teoria dos conjuntos - Ulisses Cotta Cavalca

FACULDADE PITÁGORAS
Curso Superior em Tecnologia
Redes de Computadores e Banco de dados
Matemática Computacional
Prof. Ulisses Cotta Cavalca
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TEORIA DOS CONJUNTOS
Belo Horizonte/MG
2014
1. CONJUNTOS
O teoria dos conjuntos, ou simplesmente o estudo dos conjuntos numéricos, é uma
importante ferramenta para a compreensão e entendimento de estruturas discretas, muito
úteis na computação como um todo. Dessa forma:
Um conjunto é uma coleção não ordenada de objetos.
O conceito objetos foi introduzido por George Cantor, em 1895, com o propósito de
um tratamento intuitivo na constituição de um conjunto. Portanto, objetos no conjunto são
chamados de elementos, ou membros, do conjunto.
Em geral, um conjunto é representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e
os elementos representados entre chaves “{ }”. Os elementos são representados por letras
minúsculas.
Exemplos:
•
O conjunto V de todas as vogais do alfabeto: V = {a,e,i,o,u}
•
O conjunto P dos número inteiros pares menores que 10: P = {0,2,4,6,8}
•
Conjunto X, de maneira que os elementos não apresentem nenhuma relação
aparente: X = {h, 4, “Minas Gerais”, α}
Qual é a lógica da formação do seguinte conjunto?
D={2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, …}
A representação de vários elementos pode ser feita através do uso de reticências
“…”, desde que observada a lógica de formação e frequência desse conjunto.
Exemplos:
•
Conjunto dos números inteiros N menores, ou iguais, a 100: N = {0,1,2,
…,100}.
•
Conjunto W das letras do alfabeto da língua portuguesa: W = {a, b, c, …, w}
DEFINIÇÃO: Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles têm os mesmos
elementos.
Nessa caso vale ressaltar que os conjuntos não precisam estar apresentados na
mesma ordem. Mesmo porque, conjunto é uma coleção de elementos, ou objetos, não
ordenada.
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Podemos dizer que um elemento “a” pertence a um conjunto A, com a seguinte
representação: a ∈ A . Da mesma forma, “a” pode não pertencer ao conjunto A, onde
representamos por a ∉ A .
O conjunto A é um subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A for
também um elemento de B. Usamos a notação A⊆B . Essa definição contempla o caso
onde A e B possuem os mesmos elementos, ou seja, A= B .
Se A⊆B e existir ao menos um elemento em B que não esteja contido em A,
dizemos que A é um subconjunto próprio de B, denotado por A⊂B .
Da mesma forma podemos dizer que B contém A, ou A⊃B .
Se as situações acima forem falsas, podemos dizer:
•
que A não está contido em B: A⊄B
•
que B não contém A: A⊅B
Exemplos de subconjuntos:
1.
O conjunto A = {2, 4, 6} é subconjunto do conjunto P formado por todos os
número inteiros pares.
2.
O conjunto E = {SP, MG, RJ} é subconjunto do conjunto D formado por
todos os estados brasileiros
E nesse caso?
Seja conjunto M = {2,3,4} e N o conjunto dos números maiores que 1 e menores que 5. M
é subconjunto de N?
DEFINIÇÃO: Um conjunto é dito vazio se possuir nenhum elemento. É
representado por ∅ ou { }.
DEFINIÇÃO: Um conjunto é dito unitário se possuir apenas um único elemento.
TEOREMA: Para todo conjunto S:
a)
∅⊆S
b)
S ⊆S
DEFINIÇÃO: Considere S como um conjunto. Se há exatamente n elementos
distintos em S, em que n é um número inteiro não negativo, dizemos que S é um conjunto
finito e que n é cardinal. O cardinal de S é indicado por |S| ou n(S).
DEFINIÇÃO: Um conjunto é dito infinito se o número de elementos “n” não é
contável.
2. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Dois ou mais conjuntos podem ser agrupados de varias maneiras. Esses
agrupamentos definem as operações com conjuntos:
DEFINIÇÃO: Sejam os conjuntos A e B. A união dos conjunto A e B, indicada por
AB , é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A ou em B, ou em
ambos.
AB={ x / x ∈ A∨ x ∈ B }
DEFINIÇÃO: Sejam os conjuntos A e B. A intersecção dos conjunto A e B,
indicada por AB , é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A ou em B,
ou em ambos.
AB={ x / x ∈ A∧ x ∈ B }
DEFINIÇÃO: Dois conjuntos são chamados de disjuntos se sua intersecção é um
conjunto vazio.
DEFINIÇÃO: Sejam os conjuntos A e B. A diferença entre A e B, indicada por A –
B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A, mas não estão em B. A
diferença entre A e B é também chamada de complemento de B em relação a A.
A− B={ x / x ∈ A∧x  B }
DEFINIÇÃO: Considere U como o conjunto universo. O complemento do
conjunto A, indicado por A, é o complemento de A em relação à U. Em outas palavras, o
complemento do conjunto A é U-A.
A={x / x  A }
Como seria a representação dessas operações através do Diagrama de Venn?
3. IDENTIDADE DE CONJUNTOS
Identidade
Nome
A⋃ø=A
A⋂U=A
Propriedades dos elementos neutros
A⋃U=U
A⋂ø=ø
Propriedades de dominação
A⋃A=A
A⋂A=A
Propriedades idempotentes
(A) = A
Propriedade da complementação
A ⋃ B= B ⋃ A
A ⋂ B= B ⋂ A
Propriedades comutativas
A ⋃ (B ⋃ C) = (A ⋃ B) ⋃ C
A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂B) ⋂ C
Propriedades associativas
A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)
A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C)
Propriedades distributivas
A⋂B=A⋃B
A⋃B=A⋂B
Leis de De Morgan
A ⋃ (A ⋂ B) = A
A ⋂ (A ⋃ B) =A
Propriedades de absorção
A⋃A=U
A⋂A=ø
Propriedades dos complementares