Introdução Ângulos

Apostila de Geometria 2007
A
GEOMETRIA PLANA
B
Introdução
O
No Egito, bem como em outras civilizações, a
geometria era utilizada para medir glebas de terra,
planejar canais de irrigação, construir edificações, etc.
´´geo = terra e metria= medida``
Foi apenas na Grécia e no ´´mundo helênico``
que ela evoluiu e ganhou o título como disciplina
científica por meio da ordenação e da lógica dos
conhecimentos geométricos. Nesse momento houve a
necessidade de definir objetos geométricos (noções) e
suas sentenças, mostrando as relações entre eles.
Definir um objeto geométrico (noção), consiste
em descreve-lo por meio de idéias que já foram
definidas. No entanto nem tudo pode ser definido como,
por exemplo, um ponto, uma reta, um plano, por não ter
algo como referencia anterior. Essas noções são
chamadas primitivas, ou não definidas.
Postulados→ trata-se de preposições primitivas, são
teorias aceitas sem demonstração.
1º. postulado: Numa reta, assim como fora dela, existem
infinitos pontos.
C
B
onde:
O ... vértice
OA e OB ... lados
Indica-se:
AOB ou
O
1. Ângulos Consecutivos
Dois ângulos que tem um lados comum entre
outros dois lados. Na figura segue, os ângulos AOC e
COB são consecutivos.
A
B
O
C
2. Ângulos Adjacentes
Dois ângulos que tem um único lado em comum
e os lados não comuns são semi retas opostas.
Na figura os Ângulos AOB e BOC são
adjacentes.
B
r
A
➢
➢
➢
➢
➢
Diz-se que os pontos A e B pertencem a reta r ou a
reta r passa pelos pontos A e B.
Diz-se que o ponto C não pertence a reta r ou o ponto
C está fora da reta r.
Infinito, em Geometria, significa´´o quanto nós
quisermos``.
Pontos de uma mesma reta são chamados pontos
colineares.
Os pontos A e B da reta r determinam o segmento de
reta AB. Indica-se AB .
A
➢
B
r
Um ponto O de uma reta r separa-a em duas semi-
retas opostas de uma origem O: OA e OB.
Ângulos
É a união de duas semi-retas distintas de mesma
origem e não opostas.
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
C
O
A
3.Medida de um Ângulo
A medida de um ângulo corresponde a abertura
entre duas semi-retas, unidas pelo vértice O.
A
α
O
B
Indica-se: AÔB = α ou Ô = α .
A unidade de medida de um ângulo corresponde
a razão de um grau (1º).
3. a) Ângulos Congruentes: São dois ângulos de
medidas iguais, na mesma unidade.
Pág .1
Ex:
C
F
D
3.g) Ângulos Complementares: Dois Ângulos cujas
medidas somam 90°.
α
3.h) Ângulos Suplementares: Dois Ângulos cujas
medidas somam 180°.
α
A
B
ABC =
E
3.i) Ângulos Replementares: Dois Ângulos cujas medidas
somam 360°.
DEF
5.b)Ângulos nulos: são ângulos cujos lados coincidem.
Na figura , AÔB é nulo.
O
A
3.j) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v): Duas retas
concorrentes determinam dois pares de ângulos
opostos pelo vértice.
B
C
5.c)Ângulos rasos: são ângulos cujos lados são semiretas opostas. Na figura AÔB é raso.
A
O
B
β
O
α
α
B
β
D
´´O grau e seus submúltiplos``
1° (grau)
A
4.Posições relativas de duas retas distintas
__________ 60` (minutos)
Sendo que:
1` (minuto) __________ 60`` (segundos)
Retas Paralelas
São retas que não tem ponto em comum, ou seja,
em um plano, as retas não se cruzarão em nenhum ponto.
Exemplo: Como 1º corresponde a 60`, então 81`
correspondem a 1º 21`.
Retas Concorrentes
São retas que tem um único ponto em comum.
5.d)Ângulo reto: È todo ângulo congruente ao seu
adjacente. A medida de um ângulo reto é 90°.
Retas perpendiculares
Duas retas concorrentes que formam ângulos
adjacentes congruentes.
A
5. Duas retas paralelas distintas interceptadas por
uma transversal
· ·
::
O
B
5.e) Ângulo agudo:É todo ângulo cuja medida é menor
que um ângulo reto.
B
Se duas retas distintas r e s são interceptadas por
uma transversal t, então os ângulos alternos são
congruentes.
t
α
β
r
β
α
α
·
O
A
5.f ) Ângulo obtuso:É todo ângulo cuja medida é maior
que um ângulo reto.
s
β
α
Obs.:
➢ α + β = 180º
➢ as retas r e s são paralelas ´´r // s``
➢ a reta t é transversal as retas r e s, em cada reta há
apenas um único ponto de encontro.
A
α
·
O
β
B
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
Pág. 2
Triângulos
É a união de três segmentos
considerando três pontos não colineares.
A
A
de
α
β
γ
B
α
reta,
α + β + γ = 180°
β
γ
B
C
b) Um ângulo externo de um triângulo tem medida igual
à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes
a ele.
A
C
Elementos do triângulo
➢ Vértices: pontos A, B e C.
➢ Lados: os segmentos AB, BC e AC.
➢ Ângulos: BÂC = α, ABC = β e ACB = γ.
➢ Perímetro: soma das medidas dos lados;
AB + BC + AC.
1. Classificação dos Triângulos.
α
e
β
γ
B
C
e =α+β
c) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da
Os triângulos são classificados de dois modos.
base tem medidas iguais.
A
a) Quanto aos lados:
•
Triângulo Escaleno: tem os três lados com medidas
diferentes.
A
AB ≠ BC ≠ AC ≠ AB
α
B
B
•
C
Triângulo Isósceles: tem pelo menos dois lados com
medidas iguais.
A
AB = AC
B
•
C
Triângulo Equilátero: tem os três lados com
medidas iguais.
3.Segmentos Notáveis de um triângulo.
I. Mediana
É um segmento de reta que une um vértice ao
ponto médio do lado oposto.
A
AM é uma mediana.
Um triângulo tem três
medianas uma para
cada vértice.
AB = BC = AC
C
b) Quanto aos ângulos:
•
•
•
Triângulo Acutângulo: tem os três ângulos agudos.
Triângulo Retângulo: Tem um ângulo reto.
Triângulo obtusângulo: Tem um ângulo obtuso.
2.Propriedades dos ângulos de um triângulo:
a) A soma das medidas dos ângulos de um triângulo é
igual a 180°.
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
C
Se AB = AC, então B = C = α
A
B
α
B
M
C
O ponto onde as três medianas se encontram é
chamado ``baricentro´´.
II. Bissetriz Interna
É um segmento de reta que une o vértice ao lado
oposto e divide o ângulo desse vértice ao meio.
O ponto de encontro das três bissetrizes é
chamado de ``Incentro´´.
Ex:
Pág .3
Polígono
A
B
C
S
III. Altura
É um segmento de reta perpendicular que une o
vértice ao lado oposto.
O ponto de encontro das três alturas é chamado
de ``Ortocentro´´.
A
Chama-se polígono a união dos segmentos:
{ P1P2, P2P3, ... PnP1}.
Assim, dado três conjuntos ordenados de cinco
pontos cada um são polígonos as seguintes figuras:
P1
P2
P1
P2
P3
P5
P3
P4
P1
P4
P3
B
˙
H
P4
P5
C
IV. Mediatriz
É uma reta perpendicular ao segmento pelo seu
ponto médio.
O ponto de encontro das três mediatrizes é
chamado de ``Circuncentro´´.
A
m
P5
P2
Um polígono também é chamado de contorno
poligonal fechado. Dois segmentos, como P1P2 e P2P3
por exemplo, são dois segmentos consecutivos.
1.Elementos de um Polígono.
·
B
M
4. Congruência de Triângulo:
C
*Congruência = mesma medida
Dois triângulos são congruentes se, e somente se,
é possível estabelecer uma correspondência entre seus
vértices, de tal modo que:
• os pares de lados correspondentes são congruentes;
• os pares de ângulos correspondentes são congruentes.
A
D
Definimos os seguinte elementos para um
polígono simples de n pontos:
✗ Vértices: os pontos P1, P2, ... Pn.
✗ Lados: são os seguimentos consecutivos: P1Pn
✗ perímetro: a soma das medidas dos n lados.(n>3)
✗ Ângulos internos:
P1, P2, ..., Pn.
2.Diagonal
Diagonal de um polígono é um segmento cujas
extremidades são vértices não consecutivos desse
polígono.
P1
B
C E
P2
P1
F
Diz – se que o ΔABC ~ ΔDEF.
OBS.:
• ΔABC
~ΔDEF significa que existem três
congruências lineares e três congruências angulares.
• Em dois triângulos congruentes:
a) os lados opostos a ângulos correspondentes são
congruentes.
b) os ângulos opostos a lados correspondentes são
congruentes.
• Segmentos congruentes tem medidas iguais e ângulos
congruentes também tem medidas iguais.
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
P2
P3
P5
P3
P4
P1
P4
P5
* Consecutivo = que segue imediatamente,
conseguinte.
3.Nomentura dos Polígonos
Conforme o número de lados, alguns polígonos
recebem nomes especiais.
Pág. 4
Nº. de lados
que tem n (n >3) lados, então:
Nomenclatura
3
Triângulo
4
Quadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octógono
9
Eneágono
10
Decágono
11
Undecágono
12
Dodecágono
13
Tridecágono
.
.
.
.
.
.
20
Icoságono
d = n ( n – 3)
2
6. Soma das Medidas dos Ângulos Internos.
A soma das medidas dos ângulos internos (Si) de
um polígono convexo de n (n >3) lados é tal que:
Si = (n – 2) 180º
7. Soma das Medidas dos Ângulos Externos.
A soma das medidas dos ângulos externos (Se)
de um polígono convexo é 360 º, isto é :
Se = 360 º
8. Medida dos Ângulos em polígono Regular.
Ângulos Internos:
Sendo Ai a medida de cada Ângulo interno de
um polígono regular de n (n >3) lados, tem -se;
Ai = ( n – 2 ) 180 º
n
3. Polígono Convexo.
*Convexo = arredondado externamente.
Um polígono é convexo se, e somente se,
qualquer segmento de reta, cujas extremidades
pertencem a região poligonal.
A
B
A
Ângulos Externos:
Sendo Ae a medida de cada Ângulo externo de
um polígono regular de n (n >3) lados, tem -se:
Ae = 360 º
n
Observação:
B
P1
Pn
Ae
Ai
Convexo
Ai
Ae
Ae
Não - convexo
P2
4. Polígono Regular.
Um polígono convexo é um polígono regular se,
e somente se, ele for equilátero e eqüiângulo.
A
B
A
Ai
Ai
P5
Ae
Ae
Ai
P3
Ai
Ae
P4
Considere um polígono regular de n lados da
figura que segue acima, onde P1, P2, ..., Pn são os
vértices:
C
D
B
C
5. Número de Diagonais.
Assim Temos:
Ai + Ae = 180 º
Sendo d o número de diagonais de um polígono
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
Pág .5
Quadriláteros Notáveis e Base Média de
Triângulos e Trapézios
A
São os quadriláteros convexos que tem os dois
lados paralelos.
Há cinco tipos de quadriláteros notáveis. São
eles:
D
B
C
AD // BC e AB // DC
1. Trapézio
Um quadrilátero convexo é um trapézio se, e
somente se,ele tiver um par de lados opostos paralelos.
A
D
Nota > todo paralelogramo é trapézio, porque tem dois
lados paralelos.
➔
Propriedades do Paralelogramo
A
D
α
B
β
C
M
α
β
α
Os trapézios classificam – se em :
B
(a) Trapézio escaleno: um par de lados não- paralelos
não- congruentes.
A
α
D
C
Considere o paralelogramo ABCD:
a) Â = Ĉ = β e B = D = α
b) α + β = 180 º
c) AD = BC e AB = DC
d) M é o ponto médio das diagonais.
B
C
2. Retângulo
AB ≠ CD
(b) Trapézio Isósceles: um par de lados não- paralelos
congruentes.
A
D
Um quadrilátero convexo é um retângulo se, e
somente se,ele for eqüiângulo, isto é, os seus ângulos
internos são retos.
A
D
:
:
 = B = Ĉ = D = 90 º
B
C
:
AB = CD
(c) Trapézio Retângulo: um dos lados não- paralelos
perpendicular as bases.
A
D
Nota > todo retângulo é paralelogramo, porque tem
lados opostos paralelos. Assim, todo retângulo é
trapézio.
➔
B ˙
:
C
B
Propriedades do Retângulo
A
D
C
 = B = 90 º
2. Paralelogramo.
Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se,
e somente se, ele tiver pares de lados opostos paralelos.
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
M
B
Considere o retângulo ABCD.
C
Pág. 6
a) Â + B = Ĉ + D = 180 º = Â + D = Ĉ + B
b)
c)
d)
e)
➔
Propriedades do Quadrado
AD // BC e AB // DC
AD = BC e AB = DC.
M é o ponto médio das diagonais.
AC = BD.
Considere o quadrado ABCD:
A
45º
3. Losango
B
C
D
AB = BC = CD = DA
Nota > Todo losango é paralelogramo.
Propriedades do Losango
45º
45º
45º
45º
B
a)
b)
c)
d)
e)
f)
C
Â=Ĉ e B=D
 + B = Ĉ + D = 180 º =  + D = Ĉ + B
AD // BC e AB // DC
M é o ponto médio das diagonais
As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
As diagonais são perpendiculares entre si no ponto M.
Sejam:
..
·· M
B
45º
5. Diagrama de Venn
Considere o Losango ABCD:
A
C
D
a)
b)
c)
d)
e)
f)
45º
45º
Um quadrilátero convexo é um losango se, e
somente se, ele for eqüilátero, isto é, os seus lados tem
medidas iguais.
A
➔
D
Â=Ĉ e B=D
 + B = Ĉ + D = 180 º =  + D = Ĉ + B
AD // BC e AB // DC
M é o ponto médio das diagonais.
As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
As diagonais são perpendiculares entre si no ponto M.
U : conj. dos quadriláteros convexos.
T : conj. dos trapézios.
P : conj. dos paralelogramos.
R : conj dos retângulos.
L : conj. dos losangos.
Q : conj. dos quadrados.
Para facilitar o estudo do comportamento dos
quadriláteros
notáveis,
relativamente
às
suas
propriedades, cada subconjunto de U
pode ser
representado pelo Diagrama de Venn .
O conjunto T dos trapézios é, então, um
subconjunto de do conjunto U dos quadriláteros
convexos e assim por diante.
4. Quadrado
Um quadrilátero convexo é um quadrado se, e
somente se, ele for eqüiângulo e equilátero.
A
:
Q
D
R
:
L
P
T
:
B
U
:
C
Nota > Todo quadrado é retângulo porque é eqüiângulo.
Todo quadrado é losango porque é equilátero.
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
Diagrama de Venn
Pág .7
Circunferência e Ângulos Numa
Circunferência
6. Base Média De Um Triângulo
Um segmento de reta é base média de um
triângulo se, e somente se, esse segmento tiver as
extremidades nos pontos médios de dois lados desse
triângulo.
A
M
Circunferência: é o conjunto de todos os pontos de um
plano cuja a distância a um ponto fixo desse plano é uma
constante.
Círculo ou disco: é a união de uma circunferência com
seus pontos internos.
N
Elementos de uma Circunferência ou de um
Círculo.
B
C
M e N são os pontos médios dos lados AB e AC; MN é
uma base média do ∆ ABC.
➔
Propriedade
A base média de um triângulo é paralela à
base desse triângulo e mede a metade dessa base.
Assim, na figura anterior, temos:
MN // BC e MN = BC
2
Na circunferência de centro O ( ponto fixo) e
raio r da figura, tem-se:
M
D
Raio: AO
Diâmetro: AB
C
Corda: CD
Arco: CMD
r
O
r
A
B
Obs.: o diâmetro
mede o dobro do raio.
AB = 2AO = 2r
Posições relativas de reta e circunferência
7. Base Média De Um Trapézio.
Um segmento se reta é base média de um
trapézio se, e somente se, esse segmento tiver
extremidades nos pontos médios dos lados adjacentes.
A
M
Considere uma reta p, uma circunferência λ de
centro O e raio r e a distância d do centro O à reta p.
•
D
A reta p é secante á circunferência λ , isto é, ela tem
dois pontos distintos em comum com a circunferência
λ.
- p é se cante a λ se, e somente se, d < r.
B
N
A
B
➔
· d
r
C
M e N são os pontos médios dos lados AB e CD
adjacentes às bases; MN é a base média do trapézio
ABCD.
Propriedade
A base média de um trapézio é paralela às
bases e sua medida é a média aritmética das medidas
das bases.
O
•
λ
A reta p é tangente a circunferência λ, isto é, ela tem
um só ponto em comum com a circunferência λ ,
sendo que a reta tangente a uma circunferência é
perpendicular ao raio.
– p é tangente a λ se, e somente se, d = ar.
p
A
ֺ
Assim, temos:
MN // AD // BC e MN = AD + BC
2
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
p
r
d
O ponto A é
chamado de ponto
de tangência.
O
λ
Pág. 8
•
A reta p é exterior á circunferência λ , isto é, a reta p
não tem nenhum ponto em comum com a
circunferência λ .
– p é exterior a λ se, e somente se, d > r.
p
1. Na figura, o ângulo BVA está inscrito na
circunferência λ , mas o ângulo CVA não está
inscrito.
λ
B
V
ֺ
O
C
d
r
A
3. O ângulo CAB d figura a seguir é chamado de ângulo
de segmento. Seus lados são:
> AB, secante à λ.
> AC, tangente à λ em A
Sendo que OA é perpendicular a AC
O
λ
Ângulo Central
λ
É aquele cujo vértice é o centro da
circunferência. Na figura a seguir, estão representados
um ângulo central de medida α em graus, e o seu arco
correspondente.
O
A ·
α
2α
C
α
α
Temos que : CÂB = ADC
2
O
A
Quadrilátero Inscrito Numa Circunferência
A medida, em graus, de um ângulo central é
igual à medida do seu arco correspondente.
É um quadrilátero que tem os quatro vértices
numa circunferência.
D
Ângulo Inscrito
A
β
α
É aquele cujo vértice pertence à circunferência e
cujos lados são secantes a essa circunferência.
B
O γ
λ
C
δ
B
O
P
B
D
B
2α
α
A
A medida de um ângulo inscrito numa
circunferência é a metade da medida do seu arco
correspondente.
Observações:
** Inscrito = incluído
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
Num quadrilátero convexo inscrito numa
circunferência, os ângulo opostos são suplementares.
Assim, na figura temos que:
α +γ =δ+β
Segmento de Reta Tangente
Um segmento de reta que tem uma extremidade
numa circunferência e cuja reta suporte é tangente a essa
Pág .9
Pontos Notáveis de um Triângulo
circunferência é chamada de segmento de reta tangente.
Baricentro
A
O
F
E
G
ּ
T
A
B
AT é um segmento de reta tangente a λ.
Se por um ponto externo a uma
circunferência traçam-se segmentos de reta tangentes
a essa circunferência, então esses segmentos de reta
são congruentes.
A
D
C
O Baricentro de um triângulo divide cada
mediana em duas partes, sendo a parte que contém o
vértice o dobro daquela que contém o ponto médio.
Considerando a figura, temos:
➢ O ponto G é baricentro do triângulo ABC.
➢ AG = 2GD, BG = 2CG e CG = 2GF.
Incentro
A
L
P
B
J
T
R
B
PA e PB são segmentos de reta tangente à circunferência,
logo: PA = PB.
Quadrilátero Circunscrito a uma Circunferência
É um quadrilátero que tem os quatro vértices
tangentes a uma circunferência.
** Circunscrito = limitado
SK
C
O incentro de um triângulo eqüidista dos três
lados desse triângulo.
O incentro de um triângulo é o centro da
circunferência inscrita nesse triângulo.
Considerando a figura, temos:
➢ O ponto I é incentro do triângulo ABC.
➢ A circunferência com centro no ponto I e raio de
medida IJ = IK = IL está inscrita no triângulo ABC,
onde os pontos L, J e K são pontos de tangencia.
Eqüidistante = que dista igualmente .
D
A
Circuncentro
A
mb
O
mc
E
C
B
Se um quadrilátero convexo está circunscrito
a uma circunferência, então a soma das medidas de
dois lados opostos é igual a soma das medidas dos
outros dois lados.
O
B
D
C
ma
Portanto, na figura temos que:
AD + BC = AB + DC
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
O circuncentro de um triângulo eqüidista dos três
vértices desse triângulo.
O circuncentro desse triângulo é o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo.
Pág. 10
➢
➢
➢
Considerando a figura, temos:
O ponto O é o circuncentro do triângulo ABC
OA = OB = OC.
A circunferência com centro no ponto O e raio de
medida OA = OB = OC está circunscrita ai triângulo
ABC .
Ortocentro
A
F
Transversal de um feixe de retas paralelas é uma reta
que intercepta todas as retas de um feixe.
• Pontos correspondentes em duas transversais de
um feixe de retas paralelas são pontos que estão numa
mesma reta do feixe.
• Segmentos correspondentes em duas transversais
são segmentos cujas extremidades são pontos
correspondentes.
•
Ex.:
E
A
A´
a
H
B
B
C
C
D
O ponto h é o ortocentro do triângulo ABC.
Um triângulo cujos vértices são os pés das
alturas de um outro triângulo chama – se triângulo órtico
do primeiro triângulo.
A
F
E
H
B
C
D
Na figura ao lado, o triângulo DEF é o triângulo
órtico do triângulo ABC.
As bissetrizes internas do triângulo DEF estão
nas retas suporte das alturas do triângulo ABC.
Segmentos Proporcionais
Geometria Métrica: é a parte da geometria que trata da
associação entre figuras geométricas e números reais
positivos que são representações das medidas relativas às
figuras. A geometria métrica fundamenta-se nos
conceitos de razão (entre dois segmentos, entre duas
regiões poligonais, etc) e de proporção ( igualdade entre
duas ou mais razões).
1. Feixe de Retas Paralelas
É um conjunto de três ou mais retas paralelas
distintas num plano.
a
B´
C´
t
c
t´
Na figura temos os seguintes dados:
✗ A reta t e t´são transversais do feixe de retas paralelas
a, b e c.
✗ Os pontos A e A´ na reta a, B e B´ na reta b e C e C´
na reta c são pontos correspondentes das transversais t
e t´ do feixe de paralelas a, b e c.
✗ São correspondentes os seguintes pares de segmentos:
AB e AB´, BC e BC´, AC e AC´.
2. Teorema Linear de Tales
Se um feixe paralelas tem duas transversais,
então a razão de dois segmentos quaisquer de uma
transversal é igual à razão dos segmentos
correspondentes da outra.
Ex.:
A
A´
B
a
B´
C
b
C´
t
c
t´
O Teorema de Tales afirma que são válidas as
seguintes proporções:
AB = A´B´
BC B´C´
AC = A´C´
AB A´B´
b
b
, etc.
c
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
Pág .11
3. Teorema da Bissetriz Interna
A
1. Definição
A
D
α
α
Bissetriz
α
α
c
b
β
E
β
B
x
S
y
C
Em todo triângulo, uma bissetriz interna
divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos
lados adjacentes.
Na figura, AS é bissetriz interna do triângulo
ABC. O teorema da bissetriz interna estabelece que:
c = b , com x + y = a
x
y
B
a
b
y
R
x
Se a bissetriz de um triângulo externo de um
triângulo intercepta a reta suporte do lado oposto,
então ela divide externamente esse lado em segmentos
proporcionais aos lados adjacentes.
O teorema da bissetriz externa estabelece:
c = b , com x - y = a
x
y
Semelhança de Triângulos
Intuitivamente , semelhança entre duas figuras
significa igualdade de forma e não, necessariamente,
igualdade de tamanho.
D
A
B
E
Para os dois triângulos, são válidas as seguintes
igualdades:
Â=F
e
AB = BC = AC = k
DE
EF
DE
Nessas condições , os triângulos ABC e DEF são
semelhantes , e k é a razão de semelhança entre eles.
Em símbolos, indica-se: Δ ABC ~ Δ DEF, em
que ~ lê-se ´´ é semelhante a ´´.
β
C
Dois triângulos são semelhantes se, e somente
se, seus ângulos internos tiverem respectivamente, as
mesmas medidas, e os seus lados correspondentes
forem proporcionais.
Ĉ=F
β
c
C
B=Ê
4. Teorema da Bissetriz Externa
A
F
γ
B
a
γ
C
Notas >
I. Ângulos Correspondentes:
A↔
D,
B↔ E,
C ↔ F.
II. Lados correspondentes:
AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF.
III.Dois elementos correspondentes também são
chamados de elementos homólogos, porque ocupam ´´
um mesmo lugar´´ nos respectivos triângulos.
IV.Em dois triângulos semelhantes, a razão de
semelhança k é a razão de dois elementos lineares
correspondentes quaisquer. Sendo k a razão de
semelhança, tem-se:
* a razão dos perímetros é k.
* a razão das alturas correspondentes é k.
* a razão das medianas correspondentes é k.
*a razão das bissetrizes internas correspondentes é k.
V. Os lados opostos a ângulos congruentes são
proporcionais.
VI.Dois triângulos congruentes são triângulos
semelhantes de razão 1.
VII.Decorre da definição que a relação de semelhança
entre triângulos é:
a) Reflexiva :
Δ ABC ~ Δ ABC
b) Simétrica:
Δ ABC ~ Δ DEF
c) Transitiva:
Δ ABC ~ Δ DEF ~ Δ LMN, então:
F
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
Pág. 12
2. Teorema Fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de um
triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos
distintos, então o triângulo que ela determina é
semelhante ao primeiro.
A
Desta forma temos:
B
E
C
λ
P
D
O
A
F
D
E
PA · PB = PC · PD = PE · PF = ...
B
C
P
T
Na figura DE // BC = Δ ABC ~ Δ ADE
A
E
B
3. Polígonos Semelhantes
O
Dois polígonos são semelhantes se, e somente se,
os seus ângulos internos tiverem, respectivamente, as
mesmas medidas e os seus lados correspondentes forem
proporcionais.
A1
A5
C
F
D
PA · PB = PC · PD = PE · PF = ... = (PT) ²
B1
B5
B2
A2
Triângulo Retângulo
B4
A4
1. Projeção Ortogonal
B3
A3
Dois polígonos regulares de mesmo número de
lados são semelhantes.
4. Potência de um Ponto
Num plano, considere um ponto e uma reta.
Chama- se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta
o pé da perpendicular construída do ponto à reta. Na
figura, o ponto P´ é a projeção ortogonal do ponto P
sobre a reta r.
P
Seja uma circunferência λ (O, r) e um ponto P
fora de λ.
Pelo ponto P conduzimos uma reta secante à λ
em A e B, ou tangente em P.
Temos Três situações:
P
A
P
B
A
P
T
B
O
O
· P´
r
Projeção ortogonal de um segmento de reta é o
conjunto de projeções ortogonais de todos os pontos
desse segmento.
B
O
A
O produto PA · PB ou (PT) ² é chamado de
potência do ponto P em relação a circunferência λ .
A potência de um ponto em relação a uma
circunferência é constante, isto é, não depende da
escolha de uma reta particular que passe por ele.
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
r
A´
B´
*A´B´ é a medida da projeção ortogonal do segmento
AB.
Pág .13
2. Relações Métricas Num Triângulo Retângulo
Pitágoras, pode ser enunciado da seguinte maneira:
Sendo um triângulo ABC, retângulo em A, e AD
a altura relativa à hipotenusa.
A
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
medida de hipotenusa é igual à soma dos quadrados
das medidas dos catetos.
c
B
β
m
γ
β
Triângulos Quaisquer
b
· ·
D
γ
n
C
a
Catetos: AB e AC.
Hipotenusa: BC
Altura relativa à hipotenusa: AD
Nomenclatura:
BC = a ... medida da hipotenusa BC.
AC = b ... medida do cateto AC
AB = c ... medida do cateto AB.
BD = m ...medida da projeção ortogonal do cateto AB
sobre a hipotenusa BC.
CD = n ... medida da projeção ortogonal do cateto AC
sobre a hipotenusa BC.
AD = h ...medida da altura relativa à hipotenusa BC.
Relações Métricas
• c²=m·a
• b²=n·a
• h²=m·n
• a·h=b·c
• a ² = b ² + c ² ( Teorema de Pítagoras)
Teorema dos Co-senos.
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida
de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas
dos outros dois lados, menos o dobro do produto das
medidas desses dois lados pelo co-seno da medida do
ângulo por eles determinado.
C
β
b
a
α
c
(b) Δ DAC ~ Δ ABC → n = b →
b
a
(c) Δ DBA ~ Δ ABC → m = h
h
n
b ² = n · a ( III )
→ b ² = m · n ( IV )
Somando-se membro a membro (I) e (III), temos:
(I) c²=m·a
( III ) b ² = n · a
b ² + c ² = ma + na
b²+c²=a(m+n)
b²+c²=a·a
Logo, a ² = b ² + c ²
A relação a ² = b ² + c ², isto é, o Teorema de
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
B
Em símbolos, temos:
a ² = b ² + c ² – 2 · b · c · cos α
b ² = a ² + c ² – 2 · a · c · cos γ
c ² = a ² + b ² – 2 · a · b · cos β
Demonstração:
Considere o triângulo ABC na figura a baixo,
onde  > 90º.
C
A altura relativa a hipotenusa determina dois
triângulos retângulo semelhantes ao primeiro, e também
semelhantes entre si.
(a) Δ DBA ~ Δ ABC → m = h = c → c ² = m · a ( I )
c
b a
a · h = b · c ( II)
γ
A
β
c
a
h
α
A
γ
r
H
b-r
B
b
No triângulo AHB,
cos  = cos α = r
c
portanto, r = c · cos α
(1)
No triângulo AHB, pelo Teorema de Pitágoras,
c²= r²+h²
(2)
No triângulo CHB, pelo Teorema de Pitágoras,
a²= (b–r)²+h²
portanto, a ² = b ² – 2br + r ² + h ²
(3)
De (2) e (3),
a ² = b ² + c ² – 2br
(4)
De (1) e ( 4),
a ² = b ² + c ² – 2 · b · c · cos α
Pág. 14
Comprimento de uma Circunferência
Teorema dos Senos
As medidas dos lados de um triângulo são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos na razão
da medida do diâmetro da circunferência circunscrita a
esse triângulo.
A
b
O
γ
β
C
B
a
R: medida do raio da circunferência circunscrita no
triângulo ABC.
O: centro da circunferência circunscrita no triângulo
ABC.
OA = OB = OC = R
Em símbolos, temos:
a =
b =
c
= 2R
sen α
sen β
sen γ
Demonstração:
Seja o triângulo acutângulo ABC inscrito na
circunferência (O,R), conforme a figura:
A
b
R
c
O
R
C
a
Considere o diâmetro BD e a corda CD,
formando o triângulo BCD, retângulo em C, inscrito na
circunferência de diâmetro BD.
Observe que D = Â, pois são ângulos inscritos
numa mesma circunferência e determinam o mesmo arco
BC. Observe, também que no triângulo retângulo BCD,
temos:
sen D =
a
2R
Como D = Â, então
sen  =
Conseqüência
A razão do comprimento de uma circunferência
para a medida do seu diâmetro é constante.
Comparando duas circunferências, pelo teorema
anterior:
C
C´
R
O
R´
O
C = comprimento da circunferência.
R = raio da circunferência.
C = R , ou seja, C
C´
R´
R
e daí resulta
C = C´
2R´
2R´
D
B
Teorema
A razão dos comprimentos de duas
circunferências é a razão das medidas dos respectivos
raios.
α
c
Razão do Comprimento de uma Circunferência para
o seu Diâmetro
a , ou seja,
2R
a
= 2R
sen Â
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
=
C´
R´
A razão constante do comprimento de uma
circunferência para a medida de seu diâmetro é
representada pela letra minúscula grega π ( pi, inicial da
palavra ´´perímetro´´, que significa ´´ medida em torno
de´´.
Um valor aproximado de π, calculado com seus
dez primeiros algarismos decimais é: 3,1415926535. Para
efeito de cálculo, é comum adotar o valor 3,14.
Comprimento de uma Circunferência
Teorema
O comprimento de uma circunferência é o
produto da medida de seu diâmetro pela constante π .
C
C = π, ou C = 2πR
2R
R
O
Pág .15
Comprimento de um arco de circunferência
Um arco AB de uma circunferência de raio R
mede α, em graus,. Vamos determinar a medida l do arco
AB em unidades de comprimento, em função de R e α.
Como a mesma grandeza arco é medida usando
-se duas unidades diferentes, resulta que as medidas
obtidas são proporcionais. Desta forma, temos a regra de
três:
comprimento
grau
2πR
360 º
l
αº
fazer referências a um número real positivo que mede
uma superfície numa determinada unidade.
Nos casos mais simples,``quadricula-se a região
´´, dividindo-a em quadrados de lado unitário, e faz-se a
contagem dos quadrados resultantes da divisão para obter
a sua área. Assim, a área da superfície de um quadrado
de lado 4 cm é 16 cm2 .
Observe que a área é 16 e que cm2 é a unidade
de medida da superfície.
4 cm
1 1 1 1
·
·
1
1
4 cm
Radiano
B
R
.
B´
1 rad
A
1
1
.
R
(2) Expressões para Cálculo de Algumas Áreas
A´
•
Um radiano é a medida de um arco de
circunferência com comprimento igual à medida do raio
dessa circunferência.
comprimento do arco
radiano
R
1
2πR
x
Pela regra de três: x = 2π
Portanto, a circunferência mede, em radianos, 2π.
Por fim, a expressão do comprimento l de um
arco de circunferência de raio R que, em radianos, mede
α é:
comprimento
radiano
2πR
2π
l
α
Nota: 1 rad corresponde a aproximadamente
57º 17´ 45´´, adotando-se π = 3,1415927.
Área de um Retângulo
A área de um retângulo é o produto da sua
base pela sua altura.
A=b·h
h
b
•
Área de um Paralelogramo.
A área de um paralelogramo é o produto de
uma base, isto é, um lado, pela altura relativa.
A=b·h
h
Áreas de Regiões Planas
(1) Introdução
Uma região poligonal pode ser considerada
como a união de uma ou mais regiões poligonais cujas
intersecções são apenas os lados e os respectivos
vértices.
b
A área de um paralelogramo também pode ser
calculada pela somatória de áreas existentes dentro do da
figura.
Ex.:
A3
h
h
A2
A1
Ex.:
S2
S1
S
S3
At = A 1 + A 2 + A 3
S = S 1 U S2 U S3
Em Geometria, a palavra área é utilizada para
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
Pág. 16
•
Área de um Triângulo.
A área de um triângulo é a metade do produto
de uma base pela sua altura relativa.
A área do losango é o semiproduto das
diagonais.
d
h
h
·
h
·
·
D
A=1· b·h
2
•
A= 1· D·d
2
Algumas Expressões para o Cálculo de Áreas de
Triângulos
1. Área de um Triângulo em Função da Medida de Dois
Lados e a Medida do Ângulo por eles compreendido.
A
b
c
•
Área de um Hexágono Regular.
Considere o hexágono regular ABCDEF, cujos
lados medem l, inscrito na circunferência de centro O e
raio OA = l, conforme a figura.
l
B
C
h
l
α
C
H
l
O
B
D
a
A = 1 · b · h · sen α
2
E
2. Área de um Triângulo em Função do Semiperímetro e
do raio da circunferência inscrita.
3.
A
b
O
F
Sua área é tal que A = 3 l² √ 3
2
O hexágono regular ABCDEF pode ser
decomposto em seis triângulos equiláteros com lados
medindo l.
Logo, sua área é tal que
c
A = 6 · l² √ 3 , isto é, A = 3 l² √ 3
4
2
r
C
B
a
A=p·r
•
A
Onde :
p = semiperímetro
r raio da circunferência
Área de um Trapézio.
A área de um trapézio é o produto da média
das bases pela altura.
b
•
Área de um Polígono Regular.
A área de um polígono regular é o produto do
semipeímetro pelo apótema.
Semiperímetro = metade do perímetro
apótema = perpendicular do centro de um
polígono regular a um de seus lados.
O
A= B+b ·h
2
h
a
B
•
Área de um Losango.
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
l
Pág .17
l = medida do lado
a = medida do apótema
p = medida do semiperímetro
B
r
Considere um polígono regular de n lados. O
centro é o ponto O, l é o lado, medindo l = 2p , e a é o
apótema.
n
Unindo o centro desse polígono aos seus
vértices, obtêm-se n triângulos isósceles congruentes
entre si, cada um com área T = ½ · l · a
Substituindo l na segunda equação temos:
T = 1 · 2p · a , isto é, T = p · a
2 n
n
Como A = n · T :
C
O
r
A
A área do setor circular de raio R é proporcional
à medida do arco correspondente.
Ex: arco medido em graus (α º).
Área
Medida do arco
πr²
360 º
A setor
αº
A= p·a
A setor = α π r ²
360
•
Área de um Círculo.
A área de um círculo é o produto do seu
semiperímetro pelo raio.
•
Segmento Circular
Segmento circular é uma parte do círculo
limitada por um arco de circunferência e por uma corda
com extremidades nas extremidades do arco.
O
λ
R
A = 2πR · R
2
A = π · R²
1º caso:
B
2 º caso:
C
B
•
Coroa Circular.
C
O
O
A
A
Dadas duas circunferências concêntricas de raios
r e R, r < R, chama-se coroa circular ao conjunto dos
pontos pertencentes ao círculo de raio R e nãointernos ao círculo de raio r.
A área da coroa circular é:
A = π ( R² – r² )
1 º caso: a medida do arco correspondente AB é α, tal
que 180 º < α < 360 º.
A área do segmento circular é:
A = A setor + A triângulo
2 º caso: a medida do arco correspondente AB é α, tal
que 0< α < 180 º.
A área do segmento circular é:
A = A setor - A triângulo
**corda = segmento de reta que une dois ptos de uma
curva
*concêntrica = possuem o mesmo centro.
•
Setor Circular
É uma parte do círculo limitado por um arco de
circunferência e por dois raios com extremidades nas
extremidades do arco.
APOSTILA DE GEOMETRIA – Geometria Plana
Pág. 18