Variável Aleatória

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
PARTE II
Bruno Baierle
Maurício Furigo
Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora)
Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais
Variável Aleatória Contínua
Variável Aleatória Contínua – Função
Densidade de Probabilidade

Variável Aleatória Contínua
Onde
Variável Aleatória Contínua

Variável Aleatória Contínua

Variável Aleatória Contínua – Função
de Distribuição Acumulada

Variável Aleatória Contínua – Função
de Distribuição Acumulada

Variável Aleatória Contínua – Função
de Distribuição Acumulada

Variável Aleatória Contínua –
Valor Esperado e Variância

Distribuição Uniforme
Essa distribuição é caracterizada por uma função de
densidade que é “plana” e, portanto, a probabilidade é
uniforme em um intervalo fechado.
Distribuição Uniforme

Distribuição Uniforme

Distribuição Uniforme

Distribuição Uniforme
Exemplo 11. ( WALPOLE) Uma grande sala de conferências
usada por certa empresa não pode ficar reservada por mais do que
4 hora. No entanto o uso da sala é tal que conferências longas e
curtas ocorrem com muita frequência, então pode-se assumir que
a duração X de uma conferência tem distribuição uniforme no
intervalo [0,4].
a) Qual é a função de densidade de probabilidade?
b) Qual é a esperança e a variância?
Distribuição Uniforme

Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial
Exemplos:
 O tempo que pode transcorrer em um serviço de
urgências, para a chegada de um paciente;
 O tempo (em minutos) até a próxima consulta a
uma base de dados;
 O tempo (em segundos) entre pedidos a um
servidor;
 O espaço (em metros) entre defeitos de uma fita.
Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial


Distribuição Exponencial
Exemplo 12. (BARBETTA, pg 152) O tempo de vida (em horas) de
um transistor é uma variável aleatória T com distribuição
exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas.
a) Encontre a esperança e variância.
b) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500
horas.
Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial

Distribuição Normal
Uma distribuição normal é caracterizada por uma
função de probabilidade cujo gráfico descreve uma
curva em forma de sino.
Essa forma de distribuição evidencia que há maior
probabilidade de a variável aleatória assumir valores
próximos do centro.
Distribuição Normal

Distribuição Normal

Distribuição Normal

Distribuição Normal

Distribuição Normal
Distribuição normal de z:
normal padrão
Distribuição Normal
Tabela de distribuição normal padrão
Distribuição Normal

Distribuição Normal

Distribuição Normal
Exemplo 14. (BARBETTA, pg 159) Suponha que o tempo de
resposta na execução de um algoritmo é uma variável aleatória
com distribuição normal de média 23 segundos e desvio padrão de
4 segundos. Calcule a probabilidade de o tempo de resposta ser
menor do que 25 segundos.
Distribuição Normal

Distribuição Normal
Aproximação normal à binomial
Uma variável aleatória discreta com distribuição
binomial, pode aproximar-se de uma distribuição
normal, se:
 n é suficientemente grande;
 p não está muito próximo nem a 0 e nem a 1.
Distribuição Normal

Distribuição Normal
Aproximação normal à binomial
Exemplo 15. (BARBETTA, pg 160) Historicamente,
10% dos pisos cerâmicos, que saem de uma linha de
produção, têm algum defeito leve. Se a produção diária
é de 1000 unidades, qual é a probabilidade de ocorrer
mais de 120 itens defeituosos?
Distribuição Normal

Distribuição Normal

Distribuição Normal
Aproximação normal à binomial
Exemplo 16. Pela normal
Distribuição Normal

Distribuição Normal

Distribuição Normal
Gráfico de probabilidade normal
O gráfico de probabilidade normal é adequado para
verificar a suposição de um modelo normal para
determinados dados.
Distribuição Normal
Gráfico de probabilidade normal
Exemplo 18. (BARBETTA, pg 165) Considerando 5 observações
(74,0; 74,4; 74,7; 74,8; 75,9)
Distribuição Normal
Gráfico de probabilidade normal
Exemplo 19. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações,
com distribuição normal
Distribuição Normal
Gráfico de probabilidade normal
Exemplo 20. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações,
com distribuição normal, mas com o efeito de um valor discrepante.
Referências
BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de
Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, 2010.
COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em:
<http://www.inf.pucrio.br/~inf2511/inf2511_files/menu/material/transparenci
as/07-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de 2013.
DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo – SP,
2007.
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC.
Rio de Janeiro – RJ, 2012.
WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e
Ciências. 8ª Edição. Pearson. São Paulo – SP, 2009.