Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é

Lista de Exercícios de Cálculo 3
Primeira Semana
Parte A
1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem
módulo |v| = 4, determine suas componentes.
2. Ache o ângulo entre os vetores a e b.
(a) a = (1, −7, 4) e b = (5, 0, −1)
(b) a = (−2, −3, 0) e b = (−6, 0, 4)
(c) a = (3, −5, −1) e b = (2, 1, −3)
3. Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(a) a = (0, 2, −1) e b = (1, 1, 3)
(b) a = (−1, 3, 1) e b = (4, 1, −2)
(c) a = (3, 3, −3) e b = (2, 1, 3)
4. Verifique se os vetores abaixo são paralelos, ortogonais ou nenhuma deles:
(a) a = (−5, 3, 7) e b = (6, −8, 2)
(b) a = (−1, 2, 5) e b = (3, 4, −1)
(c) a = 2i + 6j − 4k e b = −3i − 9j + 6k
(d) a = i − j + 2k e b = 2i − j + k
5. Considere os vetores a = (2, 0, −1), b = (−3, 1, 0) e c = (1, −2, 4) ache:
(a) a × (b × c)
(b) a × (b − c)
(c) a · (b × c)
Parte B
1. Verifique, usando vetores, se o triângulo com vértices nos pontos P (1, −3, −2), Q(2, 0, −4) e R(6, −2, −5) é
retângulo.
2. Se AB é um diâmetro de uma esfera de centro O e raio r, e P é um terceiro ponto na esfera, mostre, por meio
de vetores, que AP B é um triângulo retângulo.
3. Use a projeção escalar para mostrar que a distância de um ponto P1 (x1 , y1 ) a reta ax + by + c = 0 é
|ax1 + by1 + c|
√
.
a2 + b2
4. De que forma é possível utilizar o produto escalar triplo, a·(b×c), para verificar que os vetores u = i+5j−2k,
v = 3i − j e w = 5i + 9j − 4k são coplanares?
1
5. Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto P à reta definida pelo pelos pontos Q e R.
(a) P = (3, 1, −2), Q = (2, 5, 1) e R = (−1, 4, 2)
(b) P = (−2, 5, 1), Q = (3, −1, 4) e R = (1, 6, −3)
6. Se a × b = a × c e a 6= 0, isto implica b = c? Justifique.
7. Determine a área de um triângulo definido por dois vetores a e b.
8. Mostre que v × (w × s) = s(v · w) − w(v · s). Justifique, geometricamente, o porque o vetor v × (w × s) é
uma combinação linear de w e s.
Parte C
1. A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas partículas carregadas opostamente é
diretamente proporcional ao produto dos módulos q1 e q2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado
da distância d entre elas. Mostre que se uma partícula com carga +q é fixada em um ponto A e uma partícula
com carga −1 é colocada em B, então a força de atração F em A é dada por
kq −−→
F= BA,
−−→3
AB para uma constante positiva k.
2. Partículas de carga +q são colocadas e mantidas fixas nos pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Coloca-se então
uma carga de −1 em P (x, y, z).
−−→
(a) Se v = OP , mostre que a força líquida F na partícula carregada negativamente é dada por
!
v−i
v−j
v−k
F = kq
.
3 +
3 +
3
kv − ik
kv − jk
kv − kk
(b) A partícula carregada negativamente deve ser em um ponto P (x, y) eqüidistante das três cargas positivas,
de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja 0. Ache as coordenadas de P.
3. Os parâmetros diretores de um vetor não nulo a = (a1 , a2 , a3 ) se definem como os ângulos α, β e γ entre os
vetores da base canônica, i, j e k, respectivamente, e o vetor a. Os cossenos diretores de a são cos α, cos β e
a1
a2
a3
cos γ. Prove: (a) cos α =
, cos β =
e cos γ =
; (b) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
kak
kak
kak
2
Resumo do Conteúdo
• Vetor: segmento de reta orientado.
– Notação: v = ~v = (v1 , v2 ) = v1 i + v2 j (vetor no plano) ou w = w
~ = (w1 , w2 , w3 ) = w1 i + w2 j + w3 k
(vetor no espaço). i = (1, 0) e j = (0, 1) (base canônica 2d), e i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1)
(base canônica 3d);
p
p
– Comprimento ou módulo: |v| = v12 + v22 (2d) ou |w| = w12 + w22 + w32 (3d);
– Adição de vetores: v + w = (v1 , v2 ) + (w1 , w2 ) = (v1 + w1 , v2 + w2 ) (2d) ou v + w = (v1 , v2 , v3 ) +
(w1 , w2 , w3 ) = (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 ) (3d). Geometricamente a adição é feita pela regra do paralelogramo;
– Multiplicação por escalar: se c ∈ R, então cv = (cv1 , cv2 ) (2d) ou cw = (cw1 , cw2 , cw3 ) (3d). Geometricamente a multiplicação por escalar altera o comprimento do vetor (ou inverte o seu sentido);
– Consulte o livro/caderno para demais propriedades importantes!
• Produto escalar: determina o ângulo entre dois vetores ou mede a projeção de um vetor sobre o outro.
– Notação: v · w = v1 w1 + v2 w2 (2d) ou v · w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 (3d);
– Ângulo entre dois vetores: v · w = |v| |w| cos θ, em que θ é o ângulo entre os vetores v e w;
– Ortogonalidade: v e w são ortogonais se v · w = 0 (observação: ângulo entre dois vetores θ = 90◦ );
v·w
– Projeção de um vetor sobre o outro: projv w =
v (lê-se projeção do vetor w sobre o vetor v);
|v|2
v·w
v·w
v
v (decomposição do
– Projeção ortogonal: w = projv w + (w − projv w) =
+
w
−
|v|2
|v|2
| {z } |
{z
}
paralelo a v
ortogonal a v
vetor w em duas partes perpendiculares);
– Consulte o livro/caderno para demais propriedades importantes!
• Produto vetorial: determina um novo vetor que é perpendicular a dois vetores. Geometricamente também
calcula a área do paralelogramo gerado por dois vetores.
i
j
k – Notação: v × w = v1 v2 v3 = (v2 w3 − v3 w2 , v3 w1 − v1 w3 , v1 w2 − v2 w1 )
w1 w2 w3 = (v2 w3 − v3 w2 )i − (v1 w3 − v3 w1 )j + (v1 w2 − v2 w1 )k (observação: v · (v × w) = 0 e w · (v × w) = 0);
– Área do paralelogramo: |v × w| = |v| |w| sen θ, em que θ é o ângulo entre os vetores v e w;
– Propriedade importante: v × w = −w × v (o produto vetorial não é comutativo!!!);
– Consulte o livro/caderno para demais propriedades importantes!
3
Gabarito
Parte A
√
1. v = 2i + 2 3j
2. Respostas
(a) cos θ = √
1
1716
6
13
4
(c) cos θ = √
7 10
(b) cos θ =
3. Respostas
1
(1, 1, 3)
11
3
(b) projb a = − (4, 1, −2)
21
(c) Os vetores são perpendiculares.
(a) projb a = −
4. Respostas
(a) Nenhum deles
(b) Ortogonais
(c) Paralelos
(d) Nenhum deles
5. Respostas
(a) (12, −14, 24)
(b) (3, 12, 6)
(c) 3
Parte B
1. Basta verificar se (P − Q) · (P − R) = 0.
2. Sendo AB um diâmetro da esfera, então, fazendo A = (x0 , y0 , z0 ), tem-se que B = −(x0 , y0 , z0 ). Definindo
um ponto P , qualquer, sobre a esfera como P = (x1 , y1 , z1 ), deve-se mostrar que (P − A) · (P − B) = 0. Com
efeito, (P − A) · (P − B) = (x21 − x20 ) + (y12 − y02 ) + (z12 − z02 ) = (x21 + y12 + z12 ) − (x20 + y02 + z02 ). Como os pontos
A, B e P são pontos sobre a esfera de raio r e centro na origem, então x21 + y12 + z12 = r2 e x20 + y02 + z02 = r2 .
Portanto, (P − A) · (P − B) = (x21 + y12 + z12 ) − (x20 + y02 + z02 ) = r2 − r2 = 0.
3. Dado um ponto sobre a reta P0 (x0 , y0 ), a distância entre o ponto P1 (x1 , y1 ) e a reta ax + by + c = 0 é dada
pelo módulo da projeção do vetor diferença P1 − P0 sobre o vetor que é normal a reta. O vetor normal a reta
é n = (a, b), assim
d =
=
|(P1 − P0 ) · n|
|n|
|ax1 + by1 + c|
√
.
a2 + b2
4
4. O produto escalar triplo a · (b × c) fornece o volume do sólido formado pelos vetores a, b e c. Se o volume é
nulo, então os vetores são coplanares.
5. Respostas
√
√
(a) d = 282/ 11
√
√
(b) d = 2036/ 102
6. Como a × b = a × c, então a × (b − c) = 0. Ou seja, a k (b − c). Portanto, b = c + ka, em que k ∈ R.
7. A =
|a × b|
2
8. Basta usar as componentes do vetores v, w e s e calcular os produtos vetoriais.
5