Princípio da contagem e Probabilidade: conceito 1) No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, vamos determinar: a) espaço amostral. É o conjunto formado por todos os resultados possíveis. Os eventos: É o subconjunto do espaço amostral. b) evento A: “sair o mesmo número em ambos os dados”. c) evento B: “sair soma 7”. d) evento C: “sair soma menor que 5”. e) evento D: “sair soma maior que 12”. característica do que é provável • perspectiva favorável de que algo venha a ocorrer; possibilidade, chance. Ex.: há pouca possibilidade de chuva • grau de segurança com que se pode esperar a realização de um evento, determinado pela freqüência relativa dos eventos do mesmo tipo numa série de tentativas. • número positivo entre zero e um, associado a um evento aleatório, que se mede pela freqüência relativa da sua ocorrência numa longa sucessão de eventos. (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) Espaço Amostral 6 x 6 = 36. (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) Evento A: n(A) = 6 possibilidades . Evento B: n(B) = 6 possibilidades . (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) Evento C: n(C) = 5 possibilidades . Evento D: n(D) = 0 possibilidades . 2) No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, determine: a) o espaço amostral; b) o evento A: “ocorrência de cara e um número par” c) o evento B: “ocorrência de coroa e múltiplo de 3” d) o evento C: “ocorrência de coroa e um número ímpar” Espaço amostral (C,1) C (C,2) (K,1) K (K,2) (C,3) (K,3) (C,4) (K,4) (C,5) (K,5) (C,6) (K,5) Espaço Amostral 2 x 6 = 12 possibilidades. “ocorrência de cara e um número par” C (C,2) (C,4) Subconjunto do espaço amostral: Evento A A = {(C,2),(C,4),(C,6)} “ocorrência de coroa e múltiplo de 3” K (K,3) Subconjunto do espaço amostral: Evento B B = {(K,3),(K,6)} (C,6) (K,6) Evento A: 1 x 3 = 3 possibilidades. Evento B: 1 x 2 = 2 possibilidades. “ocorrência de coroa e um número ímpar” (K,1) K (K,3) Subconjunto do espaço amostral: Evento C C = {(K,1),(K,3),(K,5)} Probabilidade: cálculo (K,5) Evento C: 1 x 3 = 3 possibilidades. Na teoria da Probabilidade quantificamos a chance de ocorrência de determinado acontecimento. Uma das primeiras publicações em que se falou em probabilidade matemática tratava de jogos de azar: um folheto intitulado Sobre o raciocínio em jogos de dados, em 1657. Um francês, conhecido como Chevalier de Merê, teria ganhado dinheiro apostando que, em quatro lançamentos de dado, pelo menos uma vez ocorre o resultado “seis pontos”. Os jogos forneceram boas questões e discussões, que propiciaram o desenvolvimento dessa teoria. A Estatística, importantíssima nos mais diversos ramos de atividade, apoia-se fortemente na Teoria da Probabilidade. 3) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ao tomar uma decisão baseada em resultados de uma amostra(espaço amostral), é por meio da Teoria da Probabilidade que se estabelece, por exemplo, o risco da decisão tomada. Quando num dado fenômeno(ou experimento) aleatório, com espaço amostral finito, considerando que o evento elementar tem a mesma “chance” de ocorrer, a probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por p(A), é um número que mede essa chance e é dado por: 4) No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: Espaço amostral (U) C (C, C, C) C n(U) = 6 possibilidades. Evento A = {5, 6} n(A) = 2 possibilidades(chances) K (C, C, K) C C (C, K, C) K K C C (K, C, C) K (K, C, K) K C (K, K, C) K (K, K, K) K (C, K, K) n(U): 8 a) pelo menos duas caras? Evento A {(C,C,C),(C,C,K),(C,K,C),(K,C,C)} = n( A) = 4 a) exatamente duas caras? Evento B = {(C,C,K),(C,K,C),(K,C,C)} n( B) = 4 5) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam somente de leitura. Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens: Espaço amostral (U) = 75 jovens Representação por diagrama Música (A) 6 Esporte (B) Evento A =16 + 14 + 6 + 8 = 44 9 8 16 14 a) ele gostar de música? 6 5 11 b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades? Evento B = 75 – (5+9++6+6+14+8+16) = 75 – 64 = 11 Leitura (C) 75 – (5+9++6+6+14+8+16) = 75 – 64 = 11 (não gostam de nenhuma atividade) Informações técnicas a) Princípio fundamental da contagem: Sejam A e B dois conjuntos disjuntos e não vazios. Se para a escolha de um elemento de A existem m possibilidades e para a escolha de um elemento de B existem k possibilidades, então para a escolha, nessa ordem, de um elemento de A e de um elemento de B existem m · k possibilidades. b) A probabilidade de ocorrência de um evento A, com n(A) amostras, em um espaço amostral E, com n(E) amostras igualmente prováveis, é dada por: c) A probabilidade de ocorrência, numa certa ordem, de dois eventos A e B é dada por: d) Dois eventos A e B são independentes quando Nesse caso: Na sua produção, cada um dos pássaros deveria ser pintado com uma cor diferente, escolhida entre as seguintes: verde, amarelo, laranja, azul-claro, azul-escuro. Havia quantas opções diferentes de pintura desses pássaros, para a escolha do logotipo final? a) 20 b) 32 c) 60 d) 120 e) 720 7) A tabela mostra quantos minutos por hora os três refrigeradores R1, R2 e R3 de uma cozinha industrial permanecem com o motor funcionando. Admitindo-se a total independência dos eventos (o que equivale a dizer que o funcionamento de um motor não interferirá no funcionamento dos outros), a probabilidade de os motores dos três refrigeradores, em um instante qualquer, estarem funcionando é igual a: 6) O logotipo dos jogos Pan-Americanos de 2007 é formado por 5 pássaros, cujas formas fazem lembrar paisagens da cidade do Rio de Janeiro. 1 2 3 5 4 a) 20 b) 32 c) 60 d) 120 e) 720 Para a escolha da cor do 1º pássaro, temos 5 possibilidades; para a do 2º, 4; para a do 3º, 3; para a do 4º, 2; e para a do 5º, apenas uma possibilidade. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: Resolução 1 hora tem 60 minutos (espaço amostral) n(R1) = 20 n(R2) = 30 n(R3) = 12 Como os eventos são independentes, a probabilidade pedida é Alternativa “A” 8) Numa sala de aula de um curso noturno, a distribuição das idades dos alunos é dada pelo gráfico seguinte. Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de sua idade ser no máximo 18 anos é: Resolução 4 + 5 + 3 + 1 + 2 + 5 = 20 (Espaço amostral) Evento A = 4 + 5 + 3 = 12 Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de sua idade ser no máximo 18 anos é: 9) Observe a figura a seguir: O número de caminhos diferentes que nos levam de X até Z é igual a: Alternativa “C” Resolução Observando os percursos possíveis, temos: XY e YZ = 1 x 3 = 3 OU XA e AZ = 2 x 1 = 2 OU XA e AY e YZ = 2 x 3 x 3 = 18 OU XA e AY e YB e BZ = 2 x 3 x 2 x 2 = 24 OU XY e YB e BZ = 1 x 2 x 2 = 4 SOMA: 3 + 2 + 18 + 24 + 4 = 51 ALTERNATIVA “E”