Matemática

Questão 1
O número de gols marcados nos 6 jogos da
primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2.
Na segunda rodada, serão realizados mais 5
jogos. Qual deve ser o número total de gols
marcados nessa rodada para que a média de
gols, nas duas rodadas, seja 20% superior à
média obtida na primeira rodada?
Resposta
O número total de gols marcados na primeira rodada é 5 + 3 + 1 + 4 + 0 + 2 = 15 . Sendo n o número total de gols marcados na segunda rodada,
para que a média de gols nas duas rodadas torne-se 20% maior que a da primeira rodada, devemos ter
15 + n
15
=
⋅ 1,2 ⇔ n = 18
6 +5
6
Como a distância entre P e B é 210 − x e entre P
5x
eCé
− 210, temos:
3
5x
− 210 = (210 − x) − 20 ⇔ x = 150 km
3
A distância que o morador de B deve percorrer é
igual à distância entre P e B, ou seja,
210 − 150 = 60 km.
Questão 3
Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N
os pontos de AB tais que CM é a bissetriz re$ e CN é a altura relativa
lativa ao ângulo ACB
ao lado AB. Determinar o comprimento de
MN.
Resposta
Questão 2
Três cidades A, B e C situam-se ao longo de
uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a
distância de B a C é igual a dois terços da
distância de A a B. Um encontro foi marcado
por 3 moradores, um de cada cidade, em um
ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de
C do que de B, determinar a distância que o
morador de B deverá percorrer até o ponto de
encontro.
Resposta
Seja x a distância, em km, entre A e B. Assim, a
2
distância entre B e C é
x e a distância entre A
3
2
5x
eCéx +
, conforme mostra a figura a
x =
3
3
seguir:
Seja AM = x . Pelo teorema da bissetriz interna,
AM
BM
x
5 −x
5
.
=
⇔
=
⇔x =
AC
BC
2
4
3
$ ) = α, pela lei dos co-senos aplicaSendo m (CAB
da ao triângulo ABC,
cos α =
2 2 + 5 2 − 42
13
e
=
2 ⋅2 ⋅5
20
AN = AC ⋅ cos α = 2 ⋅
13
13
.
=
20
10
Portanto MN = AM − AN =
5
13
11
.
−
=
3
10
30
Questão 4
Considere a equação z2 = αz + (α − 1)z, onde
α é um número real e z indica o conjugado do
número complexo z.
matemática 2
a) Determinar os valores de α para os quais a
equação tem quatro raízes distintas.
b) Representar, no plano complexo, as raízes
dessa equação quando α = 0.
1
3
1
3
+
−
i ou z =
i ou z = 0 ou
2
2
2
2
z = −1, cujas representações no plano complexo
estão a seguir:
⇔z =
Resposta
Seja z = a + bi , a, b reais. Assim,
z 2 = αz + ( α − 1)z ⇔
⇔ (a + bi) 2 = α(a + bi) + ( α − 1)(a − bi) ⇔
⇔ a2 − b 2 + 2abi = 2aα − a + bi ⇔
⇔
a2 − b 2 = 2aα − a
⇔
2 ab = b
a2 − b 2 = 2aα − a
⇔ ⎛
1
⎞
⎜ a = ou b = 0 ⎟
⎝
⎠
2
1
3
⎛
⎞
2
− α⎟
⎜a = e b =
⎝
⎠
2
4
⇔
ou
(b = 0 e a
2
Questão 5
⇔
O produto de duas das raízes do polinômio
p(x) = 2x 3 − mx2 + 4x + 3 é igual a −1. Deter⇔
minar
a) o valor de m.
b) as raízes de p.
= (2 α − 1)a)
1
3
⎛
⎞
e b2 =
− α⎟
⎜a =
⎝
⎠
2
4
⇔
ou
( ∗)
(a = 0 e b = 0) ou (a = 2 α − 1 e b = 0)
Resposta
a) A equação admite quatro raízes distintas se, e
3
somente se, a equação b 2 =
− α admite duas
4
raízes reais distintas e 2 α − 1 ≠ 0, ou seja,
3
1
3
1
eα ≠
⇔α <
− α >0 eα ≠
.
4
2
4
2
1
3⎞
⎛
e b2 = ⎟
⎜a =
⎝
2
4⎠
( ∗) ⇔
ou
⇔
(a = 0 e b = 0) ou (a = −1 e b = 0)
⇔
3
é uma das raízes do polinômio. Aplicando
2
então o algoritmo de Briot-Ruffini,
Logo
3
2
b) Para α = 0,
⎛
1
eb =
⎜a =
2
⎝
Sejam x1 e x 2 as raízes cujo produto é −1 e x 3 a
outra raiz. Pelas relações entre coeficientes e
−d
−3
raízes, x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 =
⇔ ( −1) ⋅ x 3 =
⇔
a
2
3
.
⇔ x3 =
2
−m
4
3
2
3 −m
17
3
m
−
2
2
63
9
m
−
4
4
a) Como o resto da divisão deve ser igual a
zero,
63
9
− m = 0 ⇔ m = 7.
4
4
b) Temos que x1 e x 2 são as raízes de
⎛
3 ⎞
1
3 ⎞
eb = −
⎟ ou ⎜a =
⎟
2 ⎠
2
2 ⎠
⎝
ou
(a = 0 e b = 0) ou (a = −1 e b = 0)
2
⇔
Q(x) = 2x 2 − 4x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 2 .
Portanto as raízes de p são
3
,1 + 2 ,1 − 2 .
2
matemática 3
Questão 6
Questão 7
A figura abaixo representa duas polias circulares C1 e C2 de raios R1 = 4 cm e R2 = 1 cm,
apoiadas em uma superfície plana em P1 e
P2 , respectivamente. Uma correia envolve as
polias, sem folga. Sabendo-se que a distância
entre os pontos P1 e P2 é 3 3 cm, determinar
o comprimento da correia.
Na figura a seguir, os pontos A, B e C são
$ o
vértices de um triângulo retângulo, sendo B
ângulo reto.
Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence à reta
x − 2y = 0 e P = (3, 4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar
as coordenadas
a) do vértice B.
b) do vértice C.
Resposta
Observe a figura a seguir, na qual O1 e O2 são os
centros de C1 e C 2 , respectivamente.
Resposta
No triângulo retângulo AO1O2 , tgα =
3
3
=
⇔
3
3 3
⇔ α = 30o .
Assim, o menor arco P2Q2 tem medida angular 360o − 2 ⋅ 30o − 2 ⋅ 90o = 120o . Como
m (AO$ O ) = 90o − 30o = 60o , o maior arco Q P
1 2
1 1
tem medida angular 360 o − 2 ⋅ 60o = 240o .
Logo a correia, que é formada pelos segmentos congruentes P1P2 e Q1Q2 e pelos arcos
P2Q2 (menor) e Q1P1 (maior), tem comprimento
2 ⋅3 3 +
120o
360
= 6 3 + 6 π cm.
o
⋅ 2π ⋅ 1 +
240o
360o
⋅ 2π ⋅ 4 =
a) O ponto P é o incentro de ABC, logo BP é a
$ de modo que m (ABP)
$
bissetriz de ABC,
= 45 o e
o
$
m (ABQ) = 135 .
matemática 4
Seja a = tgα o coeficiente angular de BP. Como o
coeficiente angular de AB : x − 2y = 0 ⇔
⇔y =
1
1
, α = β + 135 o ⇔
x é tg β =
2
2
⇔ α − β = 135 o ⇒ tg (α − β) = tg 135 o ⇔
1
a−
tg α − tg β
2
⇔
= −1 ⇔
= −1 ⇔
1
1 + tg α ⋅ tg β
1+a⋅
2
1
⇔ a = − . Logo BP admite como equação
3
1
y − 4 = − (x − 3) ⇔ x + 3y − 15 = 0.
3
1
Uma vez que B pertence à reta y =
x,
2
⎛ b⎞
B = ⎜ b; ⎟ e, sendo B um ponto de BP,
⎝ 2⎠
b
b +3 ⋅
− 15 = 0 ⇔ b = 6 e B = (6;3).
2
b) O raio da circunferência inscrita em ABC é
|3 − 2 ⋅ 4 |
d (P ; AB) =
1
2
+ ( −2)
2
= 5.
Como a reta AC passa pela origem e não coincide
Se o raio de C é igual a 2, determinar
a) o valor de r.
b) a área da região destacada.
Resposta
a) Pela simetria da figura, os centros das circunferências externas formam um quadrado de lado 2r
e diagonal 2r + 4.
com AB, admite equação y = mx ⇔ mx − y = 0,
1
.
com m ≠
2
A distância de P a AC é igual a 5 , logo
|m ⋅ 3 − 4 |
m
2
+ ( −1)
⇔m=
2
= 5 ⇔ 4m 2 − 24m + 11 = 0 ⇔
11
⎛ 11c ⎞
. E assim, C = ⎜c ;
⎟.
⎝
2
2 ⎠
A reta BC, perpendicular a AB, admite equação
−1
y −3 =
(x − 6) ⇔ 2x + y − 15 = 0. Como C
1
2
11c
pertence a essa reta, 2c +
− 15 = 0 ⇔ c = 2
2
e C = (2 ; 11).
Logo 2r + 4 = 2r ⋅ 2 ⇔ r = 2 2 + 2 .
Questão 8
Na figura a seguir, cada uma das quatro circunferências externas tem mesmo raio r e
cada uma delas é tangente a outras duas e à
circunferência interna C.
b) A área da região destacada é igual à área do
quadrado menos a área de um círculo de raio 2
e a de quatro setores circulares de raio r e ângulos centrais de 90o , isto é, (2 ⋅ (2 2 + 2)) 2 − π ⋅
1
⋅ 22 − 4 ⋅
⋅ π ⋅ (2 2 + 2) 2 =
4
= 48 + 32 2 − (16 + 8 2 ) π.
matemática 5
Questão 9
Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f (x) = x2 − 2|x| + 1
e g(x) = mx + 2m.
a) Esboçar, no plano cartesiano representado
a seguir, os gráficos de f e de g quando
1
e m = 1.
m =
4
b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando
1
m = .
2
c) Determinar, em função de m, o número de
raízes da equação f(x) = g(x).
b) Para m =
1
x
, g(x) = + 1.
2
2
Assim f(x) = g(x) ⇔ x 2 − 2 |x | + 1 =
x
+1⇔
2
x
⎛ 2
⎞
e x ≥ 0⎟
⎜ x − 2x =
⎝
⎠
2
ou
⇔
⇔
x
⎛ 2
⎞
e x ≤ 0⎟
⎜ x + 2x =
⎝
⎠
2
5
3
ou x = 0 ou x =
2
2
c) Variando m, g(x) = mx + 2m representa o feixe
de retas com coeficiente angular m ≥ 0 passando
por (−2; 0). As raízes de f(x) = g(x) são as abscissas dos pontos onde os gráficos de f e g se cortam.
Analisando o gráfico esboçado a seguir:
⇔x = −
Resposta
2
⎪⎧ x − 2x + 1, se x ≥ 0
a) f(x) = x 2 − 2 |x | + 1 = ⎨
=
2
⎩⎪ x + 2x + 1, se x ≤ 0
⎧⎪ (x − 1) 2 , se x ≥ 0
=⎨
⎪⎩ (x + 1) 2 , se x ≤ 0
1
x
1
, g(x) =
. O gráfico de g é, en+
4
4 2
⎛ 1⎞
tão, uma reta passando por ⎜0; ⎟ e (−2; 0).
⎝ 2⎠
Para m =
Para m = 1, g(x) = x + 2. O gráfico de g é, então,
uma reta passando por (0; 2) e (−2; 0). Assim, podemos esboçar os gráficos:
•
para m = 0, a equação possui 2 raízes reais, −1
e 1;
1
• para m = 2 , a equação possui 3 raízes reais,
uma delas igual a zero;
1
, a equação possui 4 raízes
para 0 < m <
2
reais;
•
•
para m >
1
, a equação possui 2 raízes reais.
2
matemática 6
Questão 10
No sólido S representado na figura a seguir,
a base ABCD é um retângulo de lados
AB = 2l e AD = l; as faces ABEF e DCEF
são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento l.
Determinar, em função de l, o volume de S.
O volume do sólido S é igual ao volume do prisma
reto de base ADG e altura AB menos o das duas
pirâmides congruentes FADG e EBCH.
Seja M o ponto médio de AD. Como AFD é um
l 3
. Logo, aplicando
2
o Teorema de Pitágoras ao triângulo FGM, GM =
triângulo eqüilátero, FM =
=
Resposta
Sejam G e H pontos sobre os prolongamentos do
l
segmento EF tais que FG = EH = , de modo que
2
os quadriláteros ABHG e CDGH são retângulos.
⎛l 3 ⎞
⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
2
⎛ l⎞
−⎜ ⎟
⎝2 ⎠
2
=
l 2
.
2
Assim o volume de S é dado por
⎛1
1 ⎛1
l 2⎞
l 2⎞ l
=
⎜ ⋅l⋅
⎟ ⋅ 2l − 2 ⋅ ⋅ ⎜ ⋅ l ⋅
⎟⋅
2 ⎠
3 ⎝2
2 ⎠ 2
⎝2
=
5 2
⋅ l3 .
12