Conjuntos ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO RAUL PILLA

ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO RAUL PILLA
COMPONENTE CURRICULAR: Matemática
1º ANOS DO ENSINO MÉDIO
PROFESSORA: Maria Inês Castilho
Conjuntos
Noções básicas:
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, de dados, de números, de informações.
Os componentes de um conjunto são chamados elementos. Costumamos representar um
conjunto por:
1. EXTENSÃO - nomeando os elementos um a um, separados por vírgula, dentro de chaves e
identificando o conjunto por uma letra maiúscula. Exemplo: A = { 0, 2, 4, 6}
Esta forma pode ser usada mesmo se o número de elementos for muito grande.
Exemplos:
Conjunto infinito: B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
Conjunto finito: C = {0, 2, 4, 6, 8, ... 304}
2. DIAGRAMA DE VENN – Exemplo:
A
.0
.2
.4
.6
3. COMPREENSÃO – quando se representa por uma característica do conjunto. Exemplo:
A = { x | x é um número par menor que 7}
A representação do número de elementos de um conjunto é indicada por
n(A) =4 (lê-se o número de elementos de A é igual a 4)
EXERCÍCIOS
a)
b)
c)
d)
e)
1. Represente os conjuntos abaixo, por extensão e compreensão:
A é o conjunto dos números inteiros positivos menor que 100;
B é o conjunto dos números inteiros negativos maior que – 3;
C é o conjunto dos números ímpares;
D é o conjunto dos números primos;
E é o conjunto de cores da bandeira do Brasil;
2. Qual o número de elementos de cada conjunto do exercício anterior?
3. Dado o diagrama abaixo determine o número de elementos:
a)
.RS
.SC
.PR
A
B
.1
.8
.3
.7
.5
.6
.4
.2
C
.12
2 .10
Conjuntos Iguais:
Há uma igualdade entre dois ou mais conjuntos quando eles tem os mesmos elementos. Se
os conjuntos A e B são iguais, dizemos A = B. E a negação da igualdade é dada por A ≠ B. Exemplo:
A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {x|x é um número natural par menor que 9} e C = {0,2,4, 6}
A=B
A≠C
Para indicar que um elemento pertence a determinado conjunto usamos o símbolo ϵ
(pertence) e, para indicar que não pertence, o símbolo é .
Exemplo:
A = {0, 2, 4, 6, 8}
2ϵ A
3A
A
B
Conjunto Universo:
Quando se faz referência de conjuntos em relação a um conjunto maior, este é chamado
conjunto universo, simbolizado normalmente por U.
Por exemplo:
a) Quando estudamos um fato, como por exemplo, idade superior a 15 anos, relacionado aos
estudantes da escola, o conjunto universo será constituído por todos os alunos da escola.
U = { alunos da Escola Raul Pilla}
A = {x | x tem 15 anos} ou
A = {x ϵ U| x tem 15 anos}
b) Quando o fato está relacionado apenas aos alunos de uma das turmas da escola, o conjunto
universo será constituído por todos os alunos dessa turma.
U = { alunos da turma 110 da Escola Raul Pilla}
B ={x | x tem 15 anos} ou
B = {x ϵ U| x tem 15 anos}
Observe que os conjuntos A e B são diferentes, ou seja, A ≠ B porque o conjunto universo a que
se referem são diferentes.
Conjunto Unitário:
Quando o conjunto possui apenas um único elemento.
Por exemplo:
C = { x|x é um número primo par e positivo}
C = {2} conjunto unitário
Conjunto Vazio:
Quando o conjunto não possui nenhum elemento.
Por exemplo:
D = {x|x é um número primo menor que 2}
C = { } ou C = 
OBSERVAÇÂO: Nunca use C = {} por que esse não é um conjunto vazio e sim um conjunto que
contem um conjunto vazio. Logo, não é vazio!
Subconjuntos:
Observe os conjuntos A e B e também o diagrama ao lado
A
A = { 1, 2, 3, 4, 5}
B = { 1, 2, 5}
.3
.2 .1
.4
.5 B

Todos os elementos de B estão dentro do conjunto A embora este tenha mais 2 elementos.
Então, dizemos que B está contido em A ou B é um subconjunto de A.
Indicamos por
B  A
símbolo que significa está contido.
Também podemos dizer que A contém B
A  B
símbolo que significa contém.
Quando existir pelo menos um elemento de B que não está contido em A, dizemos que A não
contém A ou que B não está contido em A. Por exemplo, os conjuntos A e B abaixo.
A = { 1, 2, 3, 4, 5}
B = { 1, 2, 6}
B
A
.4
.5
E a simbologia é:
.3
.1
.2
.6
AB
símbolo que significa não está contido.
ou
B 
/ A
símbolo que significa não contém.
EXERCÍCIOS
a) Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário, considerando como conjunto universo o
conjunto dos números naturais:
a) A = { x|x é menor do que 1}
b) B = { x|x é maior que 5 e menor que 6}
c) C = { x|x é um número primo maior que 11 e menor que 20}
d) D = { x|x é um número par maior que 30 e menor que 32}
e) E = { x|x + 3 = 8}
f) F = { x|5x = 30
g) G = { x|x < 1}
h) H = { x|x <0}
b) Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = { 1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique
em V ou F cada informação a seguir:
a) A  B
d) B  C
g) C  A
j)   A
h) A ϵ B
k) 2 ϵ D
b) C  D
e) D  A
l) 1  D
c) A  D
f) B  A
i) A  D
Operações com conjuntos
União de Conjuntos
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto C formado por todos os elementos que
pertencem a A ou pertencem a B.
Por exemplo:
Se,
então,
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8}
A U B = C = {0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 8}
símbolo que significa união ou reunião.
Intersecção de Conjuntos
A intersecção de dois conjuntos A e B é um conjunto C formado pelos elementos que
pertencem a A e pertencem a B, ou seja, somente aqueles elementos que pertencem a A e também
a B.
Se,
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8}
então,
A B = C = {0, 2, 4}
símbolo que significa intersecção.
Podemos dizer que A
B ={ x|x
ϵ A e x ϵ B}
Diferença de Conjuntos
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto C formado pelos elementos que pertencem
a A, mas não pertencem a B.
Se,
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8}
então,
A - B = C = {1, 3, 5}
símbolo que significa diferença.
OBSERVE que se B  A, a diferença A – B é chamada complementar de B em relação a A e
indicamos por
ou
Por exemplo,
Se,
A = { 0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3}
então
= A – B = { 0, 1, 4}
NOTE que o complementar de B em relação a A é o que falta ao conjunto B para ficar igual
ao conjunto A.
EXERCÍCIOS
1. Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g} , B = {b, d, g, h, i} e C = {e, f, m, n} determine:
a) A U B
e) B – F
b) A C
f) B C
c) A – B
g) B U C
d) (A – B) U (B – A)
h) A U C
2. Dados os conjuntos A = { 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 5, 6, 9} e C = {0, 3, 6, 9, 10) determine:
a) A U B
g) (A C) U B
b) A B
h) (A B) C
c) A U C
i) (A U B) C
d) A C
j) (A U C) B
e) B C
k) A U (B C)
f) (A B) U C
3. Considere o diagrama
e determine:
a) A B
b) A C
c) B C
d) A B C
e) A U B
f) B U C
g) A U C
B
.2
.1
A
.4
.3
.5
.7
.6
C
4. Uma escola de línguas tem 630 pessoas, 350 deles estudam Inglês, 210 estudam Espanhol e
90 estudam as duas matérias (Inglês e Espanhol). Pergunta-se:
a) Quantas pessoas estudam apenas Inglês?
b) Quantas pessoas estudam apenas Espanhol?
c) Quantas pessoas estudam apenas Inglês e Espanhol?
d) Quantas pessoas não estudam nenhuma das duas linguas?
5. Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre
futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e
14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e vôlei, 8 de basquete e de
vôlei; e 5 gostam das três modalidades.
a) Quantas pessoas gostam somente de futebol?
b) Quantas pessoas gostam somente de basquete?
c) Quantas pessoas gostam somente de volei?
d) Quantas pessoas gostam somente de futebol e de basquete?
e) Quantas pessoas gostam somente de futebol e de volei?
f) Quantas pessoas não gostam nem de basquete nem de volei?
g) Quantas pessoas gostam somente de futebol ou somente de basquete?
h) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?
Conjuntos Numéricos
Conjuntos dos números naturais
O primeiro dos conjuntos numéricos é aquele que a partir do zero, acrescenta-se uma
unidade e se obtém o seguinte, até o infinito. Simbolizado pela letra N maiúscula, fica representado
por extensão:
 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Graficamente, numa semi-reta numerada, temos a representação abaixo. Observe que os pontos
são equidistantes.
0
1
2
3
4
n
n+1
NOTA: Toda vez que usamos um asterisco (*) junto da letra é porque retiramos o zero, ou seja, é o
conjunto sem o zero. Veja:
* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
*  
Conjuntos dos números inteiros
Os números naturais mais os respectivos simétricos formam o conjunto dos números
inteiros. Simbolizado pela letra Z maiúscula.
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
n
n+1
...
OBSERVE que os números simétricos (exemplo -3 e +3) estão a mesma distância do zero e por esta
razão são chamados simétricos ou opostos.
Exemplos de subconjuntos de Z:
A = { x ϵ Z|-3  x  4} ou A = { x ϵ Z|-3  x < 5}
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} são os números inteiros não-nulos;
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} são os números inteiros não-negativos;
Z- = {..., -3, -2, -1, 0} são os números inteiros não-positivos;
E podemos dizer que:
Z*  Z
Z+  Z
Z-  Z
  Z
Conjuntos dos números racionais
Para também contemplar os números fracionários e decimais que existem entre uma unidade e
outra dos números inteiros, existe o conjunto dos números racionais. Simbolizado pela letra Q
maiúscula é melhor representado por:
Q = { x | x = , com a ϵ Z, b ϵ Z e b≠ 0}
ou
Q = { ... , -1, ... ,
, ... , 0, ... , , ... , , ... , 1, ... , 2, ... , , ... , 3, ... }
Todo número racional possui o seu oposto ou simétrico. O oposto de é - , o oposto de -0,2 é 0,2.
Entre dois números racionais distintos existem sempre outros números racionais.
Q*  Q
Q+  Q
Q-  Q
Z Q
 Q
Exemplos de números racionais:
a) 6 é um número inteiro mas é também um nº racional porque pode ser escrito na forma
.
b) 0,25 é um número racional. Veja que ele pode ser escrito na forma . OBSERVAÇÂO: Todo
número que pode ter uma representação finita (número finito de casas decimais) é
considerado um número racional.
c) 0, 3333 ... = ̅ =
Toda dízima periódica é um número racional. Tem
infinitas casa decimais, mas elas se repetem de
d) 0,4242424242 ... = 0, ̅̅̅̅ =
forma periódica.
Conjuntos dos números irracionais
Número irracional é o número que tem uma representação decimal infinita e não periódica. Esses
números diferem dos racionais porque estes são valores exatos e os irracionais, não.
Exemplos:
√
√
√
O símbolo do conjunto dos Irracionais é o I.
Exemplo:
I = {... , - , ... , - √ , ... , √ , ... , √ , ... , , ...}
Conjuntos dos números reais
É o conjunto que envolve todos os outros vistos anteriormente. Os conjuntos dos naturais, dos
inteiros, dos racionais e dos irracionais são subconjuntos do conjunto dos números reais. Veja o
diagrama abaixo:
R
Z
N
I
A representação geométrica da reta numérica real (ou simplesmente reta real) R pode ser
representada da seguinte forma:
R = { ... , -1, ... ,
, ... , 0, ... ,
, ... , , ...... , , ... , 1, ... , 2, ..., - ... , , 3, ... }
NOTE que, entre um e outro número exposto, existem infinitos números reais. E ainda:
R*  R
R+  R
R-  R
Q R
Z R
 R
onde:
R* = R – {0} = Números reais não-nulos.
R+ = {x ϵ R|x 0} = Números reais não-negativos.
R- = {x ϵ R|x 0} = Números reais não-positivos.
EXERCÍCIOS
1. Usando os símbolos
espaço:
a) – 5 ....... N
b) – 5 ....... Z
c) – 5 ....... Q
d) – 5 ....... R
e) 17 ........ N
f) 17 ........ Z
g) 17 ........ Q
h) 17 ........ R
i) 17 ........ R+
j) √ ..... N
ϵ e, relacione o elemento com o conjunto dado, completando o
k) √ ..... I
l) √ ..... Q
m) .......... N
n)
.......... Z
o)
.......... Q
p)
.......... I
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
0, 85 .... Z
0, 85 .... Q
0, 85 .... I
0, 85 .... R
0, 85 .... R̅ ...... Q
̅ ...... Z
̅ ...... I
q) .......... R
r) 0, 85 .... N
2. Determine os conjuntos, por extensão:
a) M = { x ϵ R| -2x2 – 9x + 5 = 0}
b) N = { x ϵ R| 7x – 4 = 10}
c) O = { x ϵ R| x2 – 36 = 0}
d) P = { x ϵ R|
+ 22 = 0}
3. Localize os números 0, -1,
,
√
2,
na reta numerada:
R
4. Sendo a um número natural menor que 30 e B = {x ϵ N|x = √ }, determine o número de
elementos de B.
5. Analise os dois retângulos abaixo, calcule a diagonal de cada um delese, em seguida,
classifique os números encontrados em racional ou irracional.
3
4
4
5
6. Dado o diagrama abaixo, escreva o conjunto dos elementos que formam A, B, C, D e F.
A
B
E
2
C
-2
5
D
-4
√
F
√
INTERVALOS
Sabemos que o conjunto N, Z, Q, I são subconjuntos de R e sabemos como representá-los.
Agora, veremos outros subconjuntos do conjunto dos números Reais (R), determinados por
desigualdades. Esses são chamados de INTERVALOS.
Observe os exemplos:
1. Conjunto dos números reais maiores que 3 e menores que 7.
Na reta numerada podemos representar por:
R
7
3
Observe a bolinha vazia nas extremidades do segmento de reta. Ela indica que o número 3 e o
número 7 não pertencem ao conjunto. Então denominamos Intervalo Aberto, e pode ser indicado
por
{ x ϵ R| 3 < x < 7} ou ]3,7[
2. Conjunto dos números reais maiores ou iguais a -1 e menores ou iguais a 4.
-1
R
4
Observe agora as bolinhas cheias. Ela indica que os números -1 e 4 pertencem ao conjunto. E é
chamado Intervalo Fechado, e pode ser indicado por
{ x ϵ R| -1  x  4} ou [-1, 4]
3. Conjunto dos números reais maiores que -1 e menores ou iguais a 4.
-1
R
4
Neste caso, há uma bolinha vazia no -1 e indica que ele não pertence ao conjunto e uma bolinha
cheia no 4. Então o 4 pertence ao conjunto. Assim, temos um Intervalo semi-aberto à esquerda, e
a representação é dada por
{ x ϵ R| -1 < x  4} ou ]-1,4].
4. Conjunto dos números reais maiores ou iguais a -1 e menores que 4.
-1
R
4
Aqui, há uma bolinha cheia no -1 e uma bolinha vazia no 4. Então, temos um Intervalo semi-aberto
à direita, e
{ x ϵ R| -1  x < 4} ou [-1,4[.
5. Conjunto dos números reais maiores que 12.
{ x ϵ R| x > 12}
]12,  [
ou
6. Conjunto dos números reais menores ou igual a 8.
8
{ x ϵ R| x  8}
ou
]-, 8]

R
12

R
Operações com Intervalos
Devemos estar atentos quando trabalhamos com intervalos porque é preciso analisá-los
detalhadamente para saber se o número pertence ou não aquele conjunto. A melhor forma de
fazer essa análise é observando o intervalo na reta dos Reais. Veja os exemplos:
a) UNIÃO – Dados os conjuntos A = { x ϵ R| 2  x < 8} e B = { x ϵ R| -3 < x < 5}, determine A U B
A
2
B
-3
AUB
R
8
R
5
R
8
-3
A união de A com B é dada por A U B = { x ϵ R| -3 < x < 8}
b) INTERSECÇÃO - Dados os mesmos conjuntos do exemplo anterior, determine A
B
R
A
2
B
A
-3
B
8
5
2
A intersecção de A com B é dada por A
R
R
5
B = { x ϵ R| 2  x < 5}
c) DIFERENÇA - Dados os mesmos conjuntos do exemplo anterior, determine A – B
A
2
B
A–B
-3
8
5
5
R
R
R
8
EXERCÍCIOS
1. Escreva cada conjunto a seguir usando a notação de colchetes e, em seguida, represente-os
na reta numerada:
a) A = { x ϵ R| 4  x < 9}
b) B = { x ϵ R| -1 < x < 3}
c) C = { x ϵ R| 4  x  6}
d) D = { x ϵ R| -5  x  11}
2. Efetue as operações indicadas abaixo considerando os conjuntos A, B, C e D do exercício
anterior.
a) A U B
d) C U D
g) D – B
b) A C
e) B U C
h) B – A
c) B – C
f) B C
i) B A