Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO)
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Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO) Prof. Luciano Barboza da Silva Lista de Exercícios Disc. Estatística II Curso: Engenharia de Produção Variáveis Aleatórias Discretas 1. Quando o Departamento de Saúde testou poços artesianos privados em um determinado país para duas impurezas, achou 20% dos poços sem nenhuma impureza, 40% com impureza do tipo A e 50% com impureza B (evidentemente alguns têm ambas as impurezas). Se um poço é escolhido aleatoriamente no país, ache a função probabilidade para Y, o número de impurezas achadas nos poços. Resp. y 0 1 2 P(Y = y) 0,20 0,70 0,10 2. Você e seu amigo jogam um jogo onde cada um lança uma moeda balanceada. Se as faces voltadas para cima são ambas coroas, você ganha $1,00, caso sejam ambas cara, você ganha $2,00. Caso as faces voltadas para cima não coincidam você perde $1,00 (ganha -$1,00). Ache a distribuição de probabilidades dos seus ganhos, Y, em uma única rodada do jogo. Resp. Y -1 1 2 P(Y = y) 1/2 1/4 1/4 3. Sabe-se que em um grupo de quatro componentes há dois defeituosos. Um inspetor testa os componentes um por vez até os dois defeituosos serem localizados. Assim que acha os dois defeituosos ele para o teste. Em qualquer caso o segundo defeituoso é testado para garantir a precisão do teste. Seja Y o número de testes até que se encontre o segundo componente defeituoso. Ache a distribuição de probabilidade de Y. Resp. Y 2 3 4 P(Y = y) 1/6 1/3 1/2 4. Considere um sistema de fluxo de água passando por três válvulas (segundo diagrama abaixo). As válvulas 1,2 e 3 operam independentemente, e, com probabilidade 0,8, todas abrem corretamente em resposta a um dado sinal. Ache a distribuição de probabilidade de Y, o número de caminhos abertos entre A e B depois que o sinal é dado. (Note que Y pode assumir 0,1 ou 2) 1 A B 2 3 Resp. y 0 1 2 P(Y = y) 0,072 0,416 0,512 5. Um problema em um teste dado para criancinhas pede às mesmas para ligar as figuras de 3 animais a nomes identificadores desses animais. Supondo que as crianças associam aleatoriamente cada uma das três figuras, ache a distribuição de probabilidade de Y, número de associações corretas. Resp. y 0 1 3 P(Y = y) 1/3 1/2 1/6 6. Seja Y uma VA distribuída conforme distribuição abaixo. Calcule: E(Y), E(1/Y), E(Y2 – 1) e V(Y). y 1 2 3 4 P(Y = y) 0,4 0,3 0,2 0,1 7. O número N de prédios residenciais que um posto do corpo de bombeiros serve depende da distância r (de quarteirões) que um carro de bombeiros pode cobrir em um tempo pré-fixado. Assumindo que N é proporcional à área de um círculo, de raio R quarteirões a partir da central de atendimento, o número de edificações residenciais é dado por N = CπR2, onde C é uma constante, π = 3,1415... e R uma VA que representa o número de quarteirões que um carro de bombeiros pode cobrir em um dado intervalo de tempo. Para uma companhia em particular consideremos C = 8, a distribuição de probabilidades de R dada abaixo e p( r ) = 0 para r ≤ 20 e r ≥ 27. r 21 22 23 24 25 26 P(R = r) 0,05 0,20 0,30 0,25 0,15 0,05 Ache o valor esperado de N, o número de residências servidas pelo corpo de bombeiros pode atender. Resp. 13800 8. Considere o seguinte jogo: o participante retira uma carta de um baralho tradicional de 52 cartas. Caso retire Valete (J) ou Dama (Q) recebe $15, caso retire um Rei (K) ou Ás (A) recebe $5. Caso retire qualquer outra carta para $4. Para este jogo qual o valor esperado do ganho para uma única jogada? Resp. $0,31 9. Um vendedor pode contatar um ou dois consumidores por dia com probabilidades 1/3 e 2/3 respectivamente. Cada contato pode resultar em nenhuma venda ($0) ou em uma venda ($50.000), com probabilidades 0,9 ou 0,1, respectivamente. Ache a distribuição de probabilidades para as vendas de um dia. Ache a média e o desvio padrão das vendas de um dia. Resp. y 0 50000 100000 P(Y = y) 0,84 0,15 0,01 E Y 8333,33 Y 19507,83 10. Seja Y uma variável aleatória discreta, com média µ e variância σ2. Se a e b são constantes, use os resultados sobre valor esperado e a definição de variância para verificar: a. EaY b aEY b ; b. V aY b a 2 2 . 11. Amostras de vidrarias de laboratório são embaladas em pacotes pequenos e grandes. Suponha que 2% e 1% das amostras despachadas em pequenos e grandes pacotes, respectivamente, quebrem durante o transporte. Se 60% das amostras são despachadas em grandes pacotes e 40% são despachadas em pequenos pacotes, qual a proporção de amostras que quebram durante o transporte? 12. Uma caixa contém seis bolas vermelhas e três verdes e uma segunda caixa contém sete bolas vermelhas e três verdes. Uma bola é retirada da primeira caixa e colocada na segunda. Então uma bola é retirada da segunda caixa e colocada na primeira. a) Qual a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na primeira caixa e outra bola vermelha na segunda? b) No fim do processo de seleção, qual a probabilidade de o número de bolas vermelhas e verdes da primeira e da segunda caixa serem idênticos ao do início? 13. Um sistema consiste em duas bombas idênticas, nº 1 e nº 2. Se uma bomba falha o sistema continua em operação. Se pelo menos uma das bombas falha no período de vida útil do sistema em 7% das vezes e ambas as bombas falham no mesmo período em 1% das vezes, qual a probabilidade de a bomba nº 1 falhar durante a vida útil do sistema? 14. Em um determinado posto de gasolina 40% dos clientes usam gasolina comum ( A1 ), 35% usam gasolina aditivada ( A2 ) e 25% gasolina premium ( A3 ). Dos clientes que utilizam gasolina comum apenas 30% enchem o tanque (chamemos de B o evento: o cliente enche o tanque). Dos clientes que utilizam gasolina aditivada, 60% enchem o tanque, e dos que utilizam gasolina premium, 50% enchem o tanque. a) Qual a probabilidade de o próximo cliente pedir gasolina aditivada e encher o tanque ( A2 B )? b) Qual a probabilidade de o próximo motorista encher o tanque? 15. Sessenta por cento das aeronaves leves que desaparecem em vôo em um dado país são localizadas posteriormente. Das aeronaves localizadas, 60% possuem localizador de emergência, enquanto 90% das aeronaves não localizadas não possuem esse dispositivo. Suponha que uma aeronave leve tenha desaparecido a) Se ela tiver localizador de emergência, qual é a probabilidade de não ser localizada? b) Se ela não tiver localizados de emergência, qual é a probabilidade de não ser localizada? 16. Os componentes que chegam em um distribuidor são verificados em busca de defeitos por dois inspetores diferentes (cada componentes é verificado por ambos os inspetores). Cada inspetor detecta 90% de todos os componentes defeituosos. Pelo menos um inspetor não detecta 20% de todos os componentes defeituosos. Qual a probabilidade de ocorrência dos itens a seguir: a) Um componente com defeito ser detectado apenas pelo primeiro inspetor? Por exatamente um inspetor? b) Os três componentes defeituosos de um lote passarem pelos dois inspetores sem detecção de defeito (assumindo que as inspeções de diferentes componentes sejam independentes uma da outra)? 17. Considere o sistema esquematizado abaixo. Um subsistema em série funciona tão somente se todos os seus componentes funcionam. Já subsistemas em paralelo funcionam se algum dos seus componentes funciona. Considere que cada componente funciona, de modo independente, com probabilidade 0,9. Calcule a probabilidade de o sistema funcionar. 1 3 2 5 4 7 6 18. Um satélite tem seu lançamento previsto do Cabo Canaveral, na Flórida, e outro na Base Aérea de Vandenberg, na Califórnia. Sejam A o evento do lançamento de Vandenberg ser feito na data e B o evento análogo de Cabo Canaveral. Se A e B forem eventos independentes com P A PB , P A B 0,626 e P A B 0,144 . Determine os valores de P A e PB . 19. Um transmissor está enviando uma mensagem usando um código binário, ou seja, uma sequência de 0’s e 1’s. Cada bit transmitido (0 ou 1) deve passar por três relés para chegar ao receptor. Em cada relé há uma probabilidade de 0,20 de que o bit enviado seja feito de forma diferente do bit recebido (uma reversão). Assim que os relés operem de forma independente um do outro. Transmisso r Re lé 1 Re lé 2 Re lé 3 Re ceptor a) Se um 1 for enviado pelo transmissor, qual será a probabilidade de um 1 ser enviado por todos os relés? b) Se um 1 for enviado pelo transmissor, qual a probabilidade de um 1 ser recebido pelo receptor? c) Suponha que 70% de todos os bits enviados do transmissor sejam 1. Se um 1 for recebido pelo receptor, qual a probabilidade de um 1 ter sido enviado pelo transmissor? 20. Considere o sistema esquematizado abaixo. Um subsistema em série funciona tão somente se todos os seus componentes funcionam. Já subsistemas em paralelo funcionam se algum dos seus componentes funciona. Considere que cada componente funciona, de modo independente, com probabilidade 0,9. Calcule a probabilidade de o sistema funcionar. 1 2 3 4 6 4 7 21. Um caça-níqueis tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 peras, 1 laranja. Uma pessoa paga R$80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem duas maçãs, ganha R$ 40,00. Se aparecerem duas bananas, ganha R$ 80,00; R$ 140,00 se aparecem duas peras e ganha R$ 180,00, se aparecem duas laranjas. Qualquer outra combinação o apostador perde tudo. Qual a esperança do ganho de uma única jogada? 22. Na produção de uma peça são empregadas duas máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peça, e o custo da produção é de R$50,00 por unidade. Das peças produzidas nessa máquina, 90% são perfeitas. As peça defeituosas (produzidas na primeira máquina) são colocadas na segunda máquina o custo por peça é de R$25,00 mas apenas 60% das peças são de fato recuperadas. Sabendo que cada peça perfeita é vendida por R$90,00, e que cada peça defeituosa é vendida por R$20,00, calcule o lucro por peça esperado pelo fabricante. 23. Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se sair a face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair 5 o desconto é de 20%. Se ocorrer face 4 o desconto é de 10%, e se ocorres outro resultados (1,2 ou 3) o desconto é de 5%. a) Ache a função de probabilidade do desconto que um cliente pode receber; b) Calcule a probabilidade de em um grupo de 5 clientes, pelo menos um cliente consiga um desconto maior que 10%? c) Calcule o valo esperado e o desvio padrão do valor do desconto. 24. Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas. Oferece um prêmio de R$150,00 para cada cliente atendido além de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional de R$100,00 para cada cliente atendido além de 41. As probabilidade de atendimento são: Nº Clientes Até 41 42 43 44 45 46 Probabilidades 0,88 0,06 0,04 0,01 0,006 0,004 Qual o valor esperado do ganho do banco se este novo sistema for implantado? 25. As probabilidades de que um aluno no período das provas tenha uma ou duas provas, no mesmo dia, são 0,70 e 0,30 respectivamente. A probabilidade de que deixe de fazer uma prova, por razões diversas, é 0,20. O tempo de duração de cada prova é de 90 minutos. Faça X o tempo total gasto, por dia, que ele utiliza fazendo as provas. Achar, em média, quantas horas gasta, por dia, resolvendo as provas. 26. Um jogador A aposta com B R$100,00 e lança dois dados, nos quais as probabilidades de sair cada face são proporcionais aos valores da face. Se sair soma 7, ganha R$50,00 de B. Se sair soma 11, ganha R$100,00 de B e se sair soma 2 ganha R$200,00 de B. Nos demais casos A perde a aposta. Qual o valor esperado de lucro do jogador A em uma única jogada? OBS: P1 p, P2 2 p,, P6 6 p 27. Dois jogadores fazem uma aposta. A paga R$100,00 para B e lança duas moedas viciadas não simultaneamente. A probabilidade de sair cara na 1ª moeda é 0,3 e da 2ª moeda é 0,2. Se sair cara na 1ª moeda tem o direito de lançar a segunda. Se sair cara na 2ª moeda ganha R$200,00, e se sair coroa, ganha R$100,00. Se sair coroa na 1ª moeda, A nada ganha. Qual a esperança do lucro do jogador A em um única jogada? 28. Uma pessoa vende colhedeiras de milho. Visitas semanalmente uma, duas ou três propriedades rurais com probabilidades: 0.2, 0.5 e 0.3, respectivamente. De cada contato pode conseguir a venda de uma colhedeira por R$120.000,00 com probabilidade 0.3, ou nenhum venda com probabilidade 0.7. Determinar o valor total esperado das vendas semanais. 29. Um jogador A paga R$5,00 a B e lança um dado. Se sair face 3 ganha R$20,00. Se sair 4,5 ou 6, perde. Se sair face 1 ou 2 tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6, ganha R$50,00. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde . Seja X o lucro líquido do jogador A nesse jogo. a) Determine a função de probabilidade de X; b) Calcule o valor esperado e a variância de X. 30. Os empregados A, B, C e D ganham 1,2,2 e 4 salários mínimos, respectivamente. Retira-se amostras com reposição de dois indivíduos e mede-se o salário médio da amostra retirada. Qual a média e o desvio padrão do salário médio amostral. Distribuição Binomial 31. Uma empresa produtora de bebidas de baixa caloria, deseja comprar uma fórmula nova (B) com a fórmula padrão atual (A). A cada um de 4 juízes são dados 3 copos em ordem aleatória, dois contendo a fórmula A e um contendo a B. A cada juiz é questionado qual dos copos mais o agradou. Suponha que as duas fórmulas são igualmente atrativas. Seja Y o número de juízes escolhendo a fórmula nova. a. Ache a distribuição de probabilidades de Y; b. Qual a probabilidade dos últimos 3, dos 4 juízes, preferirem a nova fórmula? c. Qual a probabilidade de 3 juízes escolherem a nova fórmula? d. Ache o valor esperado de Y; e. Ache a Variância de Y. 32. Um sistema eletrônico complexo é construído com um certo número de componentes de backup nos seus subsistemas. Um subsistema tem 4 componentes idênticos, cada qual com probabilidade 0,2 de falhar em menos de 1000 horas. O subsistema funcionará se quaisquer dois de seus 4 componentes estiverem operacionais. Assuma que esses componentes atuam de modo independente. a. Ache a probabilidade de que exatamente 2 de 4 componentes demorem mais que 1000h para falhar; b. Ache a probabilidade de que o subsistema opere por mais de 1000h. 33. A probabilidade de um paciente recuperar-se de uma doença estomacal é 0,8. Suponha que 20 pessoas tenham essa doença. a. Qual a probabilidade de que exatamente 14 pacientes sobrevivam? b. Qual a probabilidade de que pelo menos 10 sobrevivam? c. Qual a probabilidade que pelo menos 15, mas não mais que 18 sobrevivam? d. Qual a probabilidade de que pelo menos 16 sobrevivam? 34. Uma prova de múltipla escolha tem 15 questões, cada qual com 5 possíveis respostas, das quais somente uma é correta. Suponha que um estudante faça a prova escolhendo suas respostas aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ele acerte pelo menos 14 questões? 35. Um sistema de detecção de incêndios utiliza 3 células sensíveis agindo independentemente de qualquer outra, de modo que uma ou mais pode ativar o alarme. Cada célula tem uma probabilidade 0,8 de ativar o alarme, quando a temperatura alcança 100ºC ou mais. Seja Y igual ao número de células ativando o alarme quando a temperatura alcançar 100ºC. Ache a distribuição de probabilidade de Y. Ache, também, a probabilidade de que o alarme funcione quando a temperatura alcançar 100ºC. 36. Uma empresa de cristais finos sabe, por experiência, que 10% de suas taças possuem defeitos cosméticos e devem ser classificadas como de “segunda linha”. a. Dentre seis taças selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade de exatamente uma ser de segunda linha? b. Dentre as taças selecionadas aleatoriamente qual a probabilidade de no mínimo duas serem de segunda linha? c. Se as taças forem examinadas uma a uma, qual será a probabilidade de no máximo cinco terem sido selecionadas para encontrar quatro que não sejam de segunda linha? 37. Suponha que 90% de todas as pilhas, de um certo fabricante, tenha voltagem aceitável. Um determinado tipo de lanterna necessita de duas pilhas tipo “D”, e ela só funciona se as duas pilhas tiverem voltagens aceitáveis. Dentre 10 lanternas selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que pelo menos 9 funcionem? Que hipóteses você fez no decorrer da resposta da questão? 38. Um estudante, que está tentando escrever um trabalho para um curso, tem a escolha de dois tópicos: “A” e “B”. Se o aluno escolher o tópico “A” solicitará dois livros à Biblioteca e se escolher “B” 4 livros. O estudante acredita que para escrever um bom trabalho, precisa receber e usar ao menos metade dos livros selecionados para cada tópico escolhido. Se a probabilidade de um livro solicitado chegar em tempo for 0.9, e os livros chegam independentemente um do outro, que tópico o aluno deve escolher para maximizar a probabilidade de escrever um bom artigo? E se a probabilidade de um livro solicitado chegar em tempo for 0,5 em lugar de 0.9? O aluno ainda assim mantém a sua escolha ou muda? Justifique sua resposta. 39. Os clientes de um posto de gasolina pagam com cartão de crédito “A”, de débito “B” ou dinheiro “C”. Assuma que clientes sucessivos façam escolhas independentes, com P(A) = 0,5, P(B) = 0,2 e P(C) = 0,3. a. Entre os próximos 100 clientes, qual será a média e a variância do número dos que pagam com cartão de débito. Explique seu raciocínio; b. Qual a média e a variância dos que não pagam em dinheiro? 40. Uma limusine de aeroporto, pode acomodar até 4 passageiros em qualquer corrida. A empresa aceitará um máximo de 6 reserva, e todos os passageiros devem ter reservas. Pelos registros anteriores, 20% de todos os que fazem a reserva não aparecem para a corrida. Responda as seguintes perguntas, assumindo a independência quando apropriado. a. Se forem feitas 6 reservas, qual a probabilidade de ao menos um indivíduo com reserva não poder ser acomodado na corrida; b. Se forem feitas 6 reservas, qual a o número esperado de lugares disponíveis na limusine, quando a mesma parte; c. Suponha que a distribuição de probabilidades do número de reservas feitas seja dada na tabela a seguir: Nº de Reservas P 3 0,1 4 0,2 5 0,3 6 0,4 Seja X o número de passageiros de uma corrida selecionada anteriormente. Calcule a função de probabilidade de X. 41. Uma empresa de cristais finos sabe, por experiência, que 10% de suas taças possuem defeitos cosméticos e devem ser classificadas como “de segunda linha”. a)Entre seis taças selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade de uma ser de segunda linha? b) Entre seis taças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de no mínimo duas serem de segunda linha? c)Se as taças forem examinadas uma a uma, qual será a probabilidade de no máximo cinco terem de ser selecionadas para encontrar quatro que não sejam de segunda linha? 42. Suponha que apenas 25% de todos os motoristas parem completamente em um cruzamento com semáforo vermelho para todas as direções quando não há outros carros à vista. Qual a probabilidade de que, entre 20 motoristas selecionados aleatoriamente chegando em um cruzamento nessas condições: a)No máximo seis pararem totalmente? b) Exatamente seis pararem completamente? c)Ao menos seis pararem completamente? d) Quanto dos 20 motoristas você espera que parem completamente. 43. Um determinado tipo de raquete de tênis possui duas versões: média e grande. Sessenta por cento de todos os clientes de certa loja querem a versão grande. a)Entre 10 clientes selecionados aleatoriamente que querem esse tipo de raquete, qual a probabilidade de que ao menos seis querem a versão grande? b) Entre 10 clientes selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de o número dos que desejam a versão grande estar dentro do intervalo de um desvio padrão da média; 44. Vinte por cento de todos os telefones de um determinado tipo são enviados para reparo em garantia. Desses, 60% podem ser reparados, enquanto os outros 40% devem ser substituídos. Se uma empresa quer comprar 10 desses telefones, qual é a probabilidade de exatamente dois serem substituídos em garantia? 45. O governo americano revela que 2% dos dois milhões e alunos que fazem o SAT (uma teste) a cada ano recebem acomodações especiais por causa da deficiência física documentada. Considere uma amostra aleatória de 25 estudantes que fizeram o teste recentemente. a) Qual a probabilidade de exatamente 1 ter recebido acomodação especial? b) Qual a probabilidade de que ao menos 1 tenha recebido acomodação especial? c) Qual é a probabilidade de que o número que receberam acomodação especial estar dentro de dois desvios padrão do número que você espera serem acomodados? d) Suponha que um estudante que não receba acomodações especiais tenha 3 hora para fazer o exame e um que tenha recebido essas acomodações 4,5 horas. Qual você espera seja o tempo médio dos 25 estudantes selecionados? 46. Suponha que 90% de todas as pilhas de certo fabricante tenham voltagens aceitáveis. Um determinado tipo de lanterna necessita de duas pilhas do tipo D, e ela só funciona se ambas as pilhas tenham voltagens aceitáveis. Entre 10 lanternas selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de pelo menos 9 funcionem? 47. Um grande lote de componentes chegou em um distribuidor e só pode ser classificado como aceitável se a proporção de componentes com defeito for no máximo 0,10. O distribuidor decide selecionar 10 componentes aleatoriamente e aceitar o lote apenas se o número de componentes defeituosos da amostra for no máximo 2. a) Calcule a probabilidade de o lote ser aceito quando a proporção real de itens com débito for 0,01; 0,05; 0,10; 0,20; 0,25. b) Repita o item anterior com “1”substituindo “2” no plano de aceitação da amostragem; c) Repita o item a) com “15”substituindo “10” no plano de aceitação da amostragem; d) Qual dos três planos de amostragem? Explique sua escolha. 48. Uma norma que exige a instalação de um detector de fumaça em todas as construídas anteriormente está em vigor há um ano em certa cidade. O corpo de bombeiros está preocupado pois muitas casa continuam sem detectores. Seja p (proporção real de casas que têm detectores) e suponha que uma amostra aleatória de 25 lares seja inspecionada. Se amostra indica fortemente que pouco menos de 80% de todas as casas possuem detector, o corpo de bombeiros fará uma campanha por um programa de inspeção obrigatório. Por causa do custo do programa, o corpo de bombeiros prefere não pedir essas inspeções até que haja fortes evidências da amostra que comprovem a necessidade. Seja X o número de casas com detector entre as 25 da amostra. Considere rejeitar a hipótese de p 0,8 se x 15 . a) Qual a probabilidade de a hipótese ser rejeitada se o valor real de p for 0,8? b) Qual a probabilidade de não rejeitar a hipótese quando p 0,7 ? E quando p 0,6 ? c) Como as probabilidade de erro dos itens anteriores mudam se o valor de 15 na regra de decisão for substituído por 14? 49. Uma ponte cobra pedágio de US$ 1,00 para carros de passeio e US$ 2,50 para outros veículos. Suponha que durante o dia, 60% de todos os veículos sejam carros de passeio. Se 25 veículos cruzarem a ponte durante um determinado período do dia, qual será a receita esperada resultante? 50. Os clientes de um posto de gasolina pagam com cartão de crédito (A), cartão de débito (B) ou dinheiro (C). Assuma que clientes sucessivos façam escolhas independentes, com P A 0,5 , PB 0,2 e PC 0,3 . a) Entre os próximos 100 clientes, qual será a média e a variância dos que pagam com cartão de débito? b) Encontre as mesmas medidas para os que não pagam em dinheiro, na amostra de 100. Distribuição Geométrica 51. Suponha que 30% dos candidatos para um processo seletivo industrial possuem treinamento avançado em programação de computadores. Os candidatos são entrevistados sequencialmente e são selecionados aleatoriamente de um dado grupo. Ache a probabilidade de que o primeiro candidato com treino avançado em programação seja encontrado na 5ª entrevista. 52. Com referência à questão anterior, quantos candidatos, em média, devem ser entrevistados até acharmos um apto? 53. Uma pesquisa eleitoral nos EUA, em 1992, revelou que 73% dos adultos estavam insatisfeitos com o andamento do país. Suponha que você tenha feito sua própria pesquisa no mesmo período. Você ligou aleatoriamente para pessoas adultas e perguntou se as mesmas estavam insatisfeitas com o andamento do país. Ache a distribuição de probabilidades de Y, o número de pessoas entrevistadas, até que seja encontrada uma pessoa satisfeita. Encontre ainda o número médio de ligações necessárias para que a 1ª pessoa satisfeita seja encontrada. 54. Uma empresa de prospecção de petróleo faz uma seqüência de perfurações em uma dada área, com o objetivo de encontrar um poço produtivo. A probabilidade de encontrar um poço produtivo é 0,2. a. Qual a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na 3ª escavação? b. Supondo que a empresa só tem recursos para 10 tentativas, qual a probabilidade de que esta não consiga seu objetivo? 55. Um órgão certificador contábil (OCC) descobriu que 9 de 10 auditorias contém um erro substancial. Se a OCC audita uma série de companhias já auditadas, qual a probabilidade de: a. A primeira companhia a apresentar um erro substancial se a 3ª a ser auditada? b. A primeira companhia a apresentar um erro substancial aparecer na 3ª, ou além da terceira, a ser auditada? 56. A probabilidade de um cliente chegar a uma mercearia, em qualquer segundo, é igual a 0,1. Assuma que os clientes chegam em um padrão aleatório e que as chegadas são independentes. a. Ache a probabilidade de que a primeira chegada irá acontecer no terceiro intervalo de um segundo; b. Ache a probabilidade de que a primeira chegada não ocorra até, pelo menos, o terceiro intervalo de um segundo. 57. Em uma população de consumidores verificou-se que 60% deles preferem uma dada bebida “B”. Caso um grupo aleatório desses consumidores seja sorteado e entrevistado, qual a probabilidade de que exatamente 5 pessoas sejam entrevistadas até encontrarmos o primeiro consumidor que prefere a bebida “B”? Qual a probabilidade de termos de entrevistar pelo menos 5 consumidores? 58. Para responder uma pesquisa sobre um tópico polêmico (como por exemplo, “você já consumiu maconha?”), muitas pessoas preferem não responder de modo afirmativo. Derive a distribuição de probabilidades de Y e o número de esperado de pessoas que você precisa entrevistar para obter uma resposta afirmativa se: 80% da população responde “não”, falando a verdade, e, dos 20% da população que na verdade deveria responder “sim”, 70% mente. 59. Seja Y uma variável aleatória geométrica com probabilidade de sucesso p. a. Mostre que para um número inteiro positivo a PY a 1 p a b. Mostre que para números positivos a e b temos: PY a b | Y a PY b 1 p b Este resultado significa, por exemplo, que PY 7 | Y 2 PY 5. Esta propriedade é denominada “perda de memória”. P A B Dica: P A | B . Considerando A Y a b e B Y a, o P B resultado segue. 60. Suponha que Y é uma V.A. com distribuição geométrica. a. Mostre que PY y 1 ; u 1 b. Mostre que PY y 1 p y 2,3,4, PY y 1 Como 1 p 1 esse fato implica que a distribuição geométrica é uma função monotonicamente decrescente em y, ou seja, P y P y 1 . Sendo assim, qual o valor mais provável de Y? Justifique! Distribuição Hipergeométrica 61. Uma urna contém 10 bolas, das quais 5 são verdes, 2 azuis e 3 vermelhas. Três bolas são retiradas da urna, uma por vez, sem reposição. Qual a probabilidade das 3 bolas serem verdes? 62. Um depósito tem 10 impressoras, 4 das quais estão defeituosas. São escolhidas 5 dessas máquinas, aleatoriamente, pensando-se que todas são funcionais. Qual a probabilidade de que nenhuma das máquinas selecionadas apresente defeito? 63. Ainda sobre a questão anterior. A campanha conserta uma máquina quebrada por $50. Ache o custo esperado do reparo do lote selecionado. 64. Um grupo de 6 softwares, disponíveis para resolver problemas de Programação Linear, são classificados de 1 a 6 (do melhor (1) para o pior (6)). Um engenheiro, desconhecendo a classificação, escolhe aleatoriamente e compra 2 pacotes. Seja Y o número de pacotes comprados pela firma e que são classificados como 3,4,5 ou 6. Ache a distribuição de probabilidades de Y. 65. Uma empresa amostra, sem reposição, 3 firmas de onde comprará determinados insumos. A amostra é selecionada de um total de 6 firmas, das quais 4 são locais e duas não locais. Seja Y o número de firmas não locais dentre as 3 escolhidas. Calcule: a. PY 1 ; b. PY 1 ; c. PY 1 . 66. Um júri de 6 pessoas foi escolhido de uma grupo de 20 potenciais jurados, dos quais 8 são afro-americanos e 12 são brancos. O júri foi supostamente escolhido de forma aleatória, mas contém apenas 1 membro afro. Você teria alguma razão para desconfiar da aleatoriedade da seleção? Justifique !!! 67. Suponha que um rádio tem 6 transistores, dois dos quais com defeito. Três transistores são selecionados aleatoriamente, removidos do rádio e inspecionados. Seja Y o número de transistores defeituosos observados, onde Y = 0,1 ou 2. Ache a distribuição de probabilidades de Y. Expresse seus resultados graficamente (um gráfico de colunas). 68. Certo tipo de câmera digital é oferecida em duas versões: de três megapixel e quatro megapixel. Uma loja de câmeras recebeu uma encomenda de 15 dessas câmeras , das quais 6 com resolução de três megapixel. Suponha que 5 delas sejam selecionadas aleatoriamente, para ser estocadas atrás do balcão. As outras 10 são colocadas na área de armazenagem. Seja X o número de câmeras de três megapixel armazenadas atrás do balcão. a. Que tipo de distribuição tem X e qual sua distribuição de probabilidades? b. Calcule P X 2 , P X 2 e P X 2 ; c. Calcule o valor esperado de X e seu desvio-padrão. 69. Um instrutor que lecionou estatística no curso de engenharia para duas turmas no semestre passado, a primeira com 20 alunos e a segunda com 30, decidiu pedir aos alunos um projeto semestral. Após a entrega de todos os projetos, o instrutor os organizou aleatoriamente antes de corrigi-los. Considere os primeiros projetos a serem corrigidos. a. Qual a probabilidade de exatamente 10 serem da segunda turma? b. Qual a probabilidade de pelo menos 14 projetos serem da segunda turma? c. Qual o valor esperado e o desvio-padrão do número de alunos da segunda turma, dentre os quinze primeiros projetos selecionados? 70. Um diretor de pessoal entrevistará 11 engenheiros seniores para quatro cargos. Marcou 6 entrevistas para o primeiro dia e 5 para o segundo. Assuma que os candidatos serão entrevistados em ordem aleatória. a. Qual a probabilidade de que x dos quatro melhores candidatos sejam entrevistados no primeiro dia? b. Dos 4 melhores candidatos quantos, que fizeram a entrevista no primeiro dia, são esperados? 71. Certo tipo de câmera digital é oferecida em duas versões de três megapixel e quatro megapixel. Uma loja de câmeras recebeu uma encomenda de 15 dessas câmeras, das quais 6 com resolução de três megapixel. Suponha que cinco delas sejam selecionadas aleatoriamente para serem estocadas atrás do balcão. As outras 10 são colocadas na área de armazenagem. Seja = número de câmeras de três megapixel entre as cinco selecionadas para armazenagem atrás do balcão. a) Determine a distribuição de X; b) Calcule P X 2 , P X 2 e P X 2; c) Calcule o valor médio e o desvio padrão de X . 72. Um instrutor que lecionou estatística para engenheiros para duas turmas no semestre passado, a primeira com 20 alunos e a segunda com 30, decidiu pedir aos alunos um projeto semestral. Após a entrega de todos os projetos, o instrutor os organizou aleatoriamente antes de corrigi-los. Considere os primeiros 15 projetos a serem corrigidos: a) Qual a probabilidade de que exatamente 10 projetos serem da segunda turma? b) Qual a probabilidade de que pelo menos 10 projetos sejam da primeira turma? c) Qual o número médio e o desvio padrão do número de projetos entre esses 15 projetos que pertencem a segunda turma? 73. Um geólogo coletou 10 amostras de rocha basáltica e 10 de granito. Instruiu o geólogo assistente para selecionar 15 amostras para análise. a) Qual a distribuição do número de amostras de granito selecionadas para análise? b) Qual a probabilidade de todas as amostras de um dos dois tipos de rocha ser selecionados para análise? c) Qual a probabilidade de o número de amostras de granito selecionadas para análise estar dentro de um desvio padrão no entorno do valor médio? 74. Uma batelada contém 36 células de bactéria, das quais 12 não são capazes de replicação celular. Suponha que você examine três células de bactérias selecionadas aleatoriamente e sem reposição. a) Qual a função de probabilidade do número de células na amostra que podem se replicar? b) Qual a média e a variância na amostra do número de células que conseguem se replicar? c) Qual a probabilidade de no mínimo uma das células selecionadas não poder se replicar? 75. Uma empresa emprega 30 pessoas, das quais 30% têm curso superior em engenharia de produção. Se tomarmos uma amostra de 10 empregados e verificarmos se os mesmo têm ou não o curso de engenharia, responda: a) Qual a probabilidade de que exatamente 2 empregados terem curso superior em engenharia? b) Qual o valor esperado e variância do número de empregado com curso de engenharia nessa amostra? 76. Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional depois de serem preenchidos com chips semicondutores. Um lote contém 50 cartões e 15 são selecionados para verificação. a) Se 20 total de cartões forem defeituosos, qual a probabilidade de ao menos um cartão defeituoso aparecer na amostra retirada? b) Qual o valor esperado e o desvio padrão do número de cartões defeituosos na amostra retirada? 77. Em uma loteria 6 dezenas são escolhidas a partir de 20 números originais. O procedimento é clássico: um apostador escolhe um conjunto de seis dezenas e os organizadores sorteiam 6 dezenas das vinte originais. a) Qual a probabilidade de que os seis números do jogador coincidam com as seis dezenas sorteada pelos organizadores ( o jogador ganha a sena)? b) Qual a probabilidade de que o apostador faça a quadra (acerte quatro das seis dezenas)? c) Qual o valor esperado do número de acertos esperado por um apostador qualquer? 78. De acordo com pesquisas de opinião a Coca-Cola e a Pepsi se estabeleceram como primeira e segunda em vendas, respectivamente, em 1996. Suponha que de um grande grupo de 10 indivíduos, 6 prefiram Coca e 4 Pepsi. Uma amostra aleatória de três desses indivíduos é selecionada. a) Qual a probabilidade de que a maioria da amostra prefira Pepsi? b) Qual o valor esperado e o desvio padrão do número de pessoas que preferem Coca-Cola na amostra? 79. O blackjack, ou vinte e um, como é frequentemente chamado, é um popular jogo de azar jogado nos cassinos de Las Vegas. A um jogador é entregue duas cartas. As cartas da corte (Valete (J), Dama (Q) e Rei (K)) e a “10” t6em valor de 10 pontos. Os ases tem valor de 1 ponto ou 11 (quando vier acompanhada de uma carta de 10 pontos). Um baralho de 52 cartas tem 16 cartas de 10 pontos e 4 ases. a) Qual a probabilidade de que das duas cartas entregues ao jogado no início da partida, ambas sejam de 10 pontos? b) Qual a probabilidade de ambas as cartas sejam ases? c) Qual o número esperado de cartas de 20 pontos que esperamos para um jogador? 80. Um embarque de 10 itens tem duas unidades com defeito e 8 sem defeito. Na inspeção de embarque, uma amostra de unidades será selecionada e testada. Se uma unidade com defeito for encontrada, o embarque das 10 unidades será rejeitado. a) Se uma amostra de 3 itens é selecionada, qual a probabilidade de que o embarque seja rejeitado? b) Responda a questão acima para amostras cada vez maiores (3, 4, 5, ...) e tente determinar, qual o tamanho de amostra que garantiria que haveria rejeição com uma probabilidade de 90%, ou seja, qual o tamanho mínimo de amostra que garantiria que com 90% de chance haveria uma unidade defeituosa, caso tenhamos a população com 2 defeituosas e 8 sem defeito. Distribuição de Poisson 81. Consumidores chegam a um checkout em uma loja de acordo com uma distribuição de Poisson a uma média de 7 por hora. Durante uma dada hora qual a probabilidade de que: a. Não cheguem mais que 3 consumidores? b. Cheguem pelo menos 2 consumidores? c. Cheguem exatamente 5 consumidores? 82. Com referência ao exercício anterior, ache a probabilidade de que exatamente dois clientes cheguem em um período de 2h nos seguintes casos: a. Entre 14:00h e 16:00h (duas horas contínuas); b. Entre 13:00h e 14:00h ou entre 15:00h e 16:00h (duas horas separadamente por uma hora). 83. O número de erros tipográficos cometidos por um tipógrafo particular, tem uma distribuição de Poisson com uma média de 4 erros por página. Se mais de quatro erros aparecem em uma dada página, o tipógrafo deve refazê-la. Qual a probabilidade de uma página qualquer não ter que ser refeita? 84. Um estacionamento tem duas entradas. Os carros chegam pelo portão I de acordo com uma distribuição de Poisson, com média 3 por hora, e pelo portão II também seguindo uma distribuição de Poisson porém com média 4 por hora. Qual a probabilidade de que um total de 3 carros cheguem ao estacionamento em uma dada hora (assuma que o número de carros entrando pelos dois portões são independentes). 85. O número médio de automóveis entrando em um túnel numa montanha é 1 num período de dois minutos. Um número excessivo de carros entrando no túnel num breve período de tempo provoca situações perigosas. Ache a probabilidade de o número de automóveis que entram no túnel em um intervalo de 2 minutos exceda 3. Pode o modelo de Poisson ser razoável para esse problema? Justifique. 86. Um vendedor considera que a probabilidade de uma venda ocorrerem um contato é 0,03. Se o vendedor cantata 100 clientes, qual a probabilidade de fazer pelo menos uma venda? OBS: Resolva utilizando a distribuição binomial e de Poisson, lembrando que para este último caso, np . 87. De acordo com uma pesquisa, 185 pessoas morreram em 12438 incêndios em hotéis em 1979, perfazendo uma média de 1,5 mortes por 100 incêndios. a. Se 200 incêndios de hotéis ocorrem em uma dada região, qual a probabilidade de o número de mortes exceder 8? b. Se 200 incentivos de hotéis ocorrem em uma dada região e o número de mortos excede 8 você poderia esperar que a média de mortes da região excede a média nacional? Justifique. 88. Suponha que apenas 0,10% de todos os computadores de um certo tipo apresentam falhas de CPU durante o período de garantia. Considere que uma amostra de 10000 computadores: a. Qual o valor esperado e o desvio-padrão do número de computadores da amostra que apresentam defeitos? b. Qual é a probabilidade (aproximada) de mais de 10 computadores da amostra apresentarem defeitos? c. Qual a probabilidade (aproximada) de nenhum computador da amostra apresentar defeito? 89. O número de pessoas que chegam para tratamento em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de 5 por hora. a. Qual é a probabilidade de exatamente 4 pessoas chegarem a certa hora? b. Qual é a probabilidade de ao menos 4 pessoas chegarem em certa hora? c. Quantas pessoas você espera que cheguem em 45 minutos? 90. O número de solicitação de assistência recebido por um serviço de guincho é um processo de Poisson com taxa 4 por hora. a. Calcule a probabilidade de exatamente 10 solicitações chegarem em um período de 2 horas? b. Se os operadores do serviço de guincho tirarem 30 minutos de almoço, qual a probabilidade de não perderem nenhum chamado de assistência? c. Quantas ligações você espera que ocorram durante o almoço? 91. Considere gravar algo em um disco rígido e enviá-lo para um certificador contar o número de pulsos ausentes. Suponha que esse número X, tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 0,2. a) Qual a probabilidade de um disco ter exatamente um pulso ausente? b) Qual a probabilidade de um disco ter pelo menos dois pulsos ausentes? c) Se dois discos são selecionados de forma independente, qual a probabilidade de nenhum conter pulsos ausentes? 92. Um artigo do Los Angeles Times (3 de dezembro de 1993) relata que 1 em 200 pessoas possui o gene recessivo que causa câncer de cólon hereditário. Em uma amostra de 1000 indivíduos, qual a distribuição aproximada do número dos que possuem o gene? Use essa distribuição para calcular a probabilidade aproximada de: a) Entre 5 e 8 (inclusive) indivíduos, possuírem o gene? b) Ao menos 8 indivíduos possuírem o gene? 93. Suponha que apenas 0,10% de todos os computadores apresentem falha de CPU durante o período de garantia. Considere uma amostra de 10000 computadores. a) Qual é o valor esperado e o desvio padrão do número de computadores da amostra que apresenta defeito? b) Qual é a probabilidade aproximada de mais de 10 computadores da amostra apresentarem defeito? c) Qual a probabilidade aproximada de nenhum computador da amostra apresentar defeito? OBS: Lembre-se que se temos Y ~ Bin n; p com n e p 0 de modo que 0 np , então temos que Y ~ Poi . 94. Suponha que pequenas aeronaves pousem em um aeroporto, de acordo com um processo de Poisson, com taxa 8 pousos por hora. a) Qual a probabilidade de exatamente seis aeronaves pequenas chegarem durante o período de uma hora? Ao menos seis aeronaves chegar nesse período? b) Qual o valor esperado e o desvio padrão do número de pequenas aeronaves que chegam em um período de 90 minutos? c) Qual é a probabilidade de no máximo 10 aeronaves pequenas chegarem durante um período de 2,5 horas? 95. O número de pessoas que chegam para tratamento em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de 5 chegadas por hora. a) Qual é a probabilidade de exatamente 4 pessoas chegarem em certa hora? b) Qual é a probabilidade de ao menos 4 pessoas chegarem em certa hora? c) Quantas pessoas você espera que chegue em um intervalo de 45 minutos? 96. O número de solicitações de assistência recebido por um serviço de guincho é um processo de Poisson com taxa de 4 solicitações por hora. a) Calcule a probabilidade de exatamente dez solicitações chegarem em um certo período de 2 horas? b) Se os operadores do serviço de guincho tirarem 30 minutos para almoço, qual a probabilidade de não perderem nenhum chamado de assistência? c) Quantas ligações você espera que ocorram durante o almoço? 97. Em testes de placa de circuitos, a probabilidade de falha em um diodo é de 0,01. Suponha que uma placa de circuito contenha 200 diodos. a) Quantos diodos espera-se que apresentem falhas e qual é o desvio padrão desse valor? b) Qual é a probabilidade (aproximada) de ao menos quatro diodos apresentarem falha em uma placa selecionada aleatoriamente? c) Se cinco placas forem enviadas a um determinado cliente, qual a probabilidade de que ao menos quatro funcionem corretamente? (Uma placa só funciona corretamente se todos os seus diodos funcionarem) 98. Um artigo científico sugere que o processo de Poisson pode ser utilizado para representara ocorrência de cargas estruturais no tempo. Suponha que o tempo médio entre as ocorrências de carga seja 0,5 ano. a) Quantas cargas podem ser esperadas durante um período de dois anos? b) Qual a probabilidade de mais de cinco cargas ocorrerem durante um período de dois anos? c) Quanto tempo deve ter um período para que a probabilidade de não ocorrerem cargas seja no máximo 0,1? 99. O número de falhas em parafusos de máquinas da indústria têxtil segue distribuição de Poisson, com média 0,1 falha por metro quadrado. a) Qual a probabilidade de que haja duas falhas em um metro quadrado de tecido? b) Qual a probabilidade de que uma falha em 10 metros quadrados de tecido? c) Qual o valor esperado de falhas em 5 metros quadrados de tecido? 100. Em uma seção de autoestrada o número de buracos, que sào bastante significantes para requerer reparos, é suposto seguir uma distribuição de Poisson, com uma média de dois buracos por milha. a) Qual a probabilidade de que não haja buracos que requeram reparos em 5 milhas de autoestrada? b) Qual a probabilidade de que no mínimo uma buraco que requeira reparo ocorra em 0,5 milha? Função de Probabilidade Acumulada e Variáveis Aleatórias Contínuas 101. Suponha que Y é uma VA que toma assume somente valores inteiros 1,2,3... e função de distribuição F(y). Mostre que a função de probabilidade p(y) = P(Y = y) é dada por y 1 F 1, p y F y F y 1 y 2,3,.... 102. Considere uma variável com distribuição geométrica, ou seja: PY y (1 p) y 1 p, y 1,2,3,... 0 p 1 a. Mostre que Y tem distribuição acumulada F(y) dada por 0, F y k 1 q , y0 k y k 1 k 0,1,2... b. Mostre que a distribuição acumulada acima tem todas as propriedades esperadas de uma função de probabilidade acumulada (discutidas em sala). 103. Suponha que Y possui função de densidade dada por: cy, 0 y 2 f y 0, c.c. a. b. c. d. e. Ache o valor de c de modo que f seja de fato uma função de densidade; Ache F(y); Represente graficamente as funções f(y) e F(y); Utiliza F(y) para calcular P1 Y 2 ; Utilize f(y) para calcular P1 Y 1,5 . 104. O tempo de falha (em centenas de horas) de um transistor é uma VA Y com função de distribuição dada por: 0 F y y2 1 e y0 y0 a. Mostre que F(y) tem as propriedades de uma função de probabilidade acumulada; b. Determine f(y); c. Ache a probabilidade de que um transitor dure pelo menos 200 horas. 105. Seja X a tensão de vibração (psi). Em uma palheta de turbina com certa velocidade de vento em um túneo aerodinãmico. É proposta a seguinte distribuição para o modelo (chamda distribuição de Rayleight): x2 x 2 2 , x 0 f x 2 e c.c. 0, a. Verifique se f(x) é uma densidade legítima; b. Suponha que 100 (valor sugerido por experimentos). Qual a probabilidade de X ser no máximo 200? Pelo menos 200? c. Qual a probabilidade de X estar entre 100 e 200 (novamente assumindo 100 ); d. Ache uma expressão para a função de probabilidade acumulada. 106. Para ir trabalhar, primeiro preciso tomar um ônibus perto de minha casa e depois mudar de ônibus. Se o tempo de espera (em minutos) em cada parada tem uma distribuição uniforme com 1 0 e 2 5 , pode ser mostrado que meu tempo total de espera Y tem função de densidade dada por 1 0 y5 25 y 2 1 f y y 5 y 10 5 25 0 c.c. a. Desenhe o gráfico de f(x); b. Mostre que f y dy 1 ; c. Qaul a probabilidade de que o tempo total seja no máximo 3 min; d. Qual a probabilidade de que o tempo total de espera esteja menos de 2 min ou mais que 6 min. 107. O tempo requerido (em horas) para um estudante completar um teste é uma VA contínua cuja densidade é dada por: cy 2 y, 0 y 1 f y c.c. 0, a. b. c. d. e. Ache c; Ache F(y); Elabore o gráfico de f(y) e F(y); Use F(y), definida em b, para achar F(-1), F(0) e F(1); Ache a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente termine seu teste em menos de meia hora? f. Dado que um estudante particular leva pelo menos 15 minutos para terminar o teste, qual a probabilidade de que este levará pelo menos 30 minutos para fazê-lo? 108. Seja Y uma VA contínua com densidade dada por: 1 y 0 0,2 f y 0,2 cy, 0 y 1 0, c.c. a. b. c. d. e. f. Ache c; Ache F(y); Elabore o gráfico de f(y) e F(y); Use F(y), definida em b, para achar F(-1), F(0) e F(1); Ache P0 Y 0,5 ; Ache PY 0,5 | Y 0,1 . 109. Ache a média e a variância das variáveis dos exercícios: 56,57 e 58. 110. Se Y é uma VA contínua com média e variância 2 e a e b são constantes utilize as definições de valor esperado e variância para VA´s contínuas, e mostre que: a. EaY b aEY b ; b. V aY b a 2 2 . 111. Para certo minério a proporção Y de impurezas por amostra é uma VA com função de densidade dada por: 3 2 y y, 0 y 1 f y 2 0, c.c. O valor de cada amostra é dado por W 5 0,5Y . Ache o valor médio de W. 112. A proporção de tempo, por dia, que todos os funcionários do checkout de um dado supermecado estão ocupados é uma variável aleatória Y com densidade dada por: cy 2 1 y 4 , 0 y 1 f y 0, c.c. a. Ache os valor de c de modo que f(y) é uma função de densidade de probabilidade; b. Ache o valor esperado de Y. 113. A proporção de tempo Y que um robot industrial está em operação durante uma semana de 40 horas é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por: 2 y , 0 y 1 f y c.c. 0, a. Ache E(Y) e V(Y); b. Para cada robot em estudo, o lucro semanal X por semana é dado por X 200Y 60 . Ache E(X) e V(Y); 114. O total de radiação solar para um local especificado no verão tem uma função de densidade dada por: 3 y 26 y 2 y 6 f y 32 0 c.c. (medidas feitas em centenas de calorias). Ache o valor esperado do da radiação solar do verão. 115. O tempo semanal de CPU utilizado por uma empresa de contabilidade tem densidade de probabilidade (medida em horas) dada por: 3 2 y 7 y 2 , 0 y 4 f y 64 0, c.c. a. Ache o valor esperado e a variância do tempo de CPU semanal utilizado; b. O custo do tempo de CPU da firma é de $200 por hora. Ache o valor esperado e variância do custo semanal de CPU; c. Você esperaria que o custo semanal comumente excedesse $600? Justifique sua resposta. Distribuição Exponencial 116. Uma lâmpada tem duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir: se t 0 0, 1 f t 1 e 1000 , se t 0 1000 Determinar: a. A probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1.000 horas; b. A probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média; c. O desvio padrão da distribuição. 117. Se interrupções no suprimento de energia elétrica ocorrem segundo uma distribuição de Poisson com média de interrupção uma interrupção por mês (quatro semanas), qual a probabilidade de que entre duas interrupções consecutivas haja um intervalo de: a. Menos de uma semana; b. Entre dez e doze semanas; c. Exatamente um mês; d. Mais de três semanas. OBS: O tempo entre as chegadas de um processo de Poisson de média é exponencial com parâmetro . 118. Seja X = tempo entre as chegadas sucessivas no guichê de atendimento rápido de um banco local. Se X possui distribuição exponencial com 1 , calcule os itens a seguir: a. O tempo esperado entre duas chegadas; b. O desvio padrão do tempo entre duas chegadas sucessivas; c. A probabilidade de X não ser superior a 4 unidades de tempo; d. A probabilidade de X estar no intervalo de 2 a 5 unidades de tempo. 119. Seja X a distância (m) que um animal viaja desde seu local de nascimento até o primeiro local vago que encontra. Suponha ainda que para os ratos-cangurus de rabo de bandeira, X possui uma distribuição exponencial com parâmetro 0,01386 . a. Qual a probabilidade de a distância ser no máximo 100 m? No máximo 200 m? Entre 100 m e 200 m? b. Qual a probabilidade de a dist6ancia exceder a média por mais de dois desvios padrão? 120. Diversas experiências com determinado tipo de ventilador, usado em motores a diesel, indicam que a distribuição exponencial sugere um bom modelo para cálculo de tempo até uma falha. Suponha que o tempo médio seja 25000 horas. Qual a probabilidade de: a. Um ventilador selecionado aleatoriamente durar pelo menos 20.000 horas? No máximo 30.000 horas? Entre 20.000 e 30.000 horas? b. O tempo de vida de um ventilador exceder o valo médio em mais de dois desvios padrão? 121. Suponha que as contagens registradas por um contador Geiger sigam o processo de Poisson, com uma média de duas contagens por minuto. a. Qual a probabilidade de não haver contagens no intervalo de em um intervalo de 30 segundos? b. Qual a probabilidade de que a primeira contagem ocorra em menos de 10 segundos? c. Qual a probabilidade de que a primeira contagem ocorra entre 1 e 2 minutos depois do início? 122. O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimentos de encanamentos é distribuído exponencialmente com um tempo médio de 15 minutos entre as chamadas. a. Qual a probabilidade de não haver chamada dentro do intervalo de 30 minutos? b. Qual a probabilidade de no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 min? c. Qual a probabilidade de que a primeira chamada chegue no intervalo de 5 a 10 minutos depois de a loja aberta? d. Determine o comprimento de um intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade igual a 0,90 de haver no mínimo uma chamada no intervalo. Distribuição Normal 123. A duração de um certo componente eletrônico tem distribuição normal com média 850 dias e desvio padrão 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar: a. Entre 700 e 1000 dias; b. Mais que 800 dias; c. Menos que 750 dias; d. Exatamente 1000 dias. Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos componentes? 124. Os pesos de estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg. e desvio 5,5 kg. Encontre o número de alunos que pesam: a. Entre 60 e 70 kg; b. Mais que 63,2 kg. 125. Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desvio padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais atrasados recebem a nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar, não receber F. 126. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal com média 48000 km e desvio padrão 2000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: a. Durar mais de 46000 km; b. Durar entre 45000 e 50000 km. 127. Certo produto tem peso médio de 10g e desvio padrão de 0,5g. É embalado em caixas de 120 unidades que pesam em média 150g e desvio padrão de 8g. Qual a probabilidade de que a caixa cheia pese mais de 1370g? 128. Determinada máquina enche latas baseadas no peso bruto, com média 1kg e desvio de 25g. As latas têm peso de 90g e desvio de 8g. Pede-se: a. A probabilidade de uma lata conter menos de 870g de peso líquido; b. A probabilidade de uma lata com ter mais de 900g de peso liquido. 129. Uma avião de turismo de quatro lugares pode levar uma carga útil de 350kg. Supondo que os passageiros têm peso distribuído normalmente com média de 70kg e desvio padrão de 20kg, e que a bagagem de cada passageiro também tenha seu peso normalmente distribuído com média 12kg e desvio 5kg, calcule a probabilidade de: a. Haver uma sobrecarga se o piloto não pesar os 4 passageiros e suas bagagens; b. Que o piloto tenha que tirar pelo menos 50kg de gasolina para evitar sobrecarga. 130. Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. Encontrar a média e variância da distribuição. 131. Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25 polegadas, e o desvio-padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se sue diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos; 132. Suponha que a duração de dois equipamentos E1 e E2 tenham respectivamente distribuições: N1 ~ N 45;9 e N2 ~ N 40;36 . Se o equipamento tiver que ser utilizado por um período de 45 horas, qual deles deve ser preferido? Justifique sua resposta. 133. Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com desvio padrão de 20g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos de 400g?
