Estudo sobre o Processo de Wright-Fisher com Flutuação

ISSN 1984-8218
Estudo sobre o Processo de Wright-Fisher com Flutuação Populacional
e Recombinação
Elizabeth J. R. de Almeida1
Telles Timóteo Da Silva2
[email protected],
[email protected],
Alexandre C. L. Almeida
[email protected]
Universidade Federal de São João Del Rei – UFSJ
Rodovia MG 443, Km 7, Fazenda do Cadete, Ouro Branco, MG
RESUMO
A genética de populações estuda a evolução do conjunto de genes de uma população de
indivíduos, quando sujeitos às forças que tendem a modificar o conteúdo genético desta
população [1,2]. O uso de métodos estatísticos formalizou uma aproximação da evolução das
populações no início do século XX. Assim, diferentes descrições matemáticas de evolução
surgiram e o crescimento da genética matemática de populações é normalmente associado ao
trabalho de vários pesquisadores, entre eles Sewall Wright e R. A. Fisher [3].
No trabalho aqui tratado, uma cadeia de Markov N(t) é empregada no modelo genético
de Wright-Fisher para modelar a flutuação populacional, entre os estados de tamanho mínimo e
máximo para a população.
Desta forma, o modelo de Wright-Fisher para dois alelos, A e a, em um lócus é
representado pela distribuição de probabilidade condicional do número de genes A no tempo
t+1, dado o número de genes A no tempo t e os tamanhos da população no tempo t e no t+1.
Sendo n(t) o número de genes A na população nesse tempo t, temos a seguinte distribuição para
o processo :
O trabalho tem por objetivo investigar o comportamento do processo sob influência da
mutação e, posteriormente, da recombinação.
O comportamento do processo pode ser analisado pela heterozigosidade, definida
como sendo a probabilidade de dois genes tomados ao acaso da população serem distintos.
Se considerarmos a mutação como uma alteração num determinado gene, que determina
se ocorrerá mudança de alelo ou não, podemos analisar a frequência com que cada alelo aparece
durante a formação das gerações seguintes. Essa frequência está intimamente relacionada com o
valor da taxa de mutação. Como consequência, o valor esperado da heterozigosidade tende a um
valor não-nulo que depende das taxas de mutação, diferentemente do caso sem mutação, no qual
a heterozigosidade tendia a zero.
Os comportamentos da heterozigosidade com e sem mutação foram, então, estudados
através de simulações computacionais. Os Gráficos 1 e 2 mostram o comportamento da
heterozigosidade média sem e com mutação, respectivamente, para tamanhos populacionais
fixos de 10, 100 e 18 (média harmônica de 10 e 100). Os gráficos com simulações da
heterozigosidade quando há flutuação populacional não estão representados, pois, nos casos
estudados com flutuação, o comportamento da heterozigosidade média é o correspondente ao da
simulação com a média harmônica.
1 Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/FAPEMIG.
2 Orientador, parcialmente financiado pelo CNPq Processo No. 314729/2009-7 e FAPEMIG
Processo No. 00253-10.
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ISSN 1984-8218
Encontra-se em andamento a modelagem da recombinação genética e análise de seu
efeito no Processo de Wright-Fisher. Neste caso, não será estudado apenas um lócus, como nos
modelos já existentes [4]. Teremos que estender o modelo para dois loci, ainda variando o
tamanho populacional por saltos Markovianos.
Gráfico 1 : Variação da heterozigosidade média no processo sem mutação
Gráfico 2 :Variação da heterozigosidade média no processo com mutação
Palavras-chave : Genética matemática, Processo de Wright-Fisher, Cadeias de Markov
Referências
[1] R. Bürger, "The mathematical theory of selection, recombination, and mutation", John Wiley
& Sons, Chichester, 2000.
[2] W. J. Ewens, The changing role of population genetics theory, Lecture Notes in
Biomathematics, 100 (1994) 186-197.
[3] C. W. Fox & J. B. Wolf, " Evolutionary Genetics: concepts and case studies ", Oxford
University Press, New York, 2006.
[4] M. Iizuka, Effective Population Size of a Population with Stochastically Varying Size,
Journal of Mathematical Biology, 61 (2010) 359-375.
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