Matemática Discreta– Teoria dos Conjuntos

Matemática Discreta–Teoria dos Conjuntos
Adriano J. Holanda
http://holanda.xyz
8/8/2016
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Teoria dos Conjuntos
Definição
Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda os
conjuntos, que são coleções de objetos.
Características
1
▶
É o sistema fundamental
atualmente;
▶
A linguagem da teoria de conjuntos pode ser usada na
definição de quase todos os objetos matemáticos.
empregado na matemática
1
A teoria de conjuntos em questão refere-se ao sistema ZFC, ou seja, o
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conjunto de axiomas de Zermelo-Fraenkel somados ao. .axioma
da escolha.
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Exemplos de conjuntos
{“aba”, “carro”}
{1, 2, 3}
N
R
∅
{x|x é par}
{{1}, 2}
conjunto formado pelas strings “aba” e “carro”
conjunto formado pelos números inteiros 1, 2 e 3
conjunto dos números naturais, {0, 1, 2, . . . }
conjunto dos números reais
conjunto vazio, possui nenhum elemento
conjunto dos números pares
conjunto contendo 2 e o conjunto com o número 1
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Conceitos Básicos
Relação de Pertinência
o∈A
o objeto o pertence ao conjunto A, por exemplo,
o elemento 1 pertence ao conjunto {1, 2, 3}, mas 4 não.
Relação de Inclusão
A⊆B
o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja,
A é formado por um subconjunto de B, por exemplo,
{1, 2} é um subconjunto de {1, 2, 3}, mas {3, 4} não.
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Subconjunto
Sejam os conjuntos A e B. Dizemos que A é um subconjunto de
B, se e somente se, todo elemento de A também for elemento de
B. A notação A ⊆ B significa que A é um subconjunto de B.
Exemplo:
A = {2, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ A ⊆ B
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Quantificadores
Existe
∃x ∈ A, afirmação sobre x.
Lê-se, existe x pertencente ao conjunto A, tal que a afirmação seja
verdadeira. x é uma variável de referência.
Ex: ∃x ∈ N| x é primo e par.
Para todo
∀x ∈ A, afirmação sobre x.
Ex: ∀x ∈ Z, x é ímpar ou par.
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Quantificadores
Existe
∃x ∈ A, afirmação sobre x.
Lê-se, existe x pertencente ao conjunto A, tal que a afirmação seja
verdadeira. x é uma variável de referência.
Ex: ∃x ∈ N| x é primo e par.
Para todo
∀x ∈ A, afirmação sobre x.
Ex: ∀x ∈ Z, x é ímpar ou par.
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Combinação de quantificadores
1. Para todo x, existe um y de modo que x + y = 0,
∀x, ∃y|x + y = 0;
2. Existe um x, de modo que, para todo y, temos x + y = 0;
∃x, ∀y|x + y = 0.
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Combinação de quantificadores
1. Para todo x, existe um y de modo que x + y = 0,
∀x, ∃y|x + y = 0;
2. Existe um x, de modo que, para todo y, temos x + y = 0;
∃x, ∀y|x + y = 0.
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Exercícios
Descreva as afirmações abaixo usando os quantificadores e sem se
preocupar com sua veracidade.
1. Todo inteiro é primo.
2. Há um inteiro que não é primo.
3. Existe um inteiro cujo quadrado é 2.
4. Todos os inteiros são divisíveis por 5.
5. Algum inteiro é divisível por 7.
6. Para todo inteiro x, existe um inteiro y, de modo que xy = 1.
7. Existem dois inteiros x e y de modo que x/y = 10.
8. Todos amam alguém alguma vez.
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Operações
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União
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}, C = {4, 5, 7, 10}
{A ∪ B = x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
∆
{A ∪ B ∪ C = x|x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C}
∆
A
A
B
{1, 2, 3, 4, 7}
B
C
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 10}
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União
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}, C = {4, 5, 7, 10}
{A ∪ B = x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
∆
{A ∪ B ∪ C = x|x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C}
∆
A
A
B
{1, 2, 3, 4, 7}
C
B
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 10}
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União
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}, C = {4, 5, 7, 10}
{A ∪ B = x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
∆
{A ∪ B ∪ C = x|x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C}
∆
A
A
B
{1, 2, 3, 4, 7}
B
C
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 10}
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Intersecção
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}, C = {4, 5, 7, 10}
{A ∩ B ∩ C = x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}
∆
{A ∩ B = x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
∆
A
A
B
B
C
{2, 4}
{4}
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Intersecção
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}, C = {4, 5, 7, 10}
{A ∩ B ∩ C = x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}
∆
{A ∩ B = x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
∆
A
A
B
B
C
{2, 4}
{4}
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Intersecção
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}, C = {4, 5, 7, 10}
{A ∩ B ∩ C = x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}
∆
{A ∩ B = x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
∆
A
A
B
B
C
{2, 4}
{4}
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Diferença
{A\B = x|x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
∆
A
B
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}
A\B = {1}
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Diferença
{A\B = x|x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
∆
A
B
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}
A\B = {1}
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Diferença simétrica
{A∆B = (A ∪ B)\(A ∩ B)}
∆
A
B
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}
A∆B = {1, 3, 7}
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Diferença simétrica
{A∆B = (A ∪ B)\(A ∩ B)}
∆
A
B
A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}
A∆B = {1, 3, 7}
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Produto Cartesiano
⟨x, y⟩|x ∈ A ∧ y ∈ B
Ex: A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 7}
A × B ={⟨1, 2⟩, ⟨1, 3⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨1, 7⟩,
⟨2, 2⟩, ⟨2, 3⟩, ⟨2, 4⟩, ⟨2, 7⟩,
⟨4, 2⟩, ⟨4, 3⟩, ⟨4, 4⟩, ⟨4, 7⟩}
2
1
3
2
4
4
7
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Exercício
Para os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, determine:
1. A ∪ B
2. A ∩ B
3. A\B
4. B\A
5. A∆B
6. B∆A
7. A × B
8. B × A
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+Exercício
Suponha o conjunto universo S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, bem
como os seguintes conjuntos:
A = {2, 4, 5, 6, 8}
B = {1, 4, 5, 9}
C = {x|x ∈ Z ∧ 2 ≤ x < 5}
Então determine:
1. A ∪ B
2. A ∩ B
3. A ∩ C
4. B ∪ C
5. A\B
6. ¬A
7. A ∩ ¬A
8. ¬(A ∩ B)
9. C\B
10. (C ∩ B) ∪ ¬A
11. ¬(B\A) ∩ (A\B)
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++Exercícios
1. Sejam A e B conjuntos e suponha que
A × B = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 3⟩, ⟨2, 2⟩, ⟨2, 3⟩}.
Encontre A ∪ B, A ∩ B, A\B.
2. Suponha que A e B sejam conjuntos finitos. Dado que
|A| = 10, |A ∪ B| = 15 e |A ∩ B| = 3, determine |B|.
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