Apêndice C
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Apêndice D Notas de aula Representação Matricial dos Operadores e Vector de Estado. Nós já resolvemos muitos problemas de Mecânica Quântica utilizando funções de onda e operadores diferenciais. Exemplos: - Funções de onda: nlm e Ylm . - Operadores diferenciais: Lz x y e Lz i y x i Um operador também pode ter uma representação matricial. A11 Os elementos Aij da matriz A= A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 são dados por: A33 Aij ui A u j onde ui e uj são uma base ortonormal. Estes estados base são análogos aos vectores unitários do espaço Euclidiano: i , j , k . Agora, vamos considerar o operador Lz . A equação de valores próprios para Lz , em termos da função de onda Ylm é: LzYlm mYlm (1) Representação matricial do operador Lz Supondo que l é fixo e m variável (1), os elementos de matriz são dados por: lm' Lz lm m mm' se l=1 e m=1,0,-1, teremos: 1 0 0 Lz 0 0 0 0 0 1 As funções de onda são representadas como vectores. é o vector de estado. Componentes de um vector de estado: i ui Os vectores coluna representam estados: 1 2 3 Conclusão: as matrizes representam os operadores e os vectores coluna os estados. Exemplo: Valor esperado de Lz : Lz 1* 2* 1 0 0 1 3* 0 0 0 2 = 1* 2* 3* 0 0 1 3 1* 1 2* 0 3* 3 = 1* 1 3* 3 1 0 = 3 Spin do electrão Para incluir o spin dos electrões (ou dos núcleos) precisamos da representação matricial, porque: quando fazemos a analogia do spin com o momento angular, também poderíamos supor o mesmo tipo de função de onda: Ylm Ysms Para s=1/2 e ms=1/2, teremos Y1 / 2, 1 / 2 . O facto de ter ½, faz com que apareçam algumas complicações nos harmónicos esféricos, que não se consegue contornar. Isto quer dizer que não conseguimos obter uma função de onda quando temos um número semi-inteiro. Por isso, temos que recorrer às representações matriciais para o caso do spin.
