4. Espaços vectoriais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE – ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
APONTAMENTOS DE
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
(IV. Espaços vectoriais)
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Espaços vectoriais
Índice
4. Espaços vectoriais..........................................................................................................1
4.1 Definição e exemplos ......................................................................................................1
4.2 Subespaços......................................................................................................................4
4.3 Conjuntos geradores ........................................................................................................7
4.4 Dependência e independência linear ..............................................................................11
4.5 Base e dimensão ............................................................................................................18
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Espaços vectoriais
4. Espaço vectoriais
4.1 Definição e exemplos
As operações de soma e multiplicação por um escalar são usadas em diversos contextos na
matemática, independentemente destes, essas operações obedecem, em geral, ao mesmo conjunto
de regras aritméticas. Assim, uma teoria geral de sistemas matemáticos envolvendo estas duas
operações vai ter aplicação em diversas áreas da matemática. Sistemas matemáticos deste tipo são
chamados espaços vectoriais ou espaços lineares. Neste capítulo, vamos definir espaços vectoriais e
desenvolver parte da sua teoria geral.
Definição1: Seja E um conjunto arbitrário não vazio onde estão definidas duas operações, a adição
e a multiplicação por escalares. Se os seguintes axiomas se verificam para todos os elementos u, v e
w de E e todos os escalares λ e γ , então E é um espaço vectorial e os seus elementos são
chamados vectores.
I. Adição é uma regra que associa a cada par de elementos u e v de E um único elemento u + v de
E, de maneira a que se verifiquem os seguintes axiomas:
I.1 – Comutatividade da adição: u + v = v + u ;
I.2 – Associatividade da adição: u + (v + w ) = (u + v ) + w ;
I.3 – Elemento neutro: ∃ 0 ∈ E , chamado vector nulo de E : ∀u ∈ E , u + 0 = 0 + u = u ;
I.4 – Elemento simétrico: ∀u ∈ E , ∃(− u) ∈ E , chamado simétrico de u: u + (−u) = (−u) + u = 0 .
II. Multiplicação por escalares é uma regra que associa a cada escalar λ e cada elemento u de E
um único elemento λ u de E, chamado escalar múltiplo de u , que verifica os seguinte axiomas:
II.1 – Distributividade em relação à adição em E: λ (u + v ) = λ u + λ v ;
II.2 – Distributividade em relação à adição de escalares: (λ + γ )u = λ u + γ u ;
II.3 – Associatividade da multiplicação por escalares: λ (γ u) = (λγ )u ;
II.4 – Elemento identidade: 1u = u , ∀u ∈ E , sendo 1 o elemento unidade dos escalares.
Repare-se que:
I. Significa que, se u e v pertencem a E, então u + v pertence a E (fechado para a adição);
II. Significa que, se λ é um escalar arbitrário e u um qualquer elemento de E , então λ u
pertence a E (fechado para a multiplicação por escalares).
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Espaços vectoriais
Obs.1:
• Deve ter-se em conta que a definição de espaço vectorial não especifica quer a natureza dos
elementos (vectores) que formam o conjunto E quer as operações entre estes vectores. Qualquer
tipo de objecto pode ser um vector, e as operações de adição e multiplicação por escalares
n
podem não ter qualquer relação ou semelhança com as operações standard dos vectores em
.
O que é exigido é que os axiomas do espaço vectorial sejam satisfeitos (os axiomas não se
provam, eles são simplesmente as “regras do jogo”). Alguns autores utilizam a notação ⊕ e
para adição de vectores e multiplicação por escalares para se distinguir estas operações da
adição e multiplicação de números reais; não se utilizará esta convenção.
•
De um modo geral, dependendo da aplicação, os escalares podem ser tomados de qualquer
sistema numérico no qual, falando informalmente, se possa somar, subtrair, multiplicar e dividir
de acordo com as leis habituais da aritmética. Em álgebra abstracta, um sistema desses é
conhecido como um corpo.
•
Portanto, existem uma infinidade de espaços vectoriais. Apenas estudaremos os espaços
vectoriais sobre os números reais, ou seja, quando os “escalares” são números reais. Assim,
omitimos a palavra real, quando nos referimos a espaços vectoriais, assumiremos que estamos a
trabalhar com o sistema dos números reais.
Exemplo1 (espaços vectoriais): Em cada caso, devemos especificar um conjunto não vazio E , bem
como as operações de adição e multiplicação por escalares, e devem verificar-se os respectivos
axiomas. Só assim E, com as operações especificadas, pode ser chamado um espaço vectorial.
i) O conjunto E =
n
representa o espaço de todos os n-uplos ordenados de números reais,
n
Onde,
= {( x1 , x2 ,..., xn ) : xi ∈ , i = 1, 2,..., n} .
representa o conjunto dos números reais e n ∈
Para cada
n = 1, 2,... , o conjunto
x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) ∈
x = ( x1 , x2 ,..., xn ), y = ( y1 , y2 ,..., yn ) ∈
n
n
E=
n
, o conjunto dos números naturais.
, munido das operações usuais de adição
e multiplicação escalar λ x = (λ x1 , λ x2 ,..., λ xn ) ∈
e λ∈
n
, com
, é um espaço vectorial real com n dimensões.
De um modo geral, os elementos ( x1 ,..., xn ) de
n
, têm duas interpretações geométricas. Podem
ser interpretados como pontos, neste caso, x1 ,..., xn ∈
interpretados como vectores, neste caso, x1 ,..., xn ∈
são as coordenadas do ponto, ou podem ser
são as componentes escalares do vector. Esta
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distinção é pouco importante em termos matemáticos, chamaremos aos elementos de n pontos ou
vectores dependendo da situação. Por exemplo, em
Figura1 – Coordenadas ( x0 , y0 , z0 )
3
:
Figura2 – Componentes ( x0 , y0 , z0 )
Na bibliografia, por se tratar de uma convenção comum, os pontos aparecem representados por
letras minúsculas a “negrito” ou por letras maiúsculas, enquanto os vectores, também, por letras
minúsculas a “negrito” ou com uma seta por cima. Neste texto, para
n
, representam-se os pontos
por letra maiúscula, a origem por O = 0 = (0, 0,..., 0) , e os vectores com uma seta por cima.
ii) O conjunto E de todas matrizes reais ( m × n ) é um espaço vectorial (
m×n
ou M ( m×n ) ( ) ) se a
adição de vectores é definida como sendo a adição de matrizes e a multiplicação escalar de vectores
é definida como sendo a multiplicação de matrizes por escalares.
Seja A =
a11
a12
........ a1n
a21
a22
........ a2 n
am1
am 2
........ ann
uma matriz ( n × n ) de elementos de
, as várias linhas de A
( n×n )
n
podem considerar-se vectores de
, da forma ai =
j =1
aij e j , sendo os vectores, e j , representados
pelas linhas da matriz identidade.
•
m×n
é o espaço vectorial de todas as matrizes reais ( m × n ), portanto, a matriz A( m×n ) pode ser
considerada um vector de
m×n
;
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•
1×n
Espaços vectoriais
é o espaço vectorial de todas as matrizes reais ( 1 × n ) (as matrizes linha), portanto, a
matriz A(1×n ) = [a11
•
m×1
a12 ... a1n ] pode ser considerada um vector de
1×n
;
é o espaço vectorial de todas as matrizes reais ( m × 1 ) (as matrizes colunas) portanto,
a matriz A( m×1) = [a11
m×1
a21 ... am1 ]T pode ser considerada um vector de
Exemplo2 (um conjunto que não é um espaço vectorial): Seja E =
2
.
, para u = (u1 , u2 ) e
v = (v1 , v2 ) , define-se a adição e multiplicação escalar do seguinte modo: u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 )
(adição standard de
2
) e ku = (ku1 , 0) , k ∈
2
(não é a multiplicação escalar standard de
).
Assim, há valores de u para os quais não se verifica o axioma II4 da definição de espaço vectorial.
Por exemplo, seja u = (u1 , u2 ) tal que u2 ≠ 0 , então 1u = 1(u1 , u2 ) = (1 × u1 , 0) = (u1 , 0) ≠ u . Assim,
E não é um espaço vectorial com as operações definidas.
4.2 Subespaços
Dado um espaço vectorial E , é muitas vezes possível formar um outro espaço vectorial usando um
subconjunto S de E e as operações de E . Como E é um espaço vectorial, as operações de soma e
multiplicação por um escalar produzem sempre um outro vector em E . Para um novo sistema,
usando um subconjunto S de E , ser um espaço vectorial, o conjunto S tem que ser fechado em
relação às operações de soma e multiplicação por um escalar. Por outras palavras, a soma de dois
elementos de S tem que ser sempre um elemento de S e a multiplicação de um elemento de S por
um escalar tem que pertencer sempre a S .
Definição2: Um subconjunto não vazio S de um espaço vectorial E, é um subespaço vectorial de E
se ele próprio formar um espaço vectorial relativamente às duas operações adição e multiplicação
escalar definidas para os elementos de E.
Desta definição resulta que, operando elementos de S com operações de E obtemos elementos de S.
Assim, um subespaço de E, é um subconjunto S que é fechado em relação às operações de E.
Donde, para verificarmos se um subconjunto de um espaço vectorial é subespaço não é necessário a
verificação dos oito axiomas, além dos dois que definem a soma e a multiplicação por escalares.
Teorema1: Seja E um espaço vectorial. Um subconjunto S ≠ ∅ , de E é um subespaço vectorial de
E se, e só se, satisfaz as seguintes condições:
(a) Se u , v ∈ S
(b) Se λ ∈
(u + v ) ∈ S (fechado para a adição);
é um escalar arbitrário e u ∈ S , então λ u ∈ S (fechado para a multiplicação escalar);
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Espaços vectoriais
Obs.2:
• Como os axiomas do espaço vectorial são válidos para o novo sistema matemático formado pelo
subespaço vectorial, todo o subespaço de um espaço vectorial é ele mesmo um espaço vectorial.
•
Se S é um subespaço de um espaço vectorial E, então S contém o vector nulo de E.
Exemplo3: Mostre que o conjunto S = { A ∈
2×2
Resolução: O conjunto S ≠ ∅ e S ⊂ 2×2 (S é um subconjunto não vazio de
a b
d e
matrizes A, B ∈ S , então A =
e B=
.
−b c
−e f
i) A + B =
2×2
: a12 = − a21 } , forma um subespaço de
2×2
.
) . Sejam as
a+d b+e
a+d
b+e
=
∈S ;
−b − e c + f
−(b + e) c + f
, vem α A =
ii) Para α ∈
αa αb
∈ S , porque a12 = α b = −a21 .
−α b α c
Exemplo4: Verifique se o conjunto W = {( x, y ) ∈
2
:x≥0
y ≥ 0} é um subespaço de
2
.
Resolução: Os pontos de W estão no primeiro quadrante,
2
logo, W é um subconjunto de
2
subespaço de
. O conjunto W não é um
, uma vez, que não é fechado relativamente
à multiplicação escalar. Por exemplo, u = (1,1) está em W,
(−1) × u = (−1, −1) não está (pertence ao terceiro quadrante).
Figura3 - W ⊂
2
não é subespaço de
2
Obs.3: Se E é um espaço vectorial, então E é um subespaço dele mesmo. O conjunto formado
apenas pelo vector nulo é também um subespaço de E. Assim, qualquer espaço vectorial não nulo E
tem pelo menos dois subespaços. O próprio E e o conjunto {0} constituído apenas pelo vector nulo
em E chamado o subespaço nulo (os chamados subespaços triviais).
• Os subespaços de
2
são:
• Os subespaços de
3
são:
i) {0} (subespaço trivial);
i) {0} (subespaço trivial);
ii) as rectas que passam na origem;
ii) as rectas que passam na origem;
iii)
2
iii) os planos que passam na origem;
.
iv)
Obs.4: O conjunto
2
não é um subespaço de
3
, pois
2
3
.
não é um subconjunto de
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Espaços vectoriais
n×n
Alguns subespaços de
, são:
i) O conjunto das matrizes ( n × n ) simétricas, E = { A ∈ M n×n : AT = A} ;
ii) O conjunto das matrizes ( n × n ) anti-simétricas, E = { A ∈ M n×n : AT = − A} ;
iii) O conjunto das matrizes ( n × n ) triangulares (superiores, inferiores e diagonais).
Uma vez que estes conjuntos são fechados relativamente à soma e à multiplicação escalar.
Teorema2: Seja E um espaço vectorial.
(i) A intersecção de dois (ou mais) subespaços de E é ainda um subespaço de E;
(ii) A reunião de dois subespaços de E só é um subespaço de E, se um deles contiver o outro.
Exemplo5: Prove que conjunto definido por S = {( x1 , x2 ,..., xn ) ∈
onde (a1 , a2 ,..., an ) ∈
n
é um subespaço de
n
n
: a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = 0} ,
.
Resolução: Vamos provar que S é fechado para a adição e para a multiplicação por escalares.
i) Se X = ( x1 , x2 ,..., xn ) e Y = ( y1 , y2 ,..., yn ) pertencem a S, então a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = 0 e
a1 y1 + a2 y2 + ... + an yn = 0 , donde X + Y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) também pertence a S, pois
a1 ( x1 + y1 ) + a2 ( x2 + y2 ) + ... + an ( xn + yn ) = (a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ) + (a1 y1 + a2 y2 + ... + an yn ) = 0 + 0 = 0.
ii) Se X = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ S e α ∈
, então α X = α ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ S , pois
a1 (α x1 ) + a2 (α x2 ) + ...an (α xn ) = α (a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ) = α × 0 = 0 .
n
Por i) e ii) prova-se que S é um subespaço de
.
Por outro lado, suponha que o conjunto S = {( x1 , x2 ,..., xn ) ∈
subespaço de
n
n
: a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = c} , é um
, onde c é um número real fixo.
Se S é um subespaço e X ∈ S , então 0X = O também pertence a S, ou seja, o subespaço tem que
conter a origem. Substituindo O = (0, 0,..., 0) na equação que define o conjunto, obtemos
a1 × 0 + a2 × 0 + ... + an × 0 = c ⇔ c = 0 . Se (a1 , a2 ,..., an ) ≠ (0, 0,..., 0) então S é chamado um
hiperplano de
n
. Para n = 3 os hiperplanos são planos, e para n = 2 os hiperplanos são rectas.
Definição3: Se AX = B é um sistema de equações lineares, então o vector X que satisfaz esta
equação é chamado um vector solução do sistema.
Teorema3: Seja AX = 0 um sistema linear homogéneo com m equações e n incógnitas, então o
conjunto dos vectores solução de AX = 0 forma um espaço vectorial, chamado o espaço solução do
sistema homogéneo, que é um subespaço de
n
.
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Espaços vectoriais
Obs.5: O conjunto solução (espaço solução) de um sistema linear homogéneo com m equações e n
incógnitas pode ser visto como a intersecção de m subespaços de
n
, que são hiperplanos que
passam pela origem.
Exemplo6: Considere os seguintes sistemas lineares
1 −2 3
a) 2 −4 6
3 −6 9
x
0
1 −2 3
y = 0 b) −3 7 −8
z
0
−2 4 −6
x
0
y = 0
z
0
1 −2 3
c) −3 7 −8
4 1 2
x
0
0 0 0
y = 0 d) 0 0 0
z
0
0 0 0
x
0
y = 0
0
z
Como cada um destes sistemas homogéneo tem três incógnitas, pelo teorema anterior os conjuntos
solução formam subespaços de
3
. Geometricamente, isto significa que cada espaço solução
deverá ser, a origem, uma recta que passa na origem, um plano que passa na origem, ou todo o
3
Resolução:
a) As soluções deste sistema são, x = 2 s − 3t , y = s e z = t , donde x = 2 y − 3 z ⇔ x − 2 y − 3 z = 0 .
Esta é a equação de um plano que passa na origem, tendo como vector normal n = (1, −2, −3) .
b) As soluções são, x = −5t , y = −t e z = t , as equações paramétricas de uma recta que passa na
origem, paralela ao vector v = ( −5, −1,1) .
c) A solução é x = y = z = 0 , portanto, o espaço solução é a origem, ou seja, {O} .
d) As soluções são, x = r , y = s e z = t , onde r, s e t tomam valores arbitrários, portanto o espaço
solução é todo o
3
.
4.3 Conjunto geradores
Nesta secção, vamos mostrar que um conjunto de vectores V = {v1 , v2 ,..., vn } gera um determinado
espaço vectorial E se cada vector de E pode ser expresso como uma combinação linear dos vectores
de V. De um modo geral, pode existir mais de uma maneira de escrever um vector de E como
combinação linear dos vectores do conjunto gerador.
Definição4: Seja V = {v1 , v2 ,..., vn } um conjunto de n vectores de um espaço vectorial E, todo o
vector u que se possa exprimir na forma u = λ1v1 + λ2 v2 + ... + λn vn com λi ∈
(não todos nulos)
diz-se uma combinação linear dos vectores v1 , v2 ,..., vn .
Obs5: Caso n = 1 , a equação anterior reduz-se a u = λ1v1 , ou seja, u é uma combinação linear de
um único vector v1 se for um escalar múltiplo de v1 .
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Exemplo7: Mostre que qualquer vector de
n
pode ser escrito como combinação linear dos
vectores na forma e1 = (1,..., 0), e2 = (0,1,..., 0) , ..., en = (0,...,1) .
Resolução: Os vectores de
são do tipo u = (u1 ,..., un ) , para serem combinação linear dos
n
vectores e1 , e2 ,..., en devem ser escrito na forma.
u = u1e1 + u2 e2 + u3e3 = u1 (1,..., 0) + u2 (0,1,..., 0) + ... + un (0,...,1) = (u1 ,..., un ) ,
o que (u1 ,..., un ) é uma combinação linear dos vectores e1 , e2 ,..., en .
Definição5: Seja V = {v1 , v2 ,..., vn } um conjunto de vectores do espaço vectorial E, então o conjunto
W de todas as combinações lineares dos vectores de V é chamado conjunto gerado por v1 , v2 ,..., vn
ou por V , diz-se que os vectores v1 , v2 ,..., vn geram W ou que V é o conjunto de geradores de W.
Para indicar que W é o conjunto gerado pelos vectores de V escrevemos W = ger(V ) ou W =< V > .
Exemplo8: Verifique se os vectores v1 = (1,1, 2) , v2 = (1, 0,1) e v3 = (2,1, 3) geram
3
.
Resolução: Queremos verificar W = ger(V ) , com V = {v1 , v2 , v3 } , ou seja, devemos determinar se
um vector arbitrário u = (u1 , u2 , u3 ) de
3
pode ser expresso como uma combinação linear dos
vectores v1 , v2 e v3 , isto é, u = λ1v1 + λ2 v2 + λ3v3 . Escrevendo esta equação em termos das suas
componentes vem
(u1 , u2 , u3 ) = λ1 (1,1, 2) + λ2 (1, 0,1) + λ3 (2,1,3) ⇔ (u1 , u2 , u3 ) = (λ1 + λ2 + 2λ3 , λ1 + λ3 , 2λ1 + λ2 + 3λ3 ) ⇔
λ1 + λ2 + 2λ3 = u1
⇔ λ1 + λ3 = u2
2λ1 + λ2 + 3λ3 = u3
Como o sistema tem três equações para três incógnitas, o problema reduz-se então a determinar se
este sistema é possível e determinado para todos os valores de u1 , u2 e u3 , isto acontece se, e só se,
o determinante da matriz A, dos coeficientes do sistema, for diferente de zero. Como | A |= 0 , os
vectores v1 , v2 e v3 não geram
3
.
Exercício1: Resolva o sistema do exemplo anterior.
Se V = {v1 , v2 ,..., vn } é um conjunto de vectores do espaço vectorial E, então alguns vectores de E
podem escrever-se como combinação linear de v1 , v2 ,..., vn e outros não. O seguinte teorema mostra
que um conjunto W = ger(V ) forma um subespaço de E.
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Teorema4: Se v1 , v2 ,..., vn são vectores de um espaço vectorial E, e W é o conjunto de todas as
combinações lineares de v1 , v2 ,..., vn , ou seja, W = ger{v1 , v2 ,..., vn } , então:
(a) W é um subespaço de E;
(b) W é o menor subespaço de E que contém v1 , v2 ,..., vn no sentido de qualquer outro subespaço de
E que contenha v1 , v2 ,..., vn deve conter W.
Obs.6: Este teorema diz que, como o subespaço W = ger(V ) é o menor subespaço de E que contém
V, se G for um subespaço de E que contém V, então necessariamente ger(V ) ⊆ G .
Tendo em conta o teorema4 e a definição5, podemos dizer que sendo V = {v1 , v2 ,..., vn } um
subconjunto não vazio de um espaço vectorial E, o conjunto W = ger(V ) é um subespaço de E
chamado espaço gerado por V. Quando W = E diz-se que V é o conjunto de geradores de E (os
vectores v1 , v2 ,..., vn geram E ou constituem um sistema de geradores do espaço).
Obs.7: Se o conjunto de geradores de um espaço vectorial E tem um número finito de elementos
dizemos que o espaço vectorial é finitamente gerado. O conceito de subespaço gerado por um
conjunto pode apresentar-se para conjuntos não necessariamente finitos.
Teorema5: Se V = {v1 , v2 ,..., vn } e W = {w1 , w2 ,..., wk } são dois conjuntos de vectores de um espaço
vectorial E, então ger(V ) = ger(W ) se, e só se, cada vector de V for uma combinação linear dos
vectores de W e se cada vector de W for uma combinação linear dos vectores de V.
1 1 0 2
Exemplo9: Considere o sistema linear homogéneo AX = 0 , onde A = −2 −2 1 −5 .
1 1 −1 3
Encontre um conjunto de vectores que gere o subespaço solução do sistema homogéneo.
Resolução: A matriz do sistema é equivalente
x1 = − x2 − 2 x3
1 1 0 2
1 1 0 2
x ∈
−2 −2 1 −5 ↔ 0 0 1 −1 , donde AX = 0 ⇔ 2
,
x3 ∈
1 1 −1 3
0 0 0 0
x4 = x3
ou seja, o conjunto solução de AX = 0 é S = {( x1 , x2 , x3 , x4 } = (− x2 − 2 x3 , x2 , x3 , x3 ) : x2 , x3 ∈ } .
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Qualquer elemento de S pode ser escrito como uma soma de vectores, sendo um vector para cada
parâmetro e cada vector depende apenas de um parâmetro, obtendo-se
(− x2 − 2 x3 , x2 , x3 , x3 ) = (− x2 , x2 , 0, 0) + (−2 x3 , 0, x3 , x3 ) = x2 (−1,1, 0, 0) + x3 (−2, 0,1,1) .
Portanto, X 1 = (−1,1, 0, 0) e X 2 = (−2, 0,1,1) geram S, isto é, S = ger( X 1 , X 2 ) .
Exemplo10: Encontre um conjunto constituído pelos vectores v1 = (1,1, 0) ,
v3 = (1, 0,1) ou v4 = (1, 2,1) que gere
3
.
Resolução: Comecemos por verificar se
mostrar que
3
3
v2 = (0,1,1) ,
3
= ger(V ) com V = {v1 , v2 , v3 , v4 } . Para isso, devemos
é o conjunto de todas as combinações lineares de v1 , v2 , v3 e v4 . Os elementos de
são do tipo ( a, b, c) , queremos verificar se estes se podem escrever como combinação linear dos
vectores de V, ou seja, temos que resolver o sistema
λ1 + λ3 + λ4 = a
λ1 (1,1, 0) + λ2 (0,1,1) + λ3 (1, 0,1) + λ4 (1, 2,1) = (a, b, c) ⇔ λ1 + λ2 + 2λ4 = b .
λ2 + λ3 + λ4 = c
A matriz ampliada do sistema é
a+b−c
− λ4
2
λ1 + λ3 + λ4 = a
−a + b + c
λ2 =
− λ4
, donde λ1 + λ2 + 2λ4 = b ⇔
,
2
a−b+c
λ2 + λ3 + λ4 = c
λ3 =
2
λ4 ∈
λ1 =
1 0 1 1 a
1 0 0 1
1 1 0 2 b ↔ 0 1 0 1
0 1 1 1 c
0 0 1 0
portanto, v1 , v2 , v3 e v4 geram
a +b − c
2
− a +b + c
2
a −b + c
2
3
, ou seja, qualquer vector de
3
pode ser escrito como
combinação linear destes vectores. Repare-se que o sistema é possível e indeterminado (porquê?).
Vamos agora verificar se o conjunto V = {v1 , v2 , v3} gera
3
. Por um lado, verifica-se que o
determinante cujas colunas são v1 , v2 e v3 é diferente de zero, por outro,
λ1 = a +2b −c
λ1 + λ3 = a
λ1v1 + λ2 v2 + λ3v3 = (a, b, c ) ⇔ λ1 (1,1, 0) + λ2 (0,1,1) + λ3 (1, 0,1) = (a, b, c) ⇔ λ1 + λ2 = b ⇔ λ2 = − a +2b + c
λ2 + λ3 = c
λ3 = a −2b+ c
conclui-se que V gera
3
. Por exemplo, se
(a, b, c) = (−1,1, 2)
λ1 = −1+21− 2 = −1
λ2 = 1+12+ 2 = 2 ,
λ3 = −1−21+ 2 = 0
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donde
λ1v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = (a, b, c) ⇔ −1 × (1,1, 0) + 2 × (0,1,1) + 0 × (1, 0,1) = (−1,1, 2) .
Prova-se que o conjunto V = {v1 , v2 } não gera
3
. O mesmo acontecendo com qualquer conjunto
formado por dois destes vectores (exercício!).
Conclusão: Verificámos que dois conjuntos finitos de vectores geram o espaço vectorial
seja,
3
3
, ou
é finitamente gerado. Em particular, vimos que os conjuntos V = {v1 , v2 , v3 , v4 } e
V = {v1 , v2 , v3} geram
3
, mas que o conjunto V = {v1 , v2 } não gera
3
.
Teorema6: Se os vectores v1 , v2 ,..., vn geram o espaço vectorial E e se um desses vectores pode ser
escrito como uma combinação linear dos outros n − 1 vectores, então esses n − 1 vectores geram E.
Exercício2: No exemplo10, vimos que V = {v1 , v2 , v3 , v4 } e V = {v1 , v2 , v3} geram
3
. Verifique se
algum vector de V = {v1 , v2 , v3 , v4 } se pode escrever como combinação linear dos restantes vectores.
De facto, dado um espaço vectorial E, é desejável encontrar um conjunto gerador de E com tão
poucos elementos quanto possível, a que chamamos conjunto gerador mínimo. Por mínimo,
queremos dizer um conjunto gerador sem elementos desnecessários, isto é, todos os elementos no
conjunto são necessários para se gerar o espaço vectorial. Para se ver como encontrar um conjunto
gerador mínimo, é preciso considerar como os vectores no conjunto “dependem” uns dos outros.
Vamos então introduzir os conceitos de dependência e independência linear. Esses conceitos
simples vão dar-nos a chave para entender a estrutura dos espaços vectoriais.
4.4 Dependência e independência linear
Na secção anterior, vimos que um conjunto de vectores V = {v1 , v2 ,..., vn } gera um determinado
espaço vectorial E se todos os vectores de E se podem exprimir como combinação linear dos
vectores de V. De um modo geral, podem existir várias maneiras de exprimir um vector de E como
combinação dos vectores do espaço gerador. Nesta secção, olhamos mais de perto a estrutura de um
espaço vectorial, estudamos condições sob as quais cada vector de E pode ser expresso como
combinação linear dos vectores do espaço gerador de uma única maneira. Conjuntos geradores com
esta propriedade desempenham um papel fundamental no estudo dos espaços vectoriais.
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Definição6: Um conjunto V = {v1 , v2 ,..., vn } não vazio de um espaço vectorial E, diz-se linearmente
n
independente (L.I.) se
i =1
λi vi = 0 ⇔ λ1 = λ2 = ... = λn = 0 ( λi ∈
existe pelo menos um λi ≠ 0 tal que
n
i =1
). Caso contrário, ou seja, se
λi vi = 0 , o conjunto diz-se linearmente dependente (L.D.).
Exemplo11: Estude a dependência linear do conjunto V = {v1 , v2 , v3 } com v1 = (2, −1, 0,3) ,
v2 = (1, 2,5, −1) e v3 = (7, −1,5,8)
Resolução: Tendo em conta a definição anterior,
2λ1 + λ2 + 7λ3 = 0
λ1v1 + λ2 v2 + λ3v3 = 0 ⇔ λ1 (2, −1, 0, 3) + λ2 (1, 2,5, −1) + λ3 (7, −1,5,8) = (0, 0, 0) ⇔
−λ1 + 2λ2 − λ3 = 0
5λ2 + 5λ3 = 0
.
3λ1 − λ2 + 8λ3 = 0
Temos que resolver um sistema homogéneo, da definição resulta que conjunto V é L.I. se o sistema
homogéneo associado for possível e determinado, ou seja, tiver apenas a solução trivial,
AX = 0 ⇔ X = 0 . Este estudo pode ser feito através da condensação da matriz A do sistema. Prova-
se que r ( A) = 2 < n = 3 (exercício!) logo o sistema é possível e indeterminado. Portanto, existem
escalares λi ≠ 0 tais que λ1v1 + λ2 v2 + λ3v3 = 0 (combinação linear), o conjunto V = {v1 , v2 , v3 } é
linearmente dependente.
Teorema7: Um conjunto de vectores V = {v1 , v2 ,..., vm } de
n
é linearmente independente se, e só
se, o sistema de equações lineares representado por AX = 0 , onde A é a matriz ( n × m ) cujas
colunas são os vectores v1 , v2 ,..., vm , tem unicamente a solução X = 0 .
Obs.8: Caso a matriz A seja ( n × n ) o teorema anterior diz que o conjunto V = {v1 , v2 ,..., vn } de
n
é
linearmente independente se, e só se, | A |≠ 0 .
n
Como vimos, para verificar se um conjunto de vectores é ou não L.I. em
um sistema homogéneo de n equações lineares. Assim, um conjunto de
vectores, um conjunto de
3
2
, precisamos resolver
com mais do que dois
como mais do que três vectores, e um conjunto de
n
com mais de n
vectores, são sempre L.D.. Pois, nestes casos, o problema de verificar se eles são ou não L.I. leva a
um sistema homogéneo com mais incógnitas do que equações, que tem sempre solução não trivial.
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O próximo teorema mostra que um conjunto L.I. em
n
contém quanto muito n vectores.
Teorema8: Seja V = {v1 , v2 ,..., vr } um conjunto de vectores de
n
. Se r > n , então V é L.D..
Do exemplo11, verificamos que o termo linearmente dependente sugere que os vectores dependem
uns dos outros de alguma maneira. O teorema seguinte mostra que esse é de facto o caso.
Teorema9: Um conjunto V = {v1 , v2 ,..., vn } , ( n ≥ 2 ), pertencente a um espaço vectorial E, diz-se:
(i) Linearmente independente se, e só se, qualquer vector de V não se puder exprimir como
combinação linear dos restantes n − 1 vectores de V. O vector v1 é L.I. se v1 ≠ 0 ;
(ii) Linearmente dependente se, e só se, pelo menos um dos vectores de V puder ser expresso como
combinação linear dos restantes n − 1 vectores.
Obs.9: Também se diz que no primeiro caso os vectores formam um sistema livre ou independente
e no segundo um sistema ligado ou dependente.
Exemplo12: Verifique se os vectores do conjunto V = {v1 , v2 , v3 } com v1 = (2, −1, 0,3) ,
v2 = (1, 2,5, −1) e v3 = (7, −1,5,8) se podem escrever como combinação linear uns dos outros.
Resolução: Como vimos no exemplo11, o conjunto V = {v1 , v2 , v3 } com v1 = (2, −1, 0,3) ,
v2 = (1, 2,5, −1) e v3 = (7, −1,5,8) é linearmente dependente. Assim, tendo em conta este último
teorema pelo menos um destes vectores pode exprimir-se como combinação linear dos restantes
dois. Para além disso, dados n vectores v1 , v2 ,..., vn , é possível escrever um dos vectores como
combinação linear dos outros n − 1 vectores se, e só se, existirem λ1 , λ2 ,..., λn , nem todos nulos, tais
que λ1v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = 0 (se o conjunto dos vectores v1 , v2 ,..., vn for L.D).
Condensando a matriz do sistema homogéneo indicado no exemplo11, vem
2
−1
0
3
1 7
−1
2 −1
0
↔
5 5
0
-1 8
0
2 −1
5 5
, donde
0 0
0 0
2λ1 + λ2 + 7λ3 = 0
−λ1 + 2λ2 − λ3 = 0
5λ2 + 5λ3 = 0
3λ1 − λ2 + 8λ3 = 0
−λ1 + 2λ2 − λ3 = 0
⇔ 5λ2 + 5λ3 = 0
0=0
λ1 = −3λ3
⇔ λ2 = −λ3 .
λ3 ∈
Assim, λ1v1 + λ2 v2 + λ3v3 = 0 ⇔ −3λ3v1 − λ3v2 + λ3v3 = 0 ⇔ λ3 (−3v1 − v2 + v3 ) = 0 e, se λ3 = 1 obtemos
3v1 + v2 − v3 = 0 . Aqui, cada um dos três vectores pode exprimir-se como combinação linear dos
restantes dois, pois, de 3v1 + v2 − v3 = 0 vem, v1 = − 13 v2 + 13 v3 , v2 = −3v1 + v3 e v3 = 3v1 + v2 .
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Obs.10:
1) A dependência linear é uma propriedade do conjunto e não de cada vector individualmente.
Contudo, por um abuso de linguagem, é usual dizer-se que os vectores são L.D. ou L.I;
2) Subconjuntos de conjuntos L.I. são L.I., e, portanto, um conjunto que contenha um
subconjunto L.D. é também L.D;
3) Um subconjunto V não vazio de um espaço vectorial é L.I. se, e só se, qualquer subconjunto
de V finito é L.I.;
4) Qualquer conjunto finito de vectores que contenha o vector nulo é L.D.;
5) Um conjunto com exactamente dois vectores é L.I. se, e só se, qualquer um dos vectores não
for um escalar múltiplo do outro.
Exemplo13: Verifique se o conjunto das matrizes M 1 =
linearmente independente no espaço das matrizes
2×2
1 1
0 1
1 0
, M2 =
e M3 =
é
1 0
1 1
0 1
.
Resolução: A equação matricial λ1 M 1 + λ2 M 2 + λ3 M 3 =
0 0
0 0
é equivalente ao sistema de
λ1 + λ3 = 0
λ1 = 0
λ1 + λ2 = 0
⇔ λ2 = 0 , como este sistema tem apenas solução trivial, M 1 , M 2 e
equações lineares
λ1 + λ2 = 0
λ3 = 0
λ2 + λ3 = 0
M 3 são linearmente independentes.
Os conceitos de dependência e independência linear dão-nos a chave para entender a estrutura dos
espaços vectoriais. Vejamos o seguinte exemplo.
Exemplo14: Estude a dependência linear do conjunto V = {v1 , v2 , v3 , v4 } de
3
, com v1 = (1,1, 0) ,
v2 = (0,1,1) , v3 = (1, 0,1) e v4 = (1, 2,1) .
Resolução: Para estudar a dependência linear do conjunto V = {v1 , v2 , v3 , v4 } de
atenção o teorema8; seja V = {v1 , v2 , v3 , v4 } um conjunto de vectores de
então V é L.D.. Vimos, no exemplo10, que este conjunto gera
3
3
3
, basta ter em
, como r = 4 > n = 3 ,
.
Se resolvesse-mos a equação λ1v1 + λ2 v2 + λ3 v3 + λ4 v4 = (0, 0, 0, 0) , bastava verificar que a matriz
associada ao sistema homogéneo é (3 × 4) , logo o sistema é possível e indeterminado ( r ( A) = 3 ) e
assim, o conjunto V = {v1 , v2 , v3 , v4 } é linearmente dependente.
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Estudemos, agora, a dependência linear do conjunto V = {v1 , v2 , v3 } de
3
. Aqui não podemos
utilizar o teorema8 (porquê?) ,
λ1 + λ3 = 0
λ1v1 + λ2 v2 + λ3v3 = (0, 0, 0) ⇔ λ1 (1,1, 0) + λ2 (0,1,1) + λ3 (1, 0,1) = (0, 0, 0) ⇔ λ1 + λ2 = 0 .
λ2 + λ3 = 0
1 0 1
A matriz do sistema é A = 1 1 0 , como | A |= 2 ≠ 0 , o sistema é possível e determinado,
0 1 1
admitindo como solução única a solução trivial, λ1 = λ2 = λ3 = 0 , logo V = {v1 , v2 , v3 } é L.I.. Como
vimos no exemplo10 este conjunto gera
conjunto V = {v1 , v2 } não gera
3
3
, sendo L.I. diz-se um conjunto gerador mínimo. O
mas é L.I. (exercício!).
Teorema10: Sejam u1 , u2 ,..., um vectores que geram um espaço vectorial E e V = {v1 , v2 ,..., vn } um
conjunto L.I. Então tem-se, necessariamente, m ≥ n . Por outras palavras, num espaço vectorial, um
conjunto gerador nunca pode ter menos elementos do que um conjunto L.I..
Obs.11: Pelo que foi dito, se V = {v1 , v2 ,..., vn } é um conjunto gerador mínimo, então, V é L.I.. Em
contrapartida, se V é L.I. e gera E, então V é um conjunto gerador mínimo para E. Com veremos
na próxima secção, um conjunto gerador mínimo diz-se uma base do espaço vectorial.
Interpretação geométrica de dependência linear em
2
e
3
.
• Um conjunto formado por dois vectores {u , v } , com u = (u1 , u2 ) e v = (v1 , v2 ) , é L.D. em
2
se,
e só se, a equação λ1u + λ2 v = 0 ⇔ λ1 (u1 , u2 ) + λ2 (v1 , v2 ) = (0, 0) possui solução não trivial. Se isto
acontece, então os escalares λ1 , λ2 ∈
u=−
não são ambos nulos. Se, por exemplo, λ1 ≠ 0 , temos
λ2
λ
v , se λ2 ≠ 0 , v = − 1 u . Ou seja, se {u , v} é L.D., então um dos vectores é escalar
λ1
λ2
múltiplo do outro. Reciprocamente, se um vector é escalar múltiplo do outro, digamos u = λ v ,
então u − λ v = 0 e assim eles são L.D.. Portanto, podemos dizer que um conjunto de dois vectores é
L.D. em
2
se, e só se, um dos vectores é escalar múltiplo do outro. Logo, se os dois vectores
forem colocados na origem vão estar contidos sobre a mesma recta.
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Figura4 – Dois vectores L.D. em
2
2
Figura5 – Dois vectores L.I. em
Analogamente, o conjunto {u , v} , com u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) , é L.I em
3
se, e só se, os
vectores u e v não pertencem à mesma recta que contém a origem no espaço tridimensional. Como
a origem e esses dois vectores não são colineares, determinam um plano. Se outro vector w
pertence a esse plano, então pode ser escrito como combinação linear de u e v e, portanto, o
conjunto de vectores {u , v , w} é L.D.. Se w não pertence a esse plano, o conjunto é L.I..
• Por outro lado, um conjunto formado por três vectores não nulos {v1 , v2 , v3 } é L.D. em
se, a equação λ1v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = 0 , λ1 , λ2 , λ3 ∈
3
se, e só
, possui solução não trivial. Se isso acontece um
dos escalares λ1 , λ2 ou λ3 , é diferente de zero. Se λ1 ≠ 0 , temos v1 = −
λ
λ2
v2 − 3 v3 , ou seja, o
λ1
λ1
vector v1 é combinação linear de v2 e v3 . De forma semelhante, se λ2 ≠ 0 , o vector v2 é
combinação linear de v1 e v3 , e se λ3 ≠ 0 o vector v3 é combinação linear de v1 e v2 . Assim, se o
conjunto {v1 , v2 , v3 } é L.D., então um dos vectores é combinação linear dos outros dois, ou seja, um
deles é uma soma de escalares múltiplos dos outros dois. Reciprocamente, se um vector é
combinação linear dos outros dois então {v1 , v2 , v3 } é L.D.. Portanto, podemos dizer que {v1 , v2 , v3 }
é L.D. se, e só se, um deles se pode escrever como combinação linear dos outros dois.
Logo se os três vectores forem colocados na origem vão estar contidos no mesmo plano.
Consequentemente, em
3
se um conjunto de três vectores não nulos {v1 , v2 , v3 } é L.D., então, ou
os três vectores são paralelos, ou dois deles são paralelos, ou os três são complanares (são paralelos
a um mesmo plano).
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Resumindo:
•
Em
2
ou
3
, um conjunto de dois vectores é L.I. se, e só se, os vectores não pertencem a
uma mesma recta contendo a origem (nenhum dos vectores é escalar múltiplo do outro);
•
Em
3
, um conjunto de três vectores é L.I. se, e só se, os vectores não pertencerem ao mesmo
plano que contém a origem (nenhum dos vectores é combinação linear dos outros dois).
Exemplo15: Estude a dependência linear do conjunto V = {u , v} , em que u = (1, 0,1) e v = (0,1,1) .
Resolução: O conjunto V = {u , v} é L.I., pois um vector não é escalar múltiplo do outro.
Exemplo16: Estude a dependência linear do conjunto constituído pelos vectores v1 = (1, 2,5) ,
v2 = (3,6, −3) e v3 = (1, −1, −1) de
Resolução: Como o conjunto V de
3
.
3
tem três vectores, pode ser L.D. ou L.I.. Desenvolvendo a
equação vectorial obtemos o sistema linear
λ1 + 3λ2 + λ3 = 0
λ1v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = (0, 0, 0) ⇔ λ1 (1, 2,5) + λ2 (3, 6, −3) + λ3 (1, −1, −1) = (0, 0, 0) ⇔ 2λ1 + 6λ2 − λ3 = 0
5λ1 − 3λ2 − λ3 = 0
O conjunto V é linearmente independente se o sistema homogéneo tiver solução trivial, caso
contrário é linearmente dependente. A matriz do sistema é
1 3 1
1 3
1
A = 2 6 −1 ↔ 0 −18 −6 ,
5 −3 −1
0 0 −3
assim, o sistema é possível e determinado, têm solução trivial, o conjunto dos vectores
V = {v1 , v2 , v3 } é L.I. Obviamente, | A |≠ 0 (porquê?). Significa que, nenhum dos vectores se pode
escrever como combinação linear dos outros dois.
Geometricamente, como o conjunto V = {v1 , v2 , v3 } é L.I., um dos vectores não pertence ao mesmo
plano formado pelos outros dois, ou, os três vectores quando posicionados com os seus pontos
iniciais na origem não pertencem ao mesmo plano.
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4.5 Base e dimensão
Usualmente pensamos numa recta como tendo uma dimensão, num plano como sendo bidimensional e no espaço, que nos envolve, como sendo tri-dimensional. Vamos, tentar nesta secção,
tornar esta noção intuitiva de “dimensão” mais precisa.
Vimos que, num espaço vectorial E, um conjunto de geradores pode ser L.I. ou L.D.. Se o conjunto
de geradores for L.D., então existe um vector no conjunto que se pode escrever como combinação
linear de outros elementos do conjunto. Assim, esse elemento não é necessário para gerar o espaço
E. Portanto, um conjunto de geradores L.D. contém vectores que não são necessários para gerar E.
Por outro lado, mostrámos que um conjunto gerador para um espaço vectorial é mínimo se for L.I..
Os elementos de um conjunto gerador mínimo formam peças básicas para a construção de todo o
espaço vectorial e, por causa disso dizemos que formam uma base para o espaço vectorial.
Vimos, no exemplo14, que o conjunto V = {v1 , v2 , v3 } , com v1 = (1,1, 0) , v2 = (0,1,1) e v3 = (1, 0,1) é
um conjunto gerador mínimo de
3
. Uma vez que, V gera
3
e é linearmente independente.
Definição7: Um conjunto de vectores V = {v1 , v2 ,..., vn } de um espaço vectorial E , é uma base
{v1 , v2 ,..., vn } de E sse:
i) V gera o espaço E;
ii) V é linearmente independente.
2×2
Exemplo17: Verifique que o conjunto { A11 , A12 , A21 , A22 } forma uma base para
A11 =
1 0
0 1
0 0
0 0
, A12 =
, A21 =
e A22 =
.
0 0
0 0
1 0
0 1
Resolução: Devemos provar que { A11 , A12 , A21 , A22 } é L.I. e gera o espaço
i) O conjunto { A11 , A12 , A21 , A22 } de
2×2
2×2
, como A =
a11
a12
a21
a22
2×2
.
é linearmente independentes, pois
λ1 A11 + λ2 A12 + λ3 A21 + λ4 A22 = 0 ⇔
ii) Se A ∈
, onde
λ1 λ2
0 0
=
⇔ λ1 = λ2 = ... = λn = 0 ;
λ3 λ4
0 0
vem A = a11 A11 + a12 A12 + a21 A21 + a22 A22 , ou seja, toda a
matriz A(2×2) pode escrever-se como combinação linear destas matrizes, logo { A11 , A12 , A21 , A22 } ,
gera
2×2
.
Por i) e ii), A11 , A12 , A21 , A22 formam uma base para
2×2
, a base canónica.
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Exemplo18: Verifique que os vectores e1 = (1,...,0), e2 = (0,1,..., 0) , ..., en = (0,...,1) , constituem
uma base para o espaço vectorial
n
.
Resolução:
i) Qualquer vector de
n
, pode ser escrito como combinação linear de e1 , e2 ,..., en
u = (u1 ,..., un ) = u1 (1,..., 0) + ... + un (0,...,1) = u1e1 + ... + un en . Portanto, e1 , e2 ,..., en geram o espaço.
ii) O conjunto dos vectores e1 = (1,...,0), e2 = (0,1,..., 0) , ..., en = (0,...,1) é L.I..
Por i) e ii), V = {e1 , e2 ,..., en } constitui um base para
n
, designada por base canónica de
n
.
O conceito de base de um espaço vectorial é de extrema importância. Os vectores de uma base
constituem um espaço vectorial que generaliza o conceito de sistema de coordenadas em
2
e
3
.
O teorema seguinte ajuda-nos a perceber porquê.
Teorema11: Seja E um espaço vectorial, e V = {v1 , v2 ,..., vn } uma base para E. Então qualquer
vector de E pode exprimir-se de um só modo como combinação linear dos vectores vi ’s de V.
De facto, qualquer vector de um espaço vectorial finitamente gerado pode ser representado como
uma combinação única dos elementos de uma base V = {v1 , v2 ,..., vn } do espaço (a combinação linear
não é única sse V for L.D.). Por outras palavras, as bases são bons sistemas de coordenadas para
representar vectores de um espaço vectorial.
Componentes de um vector relativamente a uma determinada base: Seja V = {v1 , v2 ,..., vn } uma
base de um espaço vectorial E, cada u ∈ E , pode ser escrito como combinação linear de
v1 , v2 ,..., vn , ou seja, u = λ1v1 + λ2 v2 + ... + λn vn (exprime u em termos da base V), então os escalares
λ1 , λ2 ,..., λn ∈
chamam-se componentes ou coordenadas de v relativamente à base {v1 , v2 ,..., vn } .
Dado um espaço vectorial E, se conhecermos uma base de E, qualquer vector de E fica conhecido
se conhecermos as suas componentes relativamente a essa base.
Exemplo19: Em
2
os vectores da base canónica são e1 = (1, 0) e e2 = (0,1) . Note-se que,
u = (1, −3) = e1 − 3e2 , uma vez que
u = e1 − 3e2 = (1,0) − 3(0,1) = (1,0) + (0, −3) = (1, −3) . Aos
números u1 e u2 dá-se o nome de componentes do vector em relação à base canónica {e1 , e2 } .
Generalizando, as componentes de v = (v1 ,..., vn ) em relação à base canónica de
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n
são v1 ,..., vn .
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Obs.12: Note-se que as componentes de um vector, relativamente a uma base de um espaço
vectorial, dependem não só da base mas também da ordem como os vectores da base são escritos;
uma mudança na ordem dos vectores da base resulta numa mudança correspondente na ordem das
entradas das componentes do vector. Para não sobrecarregar a exposição, não estaremos sempre a
repetir isso, e falaremos de uma base simplesmente como um conjunto.
Mudança de base: Uma base de um espaço vectorial, E , é chamada canónica por ser a mais
natural para se representar vectores de E . Embora essas bases canónicas pareçam ser as mais
simples e naturais para se usar, em muitas aplicações, elas não são as bases mais apropriadas. De
facto, a chave na resolução de muitos problemas aplicados é mudar da base canónica para uma base
que é de alguma forma, mais natural para a aplicação em questão. Uma vez resolvido o problema na
nova base, é fácil voltar a representar a solução e, termos da base canónica.
Por exemplo: Pelo teorema11, qualquer vector v = (v1 , v2 )
de
2
pode ser representado de
maneira única como uma combinação linear dos vectores de qualquer base de
2
. Por um lado,
v = (v1 , v2 ) = v1e1 + v2 e2 , onde os escalares v1 e v2 são as componentes de v em relação à base
canónica {e1 , e2 } = {(1, 0), (0,1)} . Por outro lado, v = λ1u1 + λ2 u2 , onde os escalares λ1 e λ2 são as
componentes de v em relação à base {u1 , u2 } (ordenamos os elementos da base de modo que u1
seja o primeiro vector da base e u2 seja o segundo).
Uma vez decididos a trabalhar com uma nova base temos o problema de encontrar as coordenadas
em relação a essa nova base. Suponhamos, por exemplo, que, em vez, de usarmos a base canónica
{e1 , e2 } para
2
, queríamos usar uma base diferente, por exemplo, {u1 , u2 } com u1 = (3, 2) e
u2 = (1,1) . Isto equivale a querer obter as componentes de um vector de
2
em relação aos dois
sistemas de coordenadas, para isso, vamos considerar os dois problemas seguintes:
i) Encontrar componentes do vector λ1u1 + λ2u2 em relação à base {e1 , e2 } .
ii) Encontrar as componentes do vector v = v1e1 + v2e2 em relação à base {u1 , u2 } ;
Comecemos por resolver o problema i), para mudar a base {u1 , u2 } para a base {e1 , e2 } , precisamos
exprimir os elementos da base antiga u1 e u2 , em termos dos elementos da nova base, e1 e e2 . De
u1 = 3e1 + 2e2 e u2 = e1 + e2 , vem
λ1u1 + λ2 u2 = 3λ1e1 + 2λ1e2 + λ2 e1 + λ2 e2 = (3λ1 + λ2 )e1 + (2λ1 + λ2 )e2 ,
o vector de componentes λ1u1 + λ2 u2 em relação a {e1 , e2 } é
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v = (3λ1 + λ2 , 2λ1 + λ2 ) = λ1 (3, 2) + λ2 (1,1) ,
que em notação matricial pode ser escrita na forma
v=
Definindo U = (u1 , u2 ) =
3 1
2 1
3λ1 + λ2
2λ1 + λ2
=
3 1 λ1
2 1 λ2
e λ = (λ1 , λ2 ) = [ λ1
.
λ2 ] temos que, para qualquer vector de
componentes λ em relação a {u1 , u2 } , para encontrar o vector de componentes correspondentes v
em relação a {e1 , e2 } , basta multiplicar U por λ , ou seja, v = U λ . A matriz U é chamada matriz
mudança de base de {u1 , u2 } para {e1 , e2 } .
Para resolver o problema ii), precisamos encontrar a matriz mudança de base de {e1 , e2 } para
{u1 , u2 } . A matriz U admite inversa, uma vez que as suas colunas são constituídas por vectores
L.I..
Temos
então
v = U λ ⇔ U −1 v = U −1U λ ⇔ λ = U −1v .
Assim,
dado
um
vector
v = (v1 , v2 ) = v1e1 + v2 e2 , basta multiplicá-lo por U −1 para se encontrar o seu vector de componentes
relativamente a {u1 , u2 } . A matriz U −1 é a matriz mudança de base de {e1 , e2 } para {u1 , u2 } .
Exemplo20: Considerando os vectores u = (1, 4) , v = (2,1) e w = (7, 7) encontre as coordenadas de
w relativamente à base {u , v} .
Resolução: Os vectores u = (1, 4) e v = (2,1) formam um conjunto linearmente independente,
assim, {u , v} é uma base de
é a inversa de U = (u1 , u2 ) =
2
. Pelo que foi dito, a matriz mudança de base de {e1 , e2 } para {u , v }
1 2
1 1 −2
, ou seja, λ = U −1v = −
4 1
7 −4 1
7
1
=
, donde o vector
7
3
pedido é w = u + 3v .
Figura6 – Soma de vectores em
2
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O vector w = (7, 7) pode ser escrito como combinação linear w = u + 3v . Assim, o vector de
componentes de w em relação a {u , v } é (1,3) . Geometricamente, esse vector diz-nos como sair da
origem e chegar a w = (7, 7) movendo-nos primeiro na direcção de u e depois na direcção de v .
O vector de componentes de w em relação à base ordenada {v , u} é (3,1) . Geometricamente, esse
vector diz-nos como sair da origem e chegar a w = (7, 7) movendo-nos primeiro na direcção de v e
depois na direcção de u .
A definição de dimensão de um espaço vectorial está relacionada com o número de vectores de
uma base do espaço. Como um espaço vectorial pode ter mais do que uma base é preciso
estabelecer que bases diferentes de um mesmo espaço vectorial contêm o mesmo número de
vectores. O próximo teorema providencia a chave para o conceito de dimensão.
Teorema12: Seja E um espaço vectorial e V = {v1 , v2 ,..., vn } qualquer base para E:
(i) Qualquer subconjunto de E com mais do que n vectores é linearmente dependente;
(ii) Qualquer subconjunto de E com menos do que n vectores não pode gerar E.
Resulta deste último teorema que, se V = {v1 , v2 ,..., vn } for uma base para um espaço vectorial E,
então todos os subconjuntos de E que simultaneamente geram E e são L.I. deverão ter precisamente
n vectores. Assim, todas as bases de E deverão ter o mesmo número de vectores que a base
arbitrária V . Isto motiva o seguinte resultado, um dos mais importantes em álgebra linear.
Teorema13: Se um espaço vectorial E tem uma base com n vectores, então todas as bases para E
tem exactamente n vectores.
Obs.13. Resulta que, se V1 = {u1 ,..., um } e V2 = {v1 ,..., vn } são duas bases de um espaço vectorial E,
então m = n . Todas as bases de um espaço vectorial têm o mesmo número de vectores.
Para se ver como este teorema esta relacionado com o conceito de dimensão, recorde-se que a base
canónica de
n
n
tem n vectores. Então o teorema13 implica que as infinitas bases de
vectores. Em particular, todas as bases de
vectores, e todas as bases de
é bidimensional, e
3
2
têm três vectores, todas as bases de
têm um vector. Intuitivamente,
3
é tridimensional,
2
têm n
têm dois
(um plano)
(uma linha) é unidimensional. Assim, para espaços vectoriais usuais, o
número de vectores que constituem uma base coincide com a dimensão do espaço vectorial. O que
sugere a seguinte definição.
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Definição8: Um espaço vectorial E é chamado de dimensão finita se tem uma base que contém um
número finito de vectores. A dimensão de E, representada por dim( E ) , é o número de vectores de
uma base de E. A dimensão do espaço vectorial nulo, E = {0} , é definida como sendo dim( E ) = 0 .
Um espaço vectorial que não tem uma base finita é chamado de dimensão infinita.
Obs.14: Se uma base de E tiver n elementos, dizemos que E tem dimensão n, e escrevemos
dim( E ) = n (quando E contém um conjunto com n vectores L.I. nos quais se possa expressar
linearmente qualquer outro vector de E).
Obs.15: Como convenção, considera-se o conjunto vazio como sendo uma base do espaço vectorial
nulo. Esta convenção é consistente com a definição anterior, uma vez que o conjunto vazio não tem
vectores e o espaço vectorial nulo tem dimensão zero.
Exemplo21:
1) Se uma base de E é constituída por infinitos vectores, diz-se que E tem dimensão infinita. Por
exemplo, dim(
2) dim(
n
∞
) =∞.
) = n (porquê?). Em particular,
é um espaço vectorial de dimensão 1 e dim(
3
) = 3.
3) No plano, os vectores OA e OB não colineares formam um conjunto L.I. e não há três vectores
nestas condições, logo OA , OB formam uma base e dim(
2
) = 2.
4) Mais geralmente, tem-se dim( M ( m×n ) ( )) = m × n .
5) A dimensão do espaço das matrizes ( n × n ) triangulares superiores é
n(n + 1)
(exercício!).
2
A dimensão de um espaço vectorial é o seu “número mágico”. Conhecer a dimensão de um espaço
vectorial E dá muita informação sobre E e pode simplificar enormemente o trabalho necessário em
certos tipos de cálculo. De um modo geral, para se provar que um conjunto de vectores
V = {v1 , v2 ,..., vn } é uma base de um espaço vectorial E, devemos mostrar que V é linearmente
independente e que gera E. Contudo, se soubemos que dim( E ) = n (ou seja, {v1 , v2 ,..., vn } contém o
número certo de vectores para uma base), então é suficiente provar que V é L.I. ou que gera o
espaço – a outra condição verificar-se-á automaticamente. Isto motiva o seguinte teorema.
Teorema14: Seja E um espaço vectorial com dimensão finita, dim( E ) = n , e S um subconjunto de
E com exactamente n vectores, então S é uma base de E se S gerar E ou for linearmente
independente.
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Obs.16: Pelo que foi dito, seja E um espaço vectorial com dimensão finita, dim( E ) = n . Então:
(i) Qualquer subconjunto L.I. de E contém no máximo n vectores.
(ii) Todo o subconjunto L.I. de E , com exactamente n vectores, gera E, logo, é uma base para E .
(iii) Todo conjunto gerador de E contém no mínimo n vectores (nenhum conjunto com menos de n
vectores pode gerar E);
(iv) Qualquer conjunto gerador de E , com exactamente n vectores, é L.I., logo, é uma base para E .
Exemplo22: Mostre que:
(a) os vectores v1 = (−3, 7) e v2 = (5,5) forma uma base de
2
;
(b) os vectores v1 = (2, 0, −1), v2 = (4, 0, 7) e v3 = (−1,1, 4) forma uma base de
3
.
Resolução:
(a) Pelo teorema14, uma base de um espaço vectorial de dimensão n é qualquer subconjunto de n
vectores L.I. desse espaço. Como, qualquer um dos vectores não é escalar múltiplo do outro, os dois
vectores formam um subconjunto L.I. do espaço bidimensional
2
2
, ou seja, uma base para
;
(b) Os vectores v1 e v2 formam um conjunto L.I. no plano XOZ (porquê?). O vector v3 não
pertence ao plano XOZ , portanto, o conjunto {v1 , v2 , v3 } é L.I.. Uma vez que dim(
teorema14 garante que o conjunto {v1 , v2 , v3 } forma um base de
3
3
) = 3, o
.
O teorema seguinte mostra que para um espaço vectorial E de dimensão finita, qualquer conjunto
que gera E contém uma base de E , e que qualquer conjunto linearmente independente de E faz
parte de alguma base de E .
Teorema15: Seja V um subconjunto finito de vectores de um espaço vectorial E de dimensão finita.
i) Se V gera E mas não for uma base (por conter mais de n vectores) de E, então V pode ser reduzido
a uma base de E removendo-se apropriadamente vectores de V;
iii) Se V for um conjunto linearmente independente que não seja uma base de E, então V pode ser
transformado numa base de E incluindo apropriadamente vectores em V.
Exemplo23: Para explorarmos a informação do teorema anterior, vamos considerar o exemplo14
onde se considerou os vectores v1 = (1,1, 0) , v2 = (0,1,1) , v3 = (1, 0,1) e v4 = (1, 2,1) . Vimos que:
i) O conjunto V = {v1 , v2 , v3 , v4 } de
3
, apesar de gerar
ii) O conjunto V = {v1 , v2 , v3 } gera
3
e é L.I. (é uma base para
iii) O conjunto V = {v1 , v2 } apesar de L.I. não gera
3
3
não é L.I. (não é uma base para
3
3
);
);
(não é uma base para
3
).
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Tendo em conta os pontos i) ii) e iii), concluímos que: Por exemplo, de V = {v1 , v2 , v3 , v4 } retira-se
o vector v4 , obtendo-se V = {v1 , v2 , v3 } uma base para
3
pode ser extraída uma base de
V = {v1 , v2 , v3 } uma base para
3
3
(de todo o conjunto de geradores de
3
); Por exemplo, de V = {v1 , v2 } inserindo o vector v3 , obtém-se
.
De facto, sendo E um espaço vectorial de dimensão finita, dim( E ) = n , o teorema15, garante que:
i) Podemos retirar vectores apropriados de qualquer conjunto gerador contendo mais de n vectores
(que não seja uma base para E ) de modo a se obter uma base para E (qualquer conjunto gerador de
E pode ser reduzido a uma base para E ).
ii) Qualquer subconjunto V de E L.I. com menos de n elementos (que não seja uma base para E )
pode ser estendido para formar uma base para E , inserindo vectores apropriados em V.
Prova-se que qualquer subespaço de um espaço vectorial de dimensão finita tem dimensão finita.
Conclui-se esta secção com um teorema que mostra que a dimensão de um subespaço de um espaço
vectorial de dimensão finita E não pode exceder a dimensão de E e que a única maneira desse
subespaço ter a mesma dimensão de E é no caso em que o subespaço coincide com E. A figura7
ilustra esta ideia em
3
.
Figura7 –Dimensão dos subespaços de
3
A figura anterior, ilustra que quanto “maior” for o subespaço, maior é a sua dimensão, ou seja:
•
A origem é 0-dimensional;
•
A recta que passa pela origem, r, é unidimensional;
•
O plano que passa pela origem, π , é bidimensional;
•
3
é tridimensional.
Teorema16: Seja W um subespaço de um espaço vectorial de dimensão finita E , então
dim(W ) ≤ dim( E ) (W tem dimensão finita); para além disso se dim(W ) = dim( E ) , então W = E .
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Exemplo24: Determine a dimensão do subespaço S de
3
gerado pelos vectores v1 = (1, −1, 2) ,
v2 = (−2, 3,1) e v3 = (−1,3,8) .
Resolução: Os subespaços de
3
passa pela origem e
3
são; a origem, uma recta que passa pela origem, um plano que
.
Como λ1v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = (a, b, c) é um sistema impossível (porquê?), concluímos que os vectores
v1 , v2 e v3 não geram
3
, dim( S ) ≠ 3 .
Vamos agora estudar dependência linear do conjunto V = {v1 , v2 , v3 } . Como a matriz A do sistema
λ1v1 + λ2 v2 + λ3v3 = (0, 0, 0) é (3 × 3) , basta estudar o valor de | A | . Sendo | A |= 0 , o sistema é
possível e indeterminado, donde o conjunto V é linearmente dependente. Por este motivo, existem
vectores de V que se podem escrever como combinação linear dos restantes,
λ1 − 2λ2 − λ3 = 0
λ1 = −3λ3
λ1v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = (0, 0, 0) ⇔ −λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 0 ⇔ λ2 = −2λ3 .
2λ1 + λ2 + 8λ3 = 0
λ3 ∈
Assim,
λ1v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = (0, 0, 0) ⇔ −3λ3 v1 − 2λ3 v2 + λ3 v3 = λ3 (−3v1 − 2v2 + v3 ) = (0, 0, 0) ,
fazendo, λ3 = 1 , vem v3 = 3v1 + 2v2 . Ou seja, v3 pertence ao espaço gerado por v1 e v2 , donde, o
subespaço S de
3
gerado por v1 , v2 e v3 pode ser representado pelos vectores v1 e v2 . Como,
qualquer combinação linear de v1 , v2 e v3 pode ser reduzida a uma combinação linear de v1 e v2 ,
λ1v1 + λ2 v2 + λ3v3 = λ1v1 + λ2 v2 + λ3 (3v1 + 2v2 ) = (λ1 + 3λ3 )v1 + (λ2 + 2λ3 )v2 , o espaço gerado por
V = {v1 , v2 , v3 } é S = ger (V ) = {v1 , v2 } .
Por outro lado, como v3 = 3v1 + 2v2 ⇔ 3v1 + 2v2 − v3 = 0 , e sendo os três coeficientes diferentes de
zero, podemos exprimir cada um dos vectores em função dos outros dois v1 = − 23 v2 + 13 v3 e
v2 = − 32 v1 + 12 v3 . Temos então que, S = ger {v1 , v2 } , S = ger {v1 , v3 } ou S = ger {v2 , v3 } , ou seja, o
subespaço S pode ser gerado por quaisquer dois dos vectores dados.
Prova-se que os conjuntos {v1 , v2 } , {v2 , v3 } e {v1 , v3 } são L.I., ou seja, formam uma base para S.
Concluí-se que, dim( S ) = 2 < dim(
3
).
Os vectores destes conjuntos definem planos que passam pela origem.
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