Espaços/Subespaços vetoriais e Combinação linear

Universidade Federal de Goiás
Campus Catalão
Departamento de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear
2a Lista de Exercícios
Professor: André Luiz Galdino
Aluno(a):
1. Verifique que o polinômio t2 + 2t + 7 é combinação linear (soma de múltiplos escalares) de
t2 + 1 e t + 3.
2. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1 = (4, 2, −3), v2 = (2, 1, −2) e
v3 = (−2, −1, 0)?
a) (1, 1, 1)
b) (4, 2, −6)
c) (−2, −1, 1)
d) (−1, 2, 3)
3. Verifique se o R2 com a operação de adição definida por (x, y) + (a, b) = (x + 2a, y + 2b) e
a multiplicação por escalar usual é um espaço vetorial.
4. Verifique se o R2 com a operação de adição definida por (x, y) + (a, b) = (y + b, x + a) e a
multiplicação por escalar usual é um espaço vetorial.
5. Verifique se os subconjuntos de R2 a seguir são subespaços.
a) A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}
b) B = {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 0}
6. Verifique se os subconjuntos de F (R, R) a seguir são subespaços.
a) A = {f ∈ F (R, R) : f (−x) = f (x) para todo x ∈ R} (Conjunto das funções, f : R →
R, pares)
b) A = {f ∈ F (R, R) : f (−x) = −f (x) para todo x ∈ R} (Conjunto das funções,
f : R → R, ímpares)
7. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0, 1) e v4 = (1, 2, 1) geram o R3 ,
ou seja, que todo vetor (a, b, c) ∈ R3 pode ser escrito como uma combinação linear de v1 ,
v2 ,v3 e v4 .
8. Determine os subespaços W e S gerados, respectivamente, por {v1 = (−1, 1, 0), v2 =
(−1, 0, 1)} e {v3 = (1, 0, −4), v2 = (0, 1, −2)}.
9. Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R3 ?
a) {(x, y, z) : z = x3 }
b) {(x, y, z) : z = x + y}
c) {(x, y, z) : z ≥ 0}
d) {(x, y, z) : z = 0, xy ≥ 0}
e) {(x, y, z) : x = z = 0}
f) {(x, y, z) : x = −z}
g) {(x, y, z) : y = 2x + 1}
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h) {(x, y, z) : z 2 = x2 + y 2 }
10. Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R4 ?
a) {(x, y, z, w) : x − y = 2}
b) {(x, y, z, w) : z = x = 2y, w = x − 3y}
c) {(x, y, z, w) : x = y = 0}
d) {(x, y, z, w) : x = 0ey = −w}
11. Verifique se os vetores v1 = (1, 2, 5), v2 = (7, −1, 5) e v3 = (1, −1, −1) de R3 são LI ou LD.
12. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes?
a) {(1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 2), (4, 6, 8, 6), (0, 3, 2, 1)}
b) {(1, −2, 3, −1), (−2, 4, −6, 2)}
c) {(1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 1)}
d) {(4, 2, −1, 3), (6, 5, −5, 1), (2, −1, 3, 5)}
13. Para quais valores de a o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (a2 + 2, 2, 0)} é L.D.?
14. Verifique se os polinômios seguintes são LD ou LI.
a) t2 − 2t + 3,
b) t2 − 1,
2t2 + t + 8,
t + 1,
t2 + 8t + 7
t+2
15. Quais dos seguintes são combinações lineares de u = (0, −2, 2) e v = (1, 3, −1)?
a) (2,2,2)
b) (3,1,5)
c) (0,4,5)
d) (0,0,0)
16. Expresse os seguintes como combinações lineares de u = (2, 1, 4), v = (1, −1, 3) e w =
(3, 2, 5).
a) (-9,-7,-15)
b) (6,11,6)
c) (0,0,0)
d) (7,8,9)
17. Quais das seguintes matrizes são combinações lineares de A =
0 2
eC=
?
1 4
6 −8
a)
−1
8
0 0
b)
0 0
6 0
c)
3 8
−1 5
d)
7 1
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4
0
1 −1
,B =
−2 −2
2
3
18. Determinar escalares p, q, r ∈ R tal que (1, 2, 3) = p(1, 0, 0) + q(1, 1, 0) + r(1, 1, 1).
19. Quais dos seguintes conjuntos S são subespaços vetoriais de V ? Justifique
a) V = R3 e S = {(a, 0, 0) ∈ R3 : a ∈ R}
b) V = R3 e S = {(a, 1, 1) ∈ R3 : a ∈ R}
c) V = R3 e S = {(a, b, c) ∈ R3 : b = a + c + 1, com a, b, c ∈ R}
a b
d) V = M2 e S =
∈ M2 : a + b + c + d = 0, com a, b, c ∈ R
c d
20. Você considera possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores
distintos? Explique o seu raciocínio.
21. São espaços vetoriais com as operações usuais (a soma e multiplicação por escalar conhecidas):
a) R: conjunto dos números reais.
b) R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}: conjunto dos vetores no plano bi-dimensional.
c) R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}: conjunto dos vetores no plano tri-dimensional.
d) Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn ) : x1 , x2 , · · · , xn ∈ R}: conjunto dos vetores n-uplas de números reais.
e) Mm×n : conjunto das matrizes m × n cujos elementos são reais.
f) Mn : conjunto das matrizes de ordem n cujos elementos são reais.
g) F(x): conjunto das funções reais de variável real.
h) Pn (x) = {a0 = a1 x + a2 x2 + · · · + an xn }: conjunto dos polinômios de grau menor ou
igual a n de coeficientes reais.
Descreva o vetor nulo e vetpr oposto de cada espaço vetorial citado acima.
22. Verifique se os seguintes subconjuntos de R3 são subespaços.
a) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 3y − 6z}
b) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 3y − 6z = 12}
23. Verifique se os vetores v = (4, 3, −6) e u = (−4, −18, 7) são uma combinação linear dos
vetores {(1, −3, 2), (2, 4, −1)}.
24. Determine o valor de k para que o vetor u = (−1, k, −7) seja uma combinação linear dos
vetores {(1, −3, 2), (2, 4, −1)}.
25. Determine a condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja uma combinação linear dos
vetores {(1, −3, 2), (2, 4, −1)}.
26. Mostrar que o vetor v = (3, 4) pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação
linear dos vetores de S = {(1, 0), (0, 1), (2, −1)}.
27. Determine se os vetores dados geram R3 .
a) u = (2, 2, 2), v = (0, 0, 3), w = (0, 1, 1)
b) u = (2, −1, 3), v = (4, 1, 2), w = (8, −1, 8)
c) u = (3, 1, 4), v = (2, −3, 5), w = (5, −2, 9), t = (1, 4, −1)
d) u = (1, 2, 6), v = (3, 4, 1), w = (4, 3, 1), t = (3, 3, 1)
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Fim da Lista de Exercícios
Boa Sorte!