6 – Valores e Vectores Próprios

Nova School of Business and Economics
Apontamentos Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios
1
Valor próprio de uma transformação linear
Definição
(
)
Número real (ou complexo) que, ao ser multiplicado por pelo menos um objecto não nulo de
, gera a sua imagem.
̅
Ex.:
(
)
(
( )
)
porque, por exemplo, (
porque, por exemplo, (
)
)
(
)
(
)
(
(
).
).
porque não existe nenhum vector (
não é um valor próprio de
) de
).
imagem segundo
seja 5(
2
Definição
Vector próprio associado a
Vector
de
(ou de
) cuja direcção se mantém, quando é transformado segundo .
(ou de
não nulo cuja
) cuja imagem segundo
de uma transformação linear
é um múltiplo de ,
. Vector
de
( )
Ex.:
(
(
)
(
)
) é um vector próprio de
(
porque
(
)
(
)
(
).
)
).
(
) é um vector próprio de
(
) não é um vector próprio de
(
).
3
associado a
Definição
Polinómio de grau
associado a
porque (
porque (
)
(
)
)e(
(
) não é um múltiplo de
Polinómio característico de uma transformação linear
em , |
|.
1
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6 – Valores e Vectores Próprios
Ex.:
(
)
0
(
)
1
0
1
|
4
|
.0
1
0
1/
|
|
Valores próprios e polinómio característico de uma transformação
Facto
linear
Os valores próprios de uma transformação linear são as raízes reais (ou complexas) do seu
polinómio característico.
|
Ex.:
(
(|
)
|
(
)
|
5
)
Multiplicidade algébrica de um valor próprio
Definição
transformação linear
Multiplicidade de
Ex.:
(
)
[
(|
de uma
))
como raíz do polinómio característico de .
)
]
[
]
|
)
+
*
|
Definição
+
|
|
*
+
(
|
)
(
)
Subespaço próprio associado um valor próprio
transformação linear
Subespaço vectorial de
2
(
(
(
*
6
{
(
de uma
)
que contém todos os vectores próprios de
associados a
.
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6 – Valores e Vectores Próprios
*
Ex.:
( )
(
)
{
{
7
+
(
)
((
)
) (
)
(
)
((
)
)
(
)
(
)
((
)
) (
)
(
)
((
)
)
(
)
(
)
*(
*(
+
)
+
Subespaços próprios e sistemas de equações lineares homogéneos:
Facto
O subespaço próprio associado a um valor próprio
de uma transformação linear
é o conjunto de soluções do sistema de equações lineares homogéneo
̅ .
)
(
(
Ex.:
)
(
(
)
(
)
̅
)
*(
(
8
(
[
)
]0 1
)
(
)
̅
0
)
{
{
10 1
0 1
{
{
+
Definição
Multiplicidade geométrica de um valor próprio
transformação linear
(
(
(
de uma
))
Dimensão do subespaço próprio associado a
( )
0 1
+
)
*(
̅
)
,
.
)
3
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Ex.:
(
)
(
(
)
̅
)
[
][ ]
[ ]
{
{
*(
(
)
)
(
(
̅
)
*(
(
*(
[
][ ]
+
(
)(
)+
)
)
)
9
+
*(
[ ]
{
{
)+
)
Valores próprios e determinante
Facto
Seja
uma transformação linear. O determinante da sua matriz de
transformação,
, é o produto dos valores próprios de
elevados às respectivas
multiplicidades algébricas.
*
|
(
|
Ex. :
(
)
)
[
|
+
(
*
(
)
(
]
+
)
)
(
)
(
)
|
10
Seja
Facto
Valores próprios e potências de matrizes
uma transformação linear, cuja matriz de transformação é
outra transformação linear, cuja matriz de transformação é
4
(
e
) , com
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. Então,
é um valor próprio de
vector próprio de
Ex. :
(
)
(
)
*(
)
(
{
)
*
}
+
2(
) (
)
+
.
(
(
*(
)
) 3
(
{
}
)
{
)
]
}
2(
)
(
)
(
) 3
+
)
+
)
+
Valores próprios e produto de matrizes
uma transformação linear, cuja matriz de transformação é
uma transformação linear, cuja matriz de transformação é
matrizes (
(
)
/
Facto
)
]
+
+
Sejam
[
)
*(
]
+
[
11
[
+
*(
*(
+
+
)
*
+
*
*
}
.
*
+
e cada
+
+
)
*
{
)
*
(
+
)
*(
associado a
)
+
(
*
(
*(
for um valor próprio de
associado a é vector próprio de
{
*
*(
se e só se
). Então,
e
, sendo
e
e
têm os mesmos valores próprios.
5
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6 – Valores e Vectores Próprios
*
+
Ex. :
(
)
*
(
*
)
{
(
+
12
*
}
{
}
1
0
10
10
1
1
+
0
)
*
0
)
+
(
+
1
*
0
+
Subespaços próprios diferentes e independência linear
Facto
Se extrairmos de cada um dos subespaços próprios de uma transformação linear um
conjunto de vectores linearmente independente e reunirmos os conjuntos obtidos, obtemos
um conjunto linearmente independente.
*
+
{
}
*
+
{
}
{
}
{
Ex. :
(
)
(
)
*(
*(
{
)(
)(
*(
)(
)(
13
Definição
)+
)+
)(
)+
Matriz
diagonalizável
Matriz de transformação de uma transformação linear
, na qual a matriz de transformação de
*
6
)+
)+
*(
, de
]
*(
*(
)+
*(
[
)+
)+
*(
{
}
+ {
é diagonal.
, tal que existe uma base
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6 – Valores e Vectores Próprios
0
Ex.:
1
é diagonalizável porque é a matriz de transformação de
*(
sendo
)(
)+ uma base de
0
e
(
)
(
)
1,
0
e,
1é
uma matriz diagonal.
14
Matrizes diagonalizáveis, vectores e valores próprios
Facto
Seja
a matriz de transformação de uma transformação linear
com
valores próprios distintos. As seguintes afirmações são equivalentes:
é diagonalizável
Existe uma base de
*
Ex. 1:
+
(
)
Ex. 2:
(
(
)
(
)
*(
(
)
*(
)(
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
[
)
(
(
)
(
*(
{
constituída apenas por vectores próprios de
)(
)+
(
)
)
[
)
(
)
*(
(
)
*(
(
(
)+
(
)
)+
]
)
)+
)+
*
(
(
]
)
)
+ {
15
Facto
Seja
, a matriz de transformação de uma transformação linear
Matrizes diagonalizáveis e matriz diagonal
diagonalizável. Então,
é uma base de
, uma matriz
constituída por vectores próprios de
se e só se
é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios de
, repetidos e ordenados de acordo com a ordenação dos vectores de .
7
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6 – Valores e Vectores Próprios
*
,
+
-
*
[
]
*
Ex.:
+
(
)
(
)
*(
(
)
*(
)
*
(
)(
]
)+
)+
)
(
+
)
*
* +
*
[
)
(
(
{
+
+
+
[
]
[
]
[
]
16
Facto
Seja
, a matriz de transformação de uma transformação linear
Matrizes reais e simétricas e diagonalização de matrizes
, uma matriz
real (cujos elementos são números reais) e simétrica. Então:
Todos os valores próprios de
são reais.
Quaisquer 2 vectores de subespaços próprios diferentes de
são ortogonais.
é diagonalizável.
Ex.:
(
*
8
)
(
[
)
(
)
*(
(
)
*(
+
*
+
)(
)+
*
+
)+
(
)
]
(
)
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(
{
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⟨(
)(
)⟩
(
)
(
)
9