problemas

2.as Olimpíadas Concelhias da Matemática
Final do Concelho de Loulé
Categoria: A (7º, 8º e 9º ano)
29 de Março de 2006
Duração da Prova: 2 horas
Parte I : Escolha Múltipla
Para cada uma das seguintes 3 questões de escolha múltipla, selecciona a resposta
correcta de entre as alternativas que te são apresentadas.
Atenção! Se apresentares mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo
acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. No jogo das minas temos a seguinte tabela:
1
1
2
1
2
3
1
1
0
2
2
2
1
1
1
0
Em cada quadrícula está assinalado o número de quadrículas vizinhas
(horizontal, vertical e diagonais) onde se encontram minas.
Quantas minas se encontram escondidas?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
2. Quantos números inteiros positivos menores que 900 são múltiplos de 7 e
terminam em 7?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14
3. O quadrado da figura foi dividido num quadrado mais pequeno rodeado por
quatro rectângulos iguais. O perímetro de cada um dos rectângulos é 18
centímetros.
Quanto mede a área, em centímetros quadrados, do quadrado maior?
(A) 72
(B) 64
(C)121
(D) 324
(E) 81
Parte II : Resposta Aberta
Nas questões que se seguem apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiveres de efectuar e as justificações que entenderes necessárias.
4. Após o desaparecimento da sua moedinha da sorte, o Tio Patinhas falou com os
três sobrinhos. O Huguinho afirmou que tinha sido o Zezinho a esconder a
moedinha. Das conversas com o Zezinho e com o Luizinho nada se sabe. Mais
tarde, o tio Patinhas descobriu que apenas um dos sobrinhos esteve envolvido no
desaparecimento da moedinha e esse mesmo sobrinho tinha sido o único a dizer
a verdade ao Tio. Afinal quem escondeu a moedinha?
5. Na figura ABCD é um rectângulo que tem 128 cm2 de área, onde
AE = EB,
DC = 4 FC
F
D
A
E
C
B
Qual é a área do quadrilátero AECF?
6. Nove amigos têm idades distintas, compreendidas entre os 11 e os 19 anos. Cada
um deles escolhe um número entre 1 e 9 (todos distintos) e subtrai-o à sua idade.
Depois de cada um dos amigos realizar a operação anterior deverão multiplicar
todos os resultados obtidos. Justifica que o produto que se obtém é sempre par.
II Olimpíadas Concelhias da Matemática
Final do Concelho de Loulé
- Proposta de Resolução Categoria: A
29 de Março de 2006
Parte I : Escolha Múltipla
Soluções:
Cotação da Parte I:
Questão:
Resposta Correcta:
1
(C)
Nº de
respostas:
0
1
2
3
2
(D)
0
0
0
0
0
3
(E)
1
5
4
3
2
10
9
3
15
Certas
Erradas
Proposta de resolução das questões da Parte I : Escolha Múltipla
1. As minas estão nas quadrículas sombreadas
1
1
2
1
2
3
1
1
0
2
2
2
1
1
1
0
Opção (C)
2. O número que procuramos termina em sete, logo é da forma ab7 (a e b podem ser
ambos nulos). Sendo ab7 múltiplo de sete, concluímos que ab0 = ab7 − 7 é também
múltiplo de sete, pelo que ab, também o é, logo ab, pode ser qualquer múltiplo de sete
menor do que noventa. Assim as possibilidades são:
7, 77, 147, 217, 287, 357, 427, 497, 567, 637, 707, 777 e 847.
Opção (D)
3. Dois lados consecutivos dos rectângulos que formam a figura, medem 9 cm (metade
do perímetro), como este é o valor correspondente ao lado do quadrado, temos que a sua
área é 81 cm2.
Opção (E)
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Parte II : Resposta Aberta
Regras gerais para a correcção de todos os problemas
•
A resolução dum problema que contenha apenas a resposta correcta, será cotada
com 1 Ponto
•
A resolução dum problema que, na sequência dum raciocínio errado, apresenta a
resposta correcta, será cotada com 0 Pontos
•
As resoluções elaboradas na base de raciocínios correctos, mas que contêm
erros, serão avaliadas de acordo com os critérios adoptados pelos professores
nomeados para a correcção do respectivo problema. Recomenda-se que cada
erro menor seja penalizado em 1 Ponto
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Propostas de resolução do problema 4
Cotação: 10 Pontos
Após o desaparecimento da sua moedinha da sorte, o Tio Patinhas falou com os três
sobrinhos. O Huguinho afirmou que tinha sido o Zezinho a esconder a moedinha. Das
conversas com o Zezinho e com o Luizinho nada se sabe. Mais tarde, o tio Patinhas
descobriu que apenas um dos sobrinhos esteve envolvido no desaparecimento da
moedinha e esse mesmo sobrinho tinha sido o único a dizer a verdade ao Tio. Afinal
quem escondeu a moedinha?
Primeira Proposta:
Se fosse o Huguinho o responsável pelo desaparecimento, então Huguinho teria dito a
verdade, logo o Zezinho seria o responsável. Esta situação é impossível, pois não pode
ser que simultaneamente Huguinho e Zezinho sejam o responsável. Assim, ficamos a
saber que Huguinho não tem a moeda e que Huguinho mentiu.
O responsável será Zezinho ou Luizinho. Uma vez que Huguinho mentiu, então isso
significa que Zezinho não tem a moedinha. Então, o responsável é o Luizinho.
Critérios de correcção:
Eliminar o Huguinho como responsável pelo desaparecimento...........................6 Pontos
Eliminar o Zezinho como responsável pelo desaparecimento..............................3 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
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Propostas de resolução do problema 5:
Cotação: 10 Pontos
Na seguinte ABCD é um rectângulo com 128 cm2 de área, onde
AE = EB,
DC = 4 FC
F
D
A
C
B
E
Qual é a área do quadrilátero AECF?
Primeira Proposta:
Sabemos que a área do rectângulo ABCD é 128 cm2, então
AD AB = 128 .
A área do quadrilátero AECF ( que é um trapézio) é
AE + FC
A[ AECF ] =
× AD ,
2
1
1
tendo em conta que AE = AB e que FC = AB podemos concluir que
2
4
(
)
AE + FC =
3
AB .
4
Logo
A[ AECF ] =
3
3
AD AB = × 128 = 48 .
8
8
A área do quadrilátero AECF é 48 cm2.
Critérios de correcção:
Concluir que AD AB = 128 ..................................................................................2 Pontos
Utilizar a fórmula correcta para o cálculo da área do trapézio AECF.................2 Pontos
Expressar a área do trapézio AECF como uma fracção da área do rectângulo....5 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
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Propostas de resolução do problema 5:
Cotação: 10 Pontos
Na seguinte ABCD é um rectângulo com 128 cm2 de área, onde
AE = EB,
DC = 4 FC
F
D
A
E
C
B
Qual é a área do quadrilátero AECF?
Segunda Proposta:
Sabemos que a área do rectângulo ABCD é 128 cm2, então
AD AB = 128 .
A área do quadrilátero AECF é
A[ AECF ] = A[ ABCD ] − A[ AFD ] − A[ EBC ] ,
tendo em conta que EB =
1
3
AB e que DF = AB podemos, respectivamente, concluir
2
4
que
A[ EBC ] =
A[ AFD ] =
AD EB AD AB 128
=
=
= 32 cm 2 ,
2
4
4
AD DF 3
3
= AD AB = × 128 = 48 cm 2 .
2
8
8
Logo
A[ AECF ] = 128 − 48 − 32 = 48 cm 2 .
A área do quadrilátero AECF é 48 cm2.
Critérios de correcção:
Concluir que AD AB = 128 ..................................................................................2 Pontos
Expressar as áreas A[ AFD ] e A[ EBC ] como uma fracção da área do rectângulo......5 Pontos
Calcular a área do quadrilátero AECF.................................................................2 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
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Propostas de resolução do problema 5:
Cotação: 10 Pontos
Na seguinte ABCD é um rectângulo com 128 cm2 de área, onde
AE = EB,
DC = 4 FC
F
D
A
C
B
E
Qual é a área do quadrilátero AECF?
Terceira Proposta:
Tendo em conta a figura
H
G
podemos concluir que a área do rectângulo EBCH é a metade da área do rectângulo
ABCD e portanto
128
A[ EBC ] =
= 32 cm 2
4
3
Do mesmo modo podemos afirmar que A[ AGFD ] = A[ ABCD ] e portanto
4
3
A[ AFD ] = ×128 = 48 cm 2
8
Logo
A[ AECF ] = 128 − 48 − 32 = 48 cm 2 .
A área do quadrilátero AECF é 48 cm2.
Critérios de correcção:
Decompor o rectângulo ABCD em 4 rectângulos com a mesma área..................2 Pontos
Expressar as áreas A[ AFD ] e A[ EBC ] como uma fracção da área do rectângulo......5 Pontos
Calcular a área do quadrilátero AECF.................................................................2 Pontos
Resposta..................................................................................................................1 Ponto
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Propostas de resolução do problema 6:
Cotação: 10 Pontos
Nove amigos têm idades distintas, compreendidas entre os 11 e os 19 anos. Cada um
deles escolhe um número entre 1 e 9 (todos distintos) e subtrai-o à sua idade. Depois de
cada um dos amigos realizar a operação anterior deverão multiplicar todos os
resultados obtidos. Justifica que o produto que se obtém é sempre par.
Primeira Proposta:
As idades dos amigos são 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19.
Sabemos que o produto de 2 números pares é par, e que o produto de um número par
por um impar dá par. Logo, a única forma do produto ser impar seria no caso de todos
os números obtidos serem impares.
Nesse caso todas as diferenças deverão ser números impares para garantir que o produto
seja ainda impar.
Entre os números 11 a 19 há 5 impares e 4 pares.
Logo, para que todas as diferenças sejam números impares, temos de a cada número
impar, 11, 13, 15, 17, e 19 subtrair um número par, e a cada par 12,14,16 e 18 teríamos
de subtrair um impar. Precisaríamos assim de 5 pares e 4 impares.
Mas entre os números 1 a 9 há 5 impares e 4 pares, o que torna essa escolha impossível.
Assim, terá de haver pelo menos uma diferença que dá origem a um numero par,
fazendo com que o produto seja um número par.
Critérios de correcção:
Interpretação correcta do problema.......................................................................2 Pontos
Referir que o produto de vários números naturais é par (impar) sse pelo menos um dos
factores é par (todos os factores são ímpares).......................................................3 Pontos
Concluir que uma das diferenças é sempre um número par.................................5 Pontos
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