matemática

G a b a r i t o
–
M a t e m á t i c a – G r u p o
G
1a Questão: (2,0 pontos)
Paulo deve colorir um painel quadrado, com um círculo centrado, usando as cores azul, verde e
cinza, conforme indica a figura.
Azul
Verde
Cinza
.
Verde
B
.
Azul
A
Sabe-se que a medida do lado do quadrado é 2m e que a do segmento AB é 1m.
Determine:
a) o raio do círculo;
2
b) a área, em m , a ser colorida de azul.
Cálculos e respostas:
a) lado do quadrado = 2m ⇒ diagonal = 2 2 , logo o raio do círculo é dado por
r=
1
2
(2 2 ) − AB = (
)
2 −1 m
b)
Considere Sa a área a ser pintada de azul, Sc a área do círculo, Sv a área a ser pintada de verde e S a área total do
painel.
Assim,
2
S = Sa + Sc + Sv = 2
Mas Sa = Sv , logo
2
2 S a = 2 – Sc
2 Sa = 4–
π ( 2 –1)2
G a b a r i t o
Sa = 2 –
(
2
π
)
2
2 −1 m
–
M a t e m á t i c a – G r u p o
G
2
2a Questão: (2,0 pontos)
As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado abaixo:
.
cidade
A
.
cidade
B
.
cidade
C
Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá
450 km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600 km. Para se
deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800 km.
Determine quantos quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar
por C.
Cálculos e resposta:
x
.
cidade
A
z
.
cidade
.
B
y
cidade
C
x + y = 450
y + z = 600
x + z = 800
Assim,
y = 450 – x e y = 600 – z ⇒
Mas
z – x = 150 ⇒ z = 150 + x
G a b a r i t o
–
M a t e m á t i c a – G r u p o
G
x + z = 800 ⇒ x + (150 + x) = 800 ⇒ 2x = 650 ⇒ x = 325 km
3a Questão: (2,0 pontos)
A confeitaria Cara Melada é conhecida por suas famosas balas de leite, vendidas em pacotes. No
Natal, esta confeitaria fez a seguinte promoção: colocou, em cada pacote, 20% a mais de balas e
aumentou em 8% o preço do pacote. Determine a variação, em porcentagem, que essa promoção
acarretou no preço de cada bala do pacote.
Cálculos e resposta:
Q quantidade de balas no pacote
P preço do pacote
1 bala custa inicialmente
P
Q
.
Na promoção, o número de balas no pacote passa a ser 1,2 Q, o preço por pacote passa a ser 1,08 P e uma bala
custa
1,08 P
1,2 Q
= 0,9
P
Q
.
Como antes da promoção o preço era
P
Q
, houve uma redução de 10% no preço de cada bala.
G a b a r i t o
–
M a t e m á t i c a – G r u p o
G
4a Questão: (2,0 pontos)
Considere a função real de variável real f e a função g tal que Dom(g) = [–1,4] e g (x) = f (2x) – 1.
O gráfico de g é representado na figura a seguir.
y
2
1
-1
0
1
2
4
x
Pede-se:
a) a expressão que define g;
b) a imagem de g;
c) a expressão que define f no intervalo [0,4].
Cálculos e respostas:
a) –1 ≤ x < 0
0≤x<1
g(x) = - x
g(x) = 0
1≤x<2
2≤ x ≤ 4
g(x) = ax + b ; a = 2
g(x) = 2
g(x) = 2x + b
g(x) = 4 + b = 2
g(x) = 2x – 2
–x,
Expressão de g:
0,
g(x) =
–1 ≤ x < 0
0 ≤ x < 1
2x – 2, 1 ≤ x < 2
2,
2 ≤ x ≤ 4
b) Im g = [0,2]
c) f (2x) = g(x) + 1
Se 2x ∈ [0,4] então x ∈ [0,2].
Como g(x) = 0, 0 ≤ x < 1 e g(x) = 2 x –2, 1≤ x ≤2,
⇒
b=–2
G a b a r i t o
0 ≤ x <1
 1,
f(2x) = 
2x − 1, 1 ≤ x ≤ 2.
Então
0 ≤ x<2
 1,
 x − 1, 2 ≤ x ≤ 4.
f(x) = 
–
M a t e m á t i c a – G r u p o
G
G a b a r i t o
–
M a t e m á t i c a – G r u p o
G
5 a Questão: (2,0 pontos)
Numa progressão geométrica (P.G.) decrescente o primeiro termo é um número real positivo e
cada termo, a partir do terceiro, é igual à sexta parte da soma dos dois termos imediatamente anteriores.
Determine a razão dessa P.G.
Cálculos e resposta:
an =
a n −1 + a n − 2
6
a1 qn-1 =
com n ≥ 3
a 1q n −2 + a 1q n−3
6
n
qn
6qn q
=
+
q
q2
q3
1
6 1
= 2 + 3
q q
q
6q2 = q + 1
6q2 – q – 1 = 0
1
2
q=
1 ± 25
12
=
1± 5
12
–
1
3
Como a PG é decrescente, a razão é
1
2
.