raciocínio lógico-quantitativo

RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
1. ESTRUTURAS LÓGICAS
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
DIAGRAMAS LÓGICOS ............................................................ 03
2. ÁLGEBRA LINEAR ................................................................ 13
3. PROBABILIDADES ................................................................ 27
4. COMBINAÇÕES ..................................................................... 29
5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES ............................................ 32
Raciocínio Lógico
1
PESQUISA E EDIÇÃO: FLÁVIO NASCIMENTO (Graduado em Administração de
Empresas e Bacharelando em Direito pela Faculdades Toledo de Araçatuba – SP)
BIBLIOGRAFIA:
Alencar F, Edgard de. Iniciacao a Logica Matematica. Editora Nobel , São Paulo
Jacob Daghlian – Lógica e álgebra de Boole – 4º ed. – São Paulo: Atlas, 1995.
Coleção Schaum – Álgebra Moderna – Ed. McGraw-Hill
2
Raciocínio Lógico
1. ESTRUTURAS LÓGICAS, LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO, ESTRUTURAS LÓGICAS
Iniciaremos com os primeiros passos da Lógica:
PROPOSIÇÕES
Temos vários tipos de sentenças:
Declarativas
Interrogativas
Exclamativas
Imperativas
VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES
O valor lógico de uma proposição r é a verdade(ou verdadeiro) se r é verdadeira.
Escreve-se v(r) = V, isto é, o valor lógico de r é V.
O valor lógico de uma proposição s é a falsidade(ou falso) se s é falsa.
Escreve-se v(s) = F, isto é, o valor lógico de s é F.
Os valores “verdadeiro” (V) e “falso(F) são chamados de valores lógicos”.
LEIS DO PENSAMENTO
Vejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar.
PRINCÍPIO DA IDENTIDADE. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.
PRINCÍPIO DE NÃO-CONTRADIÇÃO. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa.
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
SENTENÇAS ABERTAS Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis, teremos uma
sentença aberta.
CONECTIVOS
Chama-se conectivo a algumas palavras ou frases que em lógica são usadas para formarem proposições
compostas.
Veja alguns conectivos:
A negação não cujo símbolo é ~.
A desjunção ou cujo símbolo é v.
A conjunção e cujo símbolo é ^
O condicional se,....., então, cujo símbolo é -->.
O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é <->.
PROPOSIÇÕES SIMPLES
Uma proposição é simples quando declara ou afirma algo sem o uso de nenhum dos conectivos e, ou, se...., então
e se , e somente se.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Uma proposição é composta quando formada por mais de uma proposição simples.
Raciocínio Lógico
3
1 - INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração.
Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George
Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas
para representar proposições e suas inter-relações.
As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos
da eletricidade, da computação e da eletrônica.
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas
como proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:
Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo outra alternativa.
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor
lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0
ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).
As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ...
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um número
real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico
definido (verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico
V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.
p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V )
q: " 3 + 5 = 2 " ( F )
r: " 7 + 5 = 12" ( V)
s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) . 180º " ( V )
t: " O Sol é um planeta" ( F )
w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )
2 - SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA
∼
∧
∨
→
↔
|
⇒
⇔
∃
∃|
∀
não
e
ou
se ... então
se e somente se
tal que
implica
equivalente
existe
existe um e somente um
qualquer que seja
3 - O MODIFICADOR NEGAÇÃO
Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se " não p " ).
Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )
Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p .
4
Raciocínio Lógico
4 - OPERAÇÕES LÓGICAS
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos ∧ , ∨ , → e ↔ , dando
origem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples,
poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p∧ q , p∨ q , p→ q , p↔ q (Os significados dos
símbolos estão indicados na tabela anterior).
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.
Conjunção: p∧ q (lê-se "p e q " ).
Disjunção: p∨ q (lê-se "p ou q ") .
Condicional: p→ q (lê-se "se p então q " ).
Bi-condicional: p↔ q ( "p se e somente se q") .
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valores
lógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela a
seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1
quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
0
p∨q
1
1
1
0
p→ q
1
0
1
1
p↔q
1
0
0
1
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.
a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.
a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.
Ex.: Dadas as proposições simples:
p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)
q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)
Temos:
p∧ q tem valor lógico F (ou 0)
p∨ q tem valor lógico V (ou 1)
p→ q tem valor lógico V (ou 1)
p↔ q tem valor lógico F (ou 0).
Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, não
obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase!
Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0),
não podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1)
pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros
amigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores!
Seria demais imaginar que a proposição p∧ q pode ser associada a um circuito série e a proposição p∨ q a
um circuito em paralelo?
Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo!
Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de
uma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem.
Raciocínio Lógico
5
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧ q
1
0
0
0
p∨ q
1
1
1
0
p→ q
1
0
1
1
p↔ q
1
0
0
1
Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V
valor lógico falso = 0 ou F
Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para
a conjunção, disjunção e equivalência, ou seja:
ƒ
ƒ
ƒ
a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras.
A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas.
A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos.
Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento
das regras ali contidas:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→ q
V
F
V
V
O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise:
Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra
proposição q, consideraremos que p→ q é verdadeira.
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:
1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para
outra também verdadeira. Logo, p→ q é verdadeira.
2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a
uma proposição falsa. Logo, neste caso, p→ q é falsa.
3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma
proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 15 = 15 (valor lógico V)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira).
Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5
= 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q
VERDADEIRA. Logo, p→ q é verdadeira
4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma
proposição também falsa. Senão vejamos:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 19 = 9 (valor lógico F)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q
também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4.
6
Raciocínio Lógico
Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a
proposição q dada. Logo, p→ q é verdadeira (V).
Exercícios:
1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r:
(p∧ ∼ q) → q ?
Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V .
r: (V ∧ V) → F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V → F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.
2) Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.
b) a soma de dois números pares é um número par e 72 = 49.
c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado.
d) se 102 = 100 então todo número inteiro é natural.
e) 2 = 32 - 7 ou a Terra é plana.
Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores,
concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 102 = 100 é V e "todo número inteiro é
natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural) . Portanto, temos V → F , que
sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).
Resumo da Teoria
1 - Tautologias e Contradições
Considere a proposição composta s: (p∧ q) → (p∨ q) onde p e q são proposições simples
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:
p
q
p∧ q
p∨ q
(p∧ q) → (p∨ q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é
sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição
composta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta
plano" é uma proposição logicamente verdadeira.
Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é
sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.
Ex.: A proposição composta t: p ∧ ~p é uma contradição, senão vejamos:
p
V
F
~p
F
V
p∧ ~p
F
F
NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n
linhas.
Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p∧ q) ∨ r
Raciocínio Lógico
7
Teremos:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p∧ q)
V
V
F
F
F
F
F
F
(p∧ q) ∨ r
V
V
V
F
V
F
V
F
Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição.
Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente
construindo as respectivas tabelas verdades:
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são
TAUTOLOGIAS:
1) (p∧ q) → p
2) p → (p∨ q)
3) [p∧ (p→ q)] → q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens")
4) [(p→ q) ∧ ~q] → ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")
Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente
são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.
NOTAS:
a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência.
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa,
ou seja, uma contradição.
2 - Álgebra das proposições
Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São
válidas as seguintes propriedades:
a) Leis idempotentes
p∧ p = p
p∨ p = p
b) Leis comutativas
p∧ q = q∧ p
p∨ q = q∨ p
c) Leis de identidade
p∧v=p
p∧f=f
p∨v=v
p∨f=p
d) Leis complementares
~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação)
p ∧ ~p = f
p ∨ ~p = v
~v = f
~f = v
e)Leis associativas
(p∧ q)∧ r = p∧ (q∧ r)
(p∨ q)∨ r = p∨ (q∨ r)
8
Raciocínio Lógico
f) Leis distributivas
p∧ (q∨ r) = (p∧ q) ∨ (p∧ r)
p∨ (q∧ r) = (p∨ q) ∧ (p∨ r)
g) Leis de Augustus de Morgan
~(p∧ q) = ~p ∨ ~q
~(p∨ q) = ~p ∧ ~q
h) Negação da condicional
~(p→ q) = p∧ ~q
Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.
Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h):
Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p→ q) e de p∧ ~q :
Tabela1:
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
p→ q
V
F
V
V
~(p→ q)
F
V
F
F
Tabela 2:
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
~q
F
V
F
V
p∧ ~q
F
V
F
F
Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas
apresentam a seqüência F V F F , o que significa que ~(p→ q) = p∧ ~q .
Exs.:
1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?
Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".
2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado" ?
Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".
3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ?
Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e não
aprendo"
Dado um conjunto de proposições P1, P2 , P3 , ... , Pn , Q (simples ou compostas) chama-se ARGUMENTO à
proposição composta S : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q .
As proposições P1, P2 , P3 , ... , Pn são denominadas PREMISSAS e a proposição Q é denominada CONCLUSÃO.
Costuma-se representar um argumento, também da forma simplificada:
P1, P2 , P3 , ... , Pn ∴ Q , onde o símbolo ∴ significa "logo" ou "de onde se deduz " .
O argumento S : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q será VÁLIDO se e somente se a proposição composta
s : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q for uma TAUTOLOGIA, ou seja, a última coluna da sua TABELA VERDADE só
contiver o valor lógico verdadeiro (V). Caso contrário, o argumento não será válido e será denominado FALÁCIA.
Consideremos o seguinte exemplo de argumento:
Se chove então faz frio.
Não chove,
Logo, não faz frio.
Raciocínio Lógico
9
Este argumento é válido? Vejamos:
Sejam as proposições:
p: " chove "
q: " faz frio "
Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q).
Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica indicada acima:
s: [(p → q) ∧ ~p] → ~q
Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição
composta
s: [(p → q) ∧ ~p] → ~q.
Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores:
p
q
~p
~q
p→ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
[(p → q)
∧ ~p
F
F
V
V
s
V
V
F
V
Como a proposição composta
s: [(p → q) ∧ ~p] → ~q não é uma Tautologia (apareceu um F na terceira linha da última coluna), concluímos que o
argumento dado não é válido. O argumento é, portanto, uma FALÁCIA.
Vamos agora considerar o seguinte argumento:
Se chove então faz frio.
Não faz frio.
Logo, não chove.
Este argumento é válido? Vejamos:
Sejam as proposições:
p: " chove "
q: " faz frio "
Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q).
Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica:
s: [(p → q) ∧ ~q] → ~p
Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição
composta
s: [(p → q) ∧ ~q] → ~p .
Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p→q
V
F
V
V
[(p → q) ∧ ~q
F
F
F
V
s
V
V
V
V
Como a proposição composta
s: [(p → q) ∧ ~q] → ~p é uma Tautologia (só aparece V na última coluna), concluímos que o argumento dado é
válido.
Este tipo de problema se complica um pouco quando o número de premissas aumenta, pois com duas premissas,
10
Raciocínio Lógico
a tabela verdade conterá 22 = 4 linhas, com três premissas, a tabela verdade conterá 23 = 8 linhas e assim
sucessivamente. Com quatro premissas, a tabela verdade conterá 24 = 16 linhas; imagine 10 premissas!
A tabela verdade conteria 210 = 1024 linhas. Aí, só os computadores resolveriam ...
Considere outro exemplo, agora com 3 premissas:
Se o jardim não é florido então o gato mia.
Se o jardim é florido então o passarinho não canta.
O passarinho canta.
Logo, o jardim é florido e o gato mia.
Sejam as proposições:
p: " o jardim não é florido"
q: " o gato mia"
r: " o pássaro canta"
Poderemos escrever o argumento na seguinte forma simbólica:
s : [(p → q) ∧ (~ p → ~ r) ∧ r ] → ( ~ p ∧ q )
Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores:
p
q
r
~ r ~p ∧ q p → q ~p ~p → ~ r [(p → q) ∧ (~p → ∼ r) ∧
(~r)
s
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
Como o argumento s não é uma Tautologia (apareceu F na última coluna) , o argumento não é válido.
Notas:
1 – o entendimento da tabela verdade acima, requer muita atenção.
2 – neste tipo de exercício, não devemos usar a intuição, somente. A construção da tabela verdade é uma
necessidade imperiosa, embora possa parecer muito trabalhosa.
3 – recomendamos enfaticamente, imprimir o arquivo e analisar criteriosamente a tabela verdade.
Agora resolva estes:
1 - Se o jardim não é florido então o gato mia.
O gato não mia.
Logo, o jardim é florido.
Resposta: o argumento é válido.
2 - Se o jardim não é florido então o gato não mia.
O jardim é florido.
Logo, o gato mia.
Resposta: o argumento não é válido.
Raciocínio Lógico
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2. ÁLGEBRA LINEAR
NUMEROS COMPLEXOS
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo
das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses,
Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria
dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1.
Pode-se escrever então:
i = √-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das
raízes quadradas de números negativos .
Ex: √-16 = √16 . √-1 = 4.i = 4i
Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do
expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4.
Assim , podemos resumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = √-1 é a unidade imaginária .
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um
subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .
Exercícios Resolvidos:
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
12
Raciocínio Lógico
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser
memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser
memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é
zero.
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por
, a um outro número
complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .
= a - bi
z = a + bi
Ex: z = 3 + 5i ;
= 3 - 5i
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados .
Assim é que z = a + bi = (a,b).
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer
número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e
a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é
chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss.
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA
Regra : Para dividir um número complexo z por outro w
complexo conjugado do denominador .
Ex:
=
0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo
=
= 0,8 + 0,1 i
Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:
1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .
3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z +
= 12 + 6i é:
4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
Raciocínio Lógico
13
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w
.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 .
+ 1 - i = 0.
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i
13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z
é:
a) 13
b) 7
c) 13
d) 7
e) 5
16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i
17 - UCSal - Sabendo que (1+i)2 = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i
GABARITO:
1) -3 - i
2) -3 + 18i
3) 4 + 3i
4) 3/2
5) -2 + 18i
6) i
14
7) 3
8) 1 + 2i
9) 50
10) 32i
11) -1 - i
12) B
13) D
14) A
15) A
16) A
17) E
Raciocínio Lógico
MATRIZES e DETERMINANTE
Matriz de ordem m x n :
Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais
(ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m
por n)
Exemplos:
A = ( 1 0 2 -4 5) → Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.
Notas:
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.
Exemplo:
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j
da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a31 = 4 , a3,2 = 5 , etc.
3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ≠ j .
Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:
A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:
4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.
Exemplo:
A matriz At é a matriz transposta da matriz A .
Notas:
4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.
4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At =  0 (matriz nula) .
Raciocínio Lógico
15
Produto de matrizes
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de
linhas de B.
Amxn x Bnxq = Cmxq
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda
matriz, obtido da seguinte forma:
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P
de ordem 3x3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ≠ B x A
DETERMINANTES
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada ,
calculado de acordo com regras específicas .
É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante.
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem.
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:
O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
det (A) =  A = ad - bc
Exemplo:
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o
determinante da matriz dada é igual à unidade.
16
Raciocínio Lógico
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na
universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:
1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.
2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo
para os resultados à direita.
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.
Exemplo:
.2 3 5
.1 7 4
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.
Principais propriedades dos determinantes
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ).
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado
(ou dividido) por esse número.
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela,
multiplicada por um número real qualquer.
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas
condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).
Notas:
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO
INVERSÍVEL .
2) se det A ≠ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n
, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k ∈ R então det(k.A) = kn . det A
Exemplos:
1) Qual o determinante associado à matriz?
Raciocínio Lógico
17
Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os
elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante:
Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA ⇒ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade
P3 acima. Logo, D = 0.
3) Calcule o determinante:
Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90
Exercícios propostos:
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o
determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ≠ j .
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resp: n = 4
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde
aij = i + j se i ≥ j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?
Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 72
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da
matriz 5 A é igual a:
Resp: zero
1 - Definições:
1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que
se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :
18
Raciocínio Lógico
Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se
obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:
Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!
1.2 - Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = - 10.
2 - Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer
(linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos
as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para
o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do
determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de
quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas
eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna)
que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.
3 - Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidade de
ordem n.
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:
Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .
Exercícios propostos
1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é
igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) –4
Resp: a
2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:
Resp: 15
Raciocínio Lógico
19
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ≥ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos
elementos da diagonal secundária.
Resp: 12
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
a) 1/5 b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
Resp: a
5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento
c12 da matriz C = A.B é:
a)12
b) 11 c) 10 d) 9
e) inexistente
Resp: e
FUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2x2 inversível que satisfaz 2A = A2, então o determinante de A
será:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
SOLUÇÃO:
Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero.
Se 2 A = A2, então os seus determinantes são iguais, ou seja:
det(2 A) = det(A2)
Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.A) onde k é um
número inteiro positivo, será igual a kn . det(A).
Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem:
det(2 A) = 22.det(A)
S
abemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B).
Então, det(A2) = det(A . A) = det(A).det(A)
Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A2), as expressões obtidas anteriormente, vem:
22.det(A) = det(A).det(A)
4.det(A) – [det(A)]2 = 0
Colocando det(A) em evidencia, fica:
det(A).[4 – det(A)] = 0
Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não
nulo e, portanto, a solução det(A) = 0 não serve.
Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E.
SISTEMAS LINEARES
1 - Equação linear
Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.
Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.
Exemplos de equações lineares:
2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)
3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)
2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)
-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)
20
Raciocínio Lógico
2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.
2 - A solução de uma equação linear
Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de
primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 22, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas
incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de
pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado
(4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], ... , etc.
Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas.
Seja por exemplo: x + y + z = 5
As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); ... , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a
afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), ... , ou seja, existem infinitas
soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.
De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três
variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas; ... .
Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.
Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , ... , rn) é solução da equação linear
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para
x1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , ... , xn = rn e poderemos escrever:
a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + ... + an.rn = b.
Exercícios resolvidos:
1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p?
Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.
2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado
(α , β , γ ) é solução.
Solução: Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β . Portanto, a solução genérica será o
terno ordenado (α , β , 14 - 5α + 2β ).
Observe que arbitrando-se os valores para α e β , a terceira variável ficará determinada em função desses
valores. Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos
γ = 14 - 5α + 2β = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos
pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado
(α , β , 14 - 5α + 2β ) a solução genérica.
3 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?
Resp : S = φ
4 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação
3x + 4y - 5z + 2t = 10.
Resp : -17
1 - Sistema linear
É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
.................................................................
.................................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn
Raciocínio Lógico
21
Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3
Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1, b2, ... , bn são os
termos independentes.
A ênupla (α 1, α 2 , α 3 , ... , α n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas
as m equações.
Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.
Notas:
1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares
2x + 3y = 12
S1:
3x - 2y = 5
5x - 2y = 11
6x + y = 20
são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!
S2:
2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou
COMPATÍVEL.
3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.
4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.
5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é
INDETERMINADO.
6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.
Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0
Exercícios Resolvidos
1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas
x+y=1
S1:
x - 2y = -5
ax - by = 5
ay - bx = -1
são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:
a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10
S2:
Solução:
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1:
22
Raciocínio Lógico
x+y=1
x - 2y = -5
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 ∴ y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 ∴ x = -1.
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em S2
os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem:
a(-1) - b(2) = 5 ⇒ - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 ⇒ 2 a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),
fica: -3b = 9 ∴ b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em
azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 ∴ a = 1.
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.
2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.
Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)
Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador
igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.
Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua
solução.
Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:
a) 2x + 5y .- ..z = 10
.............3y + 2z = ..9
.....................3z = 15
b) 3x - 4y = 13
.....6x - 8y = 26
c) 2x + 5y = 6
....8x + 20y = 18
Resp:
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções.
MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS OU MÉTODO DO ESCALONAMENTO
Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.
O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como
escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:
T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do
sistema.
Raciocínio Lógico
23
Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x - 2y = 6
5x - 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a
ordem de apresentação das equações.
T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das
equações do sistema, por um número real não nulo.
Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
x - 2y + 3z = 1
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
3x - 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.
T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida
a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.
Exemplo: os sistemas
15x - 3y = 22
5x + 2y = 32
15x - 3y = 22
...... - 9y = - 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi
substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).
Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.
Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1
2x . - .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y - 5z = 6 .Equação 3
SOLUÇÃO:
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-...y + z = 12
x ..+ 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6
2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultado
obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:
2x - ..y + z = 12
.....- 7y + 5z = 6
4x + 3y - 5z = 6
3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e
substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x - ..y + ..z = ...12
.....- 7y + 5z = ....6
........5y - 7z = - 18
4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -.....y + ....z =....12
.....- 35y +25z =... 30
.......35y - 49z = -126
5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:
2x - .....y + ....z = ..12
24
Raciocínio Lógico
.....- 35y + 25z = ..30
...............- 24z = - 96
6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: - 35y + 25(4) = 30 ∴ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x - 2 + 4 = 12 ∴ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto
solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }
Verificação:
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) - 2(4) = 3
2(5) - (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.
Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo
era escrever o sistema na forma
ax + by + cz = k1
dy + ez = k2
fz = k3
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o
caminho comum para qualquer sistema.
É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos:
a) f ≠ 0 , o sistema é possível e determinado.
b) f = 0 e k3 ≠ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = φ .
d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.
Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser
recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.
Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira
incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e
assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.
A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento:
Sistema I : Resp: S = { (3, 5) }
4x - 2y = 2
2x + 3y = 21
Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) }
2 a + 5b + .3c = ...20
5 a + 3b - 10c = - 39
...a + ....b + ....c = ......5
Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }
..x + .y .- ..z = ...0
..x - 2y + 5z = 21
4x + .y + 4z = 31
Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.
Raciocínio Lógico
25
Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
....................................................= ...
....................................................= ...
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn
onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentes
b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn.
Seja ∆ o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.
Seja ∆ xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da
incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.
A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo
denominador é o determinante ∆ dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante ∆ xi, ou seja:
xi = ∆ xi / ∆
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6
Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para
retornar, clique em VOLTAR no seu browser.
Teremos:
26
Raciocínio Lógico
Portanto, pela regra de Cramer, teremos:
x1 = ∆ x1 / ∆ = 120 / 24 = 5
x2 = ∆ x2 / ∆ = 48 / 24 = 2
x3 = ∆ x3 / ∆ = 96 / 24 = 4
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.
Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. É
conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.
Agora, resolva este:
2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y - 10z = - 39
x+y+z=5
Resp: S = { (-1, 2, 4) }
3. PROBABILIDADES
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o
motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade
permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou
seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a
abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o
espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
Escreva explicitamente os seguintes eventos:
A={caras e m número par aparece},
B={um número primo aparece},
C={coroas e um número ímpar aparecem}.
Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:
A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B
1 C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
Raciocínio Lógico
27
B
1A 1C = {K3,K5,R2}
c
c
A e C são mutuamente exclusivos, porque A
1C=i
Conceito de probabilidade
Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um
evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número pasra pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6
igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades
iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1
(probabilidade do evento certo).
0≤P(S)
≤1
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário, que já tenha alguma informação sobre o evento
que se deseja observar.Nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a s sua probabilidade de
ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem
reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos:
A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
28
Raciocínio Lógico
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não
depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a
sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda
retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a
probabilidade de sair vermelha na primeira retirada ´e 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí,
usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B),
porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta
na urna.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2).
Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou
um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 8/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao
mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
4. COMBINAÇÕES
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que
levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem.
Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557),
conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número
de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
FATORIAL
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ≥ 2.
Raciocínio Lógico
29
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras
diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de
ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4
algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir
que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26
alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4
lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:
26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o
sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para
codificar todos os veículos. Perceberam?
PERMUTAÇÕES SIMPLES
1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e
que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é
Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .
Exemplos:
a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco
lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não
significado na linguagem comum.
Exemplo:
Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos
repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
30
Raciocínio Lógico
Exemplo:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Solução:
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T,
duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151200 anagramas.
ARRANJOS SIMPLES
1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos
distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos.
Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte
fórmula:
Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência
de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para
conseguir abri-lo?
Solução:
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a
terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao
mesmo resultado:
10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
COMBINAÇÕES SIMPLES
1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos
formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são
diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplo:
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a
seguinte fórmula:
Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:
Exemplo:
Uma prova consta
poderá escolher as 10 questões?
de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele
Solução:
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de
combinação de 15 elementos com taxa 10.
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
Raciocínio Lógico
31
Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos
coquetéis diferentes podem ser preparados?
Resp: 120
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com
vértices nos 9 pontos marcados?
Resp: 84
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem
dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
Resp: 48
Exercício resolvido: Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número
procurado é igual a 64 - 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES
Fatorial de um número:
n!=n.(n-1).(n2) 3 2
Definições especiais:
0!=
1
100!+101!
.
99!
100!+101! 100.99!+101.100.99!
=
= 100 + 101.100 = 100 + 10100 = 10200
99!
99!
1) Calcule o valor da expressão
( x + 1)!
= 56.
( x − 1)!
( x + 1)!
( x + 1)( x)( x − 1)!
= 56 ⇒
= 56 ⇒ ( x + 1)( x) = 56 ⇒ x 2 + x = 56 ⇒
( x − 1)!
( x − 1)!
2) Resolva a equação
x = 7
− 1 ± 225
− 1 ± 15
⇒ x=
⇒
2
2
x = -8
Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo.
⇒ x 2 + x − 56 = 0 ⇒ x =
3) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos
campeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?
R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2
possibilidades para o 3º lugar → 4.3.2 = 24 possibilidades.
32
Raciocínio Lógico
ARRANJO SIMPLES
An , p =
n!
(n − p)!
A6, 2 + A4,3 − A5, 2
4) Calcule
A9, 2 + A8,1
A6, 2 + A4,3 − A5, 2
A9, 2 + A8,1
.
6!
4!
5!
+
−
(6 − 2)! (4 − 3)! (5 − 2)! 30 + 24 − 20 34 17
=
=
=
=
9!
8!
72 + 8
80 40
+
(9 − 2)! (8 − 1)!
5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos do
sistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que :
a) COMECEM COM 1.
R : O número pode possuir três algarismos, sendo que para o primeiro existe apenas 1
possibilidade (1) e para os outros dois ainda existem 9 números disponíveis :
1. A9, 2 =
9!
9! 9.8.7!
= =
= 9.8 = 72 números.
(9 − 2)! 7!
7!
b) COMECEM COM 2 E TERMINEM COM 5.
R : Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (2), e para o terceiro também
existe apenas 1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades :
1.1. A8,1 =
8!
8! 8.7!
= =
= 8 números.
(8 − 1)! 7! 7!
c) SEJAM DIVISÍVEIS POR 5.
R : Para um número ser divisível 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeiramente
vamos calcular o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 :
→ Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (0), e para os dois primeiros ainda
existem 9 números disponíveis. Portanto o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 é :
9!
9! 9.8.7!
= =
= 9.8 = 72 números.
(9 − 2)! 7!
7!
→ Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam com 5 : para o terceiro algarismo
1. A9, 2 =
existe apenas uma possibilidade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades,
pois o número não pode começar com 0 (senão seria um número de 2 algarismos). E para o
segundo algarismo também existem 8 possibilidades (o segundo algarismo pode ser 0).
8!
8!
8! 8! 8.7! 8.7!
= . =
= 8.8 = 64 números.
1. A8,1 . A8,1 =
.
.
(8 − 1)! (8 − 1)! 7! 7! 7! 7!
Resposta : O número de divisíveis por 5 é 72 + 64 = 136 números.
6) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos
distintos escolhidos entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?
R : O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 3000). Para o primeiro
algarismo existe apenas uma possibilidade (2), e para os outros três ainda existem 8 números
disponíveis, então :
8!
8! 8.7.6.5!
1. A8,3 =
= =
= 8.7.6 = 336 números.
(8 − 3)! 5!
5!
Raciocínio Lógico
33
PERMUTAÇÃO SIMPLES
É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.
Pn = n!
7) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?
P5 = 5!= 5.4.3.2.1 = 120 números.
8) Quantos anagramas da palavra EDITORA :
a) COMEÇAM POR A.
Para a primeira letra existe apenas uma possibilidade (A), e para as outras 6 letras
existem 6 possibilidades. Então o total é :
1.P6 = 1.6!= 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas.
b) COMEÇAM POR A e terminam com E.
Para a primeira letra existe 1 possibilidade (A), e para última também só existe 1 (E),
e para as outras 5 letras existem 5 possibilidades. Então o total é :
1.1.P5 = 1.1.5!= 5.4.3.2.1 = 120 anagramas.
8) Calcule de quantas maneiras podem ser dipostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, de
forma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas.
R :Existem duas maneiras de fazer isso :
C - D - C - D - C - D - C - D ou D - C - D - C - D - C - D - C
Colocando um cavalheiro na primeira posição temos como número total de maneiras :
P4 .P4 = 4!.4!= 24.24 = 576 maneiras.
Colocando uma dama na primeira posição temos também :
P4 .P4 = 4!.4!= 24.24 = 576 maneiras.
Portanto o total é 576 + 576 = 1152 maneiras.
34
Raciocínio Lógico
COMBINAÇÃO SIMPLES
É o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos
componentes.
Cn, p =
n!
p!(n − p)!
9) Resolver a equação C m,3 − C m , 2 = 0.
m!
m!
−
=0
3!(m − 3)! 2!(m − 2)!
m.(m − 1).(m − 2).(m − 3)! m.(m − 1).(m − 2)!
−
=0
3!(m − 3)!
2!(m − 2)!
m.(m − 1).(m − 2) m.(m − 1)
−
=0
3!
2!
m 3 − 2m 2 − m 2 + 2m m 2 − m
−
=0
6
2
m 3 − 3m 2 + 2m − 3m 2 + 3m
= 0 ⇒ m 3 − 6m 2 + 5m = 0
6
m ' = 5
6 ± 16
m 2 − 6m + 5 = 0 ⇒ m =
⇒ 
2
m ' ' = 1
Resposta : m = 5.
obs : m = 1 não é a resposta porque não pode haver C1,3 .
10) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes
podem ser feitas?
C10,6 =
10!
10.9.8.7.6! 5040 5040
=
=
=
= 210 tipos de saladas.
6!.(10 − 6)!
6!.4!
4!
24
11) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3
rapazes e 4 moças?
RAPAZES - C 7 ,3
MOÇAS - C 6, 4
O resultado é o produto C 7 ,3 .C 6, 4 .
7!
6!
7.6.5.4! 6.5.4! 210 30
.
=
.
=
. = 35.15 = 525 comissões.
3!(7 − 3)! 4!(6 − 4)!
3!.4! 4!.2!
3! 2
Raciocínio Lógico
35
SIMULADO DE RACIOCÍNIO LÓGICO
1) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B.
Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,
portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é
gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então
Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é
alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é
gordo
2) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P
são conjuntos não vazios):
Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está
contido em P"
Premissa 2: "X não está contido em P"
Pode-se, então, concluir que, necessariamente
a) Y está contido em Z
b) X está contido em Z
c) Y está contido em Z ou em P
d) X não está contido nem em P nem em Y
e) X não está contido nem em Y e nem em Z
7) Sabe-se que a ocorrência de B é condição
necessária para a ocorrência de C e condição
suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também,
que a ocorrência de D é condição necessária e
suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C
ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre
b) D não ocorre ou A não ocorre
c) B e A ocorrem
d) nem B nem D ocorrem
e) B não ocorre ou A não ocorre
3) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e
desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na
mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles
podem distribuir-se nos assentos de modo que as
duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é
igual a
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120
8) Se Frederico é francês, então Alberto não é
alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é
espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico
é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é
italiana. Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês
b) Pedro é português e Alberto é alemão
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês
4) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão
matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não
estão matriculados nem em Inglês nem em Francês.
Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A
probabilidade de que o estudante selecionado esteja
matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas
(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200
b) 130/200
c) 150/200
d) 160/200
e) 190/200
5) Uma herança constituída de barras de ouro foi
totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e
Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade
das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter
recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante
da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o
número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6) Chama-se tautologia a toda proposição que é
sempre verdadeira, independentemente da
verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de
tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é
gordo
36
9) Se Luís estuda História, então Pedro estuda
Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge
estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena
estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente
que:
a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina
b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina
c) Se Luís não estuda História, então Jorge não
estuda Medicina
d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática
e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda
Filosofia
10) Maria tem três carros:
um Gol, um Corsa e um Fiesta.
Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é
azul.
Sabe-se que:
1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco,
2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul,
3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul,
4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto,
as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são,
respectivamente,
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e) branco, azul, preto
Raciocínio Lógico
GABARITO
1) C
2) B
3) D
4) D
5) E
6) A
7) C
8) B
9) A
10) E
SIMULADO 02
01. O economista José Júlio Senna estima que em
1998 o déficit em conta corrente do país será de US$
40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução
das importações, esse déficit diminuirá em US$ 12
bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar
US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições,
mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões em
investimentos diretos e US$ 15 bilhões para financiar as importações, ainda faltarão para o país
equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual
a
a) 1 bilhão
b) 13 bilhões
c) 25 bilhões
d) 29 bilhões
e) 32 bilhões
02. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com
menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que
pelo menos duas dessas pessoas
a) nasceram num mesmo ano.
b) nasceram num mesmo mês.
c) nasceram num mesmo dia da semana.
d) nasceram numa mesma hora do dia.
e) têm 50 anos de idade.
03. Com 1.260 kg de matéria prima uma fábrica
pode produzir 1.200 unidades diárias de certo artigo
durante 7 dias. Nessas condições, com 3.780 kg de
matéria prima, por quantos dias será possível
sustentar uma produção de 1.800 unidades diárias
desse artigo?
a) 14
b) 12
c) 10
d) 9
e) 7
04. Alberto recebeu R$ 3.600,00, mas desse
dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos.
Bruno deve receber 50% do que restar após ser
descontada a parte de Carlos e este deve receber
20% do que restar após ser descontada a parte de
Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem
receber, respectivamente,
a) 1.800 e 720 reais.
b) 1.800 e 360 reais.
c) 1.600 e 400 reais.
d) 1.440 e 720 reais.
e) 1.440 e 288 reais.
05. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa
é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é
aberto por meio de uma senha. Cada senha é
constituída por 3 algarismos distintos. Nessas
condições, o número máximo de tentativas para
abrir os cadeados é
a) 518.400
b) 1.440
c) 720
d) 120
e) 54
06. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível
obter como resultado quase todos os números
inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33
= (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).
O maior número que NÃO pode ser obtido dessa
maneira é
a) 130
b) 96
c) 29
d) 27
e) 22
07. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas.
Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2
caras e 2 coroas?
a) 25%
b) 37,5%
c) 42%
d) 44,5%
e) 50%
08. Numa loja de roupas, um terno tinha um preço
tão alto que ninguém se interessava em comprá-lo.
O gerente da loja anunciou um des-conto de 10% no
preço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novo
desconto de 10%, o que baixou o preço para R$
648,00. O preço inicial desse terno era superior ao
preço final em
a) R$ 162,00
b) R$ 152,00
c) R$ 132,45
d) R$ 71,28
e) R$ 64,00
09. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as
que sempre falam a verdade e as que sempre
mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado
X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram
outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta
se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o
intérprete diz - Ele disse que sim, mas ele pertence
ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto
concluir que
Raciocínio Lógico
37
a)
b)
c)
d)
e)
d) Juarez
e) Tarso
Y fala a verdade.
a resposta de Y foi NÃO.
ambos falam a verdade.
ambos mentem.
X fala a verdade.
15. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e
desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma
fila. O número de maneiras pelas quais eles podem
distribuir-se nos assentos de modo que as duas
moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual
a
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120
10. Se 1 hectare corresponde à área de um
quadrado com 100 m de lado, então expressando-se
a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados
obtém-se
a) 3.600
b) 36
c) 0,36
d) 0,036
e) 0,0036
16. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão
matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não
estão matriculados nem em Inglês nem em Francês.
Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A
probabilidade de que o estudante selecionado esteja
matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas
(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200
b) 130/200
c) 150/200
d) 160/200
e) 190/200
11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B.
Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,
portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
12. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z
e P são conjuntos não vazios):
17. Uma herança constituída de barras de ouro foi
totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e
Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade
das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter
recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o
restante da herança, igual a uma barra e meia.
Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu
foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Premissa 1: ''X está contido em Y e em Z, ou X está
contido em P''
Premissa 2: ''X não está contido em P''
Pode-se, então, concluir que, necessariamente
a)
b)
c)
d)
e)
Y está contido em Z
X está contido em Z
Y está contido em Z ou em P
X não está contido nem em P nem em Y
X não está contido nem em Y e nem em Z
13. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o
jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora,
o passarinho canta. Logo:
a) jardim é florido e o gato mia
b) jardim é florido e o gato não mia
c) jardim não é florido e o gato mia
d) jardim não é florido e o gato não mia
e) se o passarinho canta, então o gato não mia
18. Chama-se tautologia a toda proposição que é
sempre verdadeira, independentemente da verdade
dos termos que a compõem. Um exemplo de
tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é
gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é
gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então
Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João
é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é
gordo
14. Um crime foi cometido por uma e apenas uma
pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando,
Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem
era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: ''Sou inocente''
Celso: ''Edu é o culpado''
Edu: ''Tarso é o culpado''
Juarez: ''Armando disse a verdade''
Tarso: ''Celso mentiu''
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e
que todos os outros disseram a verdade, pode-se
concluir que o culpado é:
a) Armando
b) Celso
c) Edu
19. Sabe-se que a ocorrência de B é condição
necessária para a ocorrência de C e condição
suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também,
que a ocorrência de D é condição necessária e
suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C
ocorre,
38
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
D ocorre e B não ocorre
D não ocorre ou A não ocorre
B e A ocorrem
nem B nem D ocorrem
B não ocorre ou A não ocorre
20. Dizer que ''Pedro não é pedreiro ou Paulo é
paulista'' é, do ponto de vista lógico, o mesmo que
dizer que:
se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é
paulista.
GABARITO
01-C | 02-E | 03-A | 04-C | 05-B | 06-D | 07-B | 08-B | 09-E | 10-D
11-C | 12-B | 13-C | 14-E | 15-D | 16-D | 17-E | 18-A | 19-C | 20-A
SIMULADO 03
03. Em uma viagem de automóvel, dois amigos
partem com seus carros de um mesmo ponto na
cidade de São Paulo. O destino final é Maceió, em
Alagoas, e o trajeto a ser percorrido também é o
mesmo para os dois. Durante a viagem eles fazem
dez paradas em postos de gasolina para
reabastecimento dos tanques de gasolina. Na décima
parada, ou seja, a última antes de atingirem o
objetivo comum, a média de consumo dos dois
carros é exatamente a mesma. Considerando que
amanhã os dois sairão ao mesmo tempo e
percorrerão o último trecho da viagem até o mesmo
ponto na cidade de Maceió, podemos afirmar que:
I - Um poderá chegar antes do outro e, mesmo
assim manterão a mesma média de consumo.
II - Os dois poderão chegar ao mesmo tempo e,
mesmo assim manterão a mesma média de
consumo.
III - O tempo de viagem e o consumo de
combustível entre a paradas pode ter sido diferente
para os dois carros.
a) Somente a hipótese (I) está correta.
b) Somente a hipótese (II) está correta.
c) Somente a hipótese (III) está correta.
d) As hipóteses (I), (II) e (III) estão corretas.
01. Com a promulgação de uma nova lei, um
determinado concurso deixou de ser realizado por
meio de provas, passando a análise curricular a ser o
único material para aprovação dos candidatos. Neste
caso, todos os candidatos seriam aceitos, caso
preenchessem e entregas-sem a ficha de inscrição e
tivessem curso superior, a não ser que não tivessem
nascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 35
anos.
José preencheu e entregou a ficha de inscrição e
possuía curso superior, mas não passou no
concurso.
Considerando o texto acima e suas restrições, qual
das alternativas abaixo, caso verdadeira, criaria uma
contradição com a desclassificação de José ?
a) José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha
de inscrição corretamente.
b) José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil.
c) José tem menos de 35 anos e curso superior
completo.
d) José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil.
02. Uma rede de concessionárias vende somente
carros com motor 1.0 e 2.0. Todas as lojas da rede
vendem carros com a opção dos dois motores,
oferecendo, também, uma ampla gama de opcionais.
Quando comprados na loja matriz, carros com motor
1.0 possuem somente ar-condicionado, e carros com
motor 2.0 têm sempre ar-condicionado e direção
hidráulica. O Sr. Asdrubal comprou um carro com arcondicionado e direção hidráulica em uma loja da
rede.
Considerando-se verdadeiras as condições do texto
acima, qual das alternativas abaixo precisa ser
verdadeira quanto ao carro comprado pelo Sr.
Asdrubal?
a) Caso seja um carro com motor 2.0, a compra
não foi realizada na loja matriz da rede.
b) Caso tenha sido comprado na loja matriz, é um
carro com motor 2.0.
c) É um carro com motor 2.0 e o Sr. Asdrubal não
o comprou na loja matriz.
d) Sr. Antônio comprou, com certeza, um carro
com motor 2.0.
04. Vislumbrando uma oportunidade na empresa em
que trabalha, o Sr. Joaquim convidou seu chefe para
jantar em sua casa. Ele preparou, junto com sua
esposa, o jantar perfeito que seria servido em uma
mesa retangular de seis lugares - dois lugares de
cada um dos lados opostos da mesa e as duas
cabeceiras, as quais ficariam vazias. No dia do
jantar, o Sr. Joaquim é surpreendido pela presença
da filha de seu chefe junto com ele e a esposa,
sendo que a mesa que havia preparado esperava
apenas quatro pessoas. Rapidamente a esposa do
Sr. Joaquim reorganizou o arranjo e acomodou mais
um prato à mesa e, ao sentarem, ao em vez de as
duas cabeceiras ficarem vazias, uma foi ocupada
pelo Sr. Joaquim e a outra pelo seu chefe.
Considerando-se que o lugar vago não ficou perto do
Sr. Joaquim, perto de quem, com certeza, estava o
lugar vago?
a) Perto do chefe do Sr. Joaquim.
39
considerarmos um passeio com várias bifurcações,
o(s) único(s) que pode(m) ter votado esquerda e
direita respectivamente, nas duas últimas
bifurcações, é ou são:
a) Antônio.
b) Benedito.
c) Caetano.
d) Antônio e Caetano.
b) Perto da esposa do chefe do Sr. Joaquim.
c) Perto da filha do chefe do Sr. Joaquim.
d) Perto da esposa do Sr. Joaquim.
05. Uma companhia de ônibus realiza viagens entre
as cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem
simultaneamente, um de cada cidade, para
percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O
ônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a
uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175
sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h.
Considerando que nenhum dos dois realizou
nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que:
I - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus
175 estará mais perto de Bonito do que o 165.
II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o
ônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175.
a) Somente a hipótese (I) está errada.
b) Somente a hipótese (II) está errada.
c) Ambas as hipóteses estão erradas.
d) Nenhuma das hipóteses está errada.
09. Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os
50 candidatos de uma sala de provas, 42 são
casados. Levando em consideração que as únicas
respostas à pergunta ''estado civil'' são ''casado'' ou
''solteiro'', qual o número mínimo de candidatos
dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta
para obtermos, com certeza, dois representantes do
grupo de solteiros ou do grupo de casados?
a) 03
b) 09
c) 21
d) 26
10. Em uma viagem ecológica foram realizadas três
caminhadas. Todos aqueles que participaram das
três caminhadas tinham um espírito realmente
ecológico, assim como todos os que tinham um
espírito realmente ecológico participaram das três
caminhadas. Nesse sentido, podemos concluir que:
a) Carlos participou de duas das três caminhadas,
mas pode ter um espírito realmente ecológico.
b) Como Pedro não participou de nenhuma das três
caminhadas ele, é antiecológico.
c) Aqueles que não participaram das três
caminhadas não têm um espírito realmente
ecológico.
d) Apesar de ter participado das três caminhadas,
Renata tem um espírito realmente ecológico.
06. Stanislaw Ponte Preta disse que ''a prosperidade
de alguns homens públicos do Brasil é uma prova
evidente de que eles vêm lutando pelo progresso do
nosso subdesenvolvimento.''. Considerando que a
prosperidade em questão está associada à
corrupção, podemos afirmar que esta declaração
está intimamente ligada a todas as alternativas
abaixo, EXCETO:
a) nível de corrupção de alguns homens públicos
pode ser medido pelo padrão de vida que levam.
b) A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do
Brasil está indiretamente relacionada à
corrupção dos políticos em questão.
c) A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do
Brasil está diretamente relacionada à corrupção
dos políticos em questão.
d) progresso de nosso subdesenvolvimento pode
ser muito bom para alguns políticos.
07. Em uma empresa, o cargo de chefia só pode ser
preenchido por uma pessoa que seja pós-graduada
em administração de empresas. José ocupa um
cargo de chefia, mas João não. Partindo desse
princípio, podemos afirmar que:
a) José é pós-graduado em administração de
empresas e João também pode ser.
b) José é pós-graduado em administração de
empresas, mas João, não.
c) José é pós-graduado em administração de
empresas e João também.
d) José pode ser pós-graduado em administração
de empresas, mas João, não.
11. O economista José Júlio Senna estima que em
1998 o déficit em conta corrente do país será de US$
40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução
das importações, esse déficit diminuirá em US$ 12
bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar
US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições,
mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões em
investimentos diretos e US$ 15 bilhões para
financiar as importações, ainda faltarão para o país
equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual
a:
a) 32 bilhões
b) 29 bilhões
c) 25 bilhões
d) 13 bilhões
e) 1 bilhão
08. Três amigos - Antônio, Benedito e Caetano adoram passear juntos. O problema é que eles
nunca se entendem quanto ao caminho que deve ser
seguido. Sempre que Antônio quer ir para a
esquerda, Benedito diz que prefere a direita. Já
entre Antônio e Caetano, um sempre quer ir para a
esquerda, mas nunca os dois juntos. Fica ainda mais
complicado, pois Benedito e Caetano também nunca
querem ir para a direita ao mesmo tempo. Se
12. Considere o seguinte texto de jornal:
''O ministro X anunciou um corte de verbas de 2,43
bilhões de dólares, o que corresponde a uma
economia equivalente a 0,3% do PIB.''
Dessa informação deduz-se que o PIB do país,
expresso em dólares, é
a) 890 000 000 000
b) 810 000 000 000
c) 128 600 000 000
40
17. Quatro pessoas querem trocar presentes. O
nome de cada pessoa é escrito em um papelzinho e
colocado numa caixa. Depois, cada uma das pessoas
sorteia um papelzinho para saber quem ela irá
presentear. A chance de as quatro pessoas
sortearem seus próprios nomes é de
a) 1 em 3
b) 2 em 7
c) 1 em 4
d) 1 em 8
e) 1 em 16
d) 810 000 000
e) 128 600 000
13. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com
menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que
pelo menos duas dessas pessoas
a) têm 50 anos de idade.
b) nasceram num mesmo ano.
c) nasceram num mesmo mês.
d) nasceram num mesmo dia da semana.
e) nasceram numa mesma hora do dia.
18. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível
obter como resultado quase todos os números
inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33
= (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).
O maior número que NÃO pode ser obtido dessa
maneira é
a) 22
b) 27
c) 29
d) 96
e) 130
14. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas.
Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2
caras e 2 coroas?
a) 50%
b) 44,5%
c) 42%
d) 37,5%
e) 25%
15. Com 1 260 kg de matéria prima uma fábrica
pode produzir 1 200 unidades diárias de certo artigo
durante 7 dias. Nessas condições, com 3 780 kg de
matéria prima, por quantos dias será possível
sustentar uma produção de 1 800 unidades diárias
desse artigo?
a) 7
b) 9
c) 10
d) 12
e) 14
19. Se 1 hectare corresponde à área de um
quadrado com 100 m de lado, então expressando-se
a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados
obtém-se
a) 0,0036
b) 0,036
c) 0,36
d) 36
e) 3600
16. Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas desse
dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos.
Bruno deve receber 50% do que restar após ser
descontada a parte de Carlos e este deve receber
20% do que restar após ser descontada a parte de
Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem
receber, respectivamente,
a) 1 440 e 288 reais.
b) 1 440 e 720 reais.
c) 1 600 e 400 reais.
d) 1 800 e 360 reais.
e) 1 800 e 720 reais.
20. Um atleta faz um treinamento cuja primeira
parte consiste em sair de casa e correr em linha reta
até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem
intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo
gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o
tempo em que ele correu superou o tempo em que
caminhou em
a) 15 minutos.
b) 22 minutos.
c) 25 minutos.
d) 30 minutos.
e) 36 minutos.
GABARITO
01-D | 02-B | 03-D | 04-A | 05-C | 06-B | 07-A | 08-B | 09-A | 10-C
11-D | 12-E | 13-E | 14-A | 15-C | 16-B | 17-D | 18-B | 19-B | 20-D
SIMULADO 04
meio e a que está sentada à direita são,
respectivamente:
a) Janete, Tânia e Angélica
b) Janete, Angélica e Tânia
c) Angélica, Janete e Tânia
d) Angélica, Tânia e Janete
e) Tânia, Angélica e Janete
01 (ESAF/AFTN/96) - Três amigas, Tânia, Janete e
Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro.
Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a
verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está
sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada
no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou
Janete". Finalmente, a que está sentada à direita
diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que
está sentada à esquerda, a que está sentada no
41
meio-campista que às vezes fala a verdade e às
vezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um
torcedor que não sabia o resultado do jogo que
terminara, um deles declarou "Foi empate", o
segundo disse "Não foi empate" e o terceiro falou
"Nós perdemos". O torcedor reconheceu somente o
meio-campista mas pôde deduzir o resultado do jogo
com certeza. A declaração do meio-campista e o
resultado do jogo foram, respectivamente:
a) "Foi empate"/ o XFC venceu
b) "Não foi empate"/ empate
c) "Nós perdemos / o XFC perdeu
d) "Não foi empate" / o XFC perdeu
e) "Foi empate" / empate
02 (ESAF/AFTN/96) - José quer ir ao cinema assistir
ao filme "Fogo contra Fogo" , mas não tem certeza
se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria,
Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o
filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa,
então Júlio está enganado. Se Júlio estiver
enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver
enganado, então o filme não está sendo exibido.
Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo
exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que
Maria está certa. Logo:
o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido
a) Luís e Júlio não estão enganados
b) Júlio está enganado, mas não Luís
c) Luís está engando, mas não Júlio
d) José não irá ao cinema
07 (ESAF/AFTN/96) - Em um laboratório de
experiências veterinárias foi observado que o tempo
requerido para um coelho percorrer um labirinto, na
enésima tentativa, era dado pela função C(n) =
(3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência
pode-se afirmar, então, que um coelho:
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três
minutos
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para
percorrer o labirinto na quinta tentativa
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na
terceira tentativa
d) percorre o labirinto em quatro minutos na
décima tentativa
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três
minutos e trinta segundos
03 (ESAF/AFTN/96) - De todos os empregados de
uma grande empresa, 30% optaram por realizar um
curso de especialização. Essa empresa tem sua
matriz localizada na capital. Possui, também, dua
filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros.
Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial
de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados.
sabendo-se que 20% dos empregados da capital
optaram pela realização do curso e que 35% dos
empregados da filial de Ouro Preto também o
fizeram, então a percentagem dos empregados da
filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é
igual a:
a) 60%
b) 40%
c) 35%
d) 21%
e) 14%
08 (ESAF/AFTN/96) - O salário mensal de um
vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$
2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total
de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se
em 10% o percentual de descontos diversos que
incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses
consecutivos, o vendedor recebeu, líquido,
respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com
esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no
segundo mês foram superiores às do primeiro mês
em:
a) 18%
b) 20%
c) 30%
d) 33%
e) 41%
04 (ESAF/AFTN/96) - Se Nestor disse a verdade,
Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a
verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz
nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala.
Logo:
a) Nestor e Júlia disseram a verdade
b) Nestor e Lauro mentiram
c) Raul e Lauro mentiram
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
e) Raul e Júlia mentiram
05 (ESAF/AFTN/96) - Os carros de Artur, Bernardo
e Cesar são, não necessariamente nesta ordem, uma
Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é
cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de
artur é cinza; o carro de Cesar é o Santana; o carro
de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores
da Brasília, da Parati e do Santana são,
respectivamente:
a) cinza, verde e azul
b) azul, cinza e verde
c) azul, verde e cinza
d) cinza, azul e verde
e) verde, azul e cinza
09 (ESAF/AFTN/96) - Em determinado país existem
dois tipos de poços de petróleo, Pa e Pb. Sabe-se
que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem em
dez dias tantos barris quanto seis poços Pa mais dez
poços Pb produzem em oito dias. A produção do
poço Pa, portanto, é:
a) 60,0% da produção do poço Pb
b) 60,0% maior do que a produção do poço Pb
c) 62,5% da produção do poço Pb
d) 62,5% maior do que a produção do poço Pb
e) 75,0% da produção do poço Pb
10 (ESAF/AFTN/96) - Uma ferrovia será construída
para ligar duas cidades C1 eC2, sendo que esta
última localiza-se a vinte quilômetros ao sul de C1.
06 (ESAF/AFTN/96) - Sabe-se que na equipe do X
Futebol Clube (XFC) há um atacante que sempre
mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um
42
No entanto, entre essas duas cidades, existe uma
grande lagoa que impede a construção da ferrovia
em linha reta. Para contornar a lagoa, a estrada
deverá ser feita em dois trechos, passando pela
cidade C3, que está a dezesseis quilômetros a leste
e dezoito quilômetros ao sul de C1. O comprimento,
em quilômetros, do trecho entre a cidade C3 e a
cidade C2 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
C=
2/Ö5
Ö5/2
4/Ö5
2Ö5
4Ö5
a) a governanta e o mordomo são os culpados
b) somente o cozinheiro é inocente
c) somente a governanta é culpada
d) somente o mordomo é culpado
e) o cozinheiro e o mordomo são os culpados
16 (ESAF/AFTN/98) - Em uma cidade, 10% das
pessoas possuem carro importado. Dez pessoas
dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com
reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das
pessoas selecionadas possuam carro importado é:
a) 120 (0,1)7 (0,9)3
b) (0,1)3 (0,9)7
c) 120 (0,1)7 (0,9)
d) 120 (0,1) (0,9)7
e) (0,1)7 (0,9)3
17 (ESAF/AFTN/98) - Uma empresa possui 20
funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são
mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5
pessoas que se pode formar com 3 homens e 2
mulheres é:
a) 1650
b) 165
c) 5830
d) 5400
e) 5600
14 (ESAF/AFTN/98) - Sejam as matrizes
1
18 (ESAF/AFTN/98) - Sejam três retas: a reta R1 que
é a bissetriz do primeiro quadrante; a reta R2 que é
a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 que é
dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do
triângulo cujos lados coincidem com essas três retas
é:
a) 1,5
b) 0,5
0
3/5
-7/8
4/7
25/4
-29/4
15 (ESAF/AFTN/98) - Há três suspeitos de um crime:
o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se
que o crime foi efetivamente cometido por um ou
por mais de um deles, já que podem ter agido
individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se
o cozinheiro é inocente, então a governanta é
culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a
governanta é culpada, mas não os dois; C) o
mordomo não é inocente. Logo:
13 (ESAF/AFTN/98) - O valor de y para o qual a
expressão trigonométrica:
(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0
representa uma identidade é:
a) 0
b) -2
c) -1
d) 2
e) 1
B=
3/7
a) - 7/8
b) 4/7
c) 0
d) 1
e) 2
12 (ESAF/AFTN/98) - Indique qual das opções
abaixo é verdadeira.
a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e
que x2 + 5x = 0
b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que
y>2
c) Para todo número real positivo x, tem-se que x2 >
x
d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e
que k2 – 5k = 0
e) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e
que x > 5
0
0
e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da
matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y =
(AB) + C, então o valor de x é:
11 (ESAF/AFTN/98) - Considere as afirmações: A) se
Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se
Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;
C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma
boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas
três afirmações permite concluir que elas:
a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa
amiga
b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma
boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade
e que Helena não é uma boa amiga
d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa
amiga
e) são inconsistentes entre si
A=
1
0
43
c) 1
d) 2
e) 2,5
20- Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20
cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm.
Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela
base menor e o prolongamento dos lados não
paralelos do trapézio é igual a:
19 (ESAF/AFTN/98) - Em um triângulo retângulo, um
dos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de
450. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então
a soma das medidas dos catetos é igual a:
a) 8 cm2
b) 4 cm
c) 8 cm
d) 16 cm2
e) 16 cm
a) 7
b) 5
c) 17
d) 10
e) 12
GABARITO
01-B
11-B
02-E
12-A
03-A
13-B
04-B
14-C
05-D
15-E
06-A
16-A
44
07-E
17-D
08-C
18-C
09-C
19-C
10-D
20-D