Prof. Fabiano

GEOMETRIA
PLANA
Prof. Fabiano
POLÍGONOS REGULARES
R
.
a
O
.
R a
R = Raio
- raio da circunf.
circunscrita
- distância do centro a
um vértice
O
.
O
R a
a = Apótema
- Raio da circunferência
inscrita
- distância do centro ao
meio de um lado
POLÍGONOS REGULARES
R
.
a
O
.
R a
R = Raio
- raio da circunf.
circunscrita
- distância do centro a
um vértice
O
.
O
R a
a = Apótema
- Raio da circunferência
inscrita
- distância do centro ao
meio de um lado
TRIÂNGULO EQUILÁTERO

3
h = ——
2

R
a
.
O


QUADRADO
d= 2


R
.
O


a
HEXÁGONO REGULAR

6 triângulos
equiláteros


.
O

R
a


ÁREAS PLANAS
RETÂNGULO
h
b
S = b.h
PARALELOGRAMO
h
b
ÁREAS PLANAS
QUADRADO
2

S=

TRAPÉZIO

b
S
h
B
(B+b).h
= ————
2
ÁREAS PLANAS
TRIÂNGULO
h
b
S
b.h
= ———
2
CIRCUNFERÊNCIA
.
O
R
C = 2πR
2
S = πR
MEDIANA
Mediana é o segmento que vai de um vértice
qualquer de um triângulo até o ponto médio do
lado oposto. Veja o exemplo:
No triângulo ABC acima, o ponto "D" é o ponto
médio do lado CB. Portanto, o segmento AD é a
mediana relativa ao lado "A" do triângulo ABC.
Como o triângulo possui três lados e três vértices,
possui também três medianas (uma para cada
vértice).
MEDIATRIZ
Consideremos um segmento AB e seja M o ponto médio
do segmento. A reta r perpendicular ao segmento AB e
que passa por M e denominada mediatriz do segmento
AB.
Todo o triângulo tem três mediatrizes ( cada uma relativa
a um lado), e se encontram no mesmo ponto C
denominado circuncentro.
ALTURA
É o segmento cujas as extremidades são vértice do
triângulo e a intersecção da perpendicular com o lado
oposto ( ou seu prolongamento).
É interessante observar que,quando se trata de um
triângulo obtusângulo, AH é a altura relativa ao lado BC.
Todo o triângulo possui três alturas ( cada uma relativa a
um lado), que se encontram num mesmo ponto O,
denominado ortocentro
BISSETRIZ
É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos
congruentes.
Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB pois
os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.
Todo o triângulo tem três bissetrizes (cada uma relativa a
um ângulo), que se encontram num mesmo ponto I,
denominado incentro.
Pontos notáveis de um triângulo:
•1 - Incentro
•2 - Circuncentro
•3 - Baricentro
•4 - Ortocentro
. 1. O incentro
Chama-se bissetriz de um ângulo à reta que divide
o ângulo em duas partes iguais. Ao ponto de
intersecção das bissetrizes dos ângulos de um
triângulo chamamos incentro.
Este ponto é o centro da circunferência inscrita no
triângulo.
2. O circuncentro
Com os três vértices do triângulo pode-se traçar um
circunferência na qual o triângulo fica inscrito. O
centro desta circunferência é o circuncentro - ponto
de intersecção das mediatrizes dos lados do
triângulo.
3. O baricentro
Unindo o ponto médio de cada lado do triângulo ao
vértice oposto obtém-se um segmento de reta
designado mediana. O ponto onde se interceptam as
medianas é o baricentro ou centro de gravidade do
triângulo.
4. O ortocentro
O ortocentro é o ponto onde se interceptam as
alturas do triângulo, isto é, as perpendiculares
traçadas desde os vértices até aos lados opostos
(ou seus prolongamentos).
ÂNGULOS
150º
AGUDO
30º
OBTUSO
150º
30º
30º
150º
30º
150º
ÂNGULOS
Si = 180º
QUALQUER
POLÍGONO:
Si = 180º(n-2)
Si = 360º
ÂNGULOS
(FUVEST-98) As retas t e s são paralelas.
A medida do ângulo x, em graus, é
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
20º
40º
ÂNGULOS
(FUVEST-98) As retas t e s são paralelas.
A medida do ângulo x, em graus, é
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
20º
40º
20º+90º+X=180º
110º+X=180º
X=70º
ÂNGULOS
. 120º
O
120º
60º .
O
120º
Exercício resolvido
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as
medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados
na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A
medida do ângulo PQS, em graus, é:
a) 38
b) 63
c) 79
d) 87
90º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as
medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados
na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A
medida do ângulo PQS, em graus, é:
a) 38
b) 63
c) 79
d) 87
90º
36º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as
medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados
na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A
medida do ângulo PQS, em graus, é:
a) 38
b) 63
c) 79
76º
d) 87
90º
36º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as
medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados
na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A
medida do ângulo PQS, em graus, é:
a) 38
b) 63
x
c) 79
76º
d) 87
90º + 36º + 76º + x = 360º
202º + x = 360º
x = 158º
90º
36º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as
medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados
na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A
medida do ângulo PQS, em graus, é:
a) 38
b) 63
x = 158º
c) 79
76º
d) 87
90º + 36º + 76º + x = 360º
79º
202º + x = 360º
x = 158º
90º
36º
SEMELHANÇA
B
F
60º
A
80º
ÂNGULOS
IGUAIS
≈
40º
D
40º
60º
80º
C
LADOS
PROPORCIONAIS
E
SEMELHANÇA
B
DE // AC
D
A
E
∆ABC
≈ ∆DBE
C
TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
c
.
b
h
.
B
a 2 = b2 + c 2
C
a
ah = bc
Exercício proposto
(UFES-99) Na figura, as retas r e s são
paralelas. A soma α+β+γ+δ das medidas
dos ângulos indicados na figura é
a) 180°
b) 270°
c) 360°
d) 480°
e) 540°
Resposta: e
Exercício proposto
(UEL-97) Na figura a seguir, tem-se os ângulos XYW,
XZW e XTW, inscritos em uma circunferência de
centro O.
Se med do ângulo
XOW=80°, então
med do ângulo XYW +
med do ângulo XZW +
med do ângulo XTW
é igual a
a) 160° b) 150°
c) 140° d) 120°
e) 100°
Resposta: d