resolução das atividades e formalização dos conceitos

CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO
Curso de Administração
Disciplina: Estatística I
Professora: Stefane L. Gaffuri
RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES E FORMALIZAÇÃO
DOS CONCEITOS
Sessão 1 – Experimentos Aleatórios e Experimentos Determinísticos
1.1 Analise os experimentos seguintes:
1. Lançamento de um dado. Experimento determinístico
2. Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar seu naipe. Experimento
aleatório
3. Lançamento de uma moeda. Experimento determinístico
4. Sortear um número em uma rifa e verificar o número. Experimento aleatório
5. Verificar a que temperatura determinado leite ferve. Experimento determinístico
6. Germinação de uma semente. Experimento aleatório
7. Se choverá no próximo mês. Experimento aleatório
8. Chutar uma bola ao gol e verificar a velocidade com que ela atinge o solo.
Experimento determinístico
9. A cor da próxima camiseta que você irá comprar. Experimento determinístico
10. Encontrar um semáforo em condições normais de funcionamento, e observar
qual é a cor que ele está indicando. Experimento aleatório
É possível identificar se são experimentos determinísticos ou experimentos
aleatórios? Classifique-os.
Experimentos determinísticos: Experimentos que ao serem repetidos inúmeras
vezes, em condições semelhantes*, apresentam resultados estáveis, ou seja, os
resultados podem ser previstos ou determinados. Nestes experimentos existe a
possibilidade de se fazer a previsão lógica e precisa do resultado.
Experimentos aleatórios: Experimentos que ao serem repetidos várias vezes, em
condições semelhantes*, apresentam diferentes resultados, não sendo possível, portanto,
a previsão lógica dos resultados. Sabemos quais são os prováveis resultados, mas não
sabemos qual particular resultado ocorrerá.
*condições semelhantes: dizemos que as condições de realização de um experimento
são semelhantes, quando as variações das condições que não são levadas em conta não
modificam as características da experiência. Ainda, podemos dizer também que as
condições de realização de um experimento são semelhantes, quando estas condições
permanecem necessariamente inalteradas.
A Teoria das Probabilidades estuda as formas de se estabelecer a possibilidade
de ocorrência de cada particular resultado de um experimento aleatório.
Sessão 2 – Características de um experimento aleatório
Essas atividades têm como objetivo definir as características de um experimento
aleatório. Nessa sessão serão utilizados materiais manipuláveis, tais como moedas e
baralho. Cada grupo receberá o material citado para a realização do experimento.
2.1 Lance uma moeda e observe a face voltada para cima.
a) É possível repetir esse experimento várias vezes em condições semelhantes? Sim.
b) Existe a possibilidade de estabelecer o conjunto de todos os resultados possíveis
desse experimento? Se existir essa possibilidade, quais são os possíveis resultados?
Sim. Os possíveis resultados são cara ou coroa.
c) Ao lançar a moeda, pode-se prever qual será a da face voltada para cima?
Não.
2.2 Retire uma carta de um baralho comum e observe seu naipe.
a) É possível repetir esse experimento várias vezes em condições semelhantes? Sim.
b) Existe a possibilidade de estabelecer o conjunto de todos os resultados possíveis
desse experimento? Se existir essa possibilidade, quais são os possíveis resultados?
Sim, as possíveis possibilidades são as 52 cartas do baralho.
c) Ao retirar a carta, pode-se prever qual será a da face voltada para cima?
Não.
Características de um experimento aleatório
1. Experimentos que podem ser repetidos várias vezes (indefinidamente) sob as
condições semelhantes, isto é, condições essencialmente inalteradas;
2. Experimentos para os quais pode-se prever o conjunto de todos os resultados
possíveis
3. Experimentos para os quais não se pode prever qual particular resultado, entre
todos os possíveis, irá ocorrer.
Sessão 3 – Espaço Amostral e Evento
Nessa sessão serão utilizados materiais manipuláveis, como dados, moedas e
uma caixa com fichas numeradas de 1 a 10. Cada grupo receberá o material para realizar
o experimento. O objetivo dessas atividades é conceituar espaço amostral e evento.
3.1 Utilize os materiais manipuláveis (dado, caixa com fichas numeradas e moedas)
para executar os seguintes experimentos aleatórios:
A: Lance um dado comum e observe o número da face voltada para cima.
B: Da caixa com 10 fichas numeradas de 1 a 10 retire uma ficha e observe seu número.
C: Lance simultaneamente duas moedas comuns distintas e observe cada uma das faces
voltadas para cima.
Descreva:
a) o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório A.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório B.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
c) o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório C.
S = {(cara, coroa); (coroa, cara); (cara, cara); (coroa, coroa)}
Cada um destes conjuntos recebe o nome de espaço amostral do experimento
aleatório.
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
3.2 Lance simultaneamente um dado e uma moeda comuns e observe as faces voltadas
para cima.
3.2.1 Descreva o conjunto de todos os resultados possíveis.
A = {(1, cara); (2, cara); (3, cara); (4, cara); (5, cara); (6, cara); (1, coroa); (2, coroa); (3,
coroa); (4, coroa); (5, coroa); (6, coroa)}
3.2.2 Determine os subconjuntos “E” do conjunto “A” que satisfaçam as condições a
seguir:
a) Ocorrência de número par no dado.
E = {(2, cara); (2, coroa); (4, cara); (4, coroa); (6, cara); (6, coroa)}
b) Ocorrência de número ímpar no dado e coroa na moeda.
E = {(1, coroa); (3, coroa); (5, coroa)}
c) Ocorrência de cara na moeda
E = {(1, cara); (2, cara); (3, cara); (4, cara); (5, cara); (6, cara)}
d) Ocorrência de um número primo no dado e cara na moeda.
E = {(2, cara); (3, cara); (5, cara);}
Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
Sessão 4 – Tipos de Eventos
O propósito dessa sessão é conceituar e distinguir os eventos certos, impossíveis,
complementares, independentes, dependentes e mutuamente exclusivos (ou disjuntos) e
eventos não exclusivos (ou conjuntos). Usaremos materiais manipuláveis (dado e caixa
com fichas) para executar os experimentos.
4.1 Use os materiais manipuláveis para executar o seguinte experimento: lance um dado
de 6 faces e observe o número da face voltada para cima e descreva:
a) o espaço amostral do experimento.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) os subconjuntos unitários do espaço amostral.
A = {1}; B = {2}; C = {3}; D = {4}; E = {5}; F = {6}
Os subconjuntos acima são chamados Eventos Elementares, ou seja:
Evento Elementar é qualquer subconjunto unitário de um espaço amostral.
c) ocorrência de um número menor que 6.
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
O evento acima é denominado Evento Certo. Dizemos que esse evento tem
100% de chance de ocorrência.
Evento Certo é o próprio espaço amostral.
d) ocorrência de um número múltiplo de 7.
S=Ø
O evento acima não possui elementos: é um conjunto vazio. Eventos dessa
natureza são chamados eventos impossíveis.
Evento impossível é um subconjunto vazio do espaço amostral.
4.2 Use a caixa com fichas numeradas de 1 a 12 para retirar uma ficha. Descreva os
conjuntos:
a) A: ocorrência de número divisor de quatro.
A = {1, 2, 4}
b) B: ocorrência de número múltiplo de 6.
B = {6, 12}
c) O conjunto “C” tal que C = A U B.
C=Ø
A e B não possuem elementos comuns. Tais eventos são denominados
Mutuamente Exclusivos.
Eventos Mutuamente Exclusivos são eventos cujos conjuntos são disjuntos,
isto é, a intersecção é o conjunto vazio.
d) D: ocorrência de número par.
D= {2, 4, 6}
e) E: ocorrência de número ímpar.
E = {1, 3, 5}
f) O conjunto D U E.
D U E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
g) O conjunto D ∩ E.
D∩E=Ø
Observe que os conjuntos D e E não possuem elementos comuns: a intersecção é
um conjunto vazio. Mas, a união de D e E resultou no espaço amostra. Esses eventos
são chamados Eventos Complementares.
Eventos complementares são eventos cuja interseção é o conjunto vazio e cuja
união é o espaço amostral. Ou pode ser definido da seguinte forma: Sendo P a
probabilidade de que ocorra um evento e Q a probabilidade de que ele não ocorra, para
um mesmo evento existe sempre a relação:
P+Q=1Q=1–P
Sessão 5 – Cálculo de Probabilidades
O propósito dessa sessão é construir o conceito de Probabilidade.
5.1 (Questão adaptada do Exame Nacional do Ensino Médio de 2009). Um time de
futebol amador ganhou uma taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram
que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça em
suas casas. Na discussão para se decidir com quem ficaria o troféu, travou-se o seguinte
diálogo:
Pedro, camisa 6: - Tive uma ideia. Nós somos 11 jogadores e nossas camisetas estão
numeradas de 2 a 12. Tenho dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar os
dois dados, a soma dos números das faces que ficarem para cima pode variar de 2 (1+1)
até 12 (6+6). Vamos jogar os dados e quem tiver a camisa com o número do resultado
vai guardar a taça.
Tadeu, camisa 2: - Não sei não... Pedro sempre foi muito esperto... Acho que ele está
levando alguma vantagem nessa proposta...
Ricardo, camisa 12: - Pensando bem... Você pode estar certo, pois, conhecendo o
Pedro, é capaz que ele tenha mais chances de ganhar que nós dois juntos...
A partir desse diálogo, responda:
a) Em sua opinião, quem é o jogador com maior chance de levar a taça para casa, dentre
os 11 jogadores do time? Por quê?
Jogando dois dados, o espaço amostral é composto por 36 elementos, uma vez que o
dado apresenta 6 resultados possíveis. Cada elemento do espaço amostral é do tipo
(dado 1, dado 2). Assim:
S = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (6, 6); (5, 1);
(5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}
Somando cada um dos resultados possíveis, temos:
1+ 1 = 2
2+1=3
3+1=4
4+1=5
5+1=6
6+1=7
1+ 2 = 3
2+2=4
3+2=5
4+2=6
5+2=7
6+2=8
1+3=4
2+3=5
3+3=6
4+3=7
5+3=8
6+3=9
1+4=5
2+4=5
3+4=7
4+4=8
5+4=9
6 + 4 = 10
1+5=6
2+5=7
3+5=8
4+5=9
5 + 5 = 10
6 + 5 = 11
1+6=7
2+6=8
3+6=9
4 + 6 = 10
5 + 6 = 11
6 + 6 = 12
Logo, o jogador que tem mais chances de ganhar é o da camisa número 7, pois a soma
de resultados possíveis para essa camisa pode aparecer seis vezes, isto é (1, 6); (2, 5);
(3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1).
b) Qual a probabilidade de Pedro ficar com a taça?
Para Pedro ser sorteado, a soma dos resultados deve ser 6 (número de sua camisa).
Assim temos cinco resultados possíveis: A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1)}
Logo, a probabilidade de Pedro ser sorteado é
P = número (A)/ número (S) = 5/36 = 0,138 = 13, 8%
c) Qual a probabilidade de Tadeu ficar com a taça?
Para Tadeu ser sorteado, a soma dos resultados deve ser 2 (número de sua camisa).
Assim temos um único resultado possível: B = {(1, 1)}
Logo, a probabilidade de Tadeu ser sorteado é
P = número (B)/ número (S) = 1/36 = 0,0278 = 2,77%
d) Qual a probabilidade de Ricardo ficar com a taça?
Para Ricardo ser sorteado, a soma dos resultados deve ser 12 (número de sua camisa).
Assim, também temos um único resultado possível: C = {(6, 6)}
Logo, a probabilidade de Ricardo ser sorteado é
P = número (C)/ número (S) = 1/36 = 0,0278 = 2,77%
e) Uma nova sugestão de sorteio foi dada pelo time, usar um dado e uma moeda da
seguinte forma: atribui-se valor 1 para cara e o valor 7 para coroa; jogam-se
simultaneamente a moeda e o dado, e somam-se os resultados. Por exemplo, saindo cara
e “5” ganha Pedro, pois a soma seria 6. No caso de sair coroa e “6”, joga-se novamente,
pois a soma seria 13 e ninguém tem essa camisa. Nessa nova maneira de sortear, quem
levaria a maior vantagem?
Jogando um dado e uma moeda, o espaço amostral é composto por 12 elementos, uma
vez que o dado apresenta 6 resultados possíveis e a moeda 2 resultados possíveis, cara
ou coroa. Cada elemento do espaço amostral é do tipo (dado, moeda). Assim:
S = {(1, cara); (2, cara); (3, cara); (4, cara); (5, cara); (6, cara); (1, coroa); (2, coroa); (3,
coroa); (4, coroa); (5, coroa); (6, coroa)}
Segundo a nova maneira de sortear, para cara temos o valor 1 então, somando os
resultados possíveis se sair cara, temos:
(1, cara) = 1 + 1 = 2
(2, cara) = 2 + 1 = 3
(3, cara) = 3 + 1 = 4
(4, cara) = 4 + 1 = 5
(5, cara) = 5 + 1 = 6
(6, cara) = 6 + 1 = 2
No entanto, se sair coroa soma-se 7 ao valor do dado, então, somando os resultados,
temos:
(1, coroa) = 1 + 7 = 8
(2, coroa) = 2 + 7 = 9
(3, coroa) = 3 + 7 = 10
(4, coroa) = 4 + 7 = 11
(5, coroa) = 5 + 7 = 12
(6, coroa) = 6 + 7 = 13
Nessa nova maneira de sortear todos os jogadores teriam a mesma probabilidade, isto é
P = 1/12, de ser sorteado, logo ninguém levaria vantagem.
Conceitos de Probabilidade
Existem três formas de se definir probabilidade. A definição clássica, a definição
frequêncial e a definição axiomática.
Probabilidade Clássica ou Laplaciana
Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostra associado formado por
“n” resultados igualmente prováveis. Seja A⊆S um evento com “m” elementos. A
probabilidade de A, anotada por P(A), lê-se P de A, é definida como sendo:
P(A) = m / n
Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número “m” de casos
favoráveis e o número “n” de casos possíveis.
Exemplo
Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado e obter-se:
a) Um resultado igual a 4.
b) Um resultado ímpar.
Solução:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
a) A = { 4 } então P(A) = m / n = 1 / 6 = 16,67%
b)B = { 1, 3, 5 } então P(B) = m / n = 3 / 6 = 50%
Probabilidade Frequentista
Na prática acontece que nem sempre é possível determinar a probabilidade de
um evento. Neste caso é necessário ter um método de aproximação desta probabilidade.
Um dos métodos utilizados é a experimentação que objetiva estimar o valor da
probabilidade de um evento A com base em valores reais. A probabilidade avaliada
através deste processo é denominada de probabilidade empírica.
Frequência relativa de um evento
Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostra associado ao
experimento E.Suponha-se que E seja repetido “n” vezes e seja “m” o número de vezes
que A ocorre nas “n” repetições de E. Então a frequência relativa do evento A, anotada
por fr(A), é o quociente:fr(A) = m / n = (número de vezes que A ocorre) / (número de
vezes que E é repetido)
Exemplo 1: Uma moeda foi lançada 200 vezes e forneceu 102 caras.
Então a frequência relativa de “caras” é: fr(A) = 102 / 200 = 0,51 = 51%
Exemplo 2: Um dado foi lançado 100 vezes e a face 6 apareceu 18 vezes.
Então a frequência relativa do evento A = { face 6 } é: fr(A) = 18 / 100 = 0,18 = 18%
Definição: A probabilidade P(A) de ocorrência de um evento A, pode ser definida como
o limite da frequência relativa fr(A) do evento A, quando o número, n, de repetições do
experimento, sob as mesmas condições, tende ao infinito.
Probabilidade Axiomática
Seja E um experimento aleatório com um espaço amostra associado S. A cada
evento A⊆S associa-se um número real, representado por P(A) e denominado
“probabilidade de A”, que satisfaz as seguintes propriedades (axiomas):
Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1
Axioma 2: P(S) = 1
Axioma 3: Se A ∩ B = Ø, então P(AUB) = P(A) + P(B)
É um conceito que facilita a definição de conjuntos infinitos e a demonstração de
teoremas.
Sessão 6 – Probabilidade Condicional
O objetivo dessa sessão é construir o conceito de Probabilidade Condicional e
resolver problemas relativos a esse conceito. Para a resolução desse problema será
utilizado um dado comum de seis faces.
6.1 Essa atividade será feita utilizando dois dados de 6 faces cada. Cada integrante do
grupo deverá escolher um número de 1 a 6. Em seguida, cada participante jogará um
dado de cada vez, uma única vez. Se o número escolhido aparecer em pelo menos um
dos dados, a pessoa vence.
a) Qual o número que tem a maior probabilidade de sair?
Todos os números têm a mesma probabilidade de sair.
b) Qual o número que você escolheu?
Ex: número 3.
c) Qual a probabilidade de sair esse número em pelo menos um dos dados?
Jogando dois dados, o espaço amostral é composto por 36 elementos, uma vez que o
dado apresenta 6 resultados possíveis. Cada elemento do espaço amostral é do tipo
(dado 1, dado 2). Assim:
S = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (6, 6); (5, 1);
(5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}
Como o número escolhido para a resolução é o número 3, temos:
Evento A = {(1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3); (5, 3); (6, 3); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (3, 6)}
Logo, a probabilidade de sair o número 3 é
P (A) = número elementos de (A)/ número elementos de (S) = 11/ 36 = 0,30 = 30%
d) Qual é a probabilidade de você ganhar sendo que você não obteve o número
escolhido no primeiro dado?
Inicialmente, vamos calcular a probabilidade de não obtermos o número 3 no primeiro
dado, vamos chamar essas possibilidade de evento B. Então, temos:
B = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);
(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (6, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1);
(6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}
A probabilidade é
P (B) = número elementos de (B)/ número elementos de (S) = 30/ 36
Denotamos por B│A a ocorrência do evento A, dado que o evento B já tenha ocorrido,
e por P(B│A) a probabilidade condicional de ocorrer A dado que B já ocorreu.
Na situação-problema, P(B│A) é a “probabilidade de se obter um 3 no segundo dado,
sendo que não foi obtido 3 no primeiro dado”.
Note que o evento B modifica a condição e a probabilidade do evento A, pois, a partir
das ocorrência de B, o espaço amostral passa a ser o conjunto B:
Assim, a probabilidade de a pessoa ganhar, tendo escolhido o número 3 e não
obtido esse número no primeiro dado é de 1/6 ou 16, 67%.
Observação importante: n(A∩B) = {(1, 3); (2, 3); (4, 3); (5, 3); (6, 3)}, isto é, são as
possibilidades de não sair 3 no primeiro dado.
Como n(A∩B)= 5, temos P(A∩B) = 5/36.
Nessa situação, A e B são eventos dependentes, ou seja, a ocorrência de um
depende da ocorrência prévia do outro.
Eventos Independentes e Eventos Dependentes
Após o estudo da Probabilidade Condicional, notamos que há eventos que o
cálculo da probabilidade deste depende ou não de outro evento. Por isso, vamos
conceituar Eventos Independentes e Eventos Dependentes.
Quando se estuda simultaneamente dois eventos, existem duas possibilidades quanto
à relação entre as suas probabilidades:

Eventos Dependentes: Quando a ocorrência de um influencia a probabilidade de
ocorrência do outro;

Eventos Independentes: Quando a ocorrência de um em nada interfere na
ocorrência do outro.
Assim, se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de que ambos
aconteçam ao mesmo tempo é necessariamente igual à probabilidade isolada de um
deles ocorrer multiplicada pela probabilidade isolada do outro, ou seja, em notação
matemática:
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Quando existe alguma relação entre A e B de modo que a ocorrência de um
interfere na probabilidade do outro, a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo
tempo assume um valor diferente dependendo da natureza da relação.
Exemplo: Lançamos dois dados.
A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: P1 = 1/6
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: P2 = 1/6
Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é:
P(A∩B) = 1/6 · 1/6 = 1/36
Conceito de Probabilidade Condicional (Probabilidade de eventos dependentes)
Considere um experimento aleatório com um espaço amostral equiprovável E,
finito e não vazio. Ao realizar o experimento, constata-se que ocorreu um evento não
vazio A. Qual é a probabilidade de ter ocorrido também algum elemento de outro
evento B? A probabilidade de ocorrer o evento B dado que ocorreu o evento A é
indicada por P(B│A), e é calcula por:
O número P(B│A) é a probabilidade de ocorrer B condicionada à ocorrência de
A. Esse número pode ser expresso, também, em função das probabilidades de A∩B e de
A, bastando para isso dividir por n(E) o numerador e o denominador da fração do
segundo membro da igualdade (I), isto é:
Assim, temos duas identidades equivalentes, (I) e (II), para o cálculo da
probabilidade condicional P(B│A).
Exemplo: Um casal planeja ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de que o casal tenha
exatamente dois filhos do sexo masculino, sendo que o primeiro filho que nasceu é do
sexo feminino?
O espaço amostral que representa as possibilidades de o casal ter 3 filhos é:
S = {(M, M, M); (M, M, F); (M, F, M); (M, F, F); (F, M, M); (F, M, F); (F, F, M); (F, F,
F)}
Logo, temos,
Evento A: exatamente dois filhos do sexo masculino.
A = {(M, M, F); (M, F, M); (F, M, M)}
P(A) = n(A)/ n(S) = 3/8
Evento B: o primeiro filho é do sexo feminino.
B = { F, M, M); (F, M, F); (F, F, M); (F, F, F)}
P(B) = n(B)/n(S) = 4/8
Evento A∩B: exatamente dois filhos do sexo masculino e o primeiro filho do sexo
feminino.
(A∩B) = {(F, M, M)}
Calculando P(B│A), obtemos a probabilidade de o casal ter exatamente dois filhos do
sexo masculino, sendo que o primeiro filho que nasceu é do sexo feminino:
Sessão 7 – Teoremas fundamentais
A finalidade dessa sessão é abordar os conceitos do Teorema da Soma e o
Teorema do Produto e explorar sua aplicabilidade. Para a resolução dessas atividades
serão utilizados matérias manipuláveis como caixa com fichas coloridas, baralho e o
jogo de peças conhecido como Dominó.
7.1 Utilize a caixa que contém fichas coloridas. A caixa contém cinco fichas vermelhas,
três fichas azuis, quatro fichas brancas e uma ficha verde. Retire uma ficha da caixa e
responda:
a) Qual a probabilidade dessa ficha ser vermelha?
S = {13 fichas}
A = {5 fichas vermelhas}
P = n(A)/ n(S) = 5/13 = 0, 38 = 38%
b) Qual a probabilidade dessa ficha ser azul?
S = {13 fichas}
B = {3 fichas azuis}
P = n(B)/ n(S) = 3/13 = 0, 23 = 23%
c) Qual a probabilidade dessa ficha ser branca?
S = {13 fichas}
C = {4 fichas brancas}
P = n(C)/ n(S) = 4/13 = 0, 30 = 30%
d) Qual a probabilidade dessa ficha ser vermelha ou azul?
Temos que a probabilidade de sair uma ficha azul é P(A) = 3/13 e a probabilidade de
sair uma ficha vermelha é P(B) = 5/13, logo,
P(AUB) = P(A) + P(B) = 5/13 + 3/13 = 8/13 = 0,61 = 61%
e) Qual a probabilidade dessa ficha ser branca ou amarela?
Temos que a probabilidade de sair uma ficha branca é P(A) = 4/13 e a probabilidade de
sair uma ficha verde é P(B) = 1/13, logo
P(AUB) = P(A) + P(B) = 4/13 + 1/13 = 5/13 = 0,38 = 38%
Teorema da Soma (Probabilidade da união de dois eventos)
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral S finito, não vazio e
equiprovável. Pelo conceito de Kolmogoroff:
P(AUB) = P(A) + P(B)
Exemplo: Considere o seguinte experimento aleatório: retirar uma carta de um baralho
comum e verificar qual é a carta. Qual é a probabilidade de obter um às ou um rei?
O espaço amostral nesse caso é S = {52}
Vamos calcular a probabilidade de tiramos um às:
Evento A: retirar um às
A = {às de copa; às de espadas; às de ouros; às de paus}
A = {4}
P(A) = n(A)/n(S) = 4/52
Evento B: retirar um rei
B = {rei de copa; rei de espadas; rei de ouros; rei de paus}
B = {4}
P(B) = n(A)/n(S) = 4/52
Qual é a probabilidade de obter um às ou um rei?
P(AUB) = P(A) + P(B) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 0,154 = 15,4%
7.2 Essa atividade será realizada entre os integrantes de cada grupo (em duplas). Será
feita uma aposta e o vencedor ganhará um lanche. Dupla A: vamos lançar uma moeda
comum três vezes e se nos três lançamentos sair cara, nós ganhamos! Dupla B: vamos
lançar um dado comum três vezes e se tirarmos nos três lances o número seis, nós
ganhamos.
a) Quem você acha que tem a maior probabilidade de ganhar a aposta? Por quê?
Resposta pessoal
b) Qual a probabilidade de se obter cara no primeiro lançamento? E no segundo? E no
terceiro?
Representando por cara por ca e coroa por co, podemos construir o diagrama da árvore
para representar o espaço amostral desse evento.
Temos S = {(ca, ca, ca), (ca, ca, co), (ca, co, ca), (ca, co, co), (co, ca, ca), (co, ca, co),
(co, co, ca), (co, co, co)}
Note que a probabilidade de se obter uma face cara ou coroa em um dos lançamentos
independe da face obtida em qualquer um dos outros lançamentos. Dessa forma,
dizemos que os eventos são independentes.
Representando por
,
e
o evento em que se obtém cara no primeiro, segundo e
terceiro lançamento, temos que a probabilidade de se obter cara nos três lançamentos é
dada por:
P( ∩
∩
) = P( ) · P(
) · P(
) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8 = 12,5%
c) Qual a probabilidade de se obter 6 no primeiro lançamento do dado? E no segundo? E
no terceiro?
Analogamente para os dados temos:
(1ª lançamento) = 1/6
(2ª lançamento) = 1/6
(3ª lançamento) = 1/6
Probabilidade Total = (
∩ ) = 1/6 · 1/6 · 1/6 = 1/ 216 = 0,0046 = 0,46%
d) É mais fácil tirar três caras na moeda ou três vezes o número 6 no dado?
É mais fácil tirar três caras na moeda, pois a probabilidade é maior.
e) Quem tem a maior chance de ganhar: a dupla A ou a dupla B?
Dupla A, pois pelo cálculo das probabilidades, suas chances são maiores.
7.3 Para a experimentação dessa atividade utilizaremos um jogo de dominó, com as
peças ilustradas abaixo:
a) Retire ao acaso uma peça desse dominó.

É mais provável essa peça ter soma um número par ou ímpar? Por quê?
Soma par, pois temos 16 peças com soma par e 12 peças com soma ímpares.

Qual a probabilidade dessa peça ter como soma um número par?
Temos no total 28 peças, logo nosso espaço amostral é S = {28}
Evento A: total de peças com soma par
A = {16}
P(A) = n(A)/ n(S) = 16/28 = 0,53 = 53%

Qual a probabilidade dessa peça ter como soma um número ímpar?
Temos no total 28 peças, logo nosso espaço amostral é S = {28}
Evento B: total de peças com soma ímpar
B = {12}
P(B) = n(B)/ n(S) = 12/28 = 0,428 = 43%
b) Coloque de volta a peça que você retirou. Agora retire novamente uma peça. Qual a
probabilidade dessa peça ter como soma 4 ou 6 pontos?
Primeiro, vamos calcular a probabilidade da soma dessa peça que retiramos ser 4
pontos:
Evento A: número de peças com soma 4
A = {3}
P(A) = n(A)/ n(S) = 3/28 = 0,107 = 11%
Agora, vamos calcular a probabilidade da soma dessa peça que retiramos ser 6 pontos:
Evento B: número de peças com soma 6
A = {4}
P(B) = n(B)/ n(S) = 4/28 = 0,14 = 14%
Logo, a probabilidade dessa peça que retiramos ter soma 4 ou soma 6 é:
P(AUB) = P(A) + P(B) = 3/28 + 4/28 = 7/28 = 0,25 ou 25%.
c) Novamente, coloque a peça que você retirou. Agora repita o seguinte experimento:
retire ao acaso desse dominó uma peça, e sem reposição, retira outra.
Qual a
probabilidade da soma dos pontos obtida em casa uma das peças retiradas ser igual a 7?
Vamos considerar os seguintes eventos:
A: ocorrencia, na 1ª retirada, de uma peça cuja soma dos pontos é igual a 7.
B: ocorrencia, na 2ª retirada, de uma peça cuja doma dos pontos é igual a 7.
Note que a probabilidade de B é condicional em relação a A. Estamos interessados em
calcular P(A∩B), ou seja, a probabilidade de as peças da 1ª e 2ª retiradas terem pontos
cuja soma é 7.
Quando estudamos probabilidade condicional, vimos que,
Nesse caso, precisamos calcular, P(A) e P(B│A).

Vamos calcular P(A):
Na 1ª retirada temos três peças cuja soma é 7 de um total de 28 peças, logo, P(A) =
3/28.

Calculando P(B│A):
Na 2ª retirada, como é sem reposição, há 2 peças cuja soma é 7 de um total de 27 peças.
Logo, P(B│A) = 2/27.
Portanto,
P(A∩B) = P(B│A) · P(A) = 2/27 · 3/28 = 6/756 = 0,8 ou 8%.
Teorema da Multiplicação
Com o conceito de probabilidade condicional é possível apresentar uma maneira
de se calcular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes
eventos. Esta expressão é denominada de teorema da multiplicação:
P(A∩B) = P(A)·P(B/A) = P(A/B)·P(B)
Bibliografia recomendada
LIMA, E.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática
do Ensino Médio. Volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. São
Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2008.