Aula 09 – Sistemas Lineares

Prof. MSc. David Roza José
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Sistemas Lineares
Objetivos:
–
Entender a notação matricial;
–
Identificar matrizes: identidade, diagonal, simétrica, triangular e tridiagonal;
–
Como multiplicar matrizes e verificar quando esta multiplicação é factível;
–
Como representar um sistema de equações algébricas na forma matricial;
–
Como resolver equações algébricas com divisão à esquerda e inversão matricial
no MATLAB.
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Motivação
Vamos supor que, agora, três saltadores de bungee-jump estão unidos por cordas.
Podemos definir três distâncias x1, x2 e x3; medidas para
baixo quando não estão esticadas (esquerda). Após
saltarem, a gravidade fará seu trabalho e os saltadores
atingirão a posição de equilíbrio (direita).
Suponha que seu trabalho seja calcular o deslocamento
de cada um dos saltadores. Caso consideremos que cada
corda se comporta como uma mola linear e segue a Lei
de Hooke, diagramas de corpo livre podem ser
desenhados para cada saltador.
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Motivação
Utilizando a segunda lei de Newton, o
balanço de força para cada saltador pode
ser escrito como:
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Motivação
Como estamos interessados na solução permanente, as derivadas em relação ao tempo
podem ser zeradas. Combinando os termos:
Então o problema reduz-se à solução simultânea de três equações para os três
deslocamentos desconhecidos. Como utilizamos uma lei linear para representar o
comportamento das cordas, estas equações são lineares.
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Notação Matricial
Uma matriz consiste de um conjunto retangular de elementos representados por um
único símbolo. [A] é a notação para a matriz e aij representa um elemento individual da
matriz.
Um conjunto horizontal de elementos é chamado de linha (row), e um conjunto vertical
é chamado de coluna (column). O primeiro índice i sempre designa o número da linha, e
o segundo índice j sempre designa o número da coluna.
A matriz representada ao lado
possui m linhas e n colunas.
Diz-se, então, que ela tem uma
dimensão de m por n. Ou m x n.
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Notação Matricial
Matrizes compostas por somente uma linha, m = 1, são chamadas de vetor linha.
Por simplicidade, não representamos o primeiro índice dos elementos. Normalmente
utiliza-se letras minúsculas para representar vetores e letras maiúsculas para matrizes.
Matrizes compostas por somente uma coluna, n = 1, são chamadas de vetor coluna.
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Notação Matricial
Matrizes nas quais m = n são chamadas de matrizes quadradas. Uma matriz 3x3, por
exemplo:
A diagonal consistindo dos elementos a11, a22 e a33 é chamada de “diagonal principal”.
Matrizes quadradas são particularmente importantes quando se resolve conjuntos de
equações lineares. Para tais sistemas, o número de equações (correspondente às linhas)
e o número de incógnitas (correspondente às colunas) deve ser igual para que exista
uma solução única.
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Notação Matricial
Uma matriz simétrica é aquela nas quais as linhas são iguais às colunas, ou seja, a ij = aji
para todos os i's e j's. Por exemplo:
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos, exceto os da
diagonal principal, são zero, tal qual:
Uma matriz identidade é uma matriz diagonal cujo todos os elementos da diagonal
principal são iguais a 1:
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Notação Matricial
A matriz identidade possui uma propriedade similar à unidade, ou seja:
Uma matriz triangular superior é aquela na qual todos os elementos abaixo da diagonal
principal são zero:
Uma matriz triangular inferior é aquela na qual todos os elementos acima da diagonal
principal são zero:
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Notação Matricial
Uma matriz banda possui todos os elementos iguais a zero, exceto uma banda centrada
na diagonal principal.
A matriz acima possui uma largura de banda de 3, e possui um nome especial: matriz
tridiagonal.
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Regras de Operação
Duas matrizes m por n são iguais se, e somente se, cada elemento na primeira matriz é
idêntico a cada elemento na segunda matriz.
A adição de duas matrizes é calculada somando-se elemento a elemento.
A subtração é efetuada de maneira análoga. E tanto a adição quanto a subtração são
comutativas e associativas.
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Regras de Operação
A multiplicação de uma matriz [A] por um escalar g é obtido ao se multiplicar cada
elemento de [A] por g. Para uma matriz 3x3:
O produto de duas matrizes é representado como [C]=[A][B], onde os elementos de [C]
são definidos como:
Onde n é a dimensão de colunas de [A] e a dimensão de linhas de [B]. Ou seja, o
elemento cij é obtido ao se adicionar o produto de elementos individuais da i-ésima
linha da primeira matriz, no caso [A], é j-ésima coluna da segunda matriz [B].
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Regras de Operação
Ou seja, a multiplicação de matrizes só ocorrerá se a primeira matriz possuir tantas
colunas quanto o número de linhas da segunda matriz. Assim, se [A] for m x n a matriz
[B] poderá ser n x l; possuindo a matriz resultando a dimensão m x l.
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Regras de Operação
Se a multiplicação de matrizes é factível, então a multiplicação é associativa e
distributiva. Entretanto, multiplicação matricial não é comutativa: ou seja, a ordem da
multiplicação de matrizes é importante.
Apesar de existir multiplicação matricial, a divisão entre matrizes não é uma operação
definida. Entretanto, se uma matriz [A] é quadrada e não-singular, existe uma outra
matriz, [A]-1 , chama de inversa de [A], tal que:
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Regras de Operação
Assim, a multiplicação de uma matriz por sua inversa é uma operação análoga à divisão,
no sentido de que um número dividido por si mesmo é igual a 1. Isso é, a multiplicação
de uma matriz por sua inversa resulta na matriz identidade.
O processo de inversão de matrizes será abordado neste curso em aulas futuras.
A transposta de uma matriz envolve transformar linhas em colunas e colunas em linhas.
Para uma matriz 3 x 3:
Em outras palavras: o elemento aij da transposta é igual ao elemento aji da matriz
original.
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Regras de Operação
A transposta possui uma variedade de funções na álgebra matricial. Uma vantagem
simples é que ela permite um vetor coluna ser escrito como coluna, e vice-versa.
Uma matriz de permutação (também chamada de matriz transposição) é uma matriz
identidade com as linhas e colunas trocadas. Uma matriz permutação 3 x 3:
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Regras de Operação
Uma multiplicação à esquerda da matriz [A] pela matriz [P], da forma [P][A], irá trocar as
linhas de [A]. Uma multiplicação à direita, como em [A][P] irá trocar as colunas
correspondentes. Um exemplo de multiplicação à esquerda e à direita:
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Regras de Operação
A última manipulação matricial apresentada será a matriz aumentada. Uma matriz é
aumentada pela adição de uma ou mais colunas à matriz original. Temos, por exemplo,
uma matriz 3 x 3 que será aumentada com uma matriz identidade 3 x 3 , resultando
numa matriz 3 x 6:
Esta expressão é útil quando desejamos efetuar um conjunto de operações idênticas
nas linhas das duas matrizes.
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Regras de Operação
Verificar exemplo 8.1, página 216, no MATLAB.
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Representação na Forma Matricial
Matrizes fornecem uma forma concisa para representar um sistema de equações
lineares. Considere o conjunto de equações abaixo:
pode ser expresso como
onde [A] é a matriz de coeficientes, {b} é o vetor coluna de constantes e {x} é o vetor
coluna de incógnitas.
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Representação na Forma Matricial
Uma das maneiras de resolver a equação seria multiplicando ambos os lados por [A] -1
O intuito desde exemplo é mostrar como a matriz inversa desempenha um papel
importante na álgebra linear. Deve ser notado, porém, que este não é um método
eficiente para resolver equações.
Quando um sistema possui mais equações (linhas) do que incógnitas (colunas), ou seja,
se m > n, o sistema é chamado de super-determinado. Um exemplo é a regressão de
mínimos quadrados. Sistemas com menos equações que incógnitas, m < n, são
chamados de sub-determinados. Um exemplo é a otimização numérica.
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Resolução de sistemas no MATLAB
O MATLAB fornece dois métodos diretos para resolver sistemas lineares. A maneira mais
eficiente é utilizando a “barra à esquerda”, escrevendo no console
x = A\b
O segundo método é utilizando inversão matricial
x = inv(A)*b
Podemos resolver o problema dos três saltadores de bungee-jump, do início da aula,
através do MATLAB.
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Resolução de sistemas no MATLAB
Consideremos os seguintes dados: as massas valem 60, 70 e 80 kg. As constantes de
mola valem 50, 100 e 50 N/m. Este é o problema dos três saltadores de bungee-jump.
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Resolução de sistemas no MATLAB
Entramos com as matrizes necessárias para os cálculos:
K = [150 -100 0;-100 150 -50;0 -50 50];
mg = [588.6; 686.7; 784.8];
E podemos resolver através da divisão à esquerda:
x = K \ mg
Ou através da inversão matricial
x = inv(K)* mg
Gerando os seguintes resultados para os deslocamentos relativos
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Informações
Exercícios
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8.3
8.6
8.7
8.10
8.11
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