EMC – MSO – Aula 10 – Torção A

Prof. MSc. David Roza José
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Torção
Objetivos:
–
Determinar a distribuição de tensão de um membro longilíneo circular sujeito a
um carregamento torsional;
–
Determinar o giro provocado a um membro longilíneo circular sujeito a um
carregamento torsional;
–
Análises hiperestáticas envolvendo torção;
–
Concentrações de tensão.
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Deformação Torsional de um
Eixo Circular
Torque é um tipo de momento que tende a girar um membro ao longo do seu eixo
longitudinal. Seus efeitos são de grande interesse no projeto de eixos utilizados em
veículos e maquinário em geral.
É fácil visualizar os efeitos de um momento torsor aplicado a um material circular de um
material altamente deformável, tal como borracha.
As linha longitudinais ficam distorcidas,
adquirindo um formato helicoidal. As
circunferências permanecem como
circunferências; e a interseção entre as
linhas horizontais e as circunferências
possuem sempre o mesmo ângulo.
Note também que as seções
transversais
eram
planas
e
permanecem planas; assim como
linhas radiais permanecem retas.
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Deformação Torsional de um
Eixo Circular
Assim, conclui-se que sendo o ângulo de giro pequeno, o comprimento e o raio do eixo
permanecerão inalterados.
Caso o eixo esteja engastado em uma ponta e torque seja aplicado em outra ponta, o
plano da seção transversal deformar-se-á conforme mostrado.
Aqui, uma linha radial a uma distância x da
origem irá rotacionar um ângulo φ(x). Este
ângulo φ é chamado de ângulo de giro; e
ele depende da posição x e variará ao longo
do comprimento conforme mostrado.
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Deformação Torsional de um
Eixo Circular
Para compreender a distorção, isolaremos um elemento diferencial do eixo a uma
distância ρ da linha de centro.
Como a deformação ocorre
continuamente ao longo do
comprimento, a face de trás
do elemento terá girado φ
enquanto que o elemento da
frente terá girado φ+Δφ.
Assim, a diferença destas duas
rotações faz com que o
elemento esteja submetido à
deformação de cisalhamento.
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Deformação Torsional de um
Eixo Circular
O ângulo γ pode ser relacionado ao comprimento Δx do elemento e ao giro Δφ ao se
considerar o comprimento do arco BD:
Assim, ao fazermos Δφ e Δx como elementos
infinitesimais, temos que:
Como dx e dφ são iguais para todos os elementos
numa determinada seção transversal, então a razão
dφ/dx também é. A equação acima então mostra
que a deformação cisalhante varia somente com a
distância radial ρ do eixo.
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Deformação Torsional de um
Eixo Circular
Nota-se, então, que a deformação cisalhante varia linearmente ao longo da linha radial
de um valor zero – quando o raio é zero - até um valor γmax no valor da fronteira (quando
o raio é máximo). Podemos então escrever que:
A dedução feita é valida tanto para eixos (sólidos)
quando para tubos (vazados).
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Fórmula da Torsão
Caso o material sujeito à torsão seja linear elástico, a lei de Hooke pode ser aplicada.
Consequentemente, uma variação linear na deformação leva à uma variação linear na
tensão de cisalhamento.
Podemos então aplicar a condição de que o torque produzido pela
distribuição linear de deformação ao longo da seção transversal
seja equivalente ao torque aplicado pelo carregamento externo;
mantendo-se a condição primordial do equilíbrio estático.
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Fórmula da Torsão
Assim,para cada elemento de área dA, localizado a uma distância ρ, está sujeito a uma
força dF = τ·dA. O torque produzido por esta força é dado por dT = ρ(τ·dA). Assim, ao
longo de toda a seção transversal temos que:
A integral acima de ρ²·dA representa o momento polar de inércia da área de seção
transversal ao longo do eixo longitudinal. O valor dele será representado por J, o quê nos
permite reescrever a equação como:
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Fórmula da Torsão
τmax
T
J
c
Tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na superfície externa;
Resultante interna do torque agindo na seção transversal (esforço interno);
Momento polar de inércia da área da seção transversal;
Raio externo do eixo.
A fim de se determinar a tensão de cisalhamento numa distância intermediária:
A estas duas equações chamamos então de Fórmula da Torsão; que é válida somente
para geometrias circulares e para um material homogêneo com comportamento linear
elástico – pois sua derivação vêm da Lei de Hooke para Torsão.
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Momento Polar de Inércia
Para um eixo sólido temos, conforme figura abaixo, que o elemento anular diferencial
possui uma área de:
Assim o momento polar de inércia pode ser calculado como:
Para um eixo vazado, ajusta-se os limitantes da integral.
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Complementaridade da Tensão
Ao se isolar um elemento diferencial de uma seção transversal de um corpo submetido a
um esforço de torsão, desenvolve-se uma tensão de cisalhamento que varia radialmente
e linearmente com a distância da origem do eixo.
Neste elemento o equilíbrio estático deve continuar valendo, então a tensão de
cisalhamento deve agir em todas as suas faces. Assim, um esforço interno de magnitude
T não só gera uma distribuição de tensão de cisalhamento ao longo do plano da seção
transversal, mas também uma tensão associada ao longo do plano axial.
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Complementaridade da Tensão
Eixos de madeira submetidos a um esforço de torsão costumam falhar ao longo do eixo
longitudinal devido à tensão induzida longitudinalmente e à anisotropia da madeira, que
faz com que direções diferentes tenham propriedades materiais diferentes.
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Tensão Torsional Máxima Absoluta
Em qualquer seção transversal do eixo, a tensão máxima de cisalhamento ocorre na
superfície externa. Entretanto se o eixo for submetido a uma série de carregamentos
externos ou descontinuidades na sua geometria, a tensão torsional máxima poderá
mudar de uma seção para outra.
Um diagrama de esforço interno para o momento torsor (em oposição ao momento
fletor) é imprescindível para tal determinação.
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Exemplo 10.1
O eixo abaixo é suportado por dois mancais a está sujeito a três torques. Determine a
tensão de cisalhamento desenvolvida nos raios 75 mm e 15 mm da seção a-a; cujo
diâmetro é de 150 mm.
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Exemplo 10.2
O cano mostrado na figura possui um diâmetro interno de 80 mm e um diâmetro externo
de 100 mm. Se uma de suas extremidades é apertada contra o suporte em A utilizando
uma chave em B, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas
paredes interna e externa ao longo da porção central do tubo quando são aplicadas
forças de 80 N à chave.
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Exemplo 10.3
O eixo sólido mostrado está sujeito a um carregamento distribuído e concentrado.
Determine o diâmetro necessário d, em [mm] inteiros, para que a tensão máxima
desenvolvida não ultrapasse τ = 50 MPa.
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