Equação de Schrödinger - Instituto de Física

* Tradução e adaptação livre das aulas do Professor
Rick Trebino em: www.physics.gatech.edu/frog
Unidade 2 – Aula 4
Equação de Schrödinger*
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
A Equação de Onda de Schrödinger
Valores Esperados
Poço de Potencial Quadrado Infinito
Poço de Potencial Quadrado Finito
Barreiras e Tunelamento
Poço de Potencial Infinito Tridimensional
Erwin Schrödinger (1887-1961)
A careful analysis of the process of observation in atomic physics has
shown that the subatomic particles have no meaning as isolated
entities, but can only be understood as interconnections between the
preparation of an experiment and the subsequent measurement.
- Erwin Schrödinger
Marcia R. Gallas (FIS01184) – IF-UFRGS
Opiniões sobre mecânica quântica
I think it is safe to say that no
one understands quantum
mechanics. Do not keep saying
to yourself, if you can possibly
avoid it, “But how can it be like
that?” because you will get
“down the drain” into a blind
alley from which nobody has yet
escaped. Nobody knows how it
can be like that.
- Richard Feynman
Those who are not shocked
when they first come across
quantum mechanics cannot
possibly have understood it.
Richard Feynman (1918-1988)
- Niels Bohr
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4.1: A Equação de Onda de Schrödinger
A equação de onda de Schrödinger na sua forma dependente do
tempo para uma partícula com energia E se movendo num potencial
V em uma dimensão é:
onde V = V(x,t)
e i é a raiz quadrada de -1.
A Equação de Schrödinger é A equação fundamental da Mecânica
Quântica.
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Solução Geral da Equação da Onda
de Schrödinger quando V = 0
Tente esta solução:
∂Ψ
= −iω Aei ( kx −ωt ) = −iωΨ
∂t
∂Ψ
= ikAe i ( kx −ωt ) = ikΨ
∂x
ih
∂Ψ
= (ih)(−iω ) Ψ = hω Ψ
∂t
∂ 2Ψ
= (ik )(ik ) Aei ( kx−ωt ) = −k 2 Ψ
2
∂x
−h2 ∂ 2 Ψ h 2k 2
=
Ψ
2m ∂x 2
2m
Esta solução funciona se:
h2k 2
hω =
2m
o que nos mostra que a
energia total do sistema é a
energia cinética!!
2
2
2
 h   2π 
h
  
 
hk
p2
2π   λ 
λ

=
=  =
2m
2m
2m
2m
2
2
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2
Solução Geral da Equação da
Onda de Schrödinger quando V = 0
V = 0, significa que temos uma partícula livre no espaço, e a solução
geral tem a forma
que também descreve o movimento de uma onda na direção x. Em
geral a amplitude pode ser complexa.
A função de onda também não está restrita a ser real! Note que esta
função é complexa (i).
Sómente as quantidades fisicamente mensuráveis são reais. Isto
inclui a probabilidade, o momento e a energia.
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Normalização e Probabilidade
A probabilidade P(x) dx de uma partícula estar entre x e x + dx é dada
pela equação
A probabilidade de uma partícula estar entre x1 and x2 é dada por
A função de onda deve também ser normalizada para que a
probabilidade desta partícula estar em qualquer lugar no eixo x seja 1.
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Propriedades de Funções de Onda Válidas
Condições para a função de onda:
1. Para evitar probabilidades infinitas, a função de onda deve ser
finita em todos os pontos.
2. A função de onda deve ter um valor único (“single valued”).
3. A função de onda deve ser diferenciável duas vezes. Isto significa
que ela e suas derivadas devem ser contínuas. (Uma exceção
para esta regra ocorre quando o potencial V é infinito.)
4. Para normalizar uma função de onda, ela deve se aproximar de
zero quando x vai a infinito.
Soluções que não satisfazem estas propriedades em geral não
correspondem a situações físicamente realizáveis.
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Equação de Onda de Schrödinger Independente do Tempo
O potencial em muitos casos não depende explicitamente do tempo.
A dependência com o tempo e com a posição podem ser separados
na equação de onda de Schrödinger. Podemos escrever:
Levando à:
Agora dividindo pela função de onda ψ(x) f(t):
A parte esquerda depende somente de t, e a parte
direita depende somente de x. Deste modo cada
lado deve ser igual a uma constante. O lado
dependente do tempo fica:
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Equação de Schrödinger Independente do tempo
Integrando ambos os lados temos:
onde C é uma constante de integração que podemos escolher como
sendo zero.
Portanto:
Lembre da solução para uma partícula livre (onde V=0)
Ψ ( x, t ) = Ae i ( kx−ωt ) = Ae i ( kx ) e − iωt
Onde f(t) = e -iω t, assim: ω = B / ħ ou B = ħ ω, o que significa que: B = E !
Assim multipicando por ψ(x), a equação de Schrödinger espacial fica:
−
h 2 1 d 2ψ ( x)
+ V ( x) = B
2m ψ ( x) dx 2
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Esta equação é conhecida como Equação de Onda de Schrödinger
Independente do Tempo , e é uma equação tão fundamental em
Mecânica Quântica como a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Os físicos em geral escrevem esta equação simplesmente como:
Ĥψ = Eψ
onde:
h2 ∂ 2
Hˆ = −
+V
2m ∂x 2
Ĥ é um operador
conhecido como
Hamiltoniano.
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Estados Estacionários
A função de onda pode ser escrita como:
A densidade de probabilidade fica:
A distribuição de probabilidade é constante no tempo.
Este é um fenômeno de onda estacionária e é chamado de estado
estacionário.
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4.2: Valores Esperados
Em mecânica quântica se calcula valores esperados. O valor
esperado, x , é o valor médio ponderado de uma dada quantidade.
Por exemplo, o valor esperado de x é dado por:
x = P1 x1 + P2 x2 + L + PN xN =
∑P x
i
i
i
Se exixtir um número infinito de possibilidades, e x é contínuo,
então:
∫
x = P ( x) x dx
Na Mecânica Quântica temos:
∫
x = Ψ ( x)Ψ * ( x) x dx =
∫ Ψ ( x) x Ψ( x) dx
*
E o valor esperado de alguma função de x, g(x) é dado por:
g ( x) =
∫ Ψ ( x) g ( x) Ψ( x) dx
*
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Operador Momento
Para encontrar o valor esperado de p, precisamos primeiro representar
p em termos de x e t. Considere a derivada da função de onda de uma
partícula livre com relação a x:
Com k = p / ħ temos
e portanto:
Isto nos dá a definição do operador momento como
.
O valor esperado do momento é:
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Operadores de Posição e Energia
A posição x é seu próprio operador.
Operador de energia: a derivada temporal da função de onda de
uma partícula livre é:
Substituindo ω = Ε / ħ leva a
O operador de energia é então:
O valor esperado da energia é dado por:
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Derivando a Equação de Schrödinger
usando operadores
A energia é:
E = K +V =
p2
+V
2m
⇒ EΨ =
p2
Ψ +V Ψ
2m
Substituindo pelos operadores:
E Ψ = ih
E:
∂Ψ
∂t
2
K+V:
p2
1 
∂ 
Ψ +V Ψ =
 −ih  Ψ + V Ψ
2m
2m 
∂x 
=−
Substituindo:
ih
h2 ∂ 2Ψ
+V Ψ
2m ∂x 2
∂Ψ
h2 ∂ 2Ψ
=−
+V Ψ
∂t
2m ∂x 2
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4.3: Poço de Potencial Quadrado Infinito
O exemplo mais simples é aquele de uma
partícula confinada numa caixa com paredes
rígidas, onde a partícula não pode penetrar.
Este potencial chamado de poço quadrado
infinito é dado por:
0
L
x
Claramente a função de onda deve ser zero onde o potencial é infinito.
Onde o potencial é zero (dentro da caixa), a equação de onda de
Schrödinger independente do tempo fica:
onde
A solução geral é:
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Quantização
Condições de contorno do potencial estabelecem
que a função de onda deve ser zero para x = 0
e x = L. Isto leva a soluções válidas para valores
inteiros de n de tal modo que kL = nπ.
A função de onda fica então:
Normalizando a função de onda:
⇒
0
x
L
( ∫ sen 2 xdx =
⇒
1
1
x − sen2 x)
2
4
A = 2/ L
A função de onda normalizada fica:
Estas funções são idênticas àquelas obtidas para uma corda vibrante
com pontas fixas.
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Energia Quantizada
O número de onda quantizado fica agora:
Resolvendo para a energia temos:
Note que a energia depende de valores inteiros de n. Portatno a
energia é quantizada e não é zero.
O caso especial para
n = 1 é chamado de
estado fundamental.
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4.4: Poço de Potencial
Quadrado Finito
Potencial é descrito como:
A equação de Schrödinger
for a do poço finito nas
regiões I e III é dada por:
Fazendo:
podemos escrever:
Considerando que as funções de
onda devem ser zero no infinito, as
soluções para esta equação são
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Solução para o poço quadrado finito
Dentro do poço, onde o potencial V é zero, a equação de onda fica
onde
A solução aqui é:
As condições de
contorno requerem que:
assim a equação de
onda é continua onde as
as regiões se encontram.
Note que a função
de onda não é zero
fora da caixa.
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Profundidade de Penetração
A profundidade de
penetração é a distância
for a do poço de potencial
onde a probabilidade
diminui significativamente.
É dada por
A distância de penetração
que viola as leis da física
clássica é proporcional a
constante de Planck.
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4.5: Barreiras e Tunelamento
Considere uma partícula com energia E se aproximando de uma barreira
de potencial de altura V0, sendo que o potencial em qualquer outro lugar é
zero. Primeiro vamos considerar o caso onde a energia é maior que a
barreira de potencial.
Nas regiões I e III os números de onda são:
Na região da barreira temos
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Reflexão e Transmissão
A função de onda será composta por uma onda incidente, uma onda
refletida, e uma onda transmitida.
Os potenciais e a equação de onda de Schrödinger para as três regiões
serão:
As soluções correspondentes são:
Se a onda se move da esquerda para a direita, podemos simplificar as
funções de onda:
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Probabilidade de Reflexão e Transmissão
A probabilidade das partículas serem refletidas R ou transmitidas T
é:
Como as partículas podem ser ou refletidas ou transmitidas, temos:
R+T=1
Applicando as condições de contorno
x → ±∞, x = 0, and x = L, chegamos na
probabilidade de transmissão:
Note que a probabilidade de transmissão pode ser 1.
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Tunelamento
Agora vamos considerar a
situação onde classicamente
a partícula não tem energia
suficiente para superar a
barreira de potencial, E < V0.
O resultado da mecânica quântica é uma das características mais
marcantes da física moderna. Existe uma probabilidade finita de
que a partícula possa penetrar a barreira e mesmo, emergir do
outro lado!
A função de onda
na região II fica:
A probabilidade de transmissão que
descreve o fenômeno de tunelamento é:
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Função de onda de Tunelamento
A violação da física clássica é permitida pelo princípio de
incerteza. A particula pode violar a física clássica por ∆E por um
período curto de tempo, ∆t ~ ħ / ∆E.
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Analogia com a onda na Óptica
Se luz passando através de um prisma de vidro
reflete na superfícies interna com um ângulo
maior que o ângulo crítico, ocorre reflexão
interna total. Entretanto, o campo
eletromagnético não é exatamente zero fora do
prisma. Se colocarmos outro prisma muito
próximo deste primeiro prisma, foi mostrado
experimentalmente que a onda eletromagnetica
(luz) surge no segundo prisma. A situação é
análoga ao tunelamento descrita aqui. Este
efeito foi observado por Newton e pode ser
demonstrado com dois prismas e um laser. A
intensidade da segundo feixe de luz diminui
exponencialmente com o aumento da distância
entr os dois prismas.
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Poço de Potencial: efeitos quânticos
Considere uma partícula passando
por um poço de potencial,
em vez de uma barreira.
Classicamente, a partícula iria
aumentar a sua velocidade na região
do poço porque
K = mv2 / 2 = E + V0
Na mecânica quântica, reflexão e transmissão podem ocorrer, mas o
comprimento de onda diminue dentro do poço. Quando a largura do
poço de potencial é precisamente igual a (m+½)λ ou mλ onde m é inteiro,
as ondas refletidas podem estar fora de fase ou em fase com a onda
original, e cancelamentos ou ressonâncias podem ocorrer. Estes efeitos
podem gerar uma transmissão ou reflexão quase puras para certos
comprimentos de onda. Por exemplo, em x = L para uma onda passando
para a direita, esta onda pode refletir e estar fora de fase com a onda
incidente. O efeito seria de cancelamento dentro do poço.
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Decaimento de Partícula Alfa
O fenômeno de tunelamento esplica o decaimento de partículas alfa
de núcleos pesados radioativos.
Dentro do núcleo, uma partícula alfa sente a força nuclear atrativa,
forte e de curto alcance, assim como a força de repulsão
Coulombiana.
A força nuclear domina na região dentro do raio nuclear, onde o
potencial pode ser representado aproximadamente por um poço
quadrado.
A força Coulombiana domina
fora do raio nuclear.
A barreira de potencial no raio
nuclear é maior que a energia
da partícula alfa.
Em mecânica quântica, entretanto,
a partícula alfa pode tunelar
através da barreira. Isto é observado
como decaimento radioativo.
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4.6: Poço de potencial infinito tridimensional
A função de onda deve ser uma função das três coordenadas espaciais.
Vamos considerar o operador momento atuando na função de onda e neste
caso, ele deve atuar duas vezes em cada dimensão. Temos:
Deste modo a equação de onda de Schrödinger tridimensional fica:
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O poço de potencial infinito 3D
È fácil mostrar que:
ψ ( x, y , z ) = A sin(k x x) sin(k y y ) sin(k z z )
onde:
e:
k x = π nx / Lx
E=
k y = π n y / Ly
π 2 h 2  nx2
k z = π nz / Lz
n2 
 2 + 2 + 2z 
2m  Lx Ly Lz 
n y2
Se a caixa é um cubo:
E=
π 2h2
2
2mL
(n
2
x
+ n 2y + nz2 )
Tente (10, 4, 3)
e (8, 6, 5)
Note que mais de uma função de onda podem ter a mesma energia.
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Degenerescência
A equação de onda de Schrödinger em três dimensões introduz três
números que quantizam a energia. E a mesma energia pode ser
obtida para diferentes conjuntos de números quânticos.
Um estado quântico é dito degenerado quando existe mais de
uma função de onda para uma dada energia.
Degenerescência resulta de propriedades particulares da função de
energia potencial que descreve o sistema. Uma perturbação na
energia potencial pode remover esta degenerescência.
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