R - GPCMB

Universidade Federal do Maranhão - Campus Imperatriz
Centro de Ciências Sociais, Saúde e Tecnologia
Licenciatura em Ciências Naturais - LCN
Física II
Aula-1 - Gravitação
O que há lá fora?
Entendendo o universo
O céu noturno: Fascinação!
Antiguidade: Entendimento dos fenômenos da terra e do céu.
Dentre estes, podemos dividir estes fenômenos em:
Mecânica Terrestre:
Interessada no movimento de queda dos corpos sobre a
terra
Mecânica Celeste:
Interessada no movimento dos Planetas, Sol, Lua....
Planetas, estrelas e outras coisinhas
Planetas
Um planeta (do grego, significa "errante") é um corpo celestial que
orbita uma estrela ou um remanescente de estrela, com massa
suficiente para se tornar esférico pela sua própria gravidade.
Estrelas
Uma estrela é uma grande e luminosa esfera de plasma, mantida
íntegra pela gravidade. Ao fim de sua vida, uma estrela pode conter
também uma proporção de matéria degenerada. A estrela mais
próxima da Terra é o Sol, que é a fonte da maior parte da energia do
planeta.
Outras coisinhas
Satélites, cometas, asteroides, meteoros e meteoritos...
Errante: o estranho movimento retrógrado
Existem 5 planetas visíveis a olho nu:
Mercúrio, cuja observação é muito difícil
Vênus, conhecido como estrela-d’alva
Marte, Jupiter e Saturno, que podem ser vistos facilmente o ano
todo.
Durante determinada época do ano, a órbita destes planetas
descreve um movimento parecido com um laço, devido as posições
relativas da Terra e do planeta.
Este movimento é conhecido como movimento retrógrado.
Mecânica Celeste
• Modelos existentes para a Mecânica Celeste:
Sistema Geocêntrico
• Terra no centro do Universo
• Defendido pela Igreja Católica
• Homem no centro do Universo
Sistema Heliocêntrico
• Sol no centro do Sistema Solar
• Abominado pela Igreja Católica
• Homem deixa de ser o centro do Universo
O estranho movimento retrógrado
Movimento retrógrado de Marte
Sistema Geocêntrico
• Claudius Ptolemaeus (sec. II A.C.)
• Sistema geocêntrico:
→ Terra imóvel no centro do universo
→ Sol, Lua e planetas giram em torno da Terra
→ Início da era cristã
• Órbitas complexas com círculos centrados em outros
círculos: epiciclos
• Teoria complicada
• Não explicava novas observações
E como explicar este movimento?
Geocêntrico
Sistema Heliocêntrico
• Nikolaus Kopernik (1473-1543 )
• Renascimento:
questionamento de idéias antigas
• Sistema heliocêntrico:
→ Sol imóvel no centro do universo
→ Terra e planetas giram em torno do Sol
→ A Terra não seria mais o centro do Universo?!
• “De Revolutionibus Orbium Celestium” (Sobre as
revoluções das Esferas Celestes) Copérnico, 1543
E como explicar este movimento?
Heliocêntrico
Geocêntrico X Heliocêntrico
Terra
Vênus
Geocêntrico
e
Heliocêntrico
• Grande simplificação do modelo das órbitas
Uma explicação divina...
Créditos: Um sábado qualquer.
Modelo de Copérnico
• Órbitas uniformes, eternas e circulares ou uma
composição de vários círculos (epiciclos).
• O centro do universo é perto do Sol.
• Rotação e translação
• O eixo da Terra não é
perpendicular ao plano de
sua órbita: 23,50 com a
normal
• → estações.
• Modelo mais “elegante”, mas ainda só geométrico
Mas então, no fim do século XVI
... um sujeito chamado Tycho Brahe estudou o
movimento dos planetas e fez observações
mais precisas do que as existentes até então.
Sobre Tycho Brahe
• 1546-1601
• Grande observatório:
Projeto científico colossal com apoio do rei
Frederico II.
• Grande número de dados obtidos a olho nu, mas
com instrumentos de grandes precisão.
Galileu Galilei
• 1564 – 1642
• Primeiras observações com telescópio:
Ampliação de 100x
• Evidências experimentais do modelo heliocêntrico:
Fases de Vênus, 4 Luas de Júpiter (órbita centrado em outro
astro).
• “Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo, o
Ptolomaico e o Copernicano”, 1632
• Defesa do modelo heliocêntrico contra a Igreja:
Condenado a abjurar suas ideias, 1633
Reza a lenda que ao sair do tribunal disse...
“Eppur si Muove!” ... “Contudo, (a Terra) se move!”
Johanes Kepler
• 1571-1630
• Assistente e sucessor de Tycho Brahe
• Análise detalhada (20 anos) dos dados acumulados
por Tycho Brahe
• Órbita da Terra: círculo com centro um pouco
deslocado do Sol.
• Marte: um problema.....
Kepler
• ... a órbita de Marte não era um círculo:
Erro de 8 min. de arco vs precisão de 4 min. de arco nas
medidas de Brahe.
• “Construirei uma teoria do universo baseada na
discrepância de 8 minutos de arco...”
• Órbita de Marte: elipse com o Sol em um dos seus focos
• Generalização...
Leis de Kepler
1o Lei de Kepler
• Lei das Órbitas
“As órbitas descritas pelos
planetas em redor do Sol
são elipses com o Sol num
dos seus focos”.
• Excentricidade: e = c/a
• Caso particular: e = 0 : órbita circular
2o Lei de Kepler
• Lei das Áreas
“O vetor que liga um
planeta ao Sol
descreve áreas iguais
em tempos iguais”.
• Sobre as velocidades dos planetas:
Velocidade maior no periélio : perto do Sol
Velocidade menor no afélio: longe do Sol
3o Lei de Kepler
• Lei dos Períodos
“A razão entre os quadrados do período de revolução de
dois planetas é igual a razão entre os cubos de suas
distâncias ao Sol”.
2
 T1   R1 
  = 

 T2   R2 
3
Vamos animar um pouco...
E então era isso?
Bem... Não é bem assim.
Um dia, um tal de Isaac Newton...
Isaac Newton
• 1642-1727
• Formado em Cambridge que
foi fechada em 1665 devido
uma epidemia de peste em
Londres (70.000 mortes).
Newton, com 23 anos, voltou
para a fazenda da família em
Woolthorpe onde fez
inestimáveis contribuições a
ciência.
nas palavras de Newton...
“ No princípio de 1665 achei o método para aproximar séries e a regra
para reduzir qualquer potência de um binômio a tal série ...
(Teorema Binomial)
...No mesmo ano, em maio, achei o método das tangentes de Gregory e
Slusius (Fórmula de interpolação de Newton)
...e em novembro o método direto das fluxões... (Cálculo diferencial)
...no ano seguinte, em janeiro, a teoria das cores...
(Decomposição da Luz)
.. e em maio os princípios do método inverso das fluxões...
(Cálculo integral)
No mesmo ano comecei a pensar na gravidade como se estendendo até
a órbita da lua, e na lei de Kepler sobre os planetas ... deduzi que as
forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem variar com o
inverso do quadrado de suas distâncias, tendo então comparado a força
necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade
na superfície da Terra e encontrado que concordavam bastante bem.
(Lei da Gravitação Universal)
Tudo isto foi feito nos dois anos da peste, 1665 e 1666, pois naqueles
dias eu estava na flor da idade para invenções e me ocupava mais de
matemática e filosofia que em qualquer outra época posterior.
A Lua e a maçã
Experimente!
Lei da Gravitação
Vamos analisar o caso mais simples de órbita circular, que é apropriado
para vários planetas.
Órbita circular
+ 2a lei de Kepler: Movimento Circular e Uniforme Aceleração centrípeta
r
2
a = −ω Rrˆ
, lembrando que
ω = dθ / dt
podemos escrever a aceleração como
r
2 R
a = −4π 2 rˆ
T
E pela 2a lei de Newton teremos:
r
r
R
2
F = ma = −4π m 2 rˆ
T
FORÇA ATRATIVA !
m : massa do planeta
R : raio da órbita circular
ω: velocidade angular
T : período da órbita
Lei da Gravitação
+ 3a lei de Kepler
r
r
R
2
F = ma = −4π m 2 rˆ
T
R3
= C = cte
2
T
r
m
2
F = −4π C 2 rˆ
R
Das Leis de Kepler concluimos então que...
A FORÇA GRAVITACIONAL do Sol sobre um planeta...
varia com o inverso do quadrado da distância entre o sol
e o planeta R e é proporcional à massa do planeta m.
Pela 3º. Lei de Newton...
o planeta exerce força igual e contrária sobre o Sol e
esta força deve ser proporcional a massa do Sol M.
Mm
F∝ 2
R
Lei da Gravitação
FORÇA GRAVITACIONAL
Direção: linha ligando as massas
Sentido: atrativa
r
GMm )
F =− 2 r
r
G : Constante gravitacional
G = 6,67 × 10
−11
3
−1 −2
m kg s
A Lua e a maçã
Conta-se que em 1666, Newton em sua fazenda, vendo uma maça cair
de uma árvore começou a meditar sobre a causa que atrai todos os
corpos em direção ao centro da Terra e concluiu:
“...a Lua assim como a maçã está caindo
em direção a Terra.”
Naquele ano Newton realmente comparou a força
necessária para manter a Lua em sua órbita com a
gravidade na superfície da Terra.
A maçã x A Lua
Módulos das forças
r
mL M T
FTL = G
2
RTL
r
mm M T
FTC = G
2
RT
Acelerações:
GM T
aC = g = 2
RT
GM T
aL = 2
RTL
Relação das acelerações
a L  RT 
= 

g  RTL 
2
A maçã x A Lua
a L  RT 

= 
g  RTL 
2
Usando os valores de RT e RTL conhecidos
na época Newton obteve:
aL
1
≈
g 3600
ou ainda
g
≈ 3600
aL
Nas palavras de Newton
“Assim eu comparei a força necessária para manter a Lua em sua órbita
com a força da gravidade na superfície da terra, e vi que elas se
comportam da mesma maneira”
O resultado obtido por Newton apresenta uma boa concordância com estimativa da razão
entre a aceleração da Lua (calculada pelo período e raio de sua órbita) e a aceleração da
gravidade próxima da superfície da Terra (conhecida).
Resultados da Gravitação
• Cometas: Órbitas elípticas bastante alongadas.
O mais célebre é o cometa Halley identificado
por Halley em 1682 com período de aparição de
~ 75 anos. Sua aparição mais recente foi em
1986.
• Forma da Terra: Só considerando o efeito da
gravidade, a Terra seria esférica. Mas, a força
centrífuga devida à rotação leva ao achatamento
dos pólos tornando a terra um esferóide oblato.
Newton estimou a razão dos diâmetros polar /
equatorial em ~229/230.
• Precessão dos equinócios: O eixo de rotação
da Terra mantém um ângulo constante de 23,50
com a normal ao plano de movimento. O período
de precessão deste eixo é de 26.000 anos.
r
ω
A constante universal da gravitação
• BALANÇA DE TORÇÃO
Henry Cavendish (1798)
Teoria: 1666
r
GMm )
F =− 2 r
r
Experimento:
1798
G = 6,67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2
O experimento de Cavendish
“Pesagem da Terra”
Par de esferas de massa m
nas extremidades de barra
suspensa por fibra leve.
Par de esferas de massa M
colocadas próximas das
massas m produzem torque
sobre a barra suspensa.
Equilíbrio: torque gravitacional
compensado por torque da
torsão da fibra.
G calculado a partir do ângulo
de torção medido pela deflexão
de feixe de luz.
Massa da Terra
M Terra m
G
=
mg
2
rTerra
M Terra = 5,97 × 10 24 kg
Valores já conhecidos
Raio da Terra - medidas de Erastótenes (276 aC - 197 aC):
rT=6,364x106 m
Aceleração da gravidade:
g=9,8 ms-2
Constante gravitacional medida por Cavendish:
G= 6,67x10-11m3kg-1s-2
Os limites da Lei de Newton
A Lei Gravitacional de Newton vale para
planetas, satélites, cometas, queda da maçã, todos corpos com massa,...
... supercordas.
Experimentos sofisticados ainda validam Lei Gravitacional de Newton.
“Upper limits to submillimiter-range
forces from extra space-time dimensions”,
Long et al., Nature 421, 922 (2003).
3o Lei de Kepler
Lei das Períodos
Conhecendo os estudos de Kepler, Newton conseguiu
obter uma expressão para o período de uma órbita
circular (em torno do sol ou de um planeta) usando a
força gravitacional:
3
2πr 2
T=
GM
T
4π
=
= cte!
3
r
GM
2
Reescrevendo…
2
2a Lei de Kepler
Lei das Áreas
Para um sistema tipo
Sol – Terra:
r r
GMm
F (r ) = − 2 rˆ
r
r r
r + dr
Sol
r
r
Como a Força Gravitacional é central, o
momento angular (l) da Terra se conserva.
Considerando o caso simples do Sol estático :
centro de atração gravitacional da Terra:
r
τ = 0 ⇒ l = const .
r
r
dr
r
p
Terra
2a Lei de Kepler
Lei das Áreas
Área do triângulo:
r 1r r
dA = r × dr
2
r
r r
dA 1 r
dr l
=
r ×m =
dt 2m
dt 2m
r r
r + dr
Sol
r
r
r
dr
r
p
Terra
r
r
dA d A l
=
=
= cte
dt
dt 2m
O raio vetor que liga um planeta ao Sol r descreve áreas dA
iguais em tempos iguais dt.
1a Lei de Kepler
Lei das Órbitas
• Hooke, Wren e Halley se perguntaram qual seria a órbita
dos planetas sob a força 1/ R2.
Newton respondeu: “Uma elipse!”
• Halley financiou a obra que Newton escreveu em 18 meses:
“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687)
considerada a obra científica mais importante já escrita.
A grande façanha de Newton, com seu trabalho sobre a
Gravitação Universal, foi demonstrar que a teoria que
explica a queda de uma maçã sobre a Terra é a mesma
que explica o movimento dos astros no céu.
Simples, mas genial.