Unidade 03
Transformações Lineares
3.1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Estudaremos, nessa parte do conteúdo, um tipo especial de funções, chamadas transformações lineares. Essas funções ocorrem com freqüência em Álgebra Linear e em outros campos
da matemática, além de serem importantes numa vasta gama de aplicações.
Como introdução à definição de transformação linear, consideremos dois exemplos.
3.1.1 Exemplo. Reflexão em torno do eixo dos xx.
Seja em R2 a função T definida por
T(x, y) = (x, – y).
Geometricamente, T toma cada vetor do R2 e
o reflete em torno do eixo dos xx.
Essa função, como veremos, é uma
transformação linear.
3.1.2 Exemplo. Consideremos a expressão matricial de um sistema de equações lineares
Ax = b,
onde A é uma matriz mxn, x ∈ Rn e b ∈ Rm. Na condição de equação buscamos conhecer x
quando A e b são dados. De outro modo, dada a matriz A, a equação Ax = b, pode ser vista assim: "Diga-me um vetor x em Rn e eu te direi um vetor b em Rm", isto é, a matriz A representa a
função com domínio Rn e contra domínio Rm, onde a imagem de cada x ∈ Rn é b = Ax ∈ Rm. Essa função tem as seguintes propriedades:
•
A(x + y) = Ax + Ay,
•
A(αx) = αAx com α ∈ R
e
que caracterizam as transformações lineares.
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3.1.3 Definição.
Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V em W é uma função (ou aplicação) que a cada v ∈ V faz corresponder um único T(v) ∈ W e que satisfaz
as seguintes duas condições:
∀ u, v ∈ V e ∀α ∈ R,
( i ) T (u + v) = T (u) + T (v);
( ii) T (αv) = αT (v).
Observações.
← Nós escrevemos T: V→W para indicar que T aplica vetores do espaço vetorial V em vetores
do espaço vetorial W. Isto é, T é uma função com domínio V, contra domínio W e cuja imagem é um subconjunto de W;
↑ T(v) é lido "T de v", de modo análogo à notação funcional f (x), que é lida "f de x";
→ Uma transformação linear T: V→V, que tem como domínio e contra domínio o mesmo espaço vetorial V é também chamada de operador linear;
↓ As duas condições (i) e (ii) da definição 2.1.3, acima, podem ser aglutinadas numa só:
T(αu + v) = αT(u) + T(v).
3.1.4 Exemplo. Uma transformação linear do R2 em R3.
Indicamos dois modos usados para definir uma função.
T: R2→ R3; T(x, y) = (x, x – y, y) ou T: R2→R3
(x, y) 6 (x, x – y, y)
a) T(2, – 1) = (2, 3, – 1); assim o vetor (2, 3, – 1) ∈ R é a imagem, por T, do vetor (2, – 1) ∈
3
R2.
Do mesmo modo:
T(0, 2) = (0, – 2, 2)
T(a, a) = (a, 0, a), ∀a ∈ R.
2
b) O vetor do R cuja imagem pela aplicação T seja (2, – 2, 4).
(x, x – y, y) = (2, – 2, 4) ⇒ x = 2 e y = 4
Portanto T(2, 4) = (2, – 2, 4).
c) Prova de que T é linear
Sejam u = (x1, y1) ∈ R2, v = (x2, y2) ∈ R2 e α ∈ R.
(i)T(u+ v) = T(x1 + x2, y1 + y2)
= (x1 + x2, (x1 + x2) – (y1 + y2), y1 + y2)
= (x1 + x2, x1 + x2 – y1 – y2, y1 + y2)
= (x1, x1 – y1, y1) + (x2, x2 – y2, y2)
= T(x1, y1) + T(x2, y2)
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= T(u) + T(v)
(ii)
T(αv)
= T(α(x2, y2))
= T( αx2, αy2)
= (αx2, αx2 – αy2, αy2)
= α (x2, x2 – y2, y2)
= α T(x2, y2)
= α T(v)
Por (i) e (ii), T é uma transformação linear. ♦
3.1.5 Exemplo. f : R2→ R2
(x, y) 6 (x + 2y, 2x – 3y)
a) A imagem de u = (2, 1) pela f é (4, 1), pois f (2,1) = (2 + 2 ⋅1, 2 ⋅ 2 − 3 ⋅1) = (4,1) ;
b) A imagem de v = (– 1, 3) pela f é (5, – 11);
c) A imagem de u + v pela f é (9, – 10);
d) Comparando (c) com (a) e (b) podemos ver que f (u + v) = f (u) + f (v).
e) A imagem de 2u pela f é (8, 2).
f) Comparando (e) com (a) temos que f (2u) = 2f (u);
g) Geometricamente:
h) f é linear. Prova:
Sejam u = (x1, y1) ∈ R2, v = (x2, y2) ∈ R2 e α ∈ R:
(i) f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2)
= (x1 + x2 + 2(y1 + y2), 2(x1 + x2) – 3(y1 + y2) )
= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, 2x1 + 2x2 – 3y1 – 3y2)
= (x1 + 2y1, 2x1 – 3y1) + (x2 + 2y2, + 2x2 – 3y2)
= f (x1, y1) + f (x2, y2)
= f (u) + f (v)
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(ii)
(αv)
f= f (α(x2, y2))
= f (αx2, αy2)
= (αx2 + 2αy2, 2αx2 – 3αy2)
= α (x2 + 2y2, 2x2 – 3y2)
= α f (x2, y2)
= α f (v)
Por (i) e (ii), f é linear. ♦
3.1.6 Exemplo. A transformação nula é linear.
Sejam V e W dois espaços vetoriais e seja T: V→W definida por T(v) = 0, ∀ v ∈ V.
Prova. Sejam u, v ∈ V e α ∈ R.
(i) T(u + v) = 0
=0+0
= T(u) + T(v)
(ii) T(αv)
=0
= α.0
= αT(v)
Por (i) e (ii), a transformação nula é uma transformação linear. ♦
3.1.7 Exemplo. Escrevendo a transformação linear nula do R3 em R5, temos:
T:R3→R5; T(x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0)
ou
T:R3→R5
(x, y, z) 6 (0, 0, 0, 0, 0)
ou simplesmente
T(x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0).♦
3.1.8 Exemplo. A transformação identidade:
I:V→V definida por I(v) = v.
a) Verifiquemos que I é linear:
Sejam u, v ∈ V e α ∈ R.
(i) I(u + v) = u + v
= I(u) + I(v)
(ii) I(αv) = αv
= αI(v)
Por (i) e (ii), I é uma transformação linear.
2
3
b) Casos particulares: as funções identidades I1 em R e I2 em R .
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I1 (x, y) = (x, y) e I2 (x, y, z) = (x, y, z).♦
3.1.9 Exemplo. Uma transformação reflexão;
T: R2→ R2 definida por T(x, y) = (– x, y).
a) Interpretando T geometricamente.
b) T é linear, pois:
Para u = (x1, y1) ∈R2, v = (x2, y2) ∈ R2 e α ∈ R, temos
(i) T(u += T(x1 + x2, y1 + y2)
= (– x1 – x2, y1 + y2)
v)
= (– x1, y1) + (– x2, y2)
= T(u) + T(v)
(ii)
T(αv)
= T(αx2, αy2)
= (– αx2, αy2)
= α(– x2, y2)
= αT(v).♦
3.1.10 Exemplo. Uma transformação de Rn → Rm dada pela multiplicação por uma matriz mxn.
Seja A uma matriz mxn e T: Rn → Rm definida por T(v) = Av. Aqui Av é o produto da matriz
Amxn pelo vetor coluna vnx1. T é linear.
Prova. Sejam u, v ∈ Rn e α ∈ R.
(i) T(u + v) = A(u + v)
= Au + Av
(propriedade do produto de matrizes)
= T(u) + T(v)
(ii) T(αv) = A(αv)
= α(Av)
= αT(v)
(propriedade do produto de matrizes)
Por (i) e (ii), a transformação T é uma transformação linear. ♦
Assim:
43
* Toda matriz Amxn pode ser usada para definir uma transformação linear TA: Rn → Rm onde a
imagem TA (v) é o produto da matriz Amxn pelo vetor coluna vnx1.
3.1.11 Exemplo. Escrevendo as transformações lineares TA, TB, TC e TD determinadas respectivamente pelas matrizes:
⎡2 − 1⎤
A = ⎢⎢ 3
1⎥⎥,
⎢⎣2 0⎥⎦
3⎤
⎡2
B=⎢
⎥,
⎣4 − 1⎦
C = [1 2 − 3 0]
⎡ 1⎤
e D = ⎢⎢ 0⎥⎥.
⎢⎣− 5⎥⎦
Temos:
• TA : R2→ R3; TA (x, y) = (2x – y, 3x + y, 2x), que é a transformação obtida pelo produto da ma⎡ x⎤
triz A3x2 pelo vetor v2x1= ⎢ ⎥ ;
y
⎣ ⎦
• TB : R2→ R2; TB (x, y) = (2x + 3y, 4x – y);
• TC : R4→ R; TC (x, y, z, t) = (x + 2y – 3z);
• TD : R→ R3; TD (x) = (x, 0, – 5x).
3.1.12 Exemplo. Considere os operadores lineares P1, P2 e P3 em R3 definidos por
P1(x, y, z) = (x, y, 0), P2(x, y, z) = (x, 0, z) e P3(x, y, z) = (0, y, z).
Temos:
P1(2, 4, 6) = (2, 4, 0) (fig (a))
P2(2, 4, 6) = (2, 0, 6) (fig (b))
P3(2, 4, 6) = (0, 4, 6)
Observemos que P1, P2 e P3 projetam os vetores de R3 nos planos xOy, xOz e yOz, respectivamente.
3.1.13 Exemplo. T: Mmxn→Mnxm; T(A) = At, é a transformação linear transposição.
Prova. Seja A, B ∈ Mmxn e α ∈ R:
(i) T(A + B) = (A + B)t
= At + Bt
(propriedade da transposição)
= T(A) + T(B)
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(ii) T(αA) = (αA)t
= α(At)
= αT(A)
(propriedade da transposição)
Por (i) e (ii), T é linear. ♦
3.1.14 Exemplo. Uma transformação não linear f de R em R .
f : R → R; f (x) = 2x + 3.
Prova. Seja u = x1∈ R, v = x2∈ R e α ∈ R.
(i) f (u + v) = f (x1 + x2)
= 2(x1 + x2) +3
= 2x1 + 2x2 + 3
f (u) + f (v)
(1)
= f (x1) + f (x2)
= 2x1 + 3 + 2x2 + 3
= 2x1 + 2x2 + 6
(2)
Como (1) ≠ (2), temos que f (u + v) ≠ f (u) + f (v), o que é suficiente para provarmos que T não é
linear.
Podemos usar um contra-exemplo como prova de que f não é linear.
f (2 + 5) = f (7)
= 17
e
f (2) + f (5)
= 7 + 13
= 20
Como f (2 + 5) ≠ f (2) + f (5), f não é linear. ♦
Observação. As únicas transformações lineares de R em R são as funções da forma f (x) = mx
onde m é um número real qualquer. Ou seja, dentre todas as funções cujos gráficos são retas, as
lineares são, somente, aquelas que passam pela origem. Em cálculo, uma função linear é definida
na forma f (x) = mx + b. Assim, nós podemos dizer que uma função linear é uma transformação
linear de R em R somente se b = 0.
3.1.15 Exemplo. T: R2→ R3; T(x, y, z) = (x2, y, 2z). T não é uma transformação linear.
Prova. Tomando os vetores u = (1, 2, – 1) e v = (3, – 1, 4) em R3 temos
T(u
v)
+= T(4, 1, 3)
= (16, 1, 6)
e
T(v)
T(u) += (1, 2, – 2) + (9, – 1, 8)
= (10, 1, 6)
Como T(u + v) ≠ T(u) + T(v), T não é linear. ♦
3.1.16 Propriedades das transformações lineares.
Propriedade 1. Se T:V→W é uma transformação linear então T(0) = 0, ou seja, a imagem do vetor 0∈V é o vetor 0∈W.
De fato, tomando α = 0 na condição (ii) da definição de transformação linear temos.
T(0) = T(0.v) = 0T(v) = 0.♦
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Observação. Essa propriedade fornece um argumento rápido para verificar que uma transformação não é linear. No caso do exemplo 2.1.14 veja que f (0) = 3 ≠ 0, e assim, f não é linear.
Mas cuidado, o fato de se ter numa transformação a imagem nula para o vetor nulo não implica
que ela seja linear. Ver exemplo 2.1.15.
Propriedade 2. Se T:V→W é uma transformação linear temos:
T(α1v1 + α2v2) = T(α1v1) + T(α2v2) = α1T(v1) + α2T(v2), ∀ α1, α2 ∈ R e ∀ v1, v2 ∈ V.
Este fato pode ser generalizado. Assim,
T(α1v1 + α2v2+ ⎭ + αnvn) = α1T(v1) + α2T(v2) + ⎭ + αn(vn),
ou seja, a imagem de uma combinação linear de vetores de V é a combinação linear, de mesmos
escalares, das imagens T(v1), T(v2), ..., T(vn).
Um fato muito importante, que decorre dessa propriedade: Uma transformação linear
fica completamente determinada se conhecemos as imagens dos vetores de uma base do espaço
vetorial domínio.
Assim, se T:V→W é uma transformação linear, então nós só precisamos saber como T
atua nos vetores de uma base de V para determinarmos a imagem de qualquer outro vetor de V.
Para ver esse fato tomemos, β = {v1, v2, ..., vn}, uma base de V e qualquer outro vetor v de V.
Como β é uma base de V, existem únicos escalares α1, α2, ..., αn tais que:
v = α1v1+ α2v2 + ⎭ + αnvn.
Assim,
T(v) = T(α1v1+ α2v2 + ⎭ + αnvn)
e, sendo T linear, temos
T(v) = α1T(v1)+ α2T(v2) + ⎭ + αnT(vn).♦
3.1.17 Exemplo. Seja a transformação linear T: R3→ R3 e sejam
T(1, 0, 0) = (2, 3), T(0, 1, 0) = (– 1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, – 3).
Vamos usar a propriedade 2 para:
a) Calcular T(3, – 4, 5).
O vetor (3, – 4, 5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0,
1), assim:
(3, – 4, 5) = 3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1).
Então,
T(3, – 4, 5) = T[(3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)]
= 3 T(1, 0, 0) + (– 4) T(0, 1, 0) + 5 T(0, 0, 1).
= 3(2, 3) + (– 4)(– 1, 4) + 5(5, – 3)
= (6, 9) + (4, – 16) + (25, – 15)
= (35, – 22)
b) Calcular a imagem de um vetor do R3.
Procederemos da mesma maneira, considerando o vetor (x, y, z), que expressa um vetor qualquer
do R3.
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Como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1),
T(x, y, z) = T( x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) )
= x T(1, 0, 0) + y T(0, 1, 0) + z T(0, 0, 1)
= x (2, 3) + y (– 1, 4) + z (5, – 3)
= (2x, 3x) + (– y, 4y) + (5z, – 3z)
= (2x – y + 5z, 3x + 4y – 3z)
ou seja, a transformação linear T, tal que T(1, 0, 0) = (2, 3), T(0, 1, 0) = (– 1, 4) e T(0, 0, 1) = (5,
– 3) é:
T:R3→R2; T(x, y, z) = (2x – y + 5x, 3x + 4y – 3z).
Retome a parte (a) desse exemplo e confirme o resultado lá obtido. ♦
3.1.18 Exemplo. Escreva a lei que define a transformação linear f : R2→ R3 sabendo que
f (1, 1) = (3, 2, 1) e f (0, – 2) = (0, 1, 0).
Solução:
Seja (x, y) o vetor genérico do R2. Como {(1, 1), (0, – 2)} não é a base canônica do R2 devemos,
primeiro, conhecer as coordenadas de um vetor qualquer do R2, em relação a essa base. Então,
escrevendo o vetor genérico do R2 como combinação linear dos vetores (1, 1) e (0, – 2) temos:
⎧ a+0= x
x− y
(x, y) = a(1, 1) + b(0, – 2) ⇒ ⎨
⇒a=x e b=
.
2
⎩a − 2b = y
Assim:
(x, y) = x(1, 1) +
x−y
(0, – 2)
2
e, agora, podemos conhecer f (x, y).
x−y
(0, – 2)
2
x- y
⎞
= f ⎛⎜ x(1, 1) +
(0, − 2) ⎟
2
⎝
⎠
x−y
= x f (1, 1) +
f (0, – 2)
2
x−y
= x(3, 2, 1) +
(0, 1, 0)
2
x−y ⎞
, 0⎟
= (3x, 2x, x) + ⎛⎜ 0,
⎠
⎝
2
f (x, y) = f (x(1, 1) +
5x − y ⎞
, x⎟ .♦
= ⎛⎜ 3x ,
⎝
2
⎠
47
