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Universidade Federal do Maranhão - Campus Imperatriz Centro de Ciências Sociais, Saúde e Tecnologia Licenciatura em Ciências Naturais - LCN Física II Aula-1 - Gravitação O que há lá fora? Entendendo o universo O céu noturno: Fascinação! Antiguidade: Entendimento dos fenômenos da terra e do céu. Dentre estes, podemos dividir estes fenômenos em: Mecânica Terrestre: Interessada no movimento de queda dos corpos sobre a terra Mecânica Celeste: Interessada no movimento dos Planetas, Sol, Lua.... Planetas, estrelas e outras coisinhas Planetas Um planeta (do grego, significa "errante") é um corpo celestial que orbita uma estrela ou um remanescente de estrela, com massa suficiente para se tornar esférico pela sua própria gravidade. Estrelas Uma estrela é uma grande e luminosa esfera de plasma, mantida íntegra pela gravidade. Ao fim de sua vida, uma estrela pode conter também uma proporção de matéria degenerada. A estrela mais próxima da Terra é o Sol, que é a fonte da maior parte da energia do planeta. Outras coisinhas Satélites, cometas, asteroides, meteoros e meteoritos... Errante: o estranho movimento retrógrado Existem 5 planetas visíveis a olho nu: Mercúrio, cuja observação é muito difícil Vênus, conhecido como estrela-d’alva Marte, Jupiter e Saturno, que podem ser vistos facilmente o ano todo. Durante determinada época do ano, a órbita destes planetas descreve um movimento parecido com um laço, devido as posições relativas da Terra e do planeta. Este movimento é conhecido como movimento retrógrado. Mecânica Celeste • Modelos existentes para a Mecânica Celeste: Sistema Geocêntrico • Terra no centro do Universo • Defendido pela Igreja Católica • Homem no centro do Universo Sistema Heliocêntrico • Sol no centro do Sistema Solar • Abominado pela Igreja Católica • Homem deixa de ser o centro do Universo O estranho movimento retrógrado Movimento retrógrado de Marte Sistema Geocêntrico • Claudius Ptolemaeus (sec. II A.C.) • Sistema geocêntrico: → Terra imóvel no centro do universo → Sol, Lua e planetas giram em torno da Terra → Início da era cristã • Órbitas complexas com círculos centrados em outros círculos: epiciclos • Teoria complicada • Não explicava novas observações E como explicar este movimento? Geocêntrico Sistema Heliocêntrico • Nikolaus Kopernik (1473-1543 ) • Renascimento: questionamento de idéias antigas • Sistema heliocêntrico: → Sol imóvel no centro do universo → Terra e planetas giram em torno do Sol → A Terra não seria mais o centro do Universo?! • “De Revolutionibus Orbium Celestium” (Sobre as revoluções das Esferas Celestes) Copérnico, 1543 E como explicar este movimento? Heliocêntrico Geocêntrico X Heliocêntrico Terra Vênus Geocêntrico e Heliocêntrico • Grande simplificação do modelo das órbitas Uma explicação divina... Créditos: Um sábado qualquer. Modelo de Copérnico • Órbitas uniformes, eternas e circulares ou uma composição de vários círculos (epiciclos). • O centro do universo é perto do Sol. • Rotação e translação • O eixo da Terra não é perpendicular ao plano de sua órbita: 23,50 com a normal • → estações. • Modelo mais “elegante”, mas ainda só geométrico Mas então, no fim do século XVI ... um sujeito chamado Tycho Brahe estudou o movimento dos planetas e fez observações mais precisas do que as existentes até então. Sobre Tycho Brahe • 1546-1601 • Grande observatório: Projeto científico colossal com apoio do rei Frederico II. • Grande número de dados obtidos a olho nu, mas com instrumentos de grandes precisão. Galileu Galilei • 1564 – 1642 • Primeiras observações com telescópio: Ampliação de 100x • Evidências experimentais do modelo heliocêntrico: Fases de Vênus, 4 Luas de Júpiter (órbita centrado em outro astro). • “Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo, o Ptolomaico e o Copernicano”, 1632 • Defesa do modelo heliocêntrico contra a Igreja: Condenado a abjurar suas ideias, 1633 Reza a lenda que ao sair do tribunal disse... “Eppur si Muove!” ... “Contudo, (a Terra) se move!” Johanes Kepler • 1571-1630 • Assistente e sucessor de Tycho Brahe • Análise detalhada (20 anos) dos dados acumulados por Tycho Brahe • Órbita da Terra: círculo com centro um pouco deslocado do Sol. • Marte: um problema..... Kepler • ... a órbita de Marte não era um círculo: Erro de 8 min. de arco vs precisão de 4 min. de arco nas medidas de Brahe. • “Construirei uma teoria do universo baseada na discrepância de 8 minutos de arco...” • Órbita de Marte: elipse com o Sol em um dos seus focos • Generalização... Leis de Kepler 1o Lei de Kepler • Lei das Órbitas “As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses com o Sol num dos seus focos”. • Excentricidade: e = c/a • Caso particular: e = 0 : órbita circular 2o Lei de Kepler • Lei das Áreas “O vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais”. • Sobre as velocidades dos planetas: Velocidade maior no periélio : perto do Sol Velocidade menor no afélio: longe do Sol 3o Lei de Kepler • Lei dos Períodos “A razão entre os quadrados do período de revolução de dois planetas é igual a razão entre os cubos de suas distâncias ao Sol”. 2 T1 R1 = T2 R2 3 Vamos animar um pouco... E então era isso? Bem... Não é bem assim. Um dia, um tal de Isaac Newton... Isaac Newton • 1642-1727 • Formado em Cambridge que foi fechada em 1665 devido uma epidemia de peste em Londres (70.000 mortes). Newton, com 23 anos, voltou para a fazenda da família em Woolthorpe onde fez inestimáveis contribuições a ciência. nas palavras de Newton... “ No princípio de 1665 achei o método para aproximar séries e a regra para reduzir qualquer potência de um binômio a tal série ... (Teorema Binomial) ...No mesmo ano, em maio, achei o método das tangentes de Gregory e Slusius (Fórmula de interpolação de Newton) ...e em novembro o método direto das fluxões... (Cálculo diferencial) ...no ano seguinte, em janeiro, a teoria das cores... (Decomposição da Luz) .. e em maio os princípios do método inverso das fluxões... (Cálculo integral) No mesmo ano comecei a pensar na gravidade como se estendendo até a órbita da lua, e na lei de Kepler sobre os planetas ... deduzi que as forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem variar com o inverso do quadrado de suas distâncias, tendo então comparado a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra e encontrado que concordavam bastante bem. (Lei da Gravitação Universal) Tudo isto foi feito nos dois anos da peste, 1665 e 1666, pois naqueles dias eu estava na flor da idade para invenções e me ocupava mais de matemática e filosofia que em qualquer outra época posterior. A Lua e a maçã Experimente! Lei da Gravitação Vamos analisar o caso mais simples de órbita circular, que é apropriado para vários planetas. Órbita circular + 2a lei de Kepler: Movimento Circular e Uniforme Aceleração centrípeta r 2 a = −ω Rrˆ , lembrando que ω = dθ / dt podemos escrever a aceleração como r 2 R a = −4π 2 rˆ T E pela 2a lei de Newton teremos: r r R 2 F = ma = −4π m 2 rˆ T FORÇA ATRATIVA ! m : massa do planeta R : raio da órbita circular ω: velocidade angular T : período da órbita Lei da Gravitação + 3a lei de Kepler r r R 2 F = ma = −4π m 2 rˆ T R3 = C = cte 2 T r m 2 F = −4π C 2 rˆ R Das Leis de Kepler concluimos então que... A FORÇA GRAVITACIONAL do Sol sobre um planeta... varia com o inverso do quadrado da distância entre o sol e o planeta R e é proporcional à massa do planeta m. Pela 3º. Lei de Newton... o planeta exerce força igual e contrária sobre o Sol e esta força deve ser proporcional a massa do Sol M. Mm F∝ 2 R Lei da Gravitação FORÇA GRAVITACIONAL Direção: linha ligando as massas Sentido: atrativa r GMm ) F =− 2 r r G : Constante gravitacional G = 6,67 × 10 −11 3 −1 −2 m kg s A Lua e a maçã Conta-se que em 1666, Newton em sua fazenda, vendo uma maça cair de uma árvore começou a meditar sobre a causa que atrai todos os corpos em direção ao centro da Terra e concluiu: “...a Lua assim como a maçã está caindo em direção a Terra.” Naquele ano Newton realmente comparou a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a gravidade na superfície da Terra. A maçã x A Lua Módulos das forças r mL M T FTL = G 2 RTL r mm M T FTC = G 2 RT Acelerações: GM T aC = g = 2 RT GM T aL = 2 RTL Relação das acelerações a L RT = g RTL 2 A maçã x A Lua a L RT = g RTL 2 Usando os valores de RT e RTL conhecidos na época Newton obteve: aL 1 ≈ g 3600 ou ainda g ≈ 3600 aL Nas palavras de Newton “Assim eu comparei a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da terra, e vi que elas se comportam da mesma maneira” O resultado obtido por Newton apresenta uma boa concordância com estimativa da razão entre a aceleração da Lua (calculada pelo período e raio de sua órbita) e a aceleração da gravidade próxima da superfície da Terra (conhecida). Resultados da Gravitação • Cometas: Órbitas elípticas bastante alongadas. O mais célebre é o cometa Halley identificado por Halley em 1682 com período de aparição de ~ 75 anos. Sua aparição mais recente foi em 1986. • Forma da Terra: Só considerando o efeito da gravidade, a Terra seria esférica. Mas, a força centrífuga devida à rotação leva ao achatamento dos pólos tornando a terra um esferóide oblato. Newton estimou a razão dos diâmetros polar / equatorial em ~229/230. • Precessão dos equinócios: O eixo de rotação da Terra mantém um ângulo constante de 23,50 com a normal ao plano de movimento. O período de precessão deste eixo é de 26.000 anos. r ω A constante universal da gravitação • BALANÇA DE TORÇÃO Henry Cavendish (1798) Teoria: 1666 r GMm ) F =− 2 r r Experimento: 1798 G = 6,67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 O experimento de Cavendish “Pesagem da Terra” Par de esferas de massa m nas extremidades de barra suspensa por fibra leve. Par de esferas de massa M colocadas próximas das massas m produzem torque sobre a barra suspensa. Equilíbrio: torque gravitacional compensado por torque da torsão da fibra. G calculado a partir do ângulo de torção medido pela deflexão de feixe de luz. Massa da Terra M Terra m G = mg 2 rTerra M Terra = 5,97 × 10 24 kg Valores já conhecidos Raio da Terra - medidas de Erastótenes (276 aC - 197 aC): rT=6,364x106 m Aceleração da gravidade: g=9,8 ms-2 Constante gravitacional medida por Cavendish: G= 6,67x10-11m3kg-1s-2 Os limites da Lei de Newton A Lei Gravitacional de Newton vale para planetas, satélites, cometas, queda da maçã, todos corpos com massa,... ... supercordas. Experimentos sofisticados ainda validam Lei Gravitacional de Newton. “Upper limits to submillimiter-range forces from extra space-time dimensions”, Long et al., Nature 421, 922 (2003). 3o Lei de Kepler Lei das Períodos Conhecendo os estudos de Kepler, Newton conseguiu obter uma expressão para o período de uma órbita circular (em torno do sol ou de um planeta) usando a força gravitacional: 3 2πr 2 T= GM T 4π = = cte! 3 r GM 2 Reescrevendo… 2 2a Lei de Kepler Lei das Áreas Para um sistema tipo Sol – Terra: r r GMm F (r ) = − 2 rˆ r r r r + dr Sol r r Como a Força Gravitacional é central, o momento angular (l) da Terra se conserva. Considerando o caso simples do Sol estático : centro de atração gravitacional da Terra: r τ = 0 ⇒ l = const . r r dr r p Terra 2a Lei de Kepler Lei das Áreas Área do triângulo: r 1r r dA = r × dr 2 r r r dA 1 r dr l = r ×m = dt 2m dt 2m r r r + dr Sol r r r dr r p Terra r r dA d A l = = = cte dt dt 2m O raio vetor que liga um planeta ao Sol r descreve áreas dA iguais em tempos iguais dt. 1a Lei de Kepler Lei das Órbitas • Hooke, Wren e Halley se perguntaram qual seria a órbita dos planetas sob a força 1/ R2. Newton respondeu: “Uma elipse!” • Halley financiou a obra que Newton escreveu em 18 meses: “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687) considerada a obra científica mais importante já escrita. A grande façanha de Newton, com seu trabalho sobre a Gravitação Universal, foi demonstrar que a teoria que explica a queda de uma maçã sobre a Terra é a mesma que explica o movimento dos astros no céu. Simples, mas genial.
