Cap 4

35
Instituto de Biofísica Carlos Chagas Filho
BFB 738 - ELETRICIDADE E ELETRÔNICA APLICADAS À BIOLOGIA
Prof.: Geraldo Cidade
Capítulo 4
Circuitos RC e RL com Excitação Senoidal
4. Introdução
Neste capítulo estudaremos o comportamento dos circuitos RL e RC, quando excitados por
geradores do tipo senoidal. Para os circuitos aqui exemplificados, considera-se a análise de estado
permanente (ou estacionário), desprezando-se quaisquer respostas transientes produzidas durante a
etapa de excitação. A técnica de estudo aqui empregada denomina-se análise de freqüência, de larga
aplicação tanto em eletricidade como em outros sistemas físicos.
4.1. Características das Ondas Senoidais
Uma onda senoidal (Fig. 4.1) contém diversas características, cuja compreensão é
imprescindível tanto para a análise de circuitos, como para a correta interpretação de resultados
experimentais.
Figura 4.1. Características das ondas senoidais.
4.1.1. Valores de Pico, Pico-a-Pico, Médio e Eficaz
O valor de pico (VP) de uma onda senoidal corresponde a amplitude medida em relação a
um eixo de simetria (ou valor médio), tomado como referência “zero”. O valor de pico-a-pico (VPP)
corresponde à medida entre dois valores de pico, que, no caso de uma senóide, equivale ao dobro de
VP. O valor de médio é definido como aquele que divide porções de uma função (sinal) que contêm
a mesma área; nulo no caso de uma senóide, já que divide porções numericamente simétricas. O
valor eficaz está relacionado com a potência que uma forma de onda é capaz de gerar. É definido
como o valor DC que dissipa potência equivalente a de uma senóide, com um dado valor de pico.
36
Conhecido como “root mean square” (rms), ou , simplesmente, valor rms, encontra-se associado ao
valor de pico através da seguinte relação:
VEF 
VP
 0,707VP
2
4.1.2. Ciclo, Freqüência, Período e Fase
Um ciclo completo, medido a partir de qualquer ponto sobre a forma de onda (Fig. 4.1), é
definido como o intervalo que compreende uma seqüência de valores, até que se inicie uma nova
repetição. Para contabilizar o número de ciclos sucessivos por unidade de tempo, define-se o
parâmetro freqüência. Por definição, a freqüência é definida como o número de ciclos que ocorrem
no intervalo de 1 segundo, cuja unidade é o hertz.
Para que se possa entender a geração de uma onda senoidal, considere um ponto P girando
com velocidade constante ao longo de uma circunferência (Fig. 4.2). Sua posição, associada à um
dado ângulo projeta sobre o eixo vertical (eixo dos senos) um valor entre 0 e 1. Ao tomar
sucessivos valores ao longo do tempo, mantida a mesma velocidade de rotação (freqüência angular
constante), pode-se montar o comportamento da função seno.
sen t
/2

P




t
/2
Figura 4.2. Relação entre rotação e função seno.
A velocidade angular ( do ponto P corresponde a um ciclo completo percorrido em um
dado intervalo de tempo, denominado período (T). Sendo assim:

2
T
(rd / s)
(4.1)
onde 2 corresponde ao ângulo total percorrido, expresso em radianos (rd). Portanto, a freqüência
está associada ao período através da seguinte relação:
f 
1
T
(4.2)
37
Substituindo (4.2) em (4.1), define-se:
  2f
(4.3)
como sendo a freqüência angular, expressa em radianos por segundo (rd/s), essencial para nós daqui
por diante.
A fase é definida como a distância angular entre dois pontos que pertencem ao uma dada
forma de onda, conforme mostrado pelos pontos A e B na Fig. 4.1. Para um ciclo completo de
período T (2 rad), o tempo necessário para a fase variar de um ângulo equivale a:
t 
rad
.T
2
(4.4)
ou
t 
rad rad

2f

(4.5)
Quando deseja-se comparar duas senóides, o parâmetro fase torna-se importante, pois permite,
indiretamente, quantificar as diferenças temporais de uma em relação à outra.
4.2. Resposta de Freqüência em Circuitos Dissipativos
Ao aplicar uma tensão alternada sobre um resistor, a forma de onda da corrente i(t)
resultante também segue um curso senoidal, exatamente em fase com a tensão v(t) (Fig. 4.3); v(t) e
i(t) relacionam-se através da lei de Ohm, de modo que, todos os conceitos vistos no capítulo 2, para
excitação DC, são igualmente válidos aqui. Portanto:
VP sen t  RI P sen t
v(t)
i(t)
v(t)
i(t)
v(t)
R
i(t)
Figura 4.3. Resposta de corrente em um circuito puramente resistivo.
4.2.1. Potência num Resistor em Regime AC
A potência elétrica equivale ao produto entre tensão e corrente. Então:
t
38
p( t )  v ( t )  i ( t )
p(t )  VP I P sen2 t
ou
(4.6)
A potência dissipada em um resistor, a partir de uma excitação senoidal, também é uma
função do tempo. A trigonometria nos fornece a seguinte relação:
sen 2 a 
1
(1  cos 2a )
2
Portanto:
p(t ) 
VP I P
(1  cos 2t )
2
(4.7)
mostrando que a potência também segue um curso senoidal, com o dobro da freqüência das ondas
de tensão ou corrente (Fig. 4.4). Verifica-se que o valor instantâneo da potência excursiona desde
“zero” até um valor máximo VPIP, sem assumir valores negativos. Isto é óbvio, uma vez que estando
a corrente e a tensão em fase, ambas sempre exibirão o mesmo sinal, de modo que o produto sempre
será positivo.
Fisicamente, qualquer que seja o sentido da corrente que percorra um resistor, este sempre
dissipará potência. A potência dissipada em um resistor, embora variando no tempo, exibe sempre
um valor médio não-nulo, ou seja,
VP I P RI P VP2
pM 


2
2
2R
p(t)
VpIp
(4.8)
p(t)
VpIp
2
t

/2

/2

/2

v(t) ou i(t)
Figura 4.4. Potência dissipada num resistor em regime AC.
4.2.2. Valores Eficazes das Ondas Senoidais
As ondas senoidais de tensão e corrente exibem, normalmente, um valor médio nulo. Vamos
definir como eficazes os valores que, produzidos por formas de onda contínuas, dissipem a mesma
potência, ou seja:
PEF  RI
2
EF
VEF2

R
Partindo da definição de valor eficaz, ao comparar as expressões (4.8) e (4.9), verificamos que:
(4.9)
39
2
RI EF

RI P2
2

I EF 

IP
2
2
VEF
V2
 P
R
2R
e
PEF  VEF . I EF 

VEF 
VP
2
VP . I P
2
Cabe observar que, como os instrumentos comuns de medida de tensão e corrente alternada já têm
as suas escalas calibradas em valores eficazes, o cálculo da potência torna-se facilitado.
4.3. Resposta de Freqüência de Elementos Reativos
Esta parte do capítulo propõe determinar as relações tensão x corrente nos elementos
reativos (armazenadores de energia), com excitação senoidal.
4.3.1. Reatância Capacitiva
No circuito da Fig. 4.5, para uma excitação v ( t )  VP sen t , a corrente no capacitor será:
i (t )  C
dv ( t )
d
 C VP sen t 
dt
dt
i ( t )  CVP cost
ou
v(t)
i(t)
(4.10)
v(t)
i(t)
v(t)
C
t
90o
i(t)
Figura 4.5. Relação tensão x corrente em um capacitor.
Observa-se que num capacitor a forma de onda de voltagem encontra-se atrasada de 90o em relação
à da corrente. Segundo a trigonometria, a expressão (4.10) pode ser reescrita como:
i (t )  CVP sen(t  90O )
A notação complexa facilita muito a manipulação de expressões, uma vez que no plano
complexo o eixo imaginário está à 90o do eixo real, representando uma rotação no sentido antihorário (ou “counter clock wise” - CCW). Desta forma, empregando a unidade imaginária
j   1 , a expressão (4.10) poderá ser novamente reescrita como:
i ( t )  jCVP sen t
(4.11)
A Fig. 4.6a mostra a representação da tensão VP e da corrente IP de um capacitor em um
plano complexo. Se os vetores girarem no sentido anti-horário, com velocidade angular constante,
suas projeções num eixo vertical geram as formas de onda de tensão e de corrente no capacitor,
mantida a relação de fase.
40
Num resistor, a relação tensão x corrente denomina-se resistência elétrica, que mantém as
variáveis em fase, sendo representada por um vetor sobre o eixo real (Fig. 4.6b).
Num capacitor, a relação tensão x corrente denomina-se reatância capacitiva (XC), e
representa a propriedade de uma capacitância em se opor à variações de tensão elétrica. Para uma
excitação senoidal v ( t )  VP sen t , a corrente produzida através do capacitor define:

XC 
onde X C 
v (t )
VP sen t
1
1


j
i (t ) jCVP sen t jC
C
1
, ou seja,
C

X C   j XC
sendo representada sobre o eixo imaginário do plano complexo (Fig. 4.6b), indicando que a
reatância produz um deslocamento de 90o na fase. Enquanto, por um lado, o valor da resistência
independe da freqüência, por outro, o módulo da reatância depende, variando inversamente
proporcional a ela. Por este aspecto, a reatância capacitiva pode ser vista como um resistor, cuja
resistência (expressa em ohms (varia com o inverso da freqüência.
(a)
(b)
Im
Ip
0
Im
90o
0
Vp
Re
R
-j|X C|
Re
Figura 4.6. Representações no plano complexo.
4.3.2. Reatância Indutiva
No circuito da Fig. 4.7, para uma excitação v ( t )  VP sen t , a corrente no capacitor será:
i (t ) 
1
1
v ( t ) dt   VP sen tdt

L
L
ou
i (t )  
VP
V
cost  P sen(t  90O )
L
L
(4.12)
Introduzindo a notação complexa, a expressão (4.12) pode ser reescrita como:
i (t )   j
VP
V
sen t  P sen t
L
jL
(4.13)
41
v(t)
i(t)
v(t)
i(t)
v(t)
L
t
90o
i(t)
Figura 4.7. Relação tensão x corrente em um indutor.
Observamos que, num indutor, ao contrário do capacitor, a tensão presente em seus terminais
encontra-se adiantada de 90o em relação à corrente que o percorre. A relação tensão x corrente em
um indutor denomina-se reatância indutiva (XL), e representa a propriedade de uma indutância em
se opor às variações de corrente elétrica. Para uma excitação senoidal v ( t )  VP sen t , a corrente
produzida através do indutor definirá:

XL 
v (t ) V P sen t

 jL  j L
i (t ) V P sen t
jC
onde X L  L , ou seja,

X L  j XL
podendo ser representada no plano complexo por um vetor sobre o eixo imaginário, conforme
mostrado abaixo. Também verificamos ser o módulo da reatância indutiva diretamente
proporcional à freqüência, igualmente expressa em ohms (
Im
j|X L|
0
R
Re
4.3.3. Impedância
Dentro de um conceito mais amplo, define-se impedância como a propriedade que um
elemento, ou conjunto de elementos, apresenta, em se opor à passagem e/ou variação de corrente.
Elementos como resistência, reatâncias capacitiva e indutiva, ou combinações entre estas,
enquadram-se neste conceito.
Sendo a resistência representada por um número real e as reatâncias por números
imaginários, a impedância resultante desta combinação será representada por um número complexo.
42
Assim como definimos que o inverso da resistência é a condutância, vamos definir os
inversos da impedância e das reatâncias, mostrados na tabela abaixo.
Símbolo
Grandeza
Inverso
R
Resistência
Condutância

Reatância Indutiva
Susceptância Indutiva
XL
Expressão
G
1
R
1


BL 

XL

XC

Z
Reatância
Susceptância
Capacitiva
Capacitiva
Impedância
Admitância

1
BC 

1
jL
 jC
XC

Y
1

Z
4.3.4. Potência em Elementos Reativos
Devido à diferença de fase de 90o entre tensão e corrente em um elemento reativo qualquer,
a potência elétrica assume a seguinte forma:
p ( t )  VP I P sen t cost
Empregando a relação trigonométrica sen 2a  2 sen a cos a , passamos a ter:
p( t ) 
VP I P
sen 2t
2
(4.14)
Ao compararmos esta expressão com (4.7), deduzida para elementos dissipativos, verificamos
também que a potência varia segundo o dobro da freqüência da onda excitatória, só que com valor
médio nulo.
O sentido físico da expressão (4.14) é de que não há energia dissipada, mas tão somente uma
troca entre o gerador e o elemento armazenador, que devolve toda a energia recebida duas vezes a
cada ciclo da onda excitatória. Esta conclusão assemelha-se à que chegamos no final do capítulo 3,
quando ligamos dois elementos armazenadores, estando um delees inicialmente carregado.
4.4. Circuito RC com Excitação Senoidal
Ao conectarmos um circuito RC a um gerador de tensão senoidal (Fig. 4.8a):
43
V (t )  VR (t )  VC (t )


1 
V (t )   R 
.i ( t )
jC 





V (t )  R.i(t )  X C .i(t )
Z R
1
jC


Z  R  j XC
(4.15)

denominamos Z de impedância total do circuito, calculada a partir da soma vetorial da resistência

R e da reatância capacitiva X C (Fig. 4.8b). Outra maneira de escrever a expressão (4.15) seria:


Z Z 
Z  R2 
 1 
 tg 1 

 RC 
1
2 2
 C
(4.16)
 1 
onde Z representa o módulo da impedância, e   tg 1 
 , seu ângulo. Calculando as
 RC 
variáveis do circuito, obtemos:
1) V (t )  VP sen t

i (t ) 
VP

sen t

VP
i (t ) 
1 
 2
R  2 2 

 C 
Z
2) VR (t )  R.i (t ) 
3) VC (t ) 
VP
1
1 2 2 2
 RC
sen(t   )
sen(t   )
(4.18)
1
VP
i (t ) 
sen(t    90O )
2 2 2
jC
1  R C
(a)
R
(4.19)
(b)
i(t)
V(t)
(4.17)
C
Im
0
-j|X C|
R

Re
.
Z
Figura 4.8. Circuito RC com excitação senoidal.
4.4.1. Composição das Variáveis do Circuito - Diagrama Fasorial
Se observarmos os vetores (fasores) geratrizes das ondas senoidais (tensão e corrente) em
um dado instante t, verificamos que guardam entre si uma relação angular, ou de fase (Fig 4.9).
Considerando o instante t=0, os valores instantâneos correspondem aos das expressões (4.16) a
(4.19). Assim:
44
1)
2)
3)
V (0)  0
i (0)  I P sen 
VR (0)  VR P sen 
4)
VC (0)  VC P sen(  90O )
v(t)
90 o
VP
VR
IP

90o
VC(t)
VP
t
0o
VR(t)
VC
Figura 4.9. Composição das variáveis em um circuito RC.
A lei das malhas (1a lei de Kirchoff) é verificada a cada instante, pois a tensão do gerador
corresponde a soma vetorial das tensões na resistência e no capacitor. Se observarmos a corrente,
esta encontra-se em fase com a tensão sobre R, e adiantada de 90o em relação à tensão sobre C;
também está adiantada do ângulo da impedância () em relação à tensão do gerador. Quanto mais
reativo for o circuito ( X C  R ), maior será o avanço da corrente.
4.4.2. Filtros RC
Devido ao caráter de dependência de freqüência da reatância capacitiva, um circuito RC é
naturalmente seletivo, passando a comportar-se como um filtro. Dependendo de como a resposta é
obtida, tanto a partir da resistência quanto da capacitância, este circuito passa a responder como um
filtro (i) passa-baixa, permitindo a passagem das baixas freqüências até um dado valor de corte
superior, ou (ii) passa-alta, permitindo a passagem das altas freqüências a partir de um dado valor
de corte inferior.
4.4.2.1. Filtros RC Passa-Baixa
Ao considerar a saída do circuito RC sobre o capacitor ( VO ), verificamos que seu
comportamento em função da freqüência, como mostrado na Fig. 4.10, está de acordo com a
seguinte expressão:
VO 
VP
1   2 R 2 C2
45
em que, para   0  VO  VP e     VO  0 . A curva de resposta da Fig. 4.10 mostra que
o capacitor comporta-se como um atenuador para as altas freqüências provenientes do gerador.
Atribui-se a denominação de freqüência de corte (O ), ou ponto de meia potência, ao valor de 
que confere a máxima transferência de potência à saída do circuito, quando X C  R , ou seja,
1
R
C
que correponde a 0,707VP (ou

O 
1
RC
1
V ), já que a potência de saída é proporcional ao quadrado de
2 P
VO . Outra maneira de representar o ponto de meia potência seria através do uso da seguinte
notação logarítimica:
VO dB  20 log(0,707)  3dB
Convém salientar que a fase decorrente dos filtros RC também é um dado importante, já que afeta
as características do sinal que está sendo filtrado; no ponto de meia potência, assume o seguinte
valor:
 1 
   tg 1 (1)  45O
 RC 
   tg 1 
R
|vO|
VP
0,707VP
V(t)
C
VO(t)
f
0

t
Figura 4.10. Filtro RC passa-baixa.
4.4.2.2. Filtros RC Passa-Alta
Se agora tomarmos a saída do circuito sobre o resistor, teremos o comportamento inverso ao
caso anterior. A expressão de VO é dada por:
VP
VO 
1
1
 R2C 2
2
46
em que, para   0  VO  0 e     VO  VP . A curva de resposta da Fig. 4.11 mostra
que o comportamento de VO sobre o resistor resulta da diferença entre a tensão produzida pelo
gerador e o efeito de atenuação provocado pela reatância capacitiva, em relação às altas freqüências.
O valor de tensão correspondente ao ponto de meia potência equivale ao do caso anterior, ou seja,
para X C  R :
VP
VO 
1

1
VP
 0,707VP
2
2
 1  2 2

 RC
 RC 
Entretanto, o valor do ângulo de fase da tensão de saída corresponde a:
 1 
  tg 1 (1)  45O
 RC 
  tg 1 
C
|vO|
VP
0,707VP
R
VO(t)

0
f
t
Figura 4.11. Filtro RC passa-alta.
4.5. Circuito RL com Excitação Senoidal
Ao excitarmos um circuito RL com um gerador senoidal, conforme mostrado na Fig. 4.12a,
a impedância total do circuito será obtida a partir de:
V (t )  VR (t )  VL (t )

V (t )   R  jL.i (t )




V (t )  R.i (t )  X L .i (t )
Z  R  jL


Z  R  j XL
(4.20)
representada pela soma vetorial ilustrada na Fig. 4.12b. Outra maneira de escrever a expressão
(4.20) seria:

Z Z


Calculando as variáveis do circuito, obtemos:

Z
R 2   2 L2
 L 
tg 1  
 R
47
1) V (t )  V P sen t

i (t ) 
VP

sen t

i (t ) 
Z
VP
2) VR (t )  R.i (t ) 
1
sen(t   )
R2
VP
1
(a)
 R 2   2 L2 
sen(t   )
 2 L2
3) VL (t )  jL.i (t ) 
VP
R
2
sen(t    90O )
 2 L2
R
(b)
i(t)
.
Im
Z
j|X L|
v(t)

L
0
R
Re
Figura 4.12. Circuito RL com excitação senoidal.
4.5.1. Composição das Variáveis do Circuito - Diagrama Fasorial
Observando os vetores geratrizes das senóides em t=0, obteremos o diagrama fasorial
mostrado abaixo.
90o
VL
90o

V
0o
I
VR
Segundo ele, a corrente está em fase com a tensão sobre a resistência, atrasada de 90o em
relação à tensão medida sobre os terminais da indutância, e de um ângulo  em relação à tensão do
gerador. Quanto mais reativo for o circuito, maior será o ângulo da impedância, e igualmente maior
será o atraso de fase da corrente em relação à tensão do gerador.
4.5.2. Filtros RL
Sendo a reatância indutiva diretamente proporcional à freqüência, os circuitos RL também
comportam-se como filtros, como os que são mostrados na Fig. 4.13.
48
Mantidas as dualidades entre os circuitos RC e RL, o filtro da Fig. 4.13a é denominado
passa-alta e o da Fig 4.13b, passa-baixa. As curvas de resposta de freqüência são semelhantes às
dos filtros RC, bem como as expressões de VO , ou seja, para o passa-baixa:
VP
VO 
1
 2 L2
R2
e para o passa-alta :
VP
VO 
1
R2
 2 L2
em que a freqüência de corte superior ou inferior é dada por  O 
R
, obtida para o ponto de meia
L
potência, onde X L  R . Cabe observar que os pontos de corte obtidos pela análise de freqüência
correspondem aos inversos das constantes de tempo dos mesmos circuitos (RC e RL) na análise de
tempo.
R
(a)
v(t)
L
(b)
L
vo(t)
f
R
v(t)
f
vo(t)
Figura 4.13. Filtros RL do tipo (a) passa-alta e (b) passa-baixa.
4.6. Componentes Reais - Fator de Qualidade
A resistência do fio do enrolamento e as perdas no núcleo nos elementos indutores, bem
como as fugas pelas superfícies e dielétrico nos capacitores, passam a introduzir componentes
dissipativos ao elemento real; pode ser representado por uma reatância ideal em série com uma
resistência, ou uma susceptância ideal em paralelo com uma condutância (Fig. 4.14).
Define-se como fator de qualidade Q, a figura de mérito de um componente real, que
compara o quanto ele é reativo em relação ao quanto ele é dissipativo.
RS
RS
RP
L
L
RP
C
Figura 4.14. Componentes reativo reais.
C
49
Em termos de representação série, utilizamos a reatância e a resistência; em paralelo, a
susceptância e a condutância. Sendo assim, o Q de um componente é definido por:
Q
X
RS
Q
ou
B
GP
(4.21)
Para um mesmo componente, qualquer uma das representações poderá ser empregada, conforme as
conveniências da análise. Para o indutor:
QL 
L
RS
1
R
QL  L  P
1
L
RP
ou
(4.22)
Comparando as duas expressões anteriores, obtemos:
L
RS

RP
L

RP  QL2 . RS
(4.23)
Para o capacitor:
QC 
1
CRS
QC 
ou
C
1
RP
 CRP
(4.24)
Comparando as duas expressões de (4.24), obtemos:
1
 CRP
CRS

RP  QC2 . RS
(4.25)
As expressões (4.23) e (4.25) relacionam as resistências série e paralelo, sendo úteis para a
conversão de uma associação em outra.
4.7. Indutância Mútua - Transformadores
Quando dois enrolamentos estão montandos sobre um mesmo núcleo, o fluxo magnético que
se forma devido à corrente que se desenvolve em um, induz uma corrente no outro, e vice-versa.
Este efeito de indutância entre dois circuitos elétricos distintos, com um circuito magnético em
comum, é denominado indutância mútua, designada pela letra M, expressa em henries.
A relação M  K. L1 . L2 mostra ser a indutância mútua proporcional à média geométrica
das indutâncias entre os enrolamentos primário (L1) e secundário (L2), sendo a constante K
denominada fator de acoplamento entre os dois lados do circuito; seu valor máximo para um
transformador ideal equivale à unidade.
A Fig. 4.15a ilustra a representação esquemática de um transformador, bem como as
variáveis associadas ao lados primário (1) e secundário (2), enquanto a Fig. 4.15b mostra um
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circuito completo composto por um gerador V1 e uma carga R. Como a indutância é diretamente
proporcional ao número de espiras, as tensões induzidas também o serão.
Na prática, um dado muito útil é a relação (a) entre o número de espiras (N1 e N2):
V1
N
 1 a
V2 N 2
(4.26)
onde V1 e V2 representam os valores eficazes das tensões nos dois enrolamentos, respectivamente.
Seguindo a lei de conservação de energia, observa-se que a potência transferida entre os dois
lados do circuito transformador é constante, desprezando-se as referidas perdas. Desta forma, a
relação:
I1 N 2 1


I2
N1 a
impõe que corrente seja a vezes menor para a proporção entre os valores eficazes de I1 e I2. Desta
mesma relação tira-se outro dado importante para o dimensionamento de um transformador, qual
seja seu produto ampère-espira, que sempre será constante, ou seja, N1 . I1  N 2 . I 2 .
Para o circuito da Fig. 4.15b, vamos determinar qual a resistência vista pelo gerador a partir
dos terminais de entrada do circuito, no seu lado primário. No circuito secundário, a corrente
equivale à I 2  a . I1 , e a tensão à R . I 2 , ou V2  R. a . I1 ; mas: V2 
1
1
V1 , onde V1  R. a . I1 .
a
a
Portanto, a relação entre a tensão e a corrente no primário de um transformador, a partir da
resistência que carrega o gerador, é:
RREFLETIDA 
V1
 a 2 .R
V2
representando a resistência refletida no circuito primário, segundo o quadrado da relação entre
espiras.
M
(a)
a
(b)
I1
V1
L1
L2
N1
N2
V2 V1
I2
R
V2
Figura 4.15. Transformador. (a) Representação esquemática e (b) circuito completo.