Aula 5: Capacitância

Aula 5: Capacitância
Curso de Física Geral III
F-328
1º semestre, 2014
F328 – 1S2014
1
Capacitância
Capacitores
Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de
formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .
A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo
elétrico por ele formado .
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História – Garrafa de Leiden e bateria
Quatro capacitores carregados formando uma “Bateria”.
Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia
potencial no campo elétrico existente no interior dos capacitores 1756.
Daniel Bernoulli, e Alessandro Volta, mediram a força entre
placas de um capacitor, e Aepinus em 1758 foi quem que supôs que
era uma lei de inverso-de-quadrado. (Em 1785 - Lei de Coulomb).
Réplica do sistema de
Gralath exitente no
museu de Ciência da
Cidade de Leiden
(Holanda).
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Capacitância
Capacitores
O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em
geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos
condutores que o compõem, independentemente das suas formas.
Outros capacitores
Capacitor de placas paralelas
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Capacitância
Capacitores
Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam
superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à
diferença de potencial entre elas, ou seja:
Q = CV ,
onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então:
Q
C=
V
A constante C depende apenas da geometria do capacitor.
No SI a capacitância é medida em farads (F).
1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V
−6
1 µ farad = 10 F
Importante: ε 0 = 8,85 pF/m
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5
Cálculo da Capacitância
Esquema de cálculo
Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria,
o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior
através da lei de Gauss:
 
qint
ϕ = ∫ E( r ) ⋅ n̂ dA =
ε0
S
De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de
potencial entre as duas placas como:!
rf
! ! !
V = V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ dl
!
ri
E, finalmente, usamos o resultado anterior em Q = CV , de onde
podemos extrair C.
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Capacitância: Exemplos
Capacitor de placas paralelas
! !
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
S
ε0
!
rf
! ! !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ dl
!
ri
q = CV
q
E=
ε0 A
V = Ed
C=
ε0 A
d
Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e
só depende de fatores geométricos do capacitor.
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Capacitância: Exemplos
L
L
Capacitor cilíndrico
(L>> b)
superfície
gaussiana
! ! qint
Φ = ∫ E ⋅ dA =
S
ε0
!
rf
! ! !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ dl
!
ri
Q = CV
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E=
Q
2π ε 0 Lr
⎛b⎞
V=
ln⎜ ⎟
2πε 0 L ⎝ a ⎠
Q
L
C = 2πε 0
b⎞
⎛
ln ⎜ ⎟
⎝a⎠
8
Capacitância: Exemplos
S
Capacitor esférico
! !
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
ε0
S
!
rf
! ! !
V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ dl
!
ri
Q = CV
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E=
Q
4π ε 0 r 2
Q b−a
V=
4πε 0 ab
ab
C = 4πε 0
b−a
9
Capacitância: Exemplos
Esfera isolada ( R = a)
ab
a
C = 4πε 0
= 4πε 0
a
b−a
1−
b
b→∞
+
+
+
a
+
+
b→∞
+
+
+
+
+
!
E
+
C = 4πε 0 a
Exemplo numérico:
R = 1 m, ε 0
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= 8,85 pF/m
C ≈1,1×10−10 F
10
Capacitância
Carregando o capacitor
Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma
bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao
capacitor. Assim, em função de V
Q = CV ,
cargas +Q e –Q irão se acumular nas placas
do capacitor estabelecendo entre elas uma
diferença de potencial –V que se opõe à
diferença de potencial da bateria e faz cessar o
movimento de cargas no circuito.
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Associação de capacitores
Associação de capacitores em paralelo
q1 = C1V , q2 = C2V e q3 = C3V
q = q1 + q2 + q3 ⇒ q = (C1 + C2 + C3 )V
Como
q = Ceq V
Ceq = C1 + C2 + C3
ou
Ceq =
∑C
i
i
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Associação de capacitores
Associação de capacitores em série
q = C1V1 , q = C2V2 e q = C3V3
⎛ 1 1 1 ⎞
V = V1 +V2 +V3 = q ⎜⎜ + + ⎟⎟
⎝ C1 C2 C3 ⎠
q
:
Como V =
Ceq
1
1
1
1
= +
+
Ceq C1 C2 C3
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ou
1
=
Ceq
∑
i
1
Ci
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Energia armazenada no campo elétrico
Um agente externo deve realizar
trabalho para carregar um capacitor.
Este trabalho fica armazenado sob a
forma de energia potencial na região
do campo elétrico entre as placas.
dq’
!
dl
!
E
- - - - - - - - - -
Suponha que haja q′ e – q′ armazenadas nas placas de um
capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar dq′ de uma
placa para a outra é então:
q
q′
dW = V ′ dq′ = dq′
C
q′
q2
W = dW =
dq ′ =
C
2C
0
∫
∫
q2 1
U=
= CV 2
2C 2
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Energia no capacitor
Densidade de energia
energia potencial
u=
volume
Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:
C=
ε0 A
d
e
V = Ed
1
1 ε0 A 2 2
2
U = CV =
Ed
2
2 d
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U 1
u≡
= ε0E2
Ad 2
(Apesar de a demonstração
ter sido feita para o
capacitor de placas
paralelas, esta fórmula é
sempre válida!)
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Exercício: energia de uma esfera
Considere um condutor esférico de raio R carregado com uma carga q.
Qual a energia total neste condutor?
Duas interpretações:
–q
+q
a)  Energia potencial de
um capacitor esférico
de raio R:
1 q2
U=
2C
C = 4πε 0 R
U=
q2
8πε 0 R
b) Integração da densidade de energia u:
1
∞
u = ε0 E2
2
1
q
2 q
U = ∫ ε 0 E 2 (r)4π r 2 dr =
E (r) =
2
8πε 0 R
2
R
4πε 0 r
c) Qual o raio R0 que contém metade da energia total?
R0
∝
1
dr 1
dr
1 1 11
U ( R0 ) = U ⇒ ∫ (...) 2 = ∫ (...) 2 ⇒ − =
⇒ R0 = 2 R
2
r 2R
r
R R0 2 R
R
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Uma nova visão de U
a) Qual é o trabalho W necessário para
aumentar em x a separação das placas?
A, εo
d
-É
a energia adicional que apareceu no
volume Ax, que antes não existia. Então:
1
W = U = u Ax = ε 0 E 2 Ax =
2
1
Q 1
= E A xε 0
= QEx
2
ε0 A 2
V=Ax
x
!
E
σ Q
E= =
ε0 ε0 A
b) Qual é a força de atração entre as placas?
- Como W = F x
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1
F = QE
2
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Dielétricos
Visão atômica
Dielétricos são materiais isolantes que
podem ser polares ou não-polares.
um dielétrico polar: molécula de água
!
E0
!
E′
+σ ′
−σ ′
!
E0
! !
E0==0
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-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
!
E
E
- + 00 - +
-+
-+
-+
!
E
-
!E´
E′
E!
E
!
E
E00
+
+
!
p
+
dielétrico não-polar
18
Dielétricos
Capacitores com dielétricos
Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um
capacitor, se V é mantido constante, a carga das placas aumenta; se
Q é mantida constante, V diminui. Como Q = CV, ambas as situações
são compatíveis com o fato de que o dielétrico entre as placas do
capacitor faz a sua capacitância aumentar.
Vimos: C0=ε0L, onde L é uma função que depende apenas da
geometria e tem dimensão de comprimento.
Então, na presença de um
dielétrico preenchendo totalmente o
capacitor: Cd = κε0L = κC0, onde κ >1
No vácuo, κ =1
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Dielétricos
Material
Constante
dielétrica
Resistência
Dielétrica (kV/mm)
Ar (1 atm)
1,00054
3
Poliestireno
2,6
24
Papel
3,5
16
Pirex
4,7
14
Porcelana
6,5
5,7
Silício
12
Etanol
25
Água (20º)
80,4
Água (25º)
78,5
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Lei de Gauss com dielétricos
+q
(a):
q
E0 =
ε0 A
q − q′
E=
ε0 A
! !
q
∫ E0 (r ) ⋅ nˆdA =
S
ε0
S
ε0
! !
q − q′
(b): ∫ E ( r ) ⋅ nˆdA =
!
E0
−q
q
q − q′
′
=
∴ q−q =
E=
=
κ
κ κε 0 A ε 0 A
+q
! !
q
Em (b): ∫ E ( r ) ⋅ nˆdA =
E0
q
S
Ou:
κε 0
! !
∫ D(r ) ⋅ nˆdA = q ,
A
superfície
gaussiana
−q ′
+q′
−q
(a)
!
E
κ
superfície
gaussiana
(b)
! !
! !
onde D ( r )≡κε 0 E ( r ) é o vetor de deslocamento elétrico.
!
Então, na lei de Gauss expressa com o vetor D , aparecem apenas
as cargas livres (das placas).
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Dielétricos: Exemplo
Exemplo
Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1.24 cm,
V0=85.5 V, b=0.78 cm, κ = 2.61.
Calcule:
a) C0 sem o dielétrico;
b) a carga livre nas placas;
c) o campo E0 entre as placas
e o dielétrico;
d) o campo Ed no dielétrico;
e) a ddp V entre as placas na
presença do dielétrico;
f) A capacitância C com o
dielétrico.
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superfície
gaussiana I
superfície
gaussiana II
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Lista de exercícios do Capítulo 25
Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328-Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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