Movimento circular e uniforme

Ciências da Natureza – Ensino Médio
Movimento Circular Uniforme
Material do aluno
Aula 11 – Física
Vamos dar uma voltinha?
PARA COMEÇAR!!
A patinadora desliza sobre o gelo, braços estendidos, movimentos leves, música
suave. De repente encolhe os braços junto ao corpo, gira velozmente como um
pião, volta a estender os braços e para por alguns instantes. O público, encantado,
aplaude.
Cristiana, comovida, assiste à cena pela televisão. Então, uma pergunta lhe
ocorre. Por que sempre que giram desse jeito, os patinadores encolhem os braços
e, quando querem parar, voltam a estendê-los? Será que isso tem alguma coisa a
ver com a Física?
É claro que sim. Tudo tem a ver com a Física. Se ela fizer essa pergunta a um
físico, ele provavelmente lhe dirá que a patinadora encolhe os braços para girar
mais depressa, devido ao princípio da conservação do momento angular.
Suponha que um corpo está girando e não há nenhuma ação externa atuando
sobre ele. Quanto mais concentrada a massa desse corpo estiver no seu eixo de
rotação, mais rapidamente ele pode girar, ou vice-versa. Se a distribuição da
massa se afastar do eixo de rotação, ele vai girar mais lentamente.
Com os braços encolhidos, a massa da patinadora está mais concentrada junto ao
seu eixo de rotação, por isso ela gira mais rapidamente do que com os braços
abertos. Abrindo os braços, ela distribui sua massa de forma a afastá-la ao
máximo do seu eixo de rotação. Assim, o seu movimento fica mais lento e mais
fácil de parar.
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Aula 11 – Física
Uma demonstração experimental muito interessante pode ilustrar essa afirmação.
Observe a figura ao lado: uma pessoa sentada numa cadeira giratória, segurando
dois halteres com os braços estendidos, é posta a girar. Se ela encolher os
braços, trazendo os halteres para junto do seu corpo, a rapidez do seu movimento
de rotação aumenta.
Se ela voltar a estendê-los, a rapidez diminui, sem que para isso tenha sido feita
qualquer ação externa. Essa compensação entre rapidez de rotação e
distribuição de massa é explicada pelo tal princípio da conservação do
movimento angular.
Mas essas não são as únicas características interessantes do movimento de
rotação. Um pião, por exemplo, só pode permanecer em equilíbrio enquanto gira;
as bicicletas só podem se manter em equilíbrio devido ao movimento de rotação
de suas rodas.
Veja nas figuras que, graças à
rotação, o pião se mantém em
equilíbrio, apoiado apenas numa
extremidade do seu eixo. A própria
Terra mantém constante a inclinação
do seu eixo, graças ao seu
movimento de rotação.
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PARA PESQUISAR!
1. O movimento de rotação está sempre presente em nosso dia a dia. Todos os
veículos têm rodas, quase todas as máquinas têm eixos e polias que giram
ligadas por correias e engrenagens. Dê alguns exemplos desses tipos de
máquinas.
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2. Os satélites de comunicação são colocados em órbita de modo a fazer uma
rotação em volta da Terra. Dizemos que eles permanecem estacionários pois
girando junto com nosso planeta, eles parecem parados em relação ao solo.
Quanto tempo um satélite estacionário demora para dar uma volta em torno
do eixo de rotação da Terra?
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FIQUE LIGADO!!
Rotação: um movimento periódico
Imagine uma roda de bicicleta ou a polia de um motor girando. Durante esse
movimento, cada ponto da roda ou da polia descreve circunferências,
continuamente. Em outras palavras, durante o movimento, cada ponto passa
repetidas vezes pela mesma posição. Por isso, o movimento de rotação é
considerado um movimento periódico.
A quantidade de voltas ou ciclos completados num determinado intervalo de
tempo é a frequência (f) desse movimento. Assim, se cada ponto da polia de
um motor completa 600 voltas (ciclos) em 1 minuto, dizemos que essa polia gira
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com uma frequência de 600 ciclos por minuto. Nesse caso, ao invés de ciclos,
costuma-se dizer rotações. Logo, a freqüência é de 600rpm (rotações por
minuto). Se adotarmos o Sistema Internacional de Unidades (SI, aula 2), a
unidade de tempo deve ser o segundo.
No caso da polia que completa 600 rotações por minuto e lembrando que 1min =
60s, teremos a seguinte expressão:
600 ciclos por minuto = 600 ciclos em 60 segundos
600 ciclos
= 10 ciclos/s
60 segundos
A unidade ciclos/s (ciclos por segundo) é denominada hertz, cujo símbolo é Hz.
Se um corpo em movimento periódico possui uma frequência de 5Hz, isso
significa dizer que em 1 segundo ele realizou cinco voltas completas.
PARA PENSAR!!
Lembrando que 1 min = 60 s
mostre que 60 rpm = 1 Hz.
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Se um ponto passa várias vezes pela
mesma posição, há um intervalo de tempo
mínimo para que ele passe duas vezes por
essa posição. É o intervalo de tempo
mínimo que ele gasta para descrever
apenas uma volta ou ciclo. Esse intervalo
de tempo é denominado período do
movimento e é representado pela letra T.
Ou seja, o tempo gasto para uma volta
completa é o período do movimento.
O valor do período T é sempre o inverso do valor da frequência f e podem ser
relacionados pelas equações a seguir:
ou ainda
f=1
T
1
T=1
f
2
Sempre que o período estiver em segundos, a frequência correspondente será
dada em hertz.
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Passo-a-passo
1. Qual a frequência e o período do movimento da pedra da ilustração abaixo que
está ligada a um barbante e demora 0,25 segundo para completar uma volta?
No enunciado do exercício, foi dito que o tempo gasto
para a pedra completar uma volta é de 0,25 s.
Verificando a definição de período (tempo gasto para
completar um ciclo), podemos então afirmar que T =
0,25 s.
Para cálculo da frequência, utilizamos a expressão:
f= 1
T
Teremos:
f = 1 = 4 Hz
0,25
Ou seja, em 1 segundo a pedra efetua 4 voltas!
2. Um satélite de telecomunicações fica parado em relação à Terra. Qual o
período e a frequência desse satélite?
Movimento da Terra em torno do seu eixo
Movimento do satélite em torno da Terra
Para que o satélite fique parado em relação à Terra, é preciso que ele
acompanhe o movimento de rotação do planeta. Isso significa que, quando a
Terra der uma volta em torno do seu eixo, o satélite também deverá fazer o
mesmo. Logo o período T do satélite é igual ao período da Terra, que é o
tempo que nosso planeta demora para dar uma volta completa ao redor do seu
eixo, que é igual a 1 dia.
Portanto T = 1 dia = 24 h.
E lembrando que 1 h = 3.600 s teremos em 24 h, um total de 86.400 s (aula 2).
Então o satélite estacionário possui período T = 86.400 s.
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Lembrando que f = 1
T
f = 1____  0,000012 Hz
86.400
Velocidade angular

t
Suponha que um disco está girando. Num
intervalo de tempo t, seus raios descrevem ou
varrem um determinado ângulo .
A relação entre o ângulo e o tempo gasto para
descrevê-lo é a velocidade angular () do disco.
Matematicamente:
 = 
t
Se a velocidade angular do disco for constante,
ele descreve ângulos iguais em tempos iguais.
Isso significa que o tempo gasto para dar uma
volta completa, que corresponde a um ângulo de
360o ou 2 rad1, será sempre igual.
Consequentemente, o período e a frequência do
disco serão constantes. Além disso, é possível
relacionar as grandezas velocidade angular,
período e frequência através das equações:
 = 2.
T
3
E como f = 1 podemos escrever:
T
 = 2..f
4
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1. Vide Temas de Estudo “Andando em círculos” que aprofunda a relação entre graus e radianos.
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Movimento Circular Uniforme
Supondo que o disco gire com velocidade angular constante, observa-se que sua
frequência e seu período também serão constantes. Nesse caso, cada ponto do
disco descreve um Movimento Circular Uniforme (MCU).
Como pode-se equacionar o movimento circular uniforme? Lembrando que
equacionar um movimento é estabelecer uma relação matemática entre duas de
suas variáveis (posição e tempo, velocidade e tempo etc). No movimento circular
as relações que usamos são o ângulo inicial (o), a velocidade angular () e o
tempo (t) através da equação:
t
to

 = o + .t
Assim, é possível estabelecer uma
relação entre o ângulo  e o instante em
que ele está sendo descrito. Essa
equação é conhecida como equação ou
lei angular do MCU.
o

 = o + .t
Velocidade de um ponto em MCU
Até agora só falamos da velocidade angular de um ponto material. Entretanto,
estando em movimento, um corpo vai percorrer distâncias em intervalos de tempo.
Ou seja, além da velocidade angular () ele também tem uma velocidade (v).
Como relacionar v com as grandezas , T (período) e f (freqüência)?
v
v
A figura mostra a variação de direção do vetor
velocidade em alguns pontos. Como o movimento é
uniforme, o valor da velocidade será dado por:
v = comprimento do percurso
tempo gasto
v
v
O tempo que a partícula gasta para efetuar uma volta
completa é o período T do movimento. O espaço
percorrido pela partícula, durante um período o, é o
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comprimento da circunferência que vale 2R (Aula 16 do curso de Matemática –
Ensino Médio do Novo Telecurso). Substituindo, na expressão anterior, o valor da
velocidade será dado:
v = 2..R
T
5
Essa expressão pode ser escrita como v = 2..R . 1
T
Lembrando que f = 1 , temos:
T
v = 2..R.f
6
Lembrando ainda que, se  = 2.
T
Pode-se achar uma relação entre a velocidade v e a velocidade angular . Basta
fazer:
v = 2..R
T
e consequentemente
v = .R
7
Observando as expressões apresentadas até agora, pode-se perceber duas
propriedades muito importantes do movimento circular:

A velocidade v do ponto material depende da frequência (ou do período) do
movimento e do raio da circunferência descrita (equações 5, 6, e 7).

A velocidade angular  depende apenas da frequência (ou do período),
mas não depende do raio (equações 3 e 4).
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Aceleração centrípeta
Atividade:
Teste a si mesmo!!
Observe o corpo abaixo, que possui velocidade constante de 10m/s e se encontra
em movimento circular uniforme:
10 m/s
A
noroeste
10 m/s
norte
oeste
B
leste
C
sul
sudeste
10 m/s
Especifique a intensidade (valor), o sentido e a direção da velocidade nas
posições A, B e C:
Posição
A
B
C
Intensidade
Ao preencher a tabela, você deve ter
percebido que, embora o valor
numérico de um ponto qualquer seja
sempre o mesmo, a velocidade varia
em direção e em sentido.
Se a velocidade varia, é porque existe
uma aceleração agindo sobre esse
ponto material em MCU. Isso ocorre
porque no MCU a aceleração é
sempre perpendicular à direção da
velocidade.
Direção
Sentido
v
ac
v
ac
ac
v
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Sendo perpendicular à velocidade, a aceleração tem sempre a direção do raio e
denomina-se aceleração centrípeta (ac); seu valor é dado pelas expressões:
ac = v2
R
8
ou
ac = 2.R
9
Assim, se um automóvel faz uma curva circular com velocidade constante, ele
está acelerando, o que não aconteceria se ele estivesse em linha reta. Se essa
velocidade for 72 km/h (20 m/s), por exemplo, e o raio da curva for 100 m, a
aceleração centrípeta será:
ac = v2
R
ac = (20)2 = 400 = 4 m/s2
100
100
É importante notar que essa aceleração só contribui para o automóvel fazer a
curva, não altera o valor da velocidade. Essa é uma idéia nova que deve ficar
mais clara com o auxílio das leis de Newton, que pode-se ver em seguida.
O Movimento Circular Uniforme e as leis de Newton
Das três leis de Newton, duas têm relação direta com o movimento circular
uniforme. A primeira lei afirma que “para que um corpo tenha velocidade constante
em trajetória retilínea, a força resultante sobre ele deve ser nula”. Como no MCU
a trajetória não é retilínea, conclui-se que a força resultante não é nula. A
segunda lei de Newton estabelece uma relação entre força resultante e
aceleração: F = m.a. Se a força resultante é proporcional à aceleração, existindo
aceleração; existe força resultante. Além disso, se a aceleração é centrípeta,
orientada para o centro da circunferência, a força resultante também será
orientada para o centro da circunferência, ou seja, a força resultante é a força
centrípeta.
Se ac é a aceleração centrípeta, pode-se
representar por Fc a força centrípeta (vide
Fc
ilustração ao lado). Nesse caso, para o
movimento circular uniforme, a segunda lei de
Newton pode ser expressa assim:
Fc
Fc = m.ac
Fc
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ATENÇÃO:
É muito importante entender que a força centrípeta é a resultante das forças que
atuam sobre o corpo, não é uma força nova ou especial. Em outras palavras, no
MCU, em cada situação, uma ou mais forças podem exercer o papel de força
centrípeta. A força centrípeta pode ser o peso do corpo, a força de atrito entre o
corpo e o plano, a tração num fio, a resultante de algumas dessas forças ou ainda:



Um satélite de telecomunicações executa uma órbita circular em torno da
Terra. A força centrípeta nesse caso é a força de atração que a Terra
exerce sobre ele.
Um carro faz uma curva circular numa estrada plana e horizontal. A força
centrípeta, nesse caso, é a resultante das forças de atrito entre os pneus e
a estrada.
As pistas dos autódromos e das boas estradas e avenidas são inclinadas
nas curvas. Isso é feito para que os motoristas não dependam apenas do
atrito para fazer a curva. Assim, a reação da pista sobre o veículo é
inclinada, o que ajuda a aumentar o valor da força resultante que exerce o
papel de força centrípeta.
Comente as afirmações abaixo:

Uma curva de estrada mal construída, sem a inclinação adequada, pode
acarretar inúmeros acidentes.

Quase todas as máquinas, domésticas ou industriais, têm no movimento de
rotação a base de seu funcionamento.
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_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
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Para terminar
Nesta aula, você aprendeu:
 O que são movimento periódico, frequência e período;
 O que é velocidade angular e como ela se relaciona com f e T;
 O que é um Movimento Circular Uniforme (MCU);
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 A equação do MCU;

Que a velocidade de um ponto em MCU é constante em módulo, mas varia
em direção e sentido;
 O que são aceleração e força centrípeta.
MÃOS À OBRA
1. Um satélite artificial descreve uma órbita circular a 1.600 km da superfície da
Terra, efetuando uma volta a cada 2h. Determine o valor da sua velocidade.
(Adote RTerra = 6.400 km e  = 3,14.)
2. No exercício anterior, qual o valor da aceleração centrípeta do satélite?
3. Um satélite está a 600 km de altura, em órbita circular, efetuando uma rotação
em 3 horas. Qual a velocidade do satélite, sua velocidade angular e a
aceleração centrípeta, admitindo-se que ele está sobre o Equador e que o raio
da Terra é de 6.400 km? (Adote  = 3,14.)
4. No satélite do exercício anterior, há um astronauta com massa de 85kg. Qual a
força que a Terra exerce sobre ele?
5. Um carro de 800 kg faz uma curva circular plana e horizontal de 100 metros de
raio, com velocidade de 72 km/h (20 m/s). Qual a resultante das forças de atrito
que atuam sobre ele?
6. A ilustração abaixo representa uma roda
gigante, num parque de diversões. O
ponto A dá uma volta completa a cada
10 s. Calcule a velocidade e a
aceleração no ponto A e a velocidade
angular.
A
5m
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Gabarito dos exercícios
1. O tempo de uma volta é o período do movimento do satélite. Logo T = 2 h. O
raio da trajetória será dado por:
R = raio da Terra + altura na qual
R = 6.400 + 1.600
R = 8.000 km
Utilizando a expressão:
v = 2..R
T
v = 2x3,14x8.000
2
v = 6,28x8.000
2
v = 50.240
2
o satélite se encontra
v = 25.120 km/h  6.978 m/s
2. ac = v2
R
onde
v = 6.978 m/s
R = 8.000 km = 8.000.000m
a c = v2
R
ac = (6.978)2
8.000.000
ac = 48.692.484  6,1 m/s2
8.000.000
3. Para a velocidade do satélite:
O tempo de uma volta é o período do movimento do satélite. Logo T = 3 h. O
raio da trajetória será dado por:
R = raio da Terra + altura na qual o satélite se encontra
R = 6.400 + 600
R = 7.000 km
Utilizando a expressão:
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v = 2..R
T
v = 2.3,14.7000
3
v = 6,28.7000
3
v = 43.960
3
v  14.653 km/h  4.070 m/s
Para a aceleração centrípeta
ac = v2
R
ac = (4.070)2
7.000.000
ac = 16.564.900  2,3 m/s2
7.000.000
Para a velocidade angular:
1ª resolução
v = .R
4.070 = .7.000.000
 = 4.070
7.000.000
  0,0006 rad/s
4. Utilizando a expressão
F = m.ac
onde
m = 85kg
ac = 2,3 m/s2
F = m.ac
F = 85.2,3
F = 195,5 N
2ª resolução
 = 2.
T
onde T = 3 h = 10.800 s
 = 2.3,14
10.800
 = 6,28
10.800
  0,0006 rad/s
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5. A resultante das forças de atrito corresponde à força centrípeta. Teremos:
Fc = m.ac
Onde
m = 800kg
e ac = v2 = (20)2 = 400 = 4 m/s2
R
10
100
Então teremos:
Fc = m.ac
Fc = 800.4
Fc = 3.200 N
6. Teremos para a velocidade angular
 = 2.
T
onde T = 10 s
 = 2.3,14
10
 = 6,28
10
 = 0,628 rad/s
Para a velocidade do ponto A
v = .R
onde
 = 0,628 rad/s
R = 5m (de acordo com a ilustração)
Teremos:
v = .R
v = 0,628.5
v = 3,14 m/s
Para a aceleração centrípeta
a c = v2
R
ac = (3.14)2
5
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ac = 9,8596
5
ac = 1,97 m/s2
Gabarito do “Teste a si mesmo!!”
Posição
A
B
C
Intensidade
10m/s
10m/s
10m/s
Direção
leste-oeste
norte-sul
noroeste-sudeste
Sentido
para oeste
para norte
para sudeste
Para pesquisar
A resposta para o segundo questionamento encontra-se na resolução do segundo
exercício do tópico “Passo-a-passo”.
Para pensar
60 rpm = 60 ciclos por minuto
60 ciclos por minuto = 60 ciclos por 60 segundos
60 ciclos por 60 segundos = 60 ciclos/60s
60 ciclos/60s = 1ciclo/s = 1 Hz