Ângulos, polígonos e triângulos

total de 24 horas. Por isso, se você observar o
s são adjacentes.
entes são sempre dois ângulos
dois ângulos consecutivos nem
Observe que duas retas concorrentes
céudeterminam
todas as noites, sempre à mesma hora,
quatro regiões angulares adjacentes.
notará que seu aspecto irá modificando-se. Algumas estrelas e constelações deixam de ser
Quando duas dessas regiões angulares
adjacentes
visíveis, enquanto outras vão surgindo no
forem congruentes, dizemos que qualquer uma delas
horizonte no lado Leste. E se voltar a observar
define uma região de ângulo reto.
o céu daqui a três meses, verá que tal mo-
01
triângulos
A
D
QUESTÕES
CONTEXTUALIZADAS
DE GEOMETRIA PLANA
E
b
d) 86°
e
Resolução
I)
3x – 10° = 2
II)
CDB = 2x +
^
^
III) ADC = 2 . 4
02. Nas regiões
à linha
do Ao
Equador,
dificação próximas
será bem mais
sensível.
término todas as
estrelas nascem
e se põem quatro minutos mais cedo, Resposta:
a cada E
de seis meses, você poderá verificar que todas
dia que passa. Ao final de 365 dias, esse adiantamento dará
as constelações visíveis serão diferentes, pois
um total de 24 horas. Por isso, se você observar o céu todas as
" Castelos e
você estará vendo o outro lado do céu
noites,
sempre à mesma hora, notará que seu aspecto irá
^
AOB é retoestrelado, que era invisível em virtude da luz majestosas para
modificando-se. Algumas estrelas e constelações deixam de
castelos
ser visíveis,solar.
enquanto outras vão surgindo no horizonte no
lado tinham
Embora
Leste. E se voltar a observar o céu daqui a três meses, verá os palá
s tal modificação será
e pudessem
Ronaldo
de FreitasAo
Mourão.
que
bemRogério
mais sensível.
término cias
de seis
tinham muros a
Livro de Ouro
do Universo
, 6a. Ed. Ediouro
meses, vocêO poderá
verificar
que todas
as constelações
projetados
Publicações
visíveis serão diferentes, pois você estará
vendoS/A
o outro
lado para f
do céu estrelado, que era invisível em virtude da luz solar.
O fosso – um g
GEOMETRIA
ia de ângulosÂngulos, polígonos e r
congruentes se, e somente se,
a.
a) 80°
B
01. As lentes são formadas por materiais transparentes O
(meio
refringente) de tal forma que pelo menos uma das superfícies
por onde passa a luz (ao entrar ou sair da lente) não é plana.
Nas lentes esféricas,
uma das super- fícies, ou ambas, são
F
redor do muro
A
cortes de uma esfera e, consequentemente, caracterizadas por
primeira linha de
um raio de curvatura.
Observação
de água ou seco
As lentes podem ser classificadas, de acordo com sua
B
forrado com est
Quando
duas
retas
r
e
s
são
con
correntes
e
deter
construção, como lentes convergen- tes e divergentes. Quando
Normalmente, h
ângulos
adjacentes
congruentes, elas são chaa lente está no ar ou em qualquer minam
meio menos
refringente
que
permanecia erg
C
convergentes
sãoper
mais
grosna
^o seu material, as lentes
^
madas
pen
dicusas
lares.
atacado. Vários
ed (ABC)
med que
(DEF)
parte =central
nas bordas. O contrário ocorre nas
D
bolica
mente:
r ⊥ s.
para depósito de
divergentes, que são delgadas no seuSim
centro
e mais
grossas
um fosso depen
nas extremidades. Exemplos de lentes convergentes são lupas
e lentes para corrigir hipermetropia. Lentes diver- gentes são
castelos tinha
encontradas em olho-mágico de portas e em óculos para
construídos no a
correções da miopia. Outra classificação é feita em termos da
savam deles. O
Na figura acima,
o astrônomo observou que as estrelas A, B e
geometria da lente. Caso as duas superfícies sejam côncavas,
Na figura acima, o astrônomo observou que as Stirling na Escóc
C estão posicionadas de tal modo que BD é bissetriz do ângulo
a lente é chamada bicôncava. Se as duas superfícies são
Das seis figuras ADC.
que representam
tipos de
e outra
tem-se umaSendo
lente planoSe ADB = os
3x–10°e
CDB = 2x+8°, então a
as por materiais
convexas,plana
tem-se
umaconvexa,
lente biconvexa.
uma superfície
lentes,
a
quan
tidade
de
regiões
não
convexas
convexa
e
assim
por
diante.
medida
do
ângulo
ADC
é:
nte) de talplana
formae outra convexa, tem-se uma lente plano- convexa e
assim
erfícies por
ondepor diante.http://objetoseducacionais2.mec.gov.br é:
a)pelas
1
b) 2
3
d) 4 b) e)
a)c)80°
82°5
c) 84°
r da lente)Existem
não é seis tipos de lentes, que são C1_2AMAT_prof
representadas
2011 15/09/10 10:08 Página 48
Existem seis tipos de lentes, que são represen
- Resolução
uma das figuras
super- a seguir.
tadas pelas figuras a seguir.
→
de uma esfera e,
d) primeiras
86°
e) 88°
Somente as duas
não são
regiões
!
Calcular
x na figura, sabendo-se que OC é bissetriz
zadas por um raio
não convexas.
cadas, de acordo
entes convergenente está no ar ou
ngente que o seu
es são mais grosordas. O contrário
são delgadas no
as extremidades.
entes são lupas e
pia. Lentes diverolho-mágico de
ções da miopia.
em termos da
duas superfícies
amada bicôncava.
convexas, tem-se
o uma superfície
A
^
03. Castelos
e palácios
eram residências majestosas para
ângulo
AOB.
Resposta: D
nobres e reis, mas apenas castelos tinham muros altos, torres
B e C estão posicionadas de tal de uma encosta rochosa. Vários castelos
Embora os palácios fossem grandes residên- cias e
! Nas regiões próximas à linha do Equador, estrelaseA, fossos.
modo que BD é bissetriz do ângulo ADC. Se alemães ao longo do Rio Reno foram constodas as estrelas nascem e se põem quatro
" Quando falamos
em
iguais,
áreas mon
tanhosas não
do vale. tinham muros altos de
ao nasseu
redor,
3x – 10° e CDB
= 2xter
+ figuras
8°, muros
então, a truídos
minutos mais cedo, a cada dia que passa. Ao ADB = pudessem
www.spectrumgothic.com.br
final de 365 dias, esse adiantamento dará um medida do ângulo ADC é:
proteção
não eram
projetados
para finalidades militares.
intuitivamente nos
vêm àe mente
figuras
de
total de 24 horas. Por isso, se você observar o
—
^
^
^
^
a) 80°
d) 86°
b) 82°
e) 88°
c) 84°
mesmo tamanho e forma. Isto significa que,
Resolução
executando-se
alguns movimentos, as figuras
I)
3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°
se “encaixam”
sobre as
II) CDBexatamente
= 2x + 8° = 2 . 18° + 8°umas
= 44°
III) ADC = 2 . 44° = 88°
outras. Observemos
que a palavra “iguais”
Resposta: E
está sendo usada de forma um tanto imprópria,
" Castelos e palácios eram residências
já que os conjuntos
que formam
majestosas para de
nobrespontos
e reis, mas apenas
castelos tinham muros altos, torres e fossos.
RESOLUÇÃO:
cada uma dasEmbora
figuras
sãofossem
diferentes.
os palácios
grandes residênTornamos
Ronaldo Rogério de Freitas Mourão. cias e pudessem ter muros ao seu redor, não
mais
nossa
usando
a
muros altos linguagem
de proteção
eram
O Livro de Ouro do Universo
, 6 . Ed.precisa
Ediouro tinham
3xe –não20°
= x + 11°
Publicações S/A projetados para finalidades militares.
Durantedique
um ataque aou
um castelo medieval, os ao redor do muro
expressão
"figuras
congruentes".
O
fosso
–
um
grande
O fosso – um grande dique ou trincheira ao sentinelas ergueram a pontetrincheira
levadiça, até que
2x = 31°
redor do muro externo do castelo – era a
céu todas as noites, sempre à mesma hora,
notará que seu aspecto irá modificando-se. Algumas estrelas e constelações deixam de ser
visíveis, enquanto outras vão surgindo no
horizonte no lado Leste. E se voltar a observar
o céu daqui a três meses, verá que tal modificação será bem mais sensível. Ao término
de seis meses, você poderá verificar que todas
as constelações visíveis serão diferentes, pois
você estará vendo o outro lado do céu
estrelado, que era invisível em virtude da luz
solar.
^
^
a
formasse
um ângulo α comlinha
a horizontal.
Se defesa. Ele poderia
externo do castelo – elaera
a primeira
de
a medida do ângulo α é a metade da medida do
x =água
15,5°,ouou
seja,(um
ser cheio
de
seco
seuseco
suplemento,
então, fosso
o complemento
de α poderia ser forrado
http://penta.ufrgs.br/edu
vale:
com estacas pontiagudas
de madeira). Normalmente, havia
x = 15° 30’a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
Das seis figuras que representam os tipos de lentes, a
uma ponte elevadiçaResolução
que permanecia erguida quando o castelo
quantidade de regiões não convexas é:
era atacado. Vários fossos
180° – α eram também locais para depósito
α = ––––––––– ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60°
de lixo e detritos.
A
existência
de um fosso dependia do terreno
2
MATEMÁTICA
48
a) 1
o complemento tinham
de α é 30°.
– nem todos os Logo,
castelos
fossos. Alguns eram
Na figura acima, o astrônomo observou que as
Resposta: A
b) 2
construídos no alto de
uma rocha e não precisavam deles. Os
c) 3
castelos de Edinburgo e de Stirling na Escócia, por exemplo,
d) 4
estão no alto de uma encosta rochosa. Vários castelos
e) 5
alemães ao longo do Rio Reno foram cons- truídos nas áreas
→
! Calcular x na figura, sabendo-se que OC
" (ESCOLA
TÉCNICA FEDERAL-RJ) – As medidas do comé bissetriz
do
montanhosas
do vale.
^
plemento, do suplemento e do replemento de um ângulo de
ângulo AOB.
Durante um
ataque
a umiguais
castelo
medieval, os sentinelas
40° são, respectivamente,
a
60° e 90°levadiça,
b) até
30°, 45°
e 60° ela formasse um ângulo α
erguerama)a30°,ponte
que
c) 320°, 50° e 140°
d) 50°, 140° e 320°
com a horizontal.
Se a medida
do ângulo α é a metade da
e) 140°, 50° e 320°
medida do seu suplemento, então, o complemento de α vale:
A
B
C
D
primeira linha de defesa. Ele poderia ser cheio
de água ou seco (um fosso seco poderia ser
forrado com estacas pontiagudas de madeira).
Normalmente, havia uma ponte elevadiça que
permanecia erguida quando o castelo era
atacado. Vários fossos eram também locais
para depósito de lixo e detritos. A existência de
um fosso dependia do terreno – nem todos os
castelos tinham fossos. Alguns eram
construídos no alto de uma rocha e não precisavam deles. Os castelos de Edinburgo e de
Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto
a) 30°
d) 60°
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
1) complemento: 90° – 40° = 50°
2) suplemento: 180° – 40° = 140°
3) replemento: 360° – 40° = 320°
Resposta: D
b) 40°
e) 70°
c) 50°
3x – 20° = x + 11°
2x = 31°
x = 15,5°, ou seja,
x = 15° 30’
48
MATEMÁTICA
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1
!
(ESPM–MODELO ENEM) – Uma folha de papel determina um
encontrar
encontra
04. Uma folha retangular de papel ofício de medidas 287 x
210 mm foi dobrada conforme a figura.
triângulo
ABC
(figurade
1). papel
Esta folha
é dobrada em
de AD, de
modo
08.
Uma
folha
determina
umtorno
triângulo
ABC
(figura
^
^
ângulo ST
1).
folha
dobrada
de(figura
AD, de
queEsta
o lado
AB éfique
contidoem
no torno
lado AC
2), modo
DAC = que
49° o
e lado
AB^ fique contido no lado AC (figura 2), DAC = 49° e ABD = a) 94°
ABD = 60°.
60°.
A
(figura 1)
^
^
Os ângulos X e Y resultantes da dobradura medem,
respectivamente, em graus
a) 40 e 90.
c) 45 e 45.
d) 35 e 145.
B
b) 40 e 140.
d) 45 e 135.
C
D
A
(figura 2)
B
05. Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada
reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a
dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por
3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada,
localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de
A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de
B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer
até o ponto de encontro.
A medida do ângulo^ BCD é:
A medida do ângulo BCD é:
a)a) 22°
22
o
b)Resolução
21
o
c)
20
o
d)
19
o
e)
18
o
a)
60 km
b)
65 km
c)
66 km
d)
68 km
soma das medidas dos ângulos x e y vale:
= 50 . 800 e)
km ⇔72 km
a) 140°
160°
c) 180°
06. Na pista
de kart dab)figura
seguinte,
temos:AB paralelo a
DE e também
paralelo ae)FG.
Assim, a soma das medidas dos
d) 200°
220°
ângulos x e y vale:
60º
b) 21°
c) 20°
d) 19°
e) 18°
Resoluçã
A
49º
49º
B
60º
09. Na figura abaixo tem-se um trecho de um piso formado
por ladrilhos
60º quadrados de mesmo tamanho e ladrilhos
C
hexagonais
também
B’
D de mesmo tamanho.
—
^
^
I) AD é bissetriz do ângulo B’AC ⇒ B’AD = 49°
II) No triângulo AB’C, temos:
^
^
BCD + 49° + 49° + 60° = 180° ⇒ BCD = 22°
Resposta: A
B
A
C
D
135º
ezes campeão do
C1_2AMAT_prof
2011 y15/09/10
10:08 Página 55 105º C
I
s donos
da equipe
H
50º
om o suíço Peter
x
E
e cerca de 20% da
D
150º
turo de Nelsinho
F
G
te assegurado na
o disputa o GP da (PUC) – Na figura abaixo, a = 100° e b = 110°. Quanto
o
ência, pela a)
Renault,
C1_2AMAT_prof
2011 15/09/10
10:08 Página 52
140 Resolução
mede
o ângulo
x?
o
sua vagab)estaria
160
a) 30°
" Arthur
pretende internos
encontrar dos
um tesouro
quehexagonais,
está escondido
Sobre
os ângulos
ladrilhos
é no
correto
Parque do
Ibirapuera em São Paulo. Segundo seu mapa, ele primeiro
afirmar
que:
deve achar as árvores localizadas nos pontos A, B e C que aparecem
^
a)naalguns
são retos
e outros
medem
Assim, ST
figura seguinte.
Depois,
ele deve
localizar 135°.
o ponto S onde a bissetriz
—
b) todos medem
120°
^
Resposta
do ângulo BAC encontra o lado BC do triângulo ABC. Finalmente, ele
c) há dois ângulos retos e dois ângulos de 60°.
$osPedro
Afonso
pretendia
fazer
um bumerangue como o que
!
d)
ângulos
obtusos
medem
120°.
e)
todos na
medem
aparece
figura90°.
1, porém ele cometeu um pequeno erro e
acabou fazendo seu bumerangue com o formato da figura 2.
o
B
A
c)
180
10.
Pedro
Afonso
pretendia
um αbumerangue
como
o
b)
50°
Assim,
a soma
das medidas
dosfazer
ângulos
e β assinalados
naso
60º
d)“quem
200
que poderia
135º
que
aparece
na que
figura
1, porém
ele cometeu
um pequeno
erro α + b + c
!
Demonstre
a
soma
das
medidas
dos
ângulos
internos
o
y
45º
figuras
é:
c) 80° C
60º
e) dias,
220
time”, há dois
I) x + 135° = 180°
⇔ x = 45°
e
acabou
fazendo
seu
bumerangue
com
o
formato
da
figura
2. β = b (alt
! Antônio
Carlos Ilevou seu filho Fernando Antônio
para fazer
de235°
um triângulo
é igual a 180°.
20º
a)
d) 250° α e e)
255°
20º
d) 60º
100°
a “brincando”, na
II) x +y + 70°=Assim,
180°
⇔ 45°+
y + b)
70°=240°
180° ⇔
x =c)65°245°
γ = c (alt
a soma
das
medidas
dos ângulos
β assinalados
H no “Rio do Peixe” cujas margens são
um
passeio
paralelas.
No
105º
x
07. seu
Antônio Carlos
Fernando
Antônio para
30º levou seu filho
RESOLUÇÃO:
erdade. Nelson,
E
figuras é:
—
Resposta: C nas
e)ligava
150°
local
aonde
eles
foram,
havia
uma
ponte
que
a
margem
D margens são
um passeio
no “Rio do Peixe” cujas
Sejam α, β e γ os ângulos internos do ∆ABC. Traçando r // BC, temos:
50º
ue semprefazer
fez com
150º
r com um
B ehavia
uma outra
paralelas.
No ilha
locallocalizada
aonde pelo
elesponto
foram,
uma ponte
ponte que
scuderia. Foi assim
F
G Cilha
ligava
a margem
r com
um
localizada
ligando
a ilha com
o ponto
na outra
margem,pelo
comoponto
mostraBa e uma
a GP2 – Nelsinho
outrafigura
ponte
ligando
a
ilha
com
o
ponto
C
na forma
outracom
margem,
seguinte.
Se
o
ângulo
agudo
que
a
margem
RESOLUÇÃO:
provavelmente será
— mostra a figura
^
como
seguinte.
Se
o
ângulo
agudo
a =mede
x +Assim,
(180°
= 180°
aentão,
+ b⇒
– a180°
⇔ xdo
= 30°
AB
18° e–xAb)
BC
= x92°,
medida
ângulo obtuso que a
1.
+⇔
60°
— e ABC = 92°, então, a
margem
formaA com
AB= mede
18°
Resposta:
que a margem s forma com a ponte BC é:
medida do ⇒
ângulo
obtuso
que+ a20°
margem
forma com a ponte
x = 120°,
y = 60°
= 80° e,sportanto,
Paulo – 03/08/2009
MATEMÁTICA
104°
c) 106°
d) 108°
e) 110°
54
BC é:a)—102°x + y b)
= 120° + 80° = 200°
eguinte, temos: AB
—
alelo a FG. Assim, a
"
Resposta: D
#
Nos exercícios " e
a) 40°
b) 60°
a) 102°
c) 106°
RESOLUÇÃO:
"
e) 110°
#, calcule x, associando-o com:
c) 70°
d) 90°
b) 104°
d) 108°
e) 100°
RESOLUÇÃO:
a) 235°
b) 240°
c) 245°
d) 250°
e) 255°
(UFPE) – Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
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As medidas dos ângulos α e β são, respectivamente:
2
a) 3.
11. Cada estrutura lateral de uma torre metálica, em forma
de uma pirâmide regular de base quadrada, consiste de um
triângulo isósceles ABC, de base BC, conforme representado
na figura adiante. Para minimizar o número de peças de
tamanhos distintos na fabricação da torre, as barras metálicas
BC, CD, DE, EF e FA têm comprimentos iguais. Assinale a
medida do ângulo BÂC.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
14. Um programa de edição de imagens possibilita
transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se
construir uma nova figura a partir da original. A nova figura
deve apresentar simetria em relação ao ponto O.
A imagem que representa a nova figura é:
a)
a)
b)
c)
d)
e)
10º
20º
30º
40º
50º
b)
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 60
12. Um garoto pegou o canivete do pai, começou a abri-lo e
fechá-lo, e observou que assim ele poderia construir
triângulos, como mostra a figura seguinte.
Resolução
Sendo x a medida do 3o. lado, temos:
!5 – 7! < x < 5 + 7 ⇒ 2 < x < 12 e, portanto, o número de medidas
c)
possíveis para o terceiro lado é 9.
Resposta: C
Se a medida da lâmina é 5 cm e a medida do cabo é 7 cm, o
número de triângulos com lados inteiros que ele conseguiu
montar foi:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
!
Os arcos de sustentação da ponte da figura seguinte são
semicircunferências de centros O e O’, respectivamente. O
—
cabo de aço AD é perpendicular ao plano da ponte e o cabo
—
^
AC forma 38° com o plano da ponte. A medida do ângulo DAO
—
—
formado pelos cabos de aço AD e AO é:
a) 14°
b) 15°
c) 16°
d) 17°
e) 18°
"
A altura e a mediana relativas à hipotenusa de um triângulo
d)
retângulo formam um ângulo de 40°. Calcular o ângulo agudo
entre esta altura e a bissetriz do maior ângulo agudo do
triângulo.
RESOLUÇÃO:
13. Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de
fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será
construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos
^
lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamenteI. A6BC
= 65°
palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas α = 65°
––– ⇒ α = 32° 30’
2
e)
características.
II. x + α = 90°
x = 90° – 32° 30’
x = 57° 30’
RESOLUÇÃO:
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a
I) O triângulo
ABC é retângulo em
OA = OB = OC.
dois que podem
ser construídos
éA e, portanto,
^
^
II) No triângulo isósceles AOC, temos: OAC = OCA = 38° e,
^
portanto, DOA = 38° + 38° = 76°
III)No triângulo ADO, temos:
^
^
D AO + 90° + 76° = 180° ⇒ D AO = 14°
Resposta: A
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No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
3
15. O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura,
anuncia local acessível para o portador de necessidades
especiais. Na concepção desse símbolo, foram empregados
elementos gráficos geométricos elementares.
Os elementos geométricos que constituem os contornos das
partes claras da figura são
a) retas e círculos.
b) retas e circunferências.
c) arcos de circunferências e retas.
d) coroas circulares e segmentos de retas.
e) arcos de circunferências e segmentos de retas.
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião
o
AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus
no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez
uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a
direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com
a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião é sempre
dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que
passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o
passageiro Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
18. Na figura abaixo, os pontos A, B e C representam as
posições de três casas construídas numa área plana de um
condomínio.
16. Um professor, ao fazer uma atividade de origami
(dobraduras) com seus alunos, pede para que estes dobrem
um pedaço de papel em forma triangular, como na figura a
seguir, de modo que M e N sejam pontos médios
respectivamente de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a
nova posição do vértice A do triângulo ABC.
A
200 m
Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são
exemplos de triângulos isósceles os triângulos
400 m
B
C
500 m
a) CMA e CMB.
b) CAD e ADB.
c) NAM e NDM.
d) CND e DMB.
e) CND e NDM.
17. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades,
estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados
brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas
pelos números. Considere que a direção seguida por um avião
AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no
Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e
em 4.
Um posto policial estará localizado num ponto P, situado à
mesma distância das três casas.
O ponto P é
a) O baricentro do triângulo ABC.
b) O ortocentro do triângulo ABC.
c) O circuncentro do triângulo ABC.
d) O incentro do triângulo ABC.
e) O ponto médio do lado AB.
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4
! Calcule, em graus a soma dos ângulos assinalados na
figura seguinte:
19. No Brasil a maior parte dos estabelecimentos pecuários
usa ainda o chamado “pastoreio contínuo”. Este sistema é o
principal fator que contribui para a baixa produtividade e a
degradação das pastagens.
Preocupado com a degradação das pastagens um pecuarista
brasileiro dividiu a área destinada ao pasto da sua fazenda em
quatro triângulos equiláteros de lado 300 m cada e passou a
revezar nestes triângulos a pastagem do gado. No centro de
cada pasto triangular existe uma torneira. Usando que √3 =
1,7, qual a distância d, em metros, da torneira a um dos
vértices do pasto triangular que está localizada?
"
(MODELO ENEM) – Para desenhar uma estrela regular
com nove pontas, Luciana desenhou inicialmente um eneágono
21.
Para
desenhar
uma estrela
com
regular
como
o que aparece
na figuraregular
seguinte.
Elanove
prolonpontas,
gou os
Luciana
um sua
eneágono
regular A
como
o
lados dodesenhou
eneágono,inicialmente
obtendo assim
estrela regular.
soma
que aparece na figura seguinte. Ela prolongou os lados do
das medidas dos ângulos das pontas da estrela é igual a:
eneágono, obtendo assim sua estrela regular. A soma das
a) 780° dos ângulos
b) 800° das c)
840°da estrela
d) 860°
medidas
pontas
é igual a:e) 900°
RESOLUÇÃO:
a)
780°
b) 800°
c) 840°
d) 860°
e) 900°
RESOLUÇÃO:
" !
"
Banco de Questões da OBMEP
22. Arqueólogos encontraram um colar de ouro feito de
placas no format de pentágonos regulares.
a)
b)
c)
d)
e)
300
255
170
125,5
85
Banco de Questões 2011 - Nível 2 - Questão 51
Cada uma destas placas está conectada a outras duas placas,
como ilustra a figura.
20. Durante uma prova de rally aquático num rio de margens
paralelas o piloto da lancha seguiu as instruções do navegador
+ b + c + d + e +entre
f + g +dois
h+i+
j = Se =A360°
paraa deslocamento
pontos
e B situados em
margens opostas deste rio que orientava:
o
Partir do ponto A sob um ângulo de 10 na direção oeste;
o
Após 1km de navegação mudar a direção em 20 no
sentido anti-horário;
o
Após mais 1km de navegação mudar a direção em 30 no
sentido anti-horário;
Seguir por mais 1 km para atingir o ponto B.
10 e 11
Como β é ângulo externo do eneágono regular, temos:
360°
β = ––––– = 40°
9
Assim, α + 40° + 40° = 180° ⇒ α = 100°
Logo, a soma dos ângulos das pontas da estrela é 9 . 100° = 900°
Resposta: E
Quantas placas tem o colar?
a) 5
b) 7
c) 8
d) 10
e)12
• Trapézio • Paralelogramo
Quadriláteros notáveis
23. A geometria assinala que a simetria é a correspondência
• Retângulo • Losango • Quadrado
Alguns quadriláteros que possuem propriedades particulares são chamados quadriláteros notáveis.
Vamos estudar, a seguir, os quadriláteros notáveis e
suas propriedades.
exata na disposição dos pontos
ou das partes de um corpo ou de uma figura relativamente a
um centro, eixo ou plano. Esta simetria pode ser esférica
Nosob
trapézio,
ângulos
a um(quando
mesmohálado
(existe
qualquer
rotaçãoadjacentes
possível), axial
um
eixo
que nãosão
conduz
a nenhuma mudança de posição no
transverso
suplementares.
espaço com as voltas em seu redor) ou reflexiva (definida pela
existência de um único plano)
1. Trapézio
Determine a medida x, em graus, do ângulo que a trajetória da
lancha fezTrapézio
ao com aédireção
leste ao atingir
o ponto
B. dois lados
todo quadrilátero
que
possui
a)
b)
c)
d)
e)
paralelos.
o
––
–– ––
––
10
o
30 Os lados AB e CD (AB // CD ) são as bases do trao
pézio
da figura.
45
o
––
––
50 Os lados AD
e BC são chamados lados transvero
60
sais ou lados transversos.
No trapézio da figura, temos:
α + β = 180° e γ + δ = 180°
Considerando as 28 peças de um dominó quantas peças
possuem eixo de simetria, ou seja, simetria axial?
69
MATEMÁTICA
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25. Um raio de luz monocromática incide sobre a superfície de
um líquido, de tal mode que o raio refletido R forma um ângulo
de 90º com o raio refratado R’. O ângulo entre o raio incidente I
e a superfície de separação dos meios mede 37º, como mostra
a figura.
Os valores do ângulo de incidência (i) e do ângulo de refração
(r), são respectivamente iguais a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
28
20
18
15
12
24. Uma peça de mosaico é confeccionada a partir do corte de
um azulejo quadrado. Os lados do quadrado são paralelos e os
ângulos feitos pelos cortes são representados conforme
desenho abaixo
53º e 37º
53º e 53º
37º e 37º
53º e 43º
43º e 53º
26. A medida mais próxima de cada ângulo externo do
heptágono regular da moeda de
R$ 0,25 é:
°
120º
y
a) 60
°
b) 45
°
c) 36
°
d) 83
°
e) 51
27. Conhecido como o lago do polígono. Os agrimensores
mediram um dos ângulos externos desse polígono regular e
obtiveram 20º.
50º
A medida, em graus, de y é:
a) 10º
b) 40º
c) 50º
d) 70º
e) 80º
20º
Em relação a este polígono regular podemos afirmar que:
a) De cada um de seus vértices partem 135 diagonais.
b) Cada um de seus ângulos internos mede 140º.
c) Não possui diagonais radiais.
d) Existem 126 diagonais que não passam pelo seu centro.
e) Existem 18 diagonais que passam pelo seu centro.
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28. Para demonstrar como se obtém a soma das medidas
dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer, um
professor propôs aos alunos que utilizassem um quadrilátero,
um pentágono e um hexágono, divididos em triângulos, como
mostram os desenhos abaixo. A seguir, pediu-lhes que
preenchessem a tabela, como ponto de partida.
30. Pentágonos
regulares
congruentes
podem
ser
conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco
pontas, conforme destacado na figura.
Nestas condições, o ângulo θ mede
°
a) 108 .
°
c) 54 .
°
e) 18 .
°
b) 72 .
°
d) 36 .
31. Se girarmos o pentágono regular, abaixo, de um ângulo
de 252°, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura
será obtida?
Ele esperava que seus alunos concluíssem que a soma das
medidas dos ângulos internos de um polígono qualquer, com n
lados, é dada por:
a)
S = n . 180º, pois na tabela é possível verificar que para a
soma se tem a sequência de 1 em 1, até n.
b)
S = (n + 2) . 180º, pois na tabela é possível verificar que o
número de lados é dois a mais do que o número de triângulos.
c)
S = (n – 2) . 180º, pois na tabela é possível verificar que o
número de triângulos é dois a menos do que o número de
lados.
d)
S = 2.180º . n, pois nas figuras é possível verificar que há
no mínimo dois triângulos nos polígonos.
e)
S = 2n + 180º, pois nas figuras é possível verificar que em
um polígono de n lados haverá 2n triângulos.
29. A figura 1 representa um determinado encaixe no plano
de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4
quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados
perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura
2, é correto dizer que
32. A moldura de um retrato é formado por trapézios
congruentes, como está representado na figura abaixo. A
moldura dá uma volta completa em torno do retrato. Quantos
trapézios formam essa moldura?
a)
b)
c)
d)
e)
7
8
9
10
11
108º
72º
108º
72º
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de
°
ângulo da base medindo 15 .
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de
°
ângulo da base medindo 30 .
°
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50 e
°
4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30 .
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos
isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos.
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33. Uma das expressões artísticas mais famosas assoviadas
aos conceitos de simetria e e congruência é, talvez, a obra de
Maurits Cornelis Escher, artista holandês cujo trabalho é
amplamente difundido. A figura apresentada, de sua autoria,
mostra a pavimentação do plano com cavalos claros e cavalos
escuros, que são congruentes e se encaixam sem deixar
espaços vazios.
35. Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é
composta pela seguinte estrutura:
- duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE
e AD, que possuem comprimentos diferentes e formam o
ângulo DÂE igual a 45°;
- uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as
duas varas e possui uma marca em seu ponto médio M;
- um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na
outra extremidade;
- nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes.
Observe o esquema que representa essa estrutura:
Realizando procedimentos análogos aos feitos por Escher,
entre as figuras abaixo, aquela que poderia pavimentar um
plano, utilizando-se peças congruentes de tonalidades claras e
escuras é
34. Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio
externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um
cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil
manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre
os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é
garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:
Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na
posição horizontal. Com isso, obtém-se, na reta que liga os
pontos D e E, a inclinação α desejada.
Calcule α, supondo que o ângulo AÊD mede 85°.
a)
b)
c)
d)
e)
Utilize 1,7 como aproximação para
o
67 30’
o
37 30’
o
27 30’
o
17 30’
o
12 30’
3.
O valor de R, em centímetros, é igual a
a) 64,0.
b) 65,5.
c) 74,0.
d) 81,0.
e) 91,0.
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8
Gabaritos
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
D
E
A
D
A
D
C
A
A
a
b
C
A
E
E
D
B
C
C
E
E
D
D
D
A
E
D
C
D
D
A
D
D
C
D
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