experimentação zootécnica

EXPERIMENTAÇÃO ZOOTÉCNICA
Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
[email protected]
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A determinação da área central de 95% sob a
curva normal pode ser resolvida com o recurso
de cálculo integral (MATEMÁTICA II).
Para o caso específico do peso ao abate de
suínos ( = 90 kg e = 12 kg).
a)
A definição da função matemática sob a qual se
deseja calcular a área compreendida entre duas
coordenadas quaisquer (função proposta por Gauss)
ܻ௜ =
1
12 2ߨ
௑೔ ିଽ଴ మ
ି
݁ ଶ ଵଶ మ
1
=
݁ି
30,0795
௑೔ ିଽ଴ మ
ଶ଼଼
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A determinação da área central de 95% sob a curva
normal pode ser resolvida com o recurso de cálculo
integral (MATEMÁTICA II).
Para o caso específico do peso ao abate de suínos
( = 90 kg e = 12 kg).
b) Integrar essa função entre essas duas coordenadas: o
valor obtido será a área percentual em relação a área total
sob toda a função (de −∞ a ∞) que corresponderia a 100%
௫మ
න
௫భ
1
12 2ߨ
௑೔ ିଽ଴ మ
ି
݁ ଶ ଵଶ మ
௫మ
1
݀ܺ = න
݁ି
30,0795
௫భ
௑೔ ିଽ଴ మ
ଶ଼଼ ݀ܺ
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Se considerarmos ଵ = 90 kg (média) e o ଶ = 100 kg,
por exemplo, a área calculada a partir da integração
seria a área hachurada na figura abaixo e o valor final
corresponderia ao percentual da população ali contida.
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Se considerarmos ଵ = 90 kg (média) e o ଶ = 100 kg,
por exemplo, a área calculada a partir da integração
seria a área hachurada na figura abaixo e o valor final
corresponderia ao percentual da população ali contida.
௫మ
1
න
30,0795
௫భ
௑೔ ିଽ଴ మ
݁ ି ଶ଼଼ ݀ܺ
ଵ଴଴
1
= න
݁ି
30,0795
ଽ଴
௑೔ ିଽ଴ మ
ଶ଼଼ ݀ܺ
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Para calcularmos o limite corretamente, sem ter
que fazer cálculos de integrais, utilizamos a tabela
de áreas sob a curva normal de uma variável caracterizada pela média zero e o desvio padrão 1
(Tabela A1)
Esta tabela apresenta as áreas compreendidas entre o
ponto central da distribuição, média zero, e qualquer
valor de ‫ݖ‬.
A primeira coluna contém os valores inteiros e
decimais da variável ‫ ݖ‬e a cada coluna seguinte, o seu
valor centesimal.
MODELO NORMAL
Definição:
Dizemos que uma variável aleatória contínua
tem distribuição Normal com parâmetros e ଶ , se
sua função densidade é dada por:
Notação:
1
2
௫ିఓ మ
ି
ଶఙమ ,
~ , ଶ
para ∞ ∞.
MODELO NORMAL
A densidade
é representada pela figura abaixo:
Algumas propriedades:
a) é simétrica em relação a .
b) ⟶ 0 quando ⟶ ∞.
c) max .
௫
Densidade Normal
MODELO NORMAL
Cálculo
da Probabilidade
௕
௔
1
2
Média
Variância
ଶ ଶ
௫ିఓ మ
ି
ଶఙమ
.
MODELO NORMAL
Se uma distribuição de valores de com média e o
desvio padrão tiver uma constante somada (ou
diminuída) a cada observação, a média do novo conjunto
será , mas o desvio padrão permanece o mesmo .
Variável
2
2
22=4
2=1
4
42=6
4=3
6
62=8
6=5
Média 4
42=6
4=3
Desvio 2
2
2
MODELO NORMAL
Se uma distribuição de valores de com média e o
desvio padrão tiver uma de suas observações
multiplicada (ou dividida) por uma constante , a média
dos valores obtidos será (ou
s (ou ௦⁄௞)
௑ത
௞)
e o desvio padrão
Variável
3
2
3∙26
2⁄
1
4
3 ∙ 4 12
4⁄
2
6
3 ∙ 6 18
6⁄
3
Média 4
3 ∙ 4 12
4⁄
2
Desvio 2
3∙26
2⁄
1
Se a variável , peso ao abate, apresentou uma média
de 90kg e um desvio padrão de 12kg, a transformação
= − = − 90
garantirá uma nova média zero e um desvio ainda de
12, assim ~ 0, 12
Se após a transformação anterior dividíssemos todas
as observações assim obtidas por = 12, então a nova
ଵଶ
distribuição manteria a média zero e um desvio = 1,
ଵଶ
~ 0, 1 ,
− − 90
=
=
12
sendo, portanto a mesma distribuição com áreas já
registrada na tabela z.
MODELO NORMAL
Para
evitar a multiplicação desnecessária de tabelas para
cada par de valores , ଶ , utiliza-se uma transformação
que conduz sempre ao cálculo de probabilidades com
uma variável de parâmetros 0, 1 , isto é, média zero e
variância 1.
Considere
Assim,
~ , ଶ é defina uma nova variável
$~ 0, 1 .
$
.
MODELO NORMAL
Os
valores para determinar 0 $ % , % & 0 são
apresentados na tabela abaixo.
MODELO NORMAL
Exemplo: Para ~ , , temos:
2 2 2
0 1 0,3413.
Correspondendo a área sombreada no gráfico.
MODELO NORMAL
Exercício: Para ~ , , obter 0 :
0 0 0
0 ଶଷ 0,2486.
Correspondendo a área sombreada no gráfico.
MODELO NORMAL
Podemos,
ainda, calcular as probabilidades de intervalos com
extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos
na parte positiva.
Outro
recurso importante é a utilização do complementar, por
exemplo:
'3 ௑ିఓ
௦
0,5 0 ଵ
ଷ
'
ଷିఓ
௦
$'
ଵ
ଷ
0,5 0,1293 0,3707.
MODELO NORMAL
A
tabela também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é,
dada uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a
originou.
Exemplo:
Quanto vale tal que 0 0,4.
Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se
aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o
valor de .
Assim,
0 1,28 0,4.
MODELO NORMAL
Exemplo:
Quanto vale tal que 0 0,4.
Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se
aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o
valor de .
Assim, 0 1,28 0,4.
Lembrando que ଶ
௑ି௑ത
௦మ
, então neste caso temos:
⇒ ∙ ଶ APLICAÇÕES PRÁTICAS
01. Uma granja avícola caracterizada por uma produção
média diária de 3.000 ovos, pensando em média 55g e com
desvio padrão de 12g, vende seus produtos segundo os
respectivos pesos.
Uma panificadora deseja reservar diariamente 30
dúzias de ovos industriais (com peso inferior a 38g), por
serem mais baratos, para a fabricação de pães e bolos. Será
que a granja poderá atender este pedido?
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 1
Considere a variável
peso de ovos de uma granja avícola em g
Sabe-se que
55 g
e
12g
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 1
Vamos calcular a probabilidade do peso dos ovos dessa
granja avícola ser inferior a 38 g 38 ௑ି௑ത
௦
38 ଷ଼ିହହ
ଵଶ
38 ିଵ଻
ଵଶ
38 ≅ 1,42
38 0,5 0 1,42
20 0,5 0,4222 0,0778.
Portanto a probabilidade de se encontrar ovos mais leves que
38g na granja é de 7,78%
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 1
Sabendo que a granja produz 3.000 ovos por dia,
quantos ovos comerciais essa granja de capacidade de
produzir?
3.000 100%
7,78%
assim,
3.000 7,78 23.340
233,4
100
100
Logo, essa granja tem capacidade de produzir de 233 a 234 ovos
industriais, ou seja, de 233 a 234 ovos mais leves que 38g.
Portanto a granja NÃO poderá atender o pedido da
panificadora, que exige 360 ovos comerciais diariamente.
APLICAÇÕES PRÁTICAS
02. Se um abatedouro de suínos se interessar por animais
com peso mínimo de 90 kg, qual a porcentagem de
indivíduos que estará apta para o abate quando a média do
lote for 95 kg e o desvio padrão 15 kg?
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 2
Considere a variável
peso de suínos em kg
Sabe-se que
95 kg
e
15 kg
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 2
Vamos calcular a probabilidade do peso dos suínos serem
superiores a 90 kg ! "#
90 ௑ି௑ത
௦
90 ଽ଴ିଽହ
ଵହ
90 ିହ
ଵହ
38 ≅ 0,33
38 0,5 0 0,33
20 0,5 0,1293 0,6293.
Portanto a probabilidade do peso dos suínos serem superiores a 90kg, ou
seja, a porcentagem de indivíduos que estará apta para o abate é de 62,93%
EXERCÍCIOS
E1. Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um
tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma
densidade Normal, com média 15 e desvio padrão 2 (em dias).
Considere : tempo de cura, assim ~ 15, 4 .
a)
Qual a proporção desses pacientes que demora mais de 17 dias
para se recuperar? b)
17
Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,
apresentar tempo de cura inferior a 20 dias? 20
c)
Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25%
dos pacientes?
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
a)
Qual a proporção desses pacientes que demora mais de
17 dias para se recuperar $ %& ?
$ 17 ௑ିଵହ
ସ
$
ଵ଻ିଵହ
ସ
$ 17 $ 1
$ 17 0,5 0 1
$ 17 0,5 0,3413 0,1587.
Portanto, a proporção desses pacientes que demora mais de
17 dias para se recuperar é de 15,87%
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,
apresentar tempo de cura inferior a 20 dias '# ?
20 ௑ିଵହ
ସ
ଶ଴ିଵହ
ସ
20 2,5
20 0,5 0 2,5
20 0,9938.
Portanto a probabilidade de um paciente, escolhido
ao acaso, apresentar tempo de cura inferior a 20
dias é de 99,38%
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
c)
Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25%
dos pacientes?
A proporção de cura para o conjunto de pacientes é interpretada como
a probabilidade para um único paciente, genericamente escolhido.
Assim, precisamos obter um valor ! tal que: ! 0,25, então:
௑ିଵହ
ସ
௧ିଵହ
ସ
௧ିଵହ
ସ
0,25.
Com o uso da tabela, obtemos:
௧ିଵହ
ସ
0,67 ⟹ ! 13,33.
Assim, 25% dos pacientes ficarão curados antes de, aproximadamente, 14 dias.
EXERCÍCIOS
E2. Se em um criatório o peso ao nascer de bezerros
machos da raça Gir foi modelado por uma densidade
Normal, com média de 23kg e o desvio padrão 3 kg, entre
quais valores de peso ao nascer estará 95% dos bezerros
ali nascidos?
Considere : peso ao nascer de bezerros machos da
raça Gir, assim ~ 23, 3 .
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Neste exercício, desejamos saber quanto vale tal que 0,95.
Desta maneira devemos calcular:
0 Sabendo que െ ܿ ൌ
௑ିఓ
ఙ
0,475 ⇒ 1,96
ൌ
௑ିଶଷ
.
ଷ
Então:
1,96 ⇒ 1,96 ∙ 3 23 17,12
0 Sabendo que ܿ ൌ
,
,
௑ିఓ
ఙ
ൌ
0,475 ⇒ 1,96
௑ିଶଷ
.
ଷ
Então:
1,96 ⇒ 1,96 ∙ 3 23 28,88
Portanto o peso ao nascer estará 95% dos bezerros ali nascidos será de
, kg, ou seja, entre 17,12 a 28,88 kg.
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
E3. Em uma turma do oitavo ano, a altura dos alunos apresenta distribuição
normal com média 162 cm e desvio padrão de 6cm. Qual a probabilidade de um
aluno sorteado aleatoriamente ter mais de 170 cm.
Resposta. Considere X: altura dos alunos em uma turma do oitavo ano (cm)
170 ௑ିଵ଺ଶ
ଷ଺
170 ଼
଺
ଵ଻଴ିଵ଺ଶ
ଷ଺
1,33
170 0,5 0 ! 1,33 0,5 0,4082 0,0918
170 9,18%
Portanto a probabilidade de um aluno sorteado aleatoriamente ter mais de 170
cm é de 9,18%