Matemática – 3ª Série - Colégio I. L. Peretz

Matemática – 3ª Série
LISTA DE NÚMEROS COMPLEXOS
Data: 5 de março de 2008
1) (U.F. São Carlos – SP) Sejam x , y ∈ ℜ e z = x + yi um número complexo .
a) Calcule o produto ( x+yi ) . ( 1+i ) .
Resp : x-y + (x+y) i
b) Determine x e y para que se tenha ( x+yi ) . ( 1+i ) = 2 .
Resp : x = 1 e y = -1
2
2)(PUC – RJ) Qual é o valor de
2
(1 + i ) ?
2
Resp : i
3) (UF – MS ) – Modificado
Quais os números complexos z que satisfazem a equação z 2 = −i ⋅ z ?
3 1i
3 1 i ou z =
−
−
−
2 2
2 2
Resp : z = 0 , z = i , z =
4) (UF Viçosa – MG) Sendo i a unidade imaginária dos números complexos , qual é o
5
(
1 + i)
valor da expressão
?
Resp : 2
(1 − i )3
5) Simplifique a expressão z =
(1 + i )80 − (1 + i )82 .
Resp : 240 – i.241 .
i 96
6) Coloque na forma algébrica os seguintes números :
i9
3
4
a)
Resp: −
+ i
4 − 3i
25 25
3
2
17
35
i −i +i −i
b) 16 13 30
Resp : -1+i
i −i +i
7) Determinar x real de modo que o número z =
2 − xi
seja imaginário puro .
1 + 2 xi
Resp : x = ± 1
8) Determinar os números complexos z tais que
9) Determinar z ∈ C tal que z2 = i .
Resp :
z
z −1 5
5
+
= + i. . Resp : z = 3+2i
1− i 1+ i 2
2
2
2
2
2
+
i ou −
−
i
2
2
2
2
10) (UFRN) Se z = 4 + 2i , então z − 3z vale :
a) 6 + i
b) 1 + 8i
c) –8 + 8i
d) 1 – 8i
11) (MACK) O número complexo z=a+bi é tal que
a) a = -b
b) a = b
c) a = 2b
Colégio I. L. Peretz - Morá Fabiola
d) a = 3b2
e) 12 + 6i
Resp : C
z −i
= 1 . Então :
z −1
e) a = -7b
Resp : B
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Data: 5 de março de 2008
12) Calcular o modulo dos números :
a) (1+i)3
Resp : 2 2
5i
b)
Resp : 1
3 + 4i
13) Calcule :
i 23 − i 5 + i 44
=
i 56 + 2.i 35
12 − 5 i
b) 5 − 3 i .
=
1+ i
a)
(
)
2
i6 + i5
c)
i10
d)
Resp : 1
2
1− i
− (1 + i )
2
5
⋅
4 + 3i
5 + 5i
Resp : 26
=
Resp : -4 i
=
Resp :
4
14) Calcule o valor de
(2 + i )6 .
− 4 + 3i
1− i
5 + 5i
2
4
.
Resp : 1
25
15)Determinar o número complexo z tal que z +2 z = z . ( 1+ 2i ) .
Resp: 0
16) Determinar o número complexo z tal que z 2 + z = z .
Resp: 0 , -1+i e -1-i
17) Determine o valore real de x de modo que o número z =
2+i i
− seja real .
x+i x
Resp:
−
1
2
18) FUVEST
Achar os valores reais de x de modo que a parte real do número complexo z =
seja negativa ( i é a unidade imaginária) .
x−i
x+i
Resp: -1<x<1
19) Sabendo que iz + 2 z = − 1 + i , determine z10 , dando a resposta na forma algébrica.
Resp: 32 i
20) Sabendo que z + 2 z = 3 3 + i , determine z10 , dando a resposta na forma algébrica .
Resp: 512 + 512 3 i
21) Determine as raízes cúbicas de 27 .
Colégio I. L. Peretz - Morá Fabiola
Resp:
3,
− 3 + 3 3i − 3 − 3 3i
,
2
2
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Data: 5 de março de 2008
22) Calcular as raízes quintas de 16 – 16
2 cos
17π
17π
+ isen
15
15
, 2 cos 23π + isen 23π
15
15
Resp: 2 cos π + isen π
3 i .
3
3
, 2 cos 11π + isen 11π
15
15
,
e 2 cos 29π + isen 29π
15
15
23) Calcule as raízes cúbicas de 8 i , dando a resposta na forma algébrica .
Resp:
3 + i , − 3 + i e − 2i
3 1
+ i
24) Determine o menor valor positivo e natural de n de modo que −
2 2
número real .
n
seja um
Resp: 6
1
3
25) Determine o menor valor positivo e natural de n de modo que
+
i
2 2
número real .
Resp: 3
26) Sabendo que i z + 2 z = 6 + 6 i , determine :
a) z na forma algébrica ;
b) z na forma trigonométrica .
Resp: 2 – 2i
n
seja um
Resp: 2 2 cos 7π + isen 7π
4
4
27) Sendo z1 = 2 ( cos 15º + i sen 15º ) e z2 = cos 135º + i sen 135º , determine
( z1 . z2 )5 na forma trigonométrica e na forma algébrica .
Resp: 32(cos30º+isen30º) e 16 3 +16i
28) (PUC – SP) Se f(z) = z4 – z2 + 1 , dê o valor de f ( 1 + i ) .
Resp: -3 -2i
29) (UFF-RJ) – Modificado
Sabe-se que z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 , z7 e z8 são vértices de um octógono regular no plano
de Argand-Gauss . Se z1 = i , calcule z8 . z2 . z6 . (OBS : os vértices aumentam no
sentido anti-horário)
Resp: − 2 + i 2
2
2
30) (PUC-SP) Seja a seqüência cujo termo geral é dado por an = n . in-1 ,onde n ∈ N* e
i é a unidade imaginária . Ache o conjugado do número complexo z =8.a21 + a168 .
Resp: 168 + 168 i
31) Se z1 = 12 ( cos 40º + i sen 40º ) e z2 = 2 ( cos 10º + i sen 10º ) , calcular
32) Calcule
(
2+ 2i
)
180
z1
z2
3
.
Resp: 216 i
na forma trigonométrica e na forma algébrica .
Resp: 2180(cosπ+isenπ) e - 2180
33) Escreva na forma trigonométrica os números :
1
3
+ i.
a)
2
2
2
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Resp :
cos
2π
2π
+ i sen
3
3
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Data: 5 de março de 2008
b)
(
) 32 (1 +
3+i .
3i
)
Resp : 6 cos π + i sen π
2
2
2
+
i
2
2
34) (VUNESP) A expressão
2
109
onde i é a unidade imaginária dos complexos ,
é igual a :
a)
e) 1
2
2
+
i
2
2
b)
2
2
−
i
2
2
2
2
+
i
2
2
c) −
2
2
−
i
2
2
d) −
Resp : D
35) (PUC) Se o número complexo z = 1 – i é uma das raízes da equação
x10- a = 0 , o valor de a é:
a) 16
b) 32
c) 64
d) –16i
e) –32i
Resp: E
36) (SANTA CASA) O menor valor de n inteiro e positivo para o qual
yn = 2 + 2 3 i
(
)
a) 3
b)12
n
seja real e positivo é :
c)6
d)9
37) (SANTA CASA) O número complexo z =
e)n.d.a
8
2 cos
π
16
+ i sen
Resp: C
π
16
é uma das raízes
quartas do número complexo :
a) 1-i
b) 1+i
c)
1 1
+ i
2 2
1
d) 1 − i
2
e)
2
2
+
i
2
2
Resp: B
38) Sabe-se que uma das raízes quintas de um complexo z é
2 (cos 10º +i sen 10º ) . Determinar as outras quatro raízes quintas de z .
w=
Resp : 2 (cos 82º +i sen 82º ) , 2 (cos 154º +i sen 154º ) , 2 (cos 226º +i sen 226º ) e 2 (cos 298º +i sen 298º )
39) Calcule as raízes cúbicas de 8i .
Resp :
3 +i , − 3 +i
e –2i
40) (MACKENZIE) Que números complexos representam dois vértices de um triângulo
eqüilátero inscrito numa circunferência de centro na origem , onde um dos três vértices
do triângulo é dado por V1 = -2i ?
a) 2i e 2
d)
b)
3+i e
3 +i e − 3+i
3 −i
c) − 3 − i e
e) − 3 + i e − 3 − i
3 −i
Resp : D
41) (UFBA) Determine a soma das soluções da equação x4 = − 8 + 8 3 i .
Colégio I. L. Peretz - Morá Fabiola
Resp : 0
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