Tema 1 Transformação da tensão Aluno

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO POLITÉCNICO
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplinas:
Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período
E
Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período
Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.
Tema de aula 1: Transformação da Tensão
OBJETIVOS:
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Mostrar como transformar as componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas
particular, em componentes associadas a um sistema de orientação diferente..
Estabelecer as equações de transformação e obter as tensões normal máxima e de cisalhamento
máxima determinando a orientação dos elementos sobre os quais atuam.
SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:
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1.1 Transformação no Estado Plano de Tensões
1.2 Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano
1.3 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano
1.4 Círculo de Mohr — Estado Plano de Tensões
1.5 Tensão em Eixos com Carga Axial e Torção
1.6 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta
“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”
THOMAS FULLER, M.D.
1.1 Transformação no Estado Plano de Tensões
O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes
de tensões, 3 normais (σ) e 3 de cisalhamento (τ), que atuam nas faces de um elemento do
material localizado em tal ponto:
NOMECLATURA E SINAIS:
.σx= σxx (x normal à face que atua e
x direção), σy= σyy e σz= σzz;
.τxy= τyx (x normal à face que atua e y
direção), τzy= τyz , τxz= τzx .
Tensão positiva se a normal e direção tem
mesmo sinal , e tensão negativa se normal
e direção tem sinais contrários .
Se por exemplo não houver carga na superfície z do corpo, os componentes das tensões
normal e de cisalhamento serão nulos na face de um elemento localizado nessa superfície e
em sua face oposta, então o material no ponto estará sujeito ao estado plano de tensões:
O est. plan. é representado, pela combinação de dois componentes de tensão normal, σx e
σy, e um componente de tensão de cisalhamento, τxy , que atuam sobre as quatro faces do
elemento.
1.2 – Equações gerais de transformação de tensões para o estado plano
Vejamos como transformar e obter os componentes σx’, σy’, τx’y’ ao longo dos eixos x', y' ,
que representem o mesmo estado de tensão no ponto.
Usando a convenção de sinal dada, secionamos o elemento ao longo do plano inclinado e
isolamos o segmento mostrado.
Supondo a área secionada seja ΔA, as faces horizontal e vertical terão área Δ A sen θ e Δ A cos θ.
O diagrama de corpo livre (FORÇAS) do segmento resultante é :
Então pelas equações de equilíbrio:
acima;
Exemplo:
O estado plano de tensões é representado pelo elemento mostrado na Figura. Determinar o
estado de tensão no ponto em outro elemento, orientado a 30° no sentido horário em relação à
posição mostrada.
Resposta:
1.3 – Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano.
Na engenharia, é importante determinar a orientação principal (θp) dos planos de tensão
normal máximo e mínimo, e de cisalhamento máximo (θc).
Para isso diferenciamos a equação geral de σ’ em θ e igualamos a zero obtendo;
A solução tem duas raízes (2θp1 e 2θp2). θp1 e θp2 são 90° defasados e substituídos na eq.
geral dão as tensões principais normais máximas e mínimas (σ1 e σ2 ).
Supondo τxy e (σx - σy) ambos positivos ou ambos negativos na eq. acima, podemos construir
os triângulos ao lado:
Neles:
Substituindo estes na eq. geral de σ’ , teremos as tensões principais
:
Elas atuam nos planos
principais onde tensão
de cisalhamento é nula.
Analogamente para determinar a orientação da tensão de cisalhamento máxima, deriva-se a
Eq. Geral de τ’ em θ e igualamos a zero obtendo:
As duas raízes dessa equação, θc1 e θc2, analogamente podem ser determinadas pelos
triângulos sombreados;
Comparando com o triangulo da tensão normal principal, cada raiz de 2θc está defasada
em relação a 90° de 2θp. Assim, θc e θp estão separadas por 45° obtendo o plano de
cisalhamento máximo.
A tensão de cisalhamento máxima é obtida calculando sen 2θc e cos2θc no triangulo e
substituindo na equação geral de τ’ ;
26c da Figura
Substituindo os valores de sen 2θc e cos2θc na equação geral de σ’ , vemos que também há
uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máxima.
Exemplo 1: A roda dianteira de um avião está submetida a uma carga de projeto de 12 kN.
Determinar as tensões principais que atuam no ponto A do suporte de alumínio da roda.
Solução:
Façamos o diagrama de corpo livre com
os esforços no corte transversal na seção
em A:
Utilizemos as equações de equilíbrio:
Calculemos as tensões em um elemento infinitesimal plano
qualquer na seção do corte;
A tensão normal é σ=(N/A )+ (My/I), mas na L.N. (A em y=0) o
segundo termo (normal por flexão) se anula, logo
N
A tensão cisalhante transversal devido a força cortante V equivale a
=
tensão cis longitudinal na flexão (pois são complementares) e dada por
τ=VQ/It (onde Q=momento de 1 ordem, I=momento de inércia de 2
OBS: A’ é a área escura acima de y.
ordem ou de área) ao longo da espessura t=b=0.03m em A na L.N (y=0),
com os dados ao lado fazemos
Agora obtenha a inclinação
dos planos principais onde
Finalmente as tensões principais:
atuam σ1 e σ2 e a tensão cis.
(0-8.66)/2+Máxima além de sua
inclinação.
Exemplo 2: A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas.
Determinar as tensões principais e de cisalhamento máxima no plano que se desenvolvem nos
pontos A e B. Os pontos estão à esquerda da carga de 2.000 lb. Mostrar os resultados em
elementos, adequadamente orientados, localizados nesses pontos.
Solução:
Lembrando que;
=
OBS: A’ é a área escura acima de y.
Teremos as propriedades da seção;
Diagrama de corpo livre com
as reações dos suportes;
Diagrama de corpo livre com os momentos e forças internas na seção à esquerda de A e B;
pois Ya = h/2 = -Yb;
A tensão normal é
σ=(N/A )+(My/I), (A e B,
Ya = h/2 = -Yb) o
segundo termo (normal
por flexão) não se
anula, logo;
A tensão cisalhante transversal
devido a força cortante V equivale a
tensão cis. longitudinal na flexão
(pois são complementares) e dada
por τ=VQ/It em A e B.
Logo, com tensão cisalhante nula
estamos no plano principal, teremos
respectivamente as tensões normais
principais max e min em A e B;
No próximo slide obtemos o cis. máximo
e o plano em que se desenvolve e
mostramos os elementos orientados em
A e B;
A
B
Elementos orientados:
Fazer: A viga tem seção transversal retangular e está submetida às cargas mostradas.
Determinar as tensões normais principais desenvolvidas nos pontos A e B, localizados à
esquerda da carga de 20 kN. Mostrar os resultados em elementos localizados nesses pontos.
1.4 – Circulo de Mohr – Estado plano de tensões
As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma solução gráfica fácil de
usar e lembrar.
O parâmetro θ pode ser eliminado elevando-se ao quadrado cada uma das equações e
adicionando-as teremos;
É a eq. de uma circunferência. Estabelecemos eixos
coordenados σ positivo para a direita e τ positivo para
baixo, ela forma um círculo de raio R e centro C(σ méd, 0).
Construção do Círculo.
1-Usando a convenção de sinal positiva (Fig.b),
marcamos o centro do círculo C(σ méd, 0). e o 'pt de
referência' A (σx, τxy) de tensões normal e de
cisalhamento na face vertical direita do elemento onde
eixo x' coincide com o eixo x, (θ = 0°) (Fig.e).
2- Determinar raio CA por pitágoras e traçar o círculo.
Tensões Principais.
3-As tensões principais (σ1>=σ2) são os pts B e D, onde
τ = 0(Fig.a), e atuam sobre ângulos θp1 e θp2 (Fig.c)
representados no círculo por 2θp1 e 2θp2 (não
mostrado) para as linhas CB e CD respectivamente
(calcular apenas um por tg, o outro está 90° defasado
anti horário.)(Fig.c).
Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano.
4-São as coordenadas do pt E e F (Fig.a). θc1 e θc2 dão
sua orientação (Fig.d). 2θc1 (Fig.a) é o ângulo mais
próximo de CE ou CF obtido por tang. e tem rotação
horária nesse caso(Fig.d).
Tensões no Plano Arbitrário.
5-σx’ e τx’y’ que atuam sobre um plano especificado
pelo ângulo θ (Fig.e) são obtidos no círculo usando-se
tg para determinar as coordenadas do ponto P a 2θ de
CA(Fig.a).
EXEMPLO: Determinar (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano
e a tensão normal média. Especificar a orientação do elemento em cada caso.
Solução:
Construção do Círculo.
1-Usando a convenção de sinal positiva,
marcamos respectivamente o 'pt de referência' A = (σx, τxy) e o
centro do círculo em
logo:
2- Determinar raio CA por pitágoras e traçar o círculo
Tensões Principais.
3-As tensões principais (σ1>=σ2) são os pts B e D, onde τ = 0,
e atuam sobre ângulos θp1 e θp2 representados no círculo por 2θp1
e 2θp2(não mostrado) para as linhas CB e CD respectmt. (calcular
apenas um por tg,
o outro θp2 =106,8º está
à mais 90° horário).
Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano.
4-São as coordenadas do pt E e F.
θc1 e θc2 dão sua orientação,
2θc1 é obtido por tang. e
tem rotação anti-horária.
até CE neste caso.
Fazer: O pedal de bicicleta tem a seção transversal mostrada. Se estiver fixo à engrenagem no
ponto B e não girar quando submetido a uma força de 75 lb, quais serão as tensões principais no
ponto C da seção transversal?
1.5 – Tensão em eixos com Carga Axial e Torção
Eixos na região linear-elástico, usamos o princípio de superposição e obtemos separadamente as
tensões a partir das componentes de carga, quando:
1- carga for equação linear à tensão (e é, pois
e
são tensões lineares as cargas P e T).
2-carga não mudar a geometria significativamente para não alterar braços de momento, como
por exemplo:
, porém,
O que não é o caso em pequenas deformações.
Exemplo1: Uma força axial de 900 N e um torque de 2,50 N • m estão aplicados ao eixo mostrado na
Figura a. Supondo que o eixo tenha diâmetro de 40 mm, determinar as tensões principais no ponto P de sua
superfície.
Tensões princ. (Mohr):
Sol: Vamos obter as cargas no DCL abaixo de P:
Centro C=(358.l ; 0)
Obtemos o cis.devido a torção;
Pt de referência A = (σx, τxy)=(0 ; 198.9)(Fig d).
ele depende do momento de inércia polar J da
Logo, graficmt R=409.7 e tensões princ B e D:
seção de raio ρ do tubo maciço
Não há normal por flexão,
apenas tensão normal em y:
O ângulo horário 2θp2
entre AC e CD por tg é:
2θp2=29,1°. Logo à θp2
=14,5º horário de x está x'
de tensão normal mínima:
Exemplo2: O vaso de pressão cilíndrico tem raio interno de 1,25 m e espessura da parede de 15 mm. E
feito de chapas de aço soldadas ao longo da costura a 45°. Determinar os componentes da tensão normal e
de cisalhamento ao longo da costura se o vaso estiver sujeito a uma pressão interna p de8 MPa.
Sol: Trata-se de um vaso de pressão de r > 10t (paredes finas) onde;
A tensão normal mínima ocorre longitudinalmente em x;
A tensão normal máxima ocorre circunferêncialmente em y;
(dobro da em x)
Nesta orientação x-y temos cisalhamento nulo (planos principais) e o
elemento,
representa tensões normais máx e mín.
A 45º horário (x’) temos o cisalhamento máximo, logo haverá tensão normal
igual à média σ méd = (σ x+ σ y)/2 = (σ x’);
com ela obtemos o centro C=(σ méd ,0) em Mohr:
Graficamente em Mohr temos;
(Cis. Máximo em x’ à 45º)
Fazer: O tubo de paredes finas tem diâmetro interno de 0,5 pol e espessura de 0,025 pol. Se for
submetido a uma pressão interna de 500 psi, bem como as cargas de tração axial e torção como
as mostradas, quais serão as tensões principais em um ponto da superfície?
1.6 –Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta
Um elemento submetido a um estado de tensão tridimensional xyz;
terá uma orientação x’y’z’ onde atuam as tensões
principais (triaxiais)
Analisando separadamente os planos x’y’, y’z’ e x’z’;
construímos um único círculo de Mohr com estas
tensões principais;
ATENÇÂO:Planos que não tiverem cisalhamento as
tensões normais já são as principais.
O circulo mostra o valor da tensão de cisalhamento
máxima em cada plano, orientado a 45º;
Como vemos, a tensão de cisalhamento máxima absoluta será
será obtida girando 45º em torno de y’ (σ int).
E temos ainda a tensão normal média;
como ocorre em x’z’, ela
Exemplo: Em virtude do carregamento aplicado, o elemento no ponto da estrutura na figura
está sujeito ao estado plano de tensões mostrado. Determinar as tensões principais e a tensão
de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto.
Sol: Inicialmente obtemos as tensões principais pelo círculo de Mohr
de centro
-10psi, com
;
Teremos o raio ;
Logo as tensões principais serão:
No circulo 2θ anti-horário de CA para
a tensão mínima em x’;
logo
é a defasagen do eixo x‘ onde atua σmín;
ATENÇÂO:Planos que não tiverem
Não há tensão principal na direção z, o estado
cisalhamento as tensões normais já
triaxial é;
são as principais.
Para obter tensão cisalhante máxima absoluta fazemos Mohr com o estado triaxial acima;
x’’
A ten. cis. máx. abs. é a ten. cis. máx. no plano x’y’ que como sabemos atua em um novo x’’-y’’ 45º
defasado em relação a x’-y’(45+38=83º defasado de
y’’
Fazer: O ponto na superfície do vaso de pressão cilíndrico está submetido a um estado plano de
tensões em x-y. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto.
– Bibliografia:
– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.
MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!