CadernoMAT-mat-efii-pensamento-geometrico

FORMAÇÃO DE PROFESSORES
O pensamento geométrico
Matemática
Ensino Fundamental II
A área de Educação da Fundação Vale busca contribuir para a melhoria da educação
básica, com foco na promoção de uma prática docente pautada nos princípios da
pluralidade cultural e do respeito às diferenças.
COORDENAÇÃO DO PROGRAMA
Equipe de Educação Fundação Vale
APOIO EDITORIAL
Departamento de Comunicação Corporativa Vale
PARCEIRO
Comunidade Educativa CEDAC
EDIÇÃO E REVISÃO DE TEXTO
JVAB Edições Ltda
PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO
Inventum Design
selo FSC
Este símbolo indica que o papel utilizado
neste material foi produzido com madeiras
de florestas certificadas.
O Pensamento Geométrico
O pensamento geométrico
no Ensino Fundamental
Professor(a),
Neste bimestre, trabalharemos com a temática do pensamento geométrico. Teremos a oportunidade de
trocar experiências sobre as diferentes abordagens, dificuldades e avanços com o trabalho nesse contexto.
Vamos nos aproximar de uma perspectiva que valoriza o estudo das propriedades como elemento central para o desenvolvimento do pensamento geométrico. A partir dessa perspectiva vamos selecionar
e planejar uma sequência de atividades para ser realizada junto aos alunos.
Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre:
Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.
n
Apropriar-se do recurso à resolução de problemas, reconhecendo-o como um bom
ponto de partida para a aprendizagem do ensino de geometria.
n
Desenvolver estratégias para o ensino de geometria que privilegiem o desenvolvimento de
competências como a argumentação, a validação, a antecipação e a capacidade dedutiva.
n
Apropriar-se das propriedades geométricas como elementos essenciais para o ensino
de geometria no Ensino Fundamental.
n
Analisar sequências de atividades previamente elaboradas e refletir sobre as mesmas
com o objetivo de planejar um trabalho de sala de aula.
n
Coletar, organizar, analisar e interpretar produções dos alunos, com o objetivo de avaliar
os processos de ensino e aprendizagem e, a partir disso, planejar novas ações.
n
Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se
em compartilhar a prática e produzir coletivamente.
n
Compreender a prática docente como uma possibilidade de criação e reflexão de novos
conhecimentos, sendo estes modificados continuamente.
n
1
Formação de Professores
Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes conteúdos:
Geometria.
n
As propriedades geométricas.
n
Características definidoras de um verdadeiro problema geométrico.
n
2
O Pensamento Geométrico
Encontro Presencial
Duração: 4h
Para começo de conversa
Duração: 30min
Iniciaremos este encontro retomando e compartilhando reflexões desenvolvidas a partir da atividade de
Aplicação Prática proposta no encontro anterior. Vamos direcionar nossas discussões para o acompanhamento das aprendizagens dos alunos e sua importância para a elaboração de planejamentos posteriores.
Segue abaixo a pauta de acompanhamento preenchida pelo professor Mário do 7º ano do Ensino Fundamental após a realização de uma atividade que antecedeu o início do trabalho formal com a linguagem algébrica junto aos alunos. Ao selecionar o problema abaixo, o objetivo do professor Mário era
identificar o conhecimento algébrico que seus alunos tinham para, a partir dessas informações, iniciar
o planejamento de seus trabalhos posteriores.
Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos
Conteúdo: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS RELACIONADOS AO PENSAMENTO ALGÉBRICO
Situação-problema:
Dois alunos foram à frente da sala e receberam algumas quantidades de doces.
São elas:
Bruno: 4 tubos, 2 caixas e 8 doces soltos
Camila: 2 tubos, 2 caixas e 20 doces soltos
Sabe-se que:
- Cada caixa contém a mesma quantidade de doces.
- Cada tubo contém a mesma quantidade de doces.
- Cada aluno tem a mesma quantidade total de doces.
Quantos doces há em cada tubo?
Utilizou estratégia
adequada, mas
errou algum
passo/cálculo
Não
acertou
Tipos de registros
utilizados: linguagens
materna, aritmética,
algébrica (e uso
das letras) etc.
Nome dos alunos
Acertou
tudo
Ana
X
Linguagem figural
Arthur
X
Linguagem aritmética
3
Formação de Professores
Beatriz
X
Tabela
Bianca
X
Linguagem aritmética
Breno
Linguagem figural
e aritmética
X
Bruna
X
Não houve registro
Bruno
X
Linguagem aritmética
Caio
Linguagem algébrica
e aritmética
X
Caíque
X
Diogo
Eva
X
Linguagem algébrica
Linguagem materna
e aritmética
X
Fábio
X
Linguagem figural
Fabíola
x
Linguagem algébrica
Flávia
X
Igor
4
Linguagem materna
e figural
X
Linguagem materna
e aritmética
Linguagem figural
e algébrica
Luana
X
Linguagem materna
e aritmética
Maria
X
Linguagem figural
Otávio
X
Linguagem materna
e aritmética
Rafaela
X
Linguagem algébrica
Tiago
X
Tabela e linguagem
aritmética
Vagner
X
Linguagem figural
e aritmética
O Pensamento Geométrico
Veja três estratégias utilizadas pelos alunos e que foram selecionadas pelo professor Mário para uma
análise mais reflexiva:
Estratégia 1
Estratégia 2
Estratégia 3
5
Formação de Professores
Analisando os dados gerais da pauta, bem como as estratégias utilizadas pelos alunos, o professor concluiu que: “Apesar de a maioria dos alunos ter registrado a solução do problema fazendo uso da linguagem
aritmética, eles apresentaram um bom nível de pensamento algébrico, pois acertaram o problema ou elegeram uma estratégia que pudesse levar ao resultado correto”.
1) Você concorda com a hipótese levantada pelo professor? Por quê?
2) Você considera que o professor tenha escolhido um problema adequado para seu objetivo de diagnóstico? Por quê?
3) Tendo como referência a produção dos alunos desse professor e/ou o que você imagina que seus
alunos responderiam para o problema proposto, retome a pauta de acompanhamento e responda:
qual(is) critério(s) de análise você considera pertinente incluir nessa pauta? Por quê?
Para pensar
A pauta de acompanhamento é um instrumento importante para o professor em qualquer
campo disciplinar, pois possibilita ajustar a prática a partir das reais necessidades dos alunos.
Ao utilizar esse instrumento, o professor tem um contato mais direto com as demandas da sua
turma e se apropria de informações referentes aos processos individuais de cada aluno. Essas
informações são indispensáveis para refletir sobre as melhores estratégias para potencializar
os processos de ensino e aprendizagem.
Atividade de contextualização
Duração: 40min
1. Individualmente, faça uma cópia da figura seguinte. A cópia deve ser feita em uma folha em branco de modo que, ao ser sobreposta à original, ambas coincidam. Para a realização dessa tarefa, utilize apenas compasso e régua não graduada.
6
O Pensamento Geométrico
2.Em pequenos grupos, compartilhem a figura que fizeram anteriormente, discutam e registrem:
a)Qual foi o procedimento utilizado para fazer a cópia da figura? Todos copiaram da mesma forma?
Compartilhem a maneira como realizaram a tarefa e elaborem, em consenso, um texto descrevendo, passo a passo, como copiar a figura.
b)A cópia que fizeram sobrepõe à figura dada?
i. Como decidiram onde fixar a ponta seca do compasso?
ii.Como decidiram a abertura do compasso?
iii. Utilizaram linhas auxiliares? Quais?
iv. Utilizaram medidas? Quais?
v.Quais dificuldades vocês encontraram para copiá-la?
c)Quais propriedades e relações foram mobilizadas na cópia da figura?
7
Formação de Professores
3.Coletivamente, socializem os registros e reflexões.
Para pensar
Um campo fértil para o estudo das propriedades de figuras geométricas são as atividades de
cópias de figuras. Elas devem variar em função dos conhecimentos dos alunos e dos conteúdos
que se pretende trabalhar. Segundo ITZCOVICH (2008), trata-se de atividades “nas quais os
alunos deverão considerar seus elementos, suas medidas, identificar certas características,
preservar certas relações e propriedades, assim como selecionar os instrumentos mais
apropriados. Quando um aluno tem que copiar um desenho, em primeiro lugar, deve
questionar-se. Desse modo, identificar aquelas características que o determinam e selecionar
as que permitem fazer a cópia, descartando outras que não são relevantes para a realização
da tarefa. Por exemplo, muitos alunos tentam fazer a cópia em um lugar da folha que seja
coincidente com o lugar da folha onde se encontra o desenho original. Assim, consideram uma
propriedade da figura o lugar que ocupa em uma folha. E sabemos que esta questão não
determina o objeto geométrico nem as suas propriedades”.
8
O Pensamento Geométrico
A prática em questão
Duração: 2h30min
Momento 1 - A exploração das propriedades geométricas no ensino da geometria
Duração: 30min
Leiam, de maneira compartilhada, o texto a seguir:
O pensamento geométrico
Como proposto em diversos âmbitos da matemática, o conhecimento geométrico é também
elaborado pelos alunos a partir do enfrentamento de situações-problema. Contudo, essa não
tem sido uma prática comum nesse campo específico da matemática. Como afirma PONCÉ
(2006, p. 69), “enquanto para outros conhecimentos as práticas do ensino da matemática tendem a apoiar-se na resolução de problemas, no trabalho com geometria parecem estar ausentes, privilegiando-se as atividades baseadas na apresentação de objetos geométricos”.
Dentre os diversos enfoques que podem ser dados ao ensino da geometria, optamos por desenvolver um trabalho tendo como foco central a exploração das propriedades geométricas
das figuras e dos corpos geométricos, pois acreditamos que este viés proporciona ao aluno
uma maneira particular de pensar geometricamente e está vinculado às genuínas concepções da geometria. Como apontado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), “a elaboração
de um sistema de propriedades geométricas e de uma linguagem que permitam agir nesse
modelo” é uma questão relativa à aprendizagem de geometria que favorece a compreensão
de objetos de diferentes naturezas (espaço físico, figuras planas, figuras sólidas).
O trabalho com base nas propriedades favorece competências como, por exemplo, a argumentação, a validação, a antecipação e a capacidade dedutiva, sem a necessidade de realizar
medições. Veja os exemplos a seguir:
Problema 1: É possível afirmar, sem medir, que o triângulo ABC é um triângulo equilátero?
E isósceles? Por quê?
C
B
A
9
Formação de Professores
Problema 2: Considerando que o ponto C pertence à circunferência de centro A e também
à circunferência de centro B, decida se é possível afirmar que ABC é um triângulo equilátero.
Justifique sua resposta.
C
A
B
Para a resolução desses problemas, por exemplo, não é necessário que o aluno tenha em
mãos nenhum instrumento de medida. Basta que ele compreenda, conceitualmente, as classificações dos triângulos referentes às medidas dos lados (escaleno, isósceles e equilátero),
bem como o conceito de raio de uma circunferência. A própria definição de uma circunferência seria um elemento norteador para a resolução dos problemas anteriores: circunferência é
um conjunto de pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano (centro) é
igual a uma distância dada (raio).
O estudo das propriedades é mais do que reconhecê-las perceptivamente e saber suas respectivas nomenclaturas: “Implica tê-las disponíveis a fim de poder recorrer a elas em diferentes situações, assim como utilizá-las para identificar novas propriedades sobre figuras” (ITZCOVICH, p. 169). É necessário que o trabalho com as propriedades vá além de enunciá-las e aplicá-las através da memorização.
Uma das finalidades do ensino de geometria durante toda a escolaridade é fazer com que os
alunos passem de constatações sensoriais (geometria de observações) para uma geometria
de demonstração ou, ainda, que haja a transição do empírico para o dedutivo. Nesse sentido,
as noções de figura e desenho tornam-se elementos centrais.
Não raro, esses termos – desenho e figura – são tratados erroneamente como sinônimos.
Enquanto um desenho representa o traçado em uma folha de papel que se parece com uma
determinada forma geométrica, a qual se tenta representar, a figura designa um objeto geométrico, um objeto ideal da matemática, puramente conceitual, que não existe fisicamente.
Favorecer a compreensão do que “não se vê” – ou seja, a compreensão da natureza ideal dos
objetos geométricos – é um dos principais desafios docentes para o ensino de geometria.
Sobretudo na geometria plana, o desenho e/ou a figura é comumente identificada pelo aluno como o próprio conceito.
10
O Pensamento Geométrico
De modo a sintetizar as ideias apresentadas até o momento, estão elencados a seguir aspectos determinantes para que possamos considerar uma situação geométrica enunciada como
um verdadeiro problema geométrico1:
Implicar certo nível de dificuldade; haver um desafio, algo novo para os alunos.
n
Exigir uso de conhecimentos prévios, mas que não sejam totalmente suficientes.
n
Colocar em jogo as propriedades geométricas na busca pela solução do problema.
n
Colocar o aluno em interação com objetos que não pertencem ao espaço físico, mas a um
espaço conceitual representado pelas figuras.
n
Para resolução do problema, o desenho não deve permitir encontrar as respostas por simples constatação.
n
A resposta dada ao problema não deve se estabelecer empiricamente, mas apoiar-se nas
propriedades dos objetos geométricos (ainda que em outras instâncias exploratórias se
possam aceitar outros métodos de confirmação).
n
As argumentações a partir das propriedades conhecidas dos corpos e figuras devem produzir novos conhecimentos.
n
São diversos os tipos de atividades que podem valorizar a exploração de propriedades e vir a
constituir-se como verdadeiros problemas geométricos. Por exemplo: construções geométricas; problemas de natureza geométrica sem o uso de medidas; atividades que envolvam aspectos numéricos e medidas, mas que exijam antecipações; demonstrações, dentre outros.
Ana Elisa Zambon e Samuel Gomes Duarte
Equipe Comunidade Educativa CEDAC, 2013.
A partir do que foi discutido no texto, retome a Atividade de contextualização e responda: você considera que aquela situação representa um verdadeiro problema geométrico? Justifique.
Para orientar sua justificativa, considere os sete aspectos elencados anteriormente.
1
SESSA, C. Acerca de la enseñanza de la geometria. In: Matemática, temas de su didáctica. Buenos Aires: Conicet, 1998.
11
Formação de Professores
Momento 2 - Planejamento passo a passo
Duração: 1h50min
Considerando os estudos realizados até agora, vamos planejar os encaminhamentos para uma sequência de atividades sobre geometria. Esse planejamento será feito em grupos, de preferência formados
por professores que atuam na mesma série. Para isso, organizem-se para realizar toda essa parte da formação com esse mesmo grupo.
a) Escolha do conteúdo e da sequência de atividades
Primeiramente, selecionem, entre as sequências apresentadas a seguir, uma que julguem pertinente
trabalhar com seus alunos. Para isso, analisem as propostas do “Banco de atividades para o trabalho
com geometria” e escolham a mais apropriada para realizar em suas salas de aula. Se possível, para
balizar a escolha, consultem o documento curricular da sua escola.
b) Etapas do planejamento
A sequência de atividades já está elaborada; então, o que precisarão considerar no planejamento para a
sua realização? Lembrem-se de alguns passos importantes já discutidos nos cadernos anteriores, quando
planejamos outras atividades, além de incluir outros, se julgarem necessário. Coletivamente, registrem:
c) Elaboração do planejamento
12
Elaborem o planejamento da sequência considerando as propriedades envolvidas e os encaminhamentos necessários para a realização de cada uma das atividades. Utilizem o quadro de planejamento:
O Pensamento Geométrico
Planejamento da sequência de atividades de geometria
Sequência selecionada:
Ano:
Atividades
da sequência
Propriedades envolvidas
na atividade
Encaminhamentos
13
Formação de Professores
Banco de atividades para o trabalho com geometria
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 1
Orientações gerais
esta sequência de atividades tem como objetivo a comparação entre áreas de figuras geométricas planas por meio de deduções baseadas no trabalho argumentativo. A partir do conhecimento de que todo retângulo é dividido em dois triângulos congruentes por sua diagonal e de noções de lógica, os alunos serão capazes de realizar todas as atividades propostas.
1. Considere o retângulo ABCD a seguir:
D
C
A
B
Sabendo que AC é uma diagonal do retângulo, compare (maior, menor ou igual) as áreas dos triângulos ABC e ADC. Justifique sua resposta.
Orientações específicas para a primeira atividade
com essa atividade, os alunos validarão a noção de que a diagonal de um retângulo o divide em dois
triângulos congruentes e que, portanto, possuem mesma medida de área. Essa noção será fundamental para o desenvolvimento das demais atividades.
2. Seja ABCD um retângulo e P um ponto sobre a diagonal AC. Traçam-se por P dois segmentos de reta, EF e GH, paralelos a BC e AB, respectivamente, como mostram as figuras a seguir.
a) Compare (maior, menor ou igual) as áreas dos retângulos GPFD e EBHP e justifique sua resposta.
D
F
G
C
H
P
A
14
B
O Pensamento Geométrico
b) Compare as áreas dos retângulos EBCF e GHCD
D
F
G
C
D
H
G
P
A
F
C
H
P
B
A
B
Orientações específicas para a segunda atividade
provavelmente alguns alunos afirmarão de imediato, no item a, que a área do retângulo EBHP é maior
que a área do retângulo GPFD; no item b, afirmarão a que área do retângulo EBCF é maior que a área
do retângulo GHCD. Essa constatação deve ser questionada, uma vez que é baseada apenas na percepção visual, o que não é suficiente para validar matematicamente a questão.
Ocorre que, pensando de maneira dedutiva sobre a comparação das duas áreas (nos dois casos), verifica-se, por meio da composição e decomposição, que elas possuem a mesma medida de área.
3. Em cada uma das duas figuras a seguir, as áreas sombreadas são equivalentes. Justifique esse resultado para cada uma delas.
Orientações específicas para a terceira atividade
nesta atividade, os alunos deverão utilizar as noções que foram construídas nas atividades anteriores.
Com traços auxiliares, a ideia é que, de maneira dedutiva, possam resolver esse problema, lançando
mão dos resultados já obtidos anteriormente, ou seja, deverão justificar as duas equivalências em
questão considerando os resultados obtidos nas atividades 1 e 2.
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Formação de Professores
Para saber mais
Essa sequência de atividades foi baseada na figura da primeira questão, conhecida como
Retângulo de Euclides.
Euclides, geômetra grego, por volta de 300 a.C. produziu uma das mais grandiosas obras da
história da humanidade, intitulada Os elementos. Conhecida pelo alto grau de rigor e precisão,
e composta por 13 livros, a obra sistematizou, de maneira axiomática, toda a geometria
conhecida na época. É apoiada nas propriedades geométricas e no raciocínio lógico-dedutivo.
Pautado pela concepção axiomática da geometria, Euclides pontua em cada um dos livros,
além de definições e postulados, o que ele próprio chamaria de “noções comuns”.
Por exemplo, no livro 1, constam:
“As coisas iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.”
Hoje em dia, tecnicamente, essa noção pode ser entendida por:
n
Se A = C e B = C, então A = B
“E, caso sejam adicionadas coisas iguais a coisas iguais, os todos são iguais.”
Hoje em dia, tecnicamente, essa noção pode ser entendida por:
n
Se A = B, então A + C = B + C
“E, caso de iguais sejam subtraídos iguais, os restantes são iguais.”
Hoje em dia, tecnicamente, essa noção pode ser entendida por:
n
Se A = B, então A – C = B – C
“E, caso iguais sejam adicionados a desiguais, os todos são desiguais.”
Hoje em dia, tecnicamente, essa noção pode ser entendida por:
n
Se A ≠ B, então A + C ≠ B + C
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 2
Orientações gerais
esta sequência de atividades tem como objetivo fazer com que os alunos percebam que em determinadas situações não é necessário o uso de instrumentos de medidas e cálculos numéricos para classificar triângulos. A partir da definição de circunferência, os alunos perceberão uma maneira de construir triângulos isósceles e equiláteros (e, nesse caso, ângulos de 60°). Assim, poderão perceber o uso
das propriedades como elemento suficiente para a resolução das atividades propostas e também a
lógica de uma ciência dedutiva, como é o caso da geometria.
1. Considere os pontos B e C sobre a circunferência de centro em A.
a) Podemos afirmar, sem medir, que o triângulo ABC é isósceles? Justifique.
b) E equilátero? Justifique
16
O Pensamento Geométrico
C
B
A
Orientações específicas para a primeira atividade
no item a os alunos provavelmente afirmarão (de maneira correta) que o triângulo é isósceles, uma
vez que o que está em jogo é apenas a definição de circunferência, ou seja, AC e AB são, ambos, raios
da circunferência dada. Por outro lado, talvez afirmem (erroneamente) que o triângulo também é
equilátero, uma vez que a visualização pode conduzi-los a tal interpretação.
2. Considere as circunferências a seguir, uma com centro em A e outra com centro em B, e o ponto C,
de intersecção entre as duas circunferências.
C
A
B
a) O que podemos afirmar sobre os lados do triângulo ABC? Justifique.
b) E sobre seus ângulos internos?
Orientações específicas para a segunda atividade
a ideia é que, a partir dessa questão, os alunos percebam que se trata, sim, de um triângulo equilátero, uma vez que, ao mesmo tempo, AB = AC (por serem raios da circunferência de centro em A) e AB =
BC (por serem raios da circunferência de centro em B), ou seja, que AB = AC = BC. Nesse momento, é
importante uma conversa sobre as propriedades do triângulo equilátero – particularmente sobre as
17
Formação de Professores
medidas de seus ângulos internos, todas iguais a 60°. Para isso, será necessário recorrer à propriedade
da soma dos ângulos internos de um triângulo. Sendo assim, é necessário que seja identificado, previamente, se essa propriedade faz parte do repertório dos alunos. Em caso negativo, a proposta do
grupo de estudos localizada no fim deste caderno pode auxiliar na abordagem dessa propriedade.
3. Dado um segmento de reta qualquer, como poderíamos construir um ângulo de 60° tendo como
vértice uma de suas extremidades?
A
B
Orientações específicas para a terceira atividade
a partir das atividades realizadas anteriormente, os alunos perceberão que é possível construir um ângulo de 60° somente utilizando compasso (sem o uso do transferidor). Além disso, perceberão que realizar a tarefa proposta é o mesmo que construir um triângulo equilátero sobre o segmento dado, uma
vez que seus ângulos internos medem 60°. Para isso, baseando-se nas figuras dadas anteriormente,
conceberão o processo de construção do triângulo em questão.
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 3
Orientações gerais
esta sequência de atividades tem como objetivo fazer uma análise de uma situação em que a posição
de um triângulo isósceles varie, variando, assim, as demais características da figura em questão. Considerando os conceitos de quadrado, paralelogramo e triângulo (retângulo ou não), espera-se que os
alunos possam desenvolver o senso de justificativa de maneira dedutiva, apoiados em propriedades
das figuras e também em sua autonomia de criação de traços auxiliares.
1. Para que um triângulo retângulo como, por exemplo, o triângulo SQT a seguir seja isósceles, quais
lados devem ser congruentes, necessariamente? Justifique.
T
S
18
Q
O Pensamento Geométrico
E se o triângulo não for retângulo, quais pares de lados poderiam ser congruentes para que o
triângulo fosse isósceles?
Orientações específicas para a primeira atividade
nessa atividade, os alunos devem perceber que em um triângulo retângulo a hipotenusa será sempre
o maior lado e, consequentemente, os dois lados que podem ser congruentes são, necessariamente,
os catetos (ST e SQ). Esse fato pode ser extrapolado para qualquer que seja o triângulo, ou seja, em um
triângulo qualquer, o maior lado será aquele oposto ao maior ângulo. Assim, em um triângulo qualquer (não necessariamente retângulo) podemos ter quaisquer pares de lados congruentes para que o
triângulo seja isósceles. É o que sugere a questão posterior à figura.
2. Sabendo que PQSR é um quadrado e QST um triângulo isósceles, retângulo em S, determine se o
quadrilátero PQTS é um paralelogramo ou não. Justifique
R
P
S
T
Q
Orientações específicas para a segunda atividade
tendo em vista a discussão realizada na primeira atividade e sendo o triângulo QST isósceles e retângulo em S, os alunos deverão constatar a condição de ser PQTS um paralelogramo.
3. E se o triângulo QST não fosse retângulo em S, ou seja, sabendo apenas que PQSR é um quadrado e que o
triângulo QST é isósceles, poderíamos afirmar que o quadrilátero PQTS seria um paralelogramo? Justifique.
Sugestão: faça figuras como auxílio para justificativas.
Orientações específicas para a terceira atividade
essa atividade que encerra a sequência favorece o desenvolvimento da capacidade de produzir figuras representativas no papel e o processo de análise de uma determinada figura, dando condições para que certas características sejam garantidas ou não.
19
Formação de Professores
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 4
Orientações gerais
esta sequência de atividades tem como objetivo fazer com que os alunos determinem, a partir do estudo das propriedades de quadriláteros (retângulo e quadrado) e triângulos, as medidas de ângulos
sem o uso de instrumentos específicos para medições desse tipo, como o transferidor, por exemplo.
As duas atividades propostas farão uso, necessariamente, da propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo. Sendo assim, é de extrema importância que seja identificado, previamente, se essa propriedade faz parte do repertório dos alunos. Em caso negativo, a proposta do grupo de estudos
localizada no fim deste caderno pode auxiliar na abordagem dessa propriedade.
1. Sabendo que ABCD é um quadrado e BEC é um triângulo equilátero, determine o valor de todos os
ângulos da região interna da figura, sem utilizar o transferidor.
A
D
E
B
C
Orientações específicas para a primeira atividade
uma questão que os alunos poderão fazer logo no início da atividade é a seguinte: como vou descobrir todos os ângulos se eu não tenho a medida de nenhum? Um questionamento como esse pode ser
a porta de entrada para a retomada das propriedades definidoras do quadrado e dos triângulos escaleno e equilátero. Também é possível que os alunos busquem suas primeiras estratégias apenas analisando perceptivamente (observação visual) a figura – o que pouco lhes dirá, já que BD, por exemplo,
não é um segmento de reta.
2. No retângulo ABCD marcamos o ponto médio de BC chamando-o de E. Determine, sem utilizar instrumentos de medida, o valor de todos os ângulos da região interna da figura abaixo:
20
O Pensamento Geométrico
D
C
50o
E
A
B
Orientações específicas para a segunda atividade
nesta segunda atividade, será necessário avançar as discussões realizadas a partir da análise de congruência de triângulos (DCE e ABE), do conceito de ponto médio e das propriedades definidoras do
retângulo. Uma vez realizada a primeira atividade, os alunos podem considerar esta segunda aparentemente mais simples, já que um dos ângulos solicitados já está indicado. Esse aspecto pode dar-lhes
segurança na busca por estratégias.
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 5
Orientações gerais
esta sequência de atividades tem como objetivo fazer com que os alunos percebam que em determinadas situações não é necessário o uso de instrumentos de medidas e cálculos numéricos para comparar áreas. A partir das regras para o cálculo das áreas do trapézio e do triângulo e do conceito de
isósceles, os alunos poderão perceber o uso das propriedades como elemento suficiente para a resolução das atividades propostas.
1. A figura abaixo representa um trapézio isósceles:
A
B
D
C
21
Formação de Professores
a) O triângulo ABC tem maior, menor ou igual área que o triângulo BDC? Justifique.
b)Se o trapézio ABCD não fosse isósceles, continuaria valendo a mesma resposta adotada para o item a?
Por quê?
Orientações específicas para a primeira atividade
no item a, os alunos provavelmente usarão a observação do desenho como forma de validar suas respostas, já que é visível a ideia de que os triângulos são iguais. Já no item b, caso os alunos construam
um desenho para auxiliá-los (o que é indicado), o visual evidenciará que os triângulos são diferentes, o
que poderá levar os alunos a concluir que, portanto, os triângulos têm áreas diferentes. Em ambos os
casos, é importante auxiliá-los na busca pela percepção de que a base dos triângulos é o mesmo segmento e que as alturas também são iguais, fazendo com que os alunos concluam que não é possível
se basear apenas no visual para validar uma relação.
2. Sabendo que a reta CE é paralela ao segmento AB, responda: qual dos triângulos (ABC, ABD ou ABE)
tem maior área?
C
D
A
E
B
Orientações específicas para a segunda atividade
Completando as ideias previamente discutidas nas questões anteriores, esta segunda atividade favorece o rompimento de uma ideia a que os alunos comumente se apegam: para que duas figuras
tenham a mesma área, elas devem ser iguais. Nesta atividade, ainda é esperado que os alunos se
apoiem inicialmente no perceptivo (visual) ou cogitem a busca por instrumentos de medidas para
validar suas constatações.
3. Analise a figura abaixo e responda: o triângulo AOB tem maior, menor ou igual área que o triângulo
DOC? Justifique.
22
O Pensamento Geométrico
A
D
0
B
C
Orientações específicas para a terceira atividade
esta última atividade permite avançar nas análises até então realizadas e considera a comparação
entre dois triângulos (AOB e DOC) que não têm a mesma base e nem a mesma altura, mas possuem
mesma área. A validação dessa constatação vem do ato de “descontar” a área de uma superfície
compartilhada pelos triângulos ABC e DBC – que possuem mesma área – sem realizar essa operação
empiricamente. Como o triângulo BOC faz parte de ABC e DBC, ao “retirá-lo”, suprime-se o mesmo
em ambos os triângulos.
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES – 6
Orientações gerais
esta sequência de atividades visa a fazer com que os alunos possam estabelecer relações entre os lados
de um paralelogramo e sua altura relativa a determinada base, bem como refletir sobre a possibilidade
de construção de paralelogramos com medidas previamente determinadas para esses elementos.
1. É possível construir um paralelogramo cujas medidas dos lados sejam 8 cm e 4 cm, e a altura relativa ao lado maior seja 3 cm? Em caso afirmativo, essa construção é única? Justifique suas respostas.
Orientações específicas para a primeira atividade
É provável que os alunos busquem realizar a construção solicitada por tentativas e erros, utilizando
apenas a régua, já que o paralelogramo é um polígono. Caberá ao professor fazer questionamentos
que façam com que os alunos percebam a necessidade de maior rigor na construção. Um bom caminho para isso é sugerir o uso da circunferência como instrumento auxiliar no processo da construção, levando-os a perceber que existe mais de uma possibilidade para a construção indicada na atividade, como indicam as figuras a seguir:
23
Formação de Professores
3 cm
A
B
8 cm
Figura 1
C
D
4 cm
3 cm
A
B
Figura 2
C
D
E
F
3 cm
A
B
Figura 3
24
O Pensamento Geométrico
2. Mantendo as medidas dos lados, 8 cm e 4 cm, é possível construir um paralelogramo com altura igual a 4
cm? Em caso afirmativo, essa construção é única? Justifique suas respostas.
Orientações específicas para a segunda atividade
nesta atividade, a partir dos mesmos procedimentos utilizados anteriormente, o objetivo é fazer
com que os alunos percebam que se a medida da altura em questão for igual à medida do lado que
não foi tomado como base, a construção resultará num retângulo, como mostra a figura a seguir.
Cabem, então, questionamentos que levem os alunos a validar, ou não, a figura como um paralelogramo. Essa é uma oportunidade de discutir com os alunos, mais uma vez, as propriedades definidoras do paralelogramo e do retângulo, bem como suas relações.
O
P
L
M
3. Nas mesmas condições, é possível construir um paralelogramo com altura 5 cm? Em caso afirmativo, essa
construção é única? Justifique suas respostas.
Orientações específicas para a terceira atividade
finalmente, com esta atividade, os alunos observarão que se a medida da altura em questão for
maior que a medida do lado que não foi tomado como base, não será possível construir o paralelogramo, o que, mais uma vez, pode ser observado a partir da definição de circunferência, na figura a
seguir. Nesse momento, é importante realizar o fechamento das atividades, retomando, de forma
sistematizada, os resultados validados ao longo da sequência de atividades, ou seja, os três casos:
altura com medida menor, igual ou maior que o menor lado do paralelogramo.
L
M
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Formação de Professores
Avaliação do encontro
Duração: 10min
Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial. Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é melhorar cada vez mais o seu
processo de formação junto ao Programa de Educação da Fundação Vale.
Para o próximo Encontro Presencial você vai precisar trazer:
O livro didático de matemática adotado por sua escola.
n
Alguns registros (diferentes entre si) de resoluções de problemas feitos por seus alunos, referentes
à sequência de atividades propostas na atividade de Aplicação Prática deste bimestre.
n
O seu registro da atividade de Aplicação Prática deste bimestre.
n
Este caderno.
n
Referências
ITZCOVICH, Horacio. Iniciación al estudio didáctico de la geometría – De las construcciones a las
demostraciones. Buenos Aires: Libros del Zorzal, 2006.
n
ITZCOVICH, Horacio (organizador). La matemática escolar – Las prácticas de enseñanza en el aula.
Buenos Aires: Aique Educación, 2008.
n
PONCE, Héctor. Enseñar y aprender matemática: propuestas para el segundo ciclo. Buenos Aires:
Centro de Publicaciones Educativas y Material Didáctico, 2006.
n
SESSA, C. Acerca de la enseñanza de la geometría. In: Matemática, temas de su didáctica. Buenos
Aires: Conicet, 1998.
n
Aplicação Prática
Duração: 4h
A proposta aqui é que você, professor, desenvolva com seus alunos a sequência de atividades com foco no
trabalho com propriedades geométricas, planejada no Encontro Presencial. Para isso, siga os passos a seguir:
Releiam o planejamento e procurem esclarecer eventuais dúvidas individualmente
e/ou com seus colegas.
n
Retomem os conteúdos que serão trabalhados na atividade e também
os encaminhamentos que planejaram.
n
Se planejaram usar algum material como suporte para apresentação da atividade, como cartaz ou
folha xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade.
n
26
O Pensamento Geométrico
Registrando a prática
Para produzir o Registro da Aplicação Prática, utilizem o modelo a seguir:
Registro da atividade
Escola:
Professor que realizou a aula planejada:
Ano:
Quantidade de alunos presentes no dia da atividade:
Tempo utilizado para a realização da atividade:
Município:
Qual foi a sequência de atividades proposta?
Você considera que as atividades propostas na sequência constituíram verdadeiros problemas geométricos para os alunos?
Justifique.
Quais foram as propriedades elencadas no planejamento? Elas apareceram durante a realização da atividade?
Em caso afirmativo, quais foram? Em caso negativo, qual(is) seria(m) o(s) motivo(s), em sua opinião?
Você considera que os alunos avançaram no que diz respeito ao trabalho baseado em propriedades geométricas?
Justifique sua resposta e cite algum exemplo ocorrido em sala de aula.
A ordem das atividades na sequência escolhida favoreceu ou não a aprendizagem dos alunos? Justifique.
27
Formação de Professores
Grupo de Estudos
Duração: 4h
Nesta atividade será realizada a leitura compartilhada de um texto que trata a demonstração como um
fator que favorece o trabalho argumentativo no ensino de geometria. O objetivo é aprofundar as discussões sobre a necessidade da transição do trabalho empírico para o dedutivo e abstrato.
O trabalho argumentativo no ensino de geometria
Como já estudamos a partir do texto proposto no Momento 1 da seção “A prática em questão”
deste caderno, o estudo da geometria favorece competências como, por exemplo, a argumentação, a validação, a antecipação e a capacidade dedutiva. Uma das abordagens que favorecem especificamente a argumentação é o trabalho com as demonstrações.
Segundo o autor Horacio Itzcovich, nos momentos de apresentar uma demonstração aos alunos,
ou de eles mesmos produzirem uma demonstração, surgem questões referentes aos conhecimentos prévios necessários para aquela produção e aos níveis de rigor que deverão ser usados.
Como conhecer o repertório de conhecimentos que os alunos têm e que são necessários
para abordar a demonstração?
n
Se os alunos não possuem esses conhecimentos, o que fazer? Demonstrá-los, enunciá-los,
“negociar” sua aceitação?
n
Quais são os critérios que regem as “negociações” do que não será demonstrado?
n
Como decidir que certa demonstração é mais “conveniente” para trabalhar com os alunos
do que outra?
n
Tais questões se tornam ainda mais relevantes nos primeiros contatos dos alunos com a produção e interpretação de demonstrações. Para avançarmos nessas discussões, vamos tomar
como exemplo uma argumentação e duas demonstrações relacionadas à propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo.
Argumentação
Desenhe um triângulo qualquer numa folha de papel. Recorte-o. Marque os três ângulos internos desse triângulo. Corte o triângulo em três pedaços mantendo inteiros cada um dos ângulos marcados. Junte os pedaços recortados de modo que coincidam os vértices de cada
um dos ângulos.
28
O Pensamento Geométrico
Teorema: em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas
dos ângulos internos não adjacentes.
Seja ABC um triângulo qualquer, α, β, γ seus ângulos internos e δ um ângulo externo, adjacente a γ.
B
β
δ
γ
α
A
C
Devemos provar que a medida do ângulo δ é igual à soma das medidas dos ângulos α e β.
Demonstração 1
Consideremos novamente o triângulo ABC e tracemos a semirreta d, interna a δ e paralela ao
lado AB do triângulo. Essa semirreta determina com os lados de δ dois ângulos, que chamaremos α’ e β’, respectivamente.
B
d
β
α
A
γ
β`
α`
C
O ângulo α’ é congruente ao ângulo α, uma vez que são ângulos correspondentes entre paralelas. Também os ângulos β e β’ são congruentes por serem alternos internos entre paralelas.
Logo, δ = α’ + β’ = α + β.
A partir deste resultado podemos afirmar que α + β + γ = 180°, pois δ + γ = 180°.
Demonstração 2
Considerando um retângulo qualquer, é simples determinar que a soma das medidas de todos os ângulos internos é 360º, pois os quatro ângulos são retos, ou seja, medem 90º.
Traçando-se uma diagonal de um retângulo, obtêm-se dois triângulos retângulos congruentes.
29
Formação de Professores
Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos de cada um desses triângulos retângulos é 180º.
β
γ
α
α + β + γ = 180°.
para todo triângulo retângulo
Continuará sendo 180º a soma dos ângulos internos de um triângulo que não é retângulo?
Se em um triângulo qualquer, como o da figura seguinte, por exemplo, traça-se a altura correspondente a um de seus lados, obtêm-se dois triângulos retângulos:
α
δ
Φ
β
γ
δ + ø = 180°, pois δ e Φ são ângulos retos.
Os ângulos internos do triângulo são α, β, γ.
A soma dos ângulos internos em cada um dos dois triângulos formados é 180º, pois ambos
são retângulos.
Sendo assim, é possível afirmar que a soma de todos esses ângulos é 360º:
α + β + γ + δ + ø = 360°.
30
O Pensamento Geométrico
Como δ e ø não são ângulos internos do triângulo original e suas medidas somam 180°, então
α + β + γ = 180°. Portanto, para qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é 180º.
Nas palavras de Itzcovich, a argumentação apresentada é, “na realidade, uma constatação empírica. Apoia-se na ‘manipulação’ do triângulo de modo a obter o resultado esperado. Essa maneira de proceder traz consigo a possibilidade de que o resultado obtido seja uma casualidade. Em argumentações dessa natureza não há nada que garanta matematicamente que o resultado não
pudesse ser outro. Não se recorre a nenhuma propriedade geométrica que dê conta da validade do
resultado obtido, nem há certeza geométrica que possibilite ligações com propriedades que permitam inferir o resultado. Ao mesmo tempo, não há indicações que mostrem que o ocorrido com o triângulo com o qual se trabalha se repete com todos os triângulos, perdendo a perspectiva do alcance geral da propriedade”.
As duas demonstrações possuem caráter mais rigoroso, no sentido de aproximarem-se do que
seria uma prova formal, uma demonstração matemática. Estão pautadas na lógica axiomática,
dedutiva, que garante a validade de um resultado matemático. Nessa lógica, estabelecem-se
algumas definições e ideias iniciais que são aceitas, a partir das quais se demonstram outros resultados que passam a ser aceitos como verdades. A validade de uma demonstração seria fundamentada numa espécie de cadeia de validações, a partir de um início tomado como aceito.
Frente a isso, devemos questionar que decisões devem ser tomadas caso o conhecimento dos
alunos não seja suficiente para compreender as demonstrações (1 e 2) e ainda refletir se é necessário recorrer a um discurso formal que obriga o recurso a teoremas intermediários, cuja finalidade é difícil os alunos compreenderem e põe em risco o jogo ao qual os convocamos.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), “as atividades de geometria são muito
propícias para que o professor construa junto com seus alunos um caminho que a partir de experiências concretas leve-os a compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar
as hipóteses levantadas“.
Esses experimentos com materiais concretos podem ter certa força de convencimento para
os alunos. Contudo, eles não se constituem como provas matemáticas. É esperado que nos
primeiros anos do Ensino Fundamental II essas experiências sejam aceitas como provas. Mas,
nos anos finais, é necessário que as observações empíricas se transformem em meios desencadeadores de conjecturas e processos que levem às justificativas formais.
Equipe Comunidade Educativa CEDAC, 2013.
31
Formação de Professores
Com base no estudo realizado, reflitam sobre as questões a seguir e registrem.
1. Vocês abordariam com seus alunos a argumentação ou alguma das demonstrações apresentadas no texto? Qual(is)? Como seria essa abordagem? Justifiquem.
2. Por que a argumentação apresentada na página 28 (soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo) não é considerada uma demonstração?
Para fundamentar a resposta, releiam o trecho a seguir:
“(...) na realidade, uma constatação empírica. Apoia-se na ‘manipulação’ do triângulo de modo a obter o resultado esperado. Essa maneira de proceder traz consigo a possibilidade de que o resultado obtido seja uma
casualidade. Em argumentações dessa natureza não há nada que garanta matematicamente que o resultado não pudesse ser outro. Não se recorre a nenhuma propriedade geométrica que dê conta da validade do
resultado obtido, nem há certeza geométrica que possibilite ligações com propriedades que permitam inferir
o resultado. Ao mesmo tempo, não há indicações que mostrem que o ocorrido com o triângulo com o qual
se trabalha se repete com todos os triângulos, perdendo a perspectiva do alcance geral da propriedade”.
3. Analisem a coleção de livro didático adotada pela sua escola:
a) Identifiquem em qual(is) ano(s) escolar(es) é apresentada a propriedade da soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo.
b)A maneira como essa propriedade é abordada se aproxima da argumentação ou de alguma das
demonstrações apresentadas no texto?
c)Vocês consideram que a abordagem apresentada é apropriada para o(s) ano(s) escolar(es) em
questão? Modificariam algo nela? O quê? Justifiquem a resposta.
Sugestões de leituras complementares
BRASIL. Ministério da Educação (MEC). Secretaria de Educação Fundamental.
Orientações didáticas para terceiro e quarto ciclos. In:
Parâmetros Curriculares Nacionais (5ª a 8ª séries). Brasília: MEC/SEF, 1998. pp. 96-106.
n
Portal do Professor – Ministério da Educação (MEC), Brasil.
Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br.
n
LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. Aprendendo e ensinando geometria.
Tradução de Hygino H. D. São Paulo: Editora Atual, 1994.
n
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Anotações
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