, então para saber a soma
dos ângulos internos do polígono, basta multiplicar o
número de triângulos formados por 180º, pois todos os
ângulos internos dos triângulos formados também são
ângulos internos do polígono.
Exemplo:
Alguns polígonos recebem nomes específicos de
acordo com o seu número de lados. Veja alguns nomes na
tabela abaixo:
O Polígono ao lado é um
Heptágono (7 lados).
Forma-se 5 triângulos com um dos
vértices. Cada triângulo possui a
soma dos ângulos internos igual a
180º então a soma dos ângulos
internos é igual a 5 x 180º = 900º
Obs: Existe uma FÓRMULA prática para o problema.
2- Soma dos Ângulos Internos de um Polígono
Convexo:
Na aula anterior, vimos que a soma dos ângulos
de qualquer triângulo é igual a 180º.
Para saber a soma dos ângulos internos de outros
polígonos convexos, podemos dividir a figura em
triângulos:
3- soma dos ângulos Externos de um Polígono
Convexo:
A soma dos ângulos externos de qualquer
Polígono Convexo é SEMPRE igual a 360º.
4- Polígono Regular:
Um polígono convexo é chamado regular quando
é equilátero (lados com a mesma medida, congruentes) e
equiângulo (ângulos com a mesma medida, congruentes).
Deste modo, um triângulo regular é um triângulo
equilátero e um quadrilátero regular é um quadrado.
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2)
EXERCÍCIOS DE AULA:
1- Determine o valor de X:
3)
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 22º
e) 25º
4)
2- Num polígono regular, a medida do ângulo
interno é o triplo da medida do ângulo externo. O
polígono é um:
a) heptágono
b) octógono
c) eneágono
d) decágono
e) tridecágono
5)
6)
EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
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4ª Aula
Ângulos na Circunferência
1- Circunferência:
Circunferência é o conjunto de pontos no plano
que é equidistante (mesma distância) de um ponto fixo
desse plano.
2- Ângulo Central:
Na figura, estão representados um ângulo central
de medida α, em graus, e o seu arco correspondente.
Temos que:
A medida, em graus,
de um ângulo central
é a medida do seu
arco correspondente.
Assim a medida em
graus de uma
circunferência é 360º
e de uma
semicircunferência é
180º.
A figura representa uma circunferência com o
centro no ponto O (ponto fixo) e raio de medida r.
Observe que todos os pontos dessa circunferência distam r
do ponto O.
3- Ângulo Inscrito.
Na figura, estão representados um ângulo inscrito
de medida α, em graus, e o respectivo arco
correspondente. Temos que:
A medida de um
ângulo inscrito numa
circunferência
SEMPRE é a metade
do seu arco
correspondente.
Elementos:
AO – raio
AB – diâmetro
CD – corda
CMD – arco
t – reta tangente
T – ponto de tangência
s – reta secante
AO = OB = OT = r e AB = 2r
Observação:
Observação: Círculo ≠ Circunferência. Círculo é a união
da circunferência com seus pontos interiores. Ou seja,
circunferência é apenas a “borda” do círculo.
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4- Quadrilátero Convexo Inscrito numa
Circunferência:
Na figura (um quadrilátero circunscrito), o
quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência de
centro O e raio de medida AO=OB=OC=OD.
Temos que:
c)
2- Na figura, os arcos AEB e CFD medem,
respectivamente, 70º e 50º.
EXERCÍCIOS DE AULA:
1- Em cada figura, obter o valor de X, sendo O o
centro da circunferência.
a)
O valor de X é:
a) 10º
b) 20º
c) 50º
d) 60º
e) 70º
3) Na figura, o valor de X é:
b)
12
a) 35º
b) 45º
c) 55º
d) 65º
e) 75º
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EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
3)
2)
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4)
2- Paralelogramo:
Propriedades:
5)
3- Retângulo:
6)
Propriedades:
4- Losango:
5ª Aula
Quadriláteros Notáveis
Quadriláteros convexos que possuem pelo menos
um par de lados paralelos são chamados de Quadriláteros
Notáveis. São eles:
1- Trapézio:
Propriedades:
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5- Quadrado:
EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
2)
Propriedades:
3)
EXERCÍCIO DE AULA:
Represente o conjunto dos quadriláteros notáveis
em um diagrama de Venn.
U: conjunto dos quadriláteros convexos.
T: conjunto dos trapézios.
P: conjunto dos paralelogramos.
R: conjunto dos retângulos.
L: conjunto dos losangos.
Q: conjunto dos quadrados.
4)
5)
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6)
O ponto G é o encontro das medianas. Mediana é a semireta que “parte” a partir de um vértice e “corta” o lado
oposto na metade.
Propriedade:
AG = 2GD
BG = 2GE
CG = 2GF
2- Incentro:
7)
I é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
E também é o encontro das bissetrizes internas do
triângulo ABC.
Bissetrizes internas: AD, CF, BE.
3- Circuncentro:
6ª Aula
Pontos Notáveis de um Triângulo
1- Baricentro:
O ponto O é o encontro das três mediatrizes do
triângulo ABC, o circuncentro, que é o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo. A mediatriz é a
reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu
ponto médio.
4- ortocentro:
H é o encontro das
alturas no triângulo
ABC. Alturas: AD, CF,
BE.
16
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5- Triângulo retângulo:
Na quarta aula, vimos que a medida de um ângulo
inscrito numa circunferência SEMPRE é a metade do seu
arco correspondente. Como
o diâmetro forma um arco
de 180º, então qualquer
triângulo que podemos
formar (como na figura)
será retângulo, com a
hipotenusa sendo o
diâmetro.
2)
EXERCÍCIO DE AULA:
Associar os nomes:
a) baricentro
b) incentro
c) circuncentro
d) ortocentro
com as seguintes expressões correspondentes,
relativas a um triângulo.
IIIIIIIVVVI-
( ) Centro da circunferência inscrita.
( ) Ponto equidistante dos vértices.
( ) Ponto de encontro das Medianas.
( ) Centro da circunferência
circunscrita.
( ) Ponto de encontro das retas
suportes das alturas.
( ) Ponto que divide cada mediana
numa razão de 2 para 1.
3)
4)
EXERCÍCIOS EM CASA:
1)
5)
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Observe que, na figura anterior, podemos imaginar o
triângulo ABC diminuiu de tamanho de maneira
proporcional e se transformou no outro triângulo EFG.
Temos assim um triângulo parecido, mas não igual. O
lado EF é correspondente e homólogo ao lado AC, assim
com os lados AB com EG ou BC com GF.
Nos triângulos ABC e EFG, temos:
6)
e
,
onde K é a razão se semelhança entre os triângulos.
3- Observações:
1) Em dois triângulos semelhantes, a razão K é a
razão de dois elementos lineares correspondentes
quaisquer. Ou seja, qualquer medida (seja ela altura, lado,
que não seja relacionado diretamente com o ângulo) é
proporcional segundo a razão K.
7ª Aula
Triângulos Semelhantes
A
1- Introdução:
Um triângulo é semelhante a outro quando, como
diz o próprio nome, parecido. Analogamente um carrinho
de brinquedo em miniatura é semelhante ao seu original
(em tamanho real), pois é parecido. Assim podemos
afirmar que existe uma diferença que é a proporção entre
os carrinhos. Portanto semelhante não significa
absolutamente igual, apenas parecido ou proporcional.
2- Definição:
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,
os seus ângulos têm, respectivamente, as medidas e os
seus lados correspondentes têm medidas proporcionais
(formam razões iguais).
E
G
M
B
H
I
C
AH altura relativa ao vértice A
BM mediana relativa ao vértice B
EI altura relativa ao vértice E
GN mediana relativa ao vértice G
Então temos os ângulos:
E as relações:
A
E
G
B
C
F
18
Atenção! As relações SEMPRE devem ser com os
elementos lineares correspondentes, ou seja: altura com
altura; mediana com mediana; lado com lado...
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N
F
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2) Para indicar que o triângulo ABC é semelhante
ao triângulo EFG usamos o seguinte símbolo “~”:
ABC ~ EGF
“~” lê-se “é semelhante a”.
3) Dois triângulos de K=1 são congruentes
(“iguais”).
EXERCÍCIOS DE AULA:
1- No ABC da figura, DE BC. Sendo AB=15cm,
AC = 12cm, BC = 21cm e BD = 5cm, o segmento
DE, em cm, mede:
4- Identificação de Triângulos Semelhantes:
Para concluir-se que dois triângulos são
semelhantes, não é necessário verificar se os seus ângulos
internos têm respectivamente as mesmas medidas e se os
seus lados são proporcionais.
Porém existe uma regra prática utilizada na
verificação de triângulos semelhantes:
SEMPRE que dois triângulos possuírem dois ângulos
internos respectivamente de mesma medida, ENTÃO
ELES SÃO SEMELHANTES.
Concluído que são semelhantes (pela regra prática
ou não), todos os elementos lineares são proporcionais
pela definição.
Exemplos:
a)10
b)10,5
c)12
d)12,5
e)14
2- O triângulo ABC da figura é retângulo em A.
Sendo DE perpendicular ao lado BC, AB = 10cm,
AC = 18cm e DE = 5cm, o segmento CE, em cm,
mede:
a) 9
b)10/3
c)8
d)11/4
e)10
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EXERCÍCIOS EM CASA:
3)
1)
4)
5)
2)
20
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8ª Aula
EXERCÍCIOS EM CASA:
Triângulos Semelhantes (continuação)
EXERCÍCIOS DE AULA:
1)
1- (FUVEST) Dados:
MBC = BAC
AB = 3
BC = 2
AC = 4
Então
a)
b)
c)
d)
e)
MC =
3,5
2
1,5
1
0,5
2- A figura mostra um retângulo DEFG inscrito
num triângulo ABC. Se a base FG do retângulo é o
dobro da altura EF, então o perímetro desse
retângulo é:
a)
b)
c)
d)
e)
2)
3
5
12
18
30
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21
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3)
5)
4)
22
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Repostas dos EXERCÍCIOS EM CASA
1ª aula
1- a) 50º b) 30º c) 18º d) 5º
2- a) 130º b) 120º c) 80º d) 45º
3- a) 36º b) 10º c) 26º d) 2º e) 30º f) 15º
4- a) 30º b) 36º c) 30º d)50º
5- A
6- A
2ª aula
1- a) 50º b) 26º c) 30º d) 60º e) 40º f) 50º
g) 18 h) 30º
2- a) 20º b) 60º c) 40º d) 10º
3- a) 40º b) 20º c) 30º
4- C
5- D
6- A
7ª aula
1- a) 3cm b) 6cm c) 1/3
2- a) 12cm b) 3cm c) 6cm
3- E
4- D
5- C
8ª aula
1- D
2- D
3- A
4- A
5- B
3ª aula
1- a) 60º b) 50º c) 110º
2- a) 540º b) 720º c) 900º d)1440º e) 3600º
3- a) 60º e 120º b) 90º e 90º c) 108º e 72º
d) 120º e 60º e) 135º e 45º f) 144º e 36º
4- E
5- C
6- B
4ª aula
1- a) 120º b) 40º c) 60º d) 80º e) 30º f) 50º
2- a) 55º b) 60º c) 60º d) 70º e) 60º f) 30º
3- B
4- A
5- a) 50º b) 35º
6- C
5ª aula
1- a) V b) V c) F d) V e) V f) F g) V h) F i) F
j) V
2- E
3- D
4- x=60º e y=120º
5- D
6ª aula
1- C
2- a) 4 b) 2 c) 3 d) 4,5
3- D
4- 10
5- A
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