A sucessão de Fibonacci e a razão áurea

Resumo
A razão áurea e os intrigantes números de
Fibonacci
Quem foi Fibonacci?
Fibonacci escreveu o livro Liber Abaci, onde está presente o famoso problema
dos coelhos que deu origem à sucessão de Fibonacci.
A Sucessão de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Propriedades dos números de Fibonacci
a1=1
a2=1
a3= a1+a2=1+1= 2
, a pertence IN
a4= a2+a3= 1+2=3
Qualquer número na sequência é determinado pela soma dos dois números
precedentes.
Os números de Fibonacci e o triângulo de Pascal
Ao somarmos os números das diagonais, encontraremos sempre um número
Fibonacci. Como podemos observar na imagem seguinte:
A razão áurea ()
É uma dízima infinita não periódica:
=(1+√5) /2 ≈ 1,6180339887…
Se dividirmos um termo da sucessão de Fibonacci pelo seu antecessor,
encontramos um número próximo
à razão áurea (1,618).
Quanto maiores forem os
termos de Fibonacci, mais
próximo o valor da sua
divisão estará da razão áurea.
O rectângulo de ouro
Como construir o rectângulo de ouro
I. Construa um quadrado [ABCD] (é indiferente a medida do lado):
II. Bissecte o quadrado com o segmento [RS]:
III. Trace o arco EC, considerando o ponto S como centro e como raio:
IV. Prolongue o lado [DC] e, perpendicularmente, trace o segmento
[EF], que irá intersectar [DC] no ponto F:
O rectângulo [ADEF] é um rectângulo de ouro!
Propriedade do rectângulo de ouro: Se dividirmos a largura (a) pela altura (b) obtemos a
razão áurea.
b
a
Os números de Fibonacci e a razão áurea na Natureza
Exemplo: No caso de certo tipo de pinhas, os números de espirais num
sentido e no sentido inverso são números consecutivos da sucessão de
Fibonacci.
Os números de Fibonacci e a razão áurea no Corpo Humano
http://www.youtube.com/watch?v=085KSyQVb-U&feature=related
Os números de Fibonacci e a razão áurea na Arte
Exemplo na Música: http://www.youtube.com/watch?v=wS7CZIJVxFY
Os números de Fibonacci e a razão áurea no Cinema e na Televisão
Exemplo no Cinena: No filme O Código da Vinci, em Paris, Robert Langdon, um
simbologista de Harvard, recebe um telefonema urgente. O curador do Louvre foi
encontrado assassinado dentro do museu com uma misteriosa mensagem cifrada ao lado
do corpo: 13-3-2-21-1-1-8-5
A sucessão de Fibonacci e o número de ouro na Religião
Exemplo: Se marcarmos num mapa-mundo uma
recta diagonal com inicio no canto inferior esquerdo
até ao canto direito superior, veremos que Meca
encontra-se numa posição equivalente à razão áurea.
Conclusão
Concluímos, que a Matemática está presente em todo o lado. E a sucessão de
Fibonacci e a razão áurea, são uma prova disto, visto que aparecem na Natureza. Mas
não é apenas na Natureza, também aparecem na arte, na arquitectura, música.