INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli CAPÍTULO 3 - Tópicos gerais de probabilidade O conhecimento de probabilidade constrói a base que nos permite entender como a inferência estatística e as técnicas de auxílio de decisão são desenvolvidas, porque elas funcionam, e como as conclusões obtidas a partir desses procedimentos podem ser apresentadas e interpretadas corretamente. Para o perfeito entendimento de probabilidade, alguns conceitos são importantes. 2. Alguns Conceitos 2.1.Experimentos probabilísticos ou aleatórios Um experimento que pode resultar em diferentes resultados, mesmo que seja repetido sempre da mesma maneira várias vezes, é chamado experimento aleatório. Vale observar que “experimento” se refere a um ensaio científico destinado à certificação de um fenômeno. Características de um experimento aleatório: a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. b) Muito embora não se possa afirmar que resultado particular ocorrerá, é sempre possível descrever o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. c) Quando o experimento for realizado repetidamente os resultados individuais parecem ocorrer de forma acidental. Contudo,se o experimento for repetido um grande número de vezes, uma certa regularidade surgirá. Isto é, será observada uma estabilização na frequência dos distintos resultados do experimento. É esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático preciso, com o qual se analisará o experimento. Exemplos: (i) (ii) (iii) (iv) (v) E1 : Ensaiar uma lâmpada quanto a duração da vida até queimar E 2 : Escolher, ao acaso, um ponto de um círculo de raio unitário. E3 : Registrar as vazões num certo rio, no mesmo mês, dia e hora em anos sucesssivos. E 4 : jogar um dado ao ar e observar a sua face superior. E5 : Seleção de três ítens ao acaso de uma linha de fabricação. Cada ítem é inspecionado e classificado com defeituoso ou não defeituoso. 28 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 2.2. Espaço amostral O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado espaço amostral do experimento. Sua representação é dada pela letra S. Exemplo: Aos experimentos aleatórios exemplificados anteriormente estão associados os seguintes espaços amostrais, respectivamente: (i) S1 = {t | t ≥ 0} (ii) S2 = {(x,y); x2 + y2 ≤ 1} (iii) S3 = {q | 0 ≤ q ≤ qmax} , onde q é a vazão (iv) S4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (v) S5 = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN} sendo D = defeituoso e N= não defeituoso. 2.3. Eventos Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Temos, então, que o próprio S e o conjunto vazio ∅, constituem eventos. Qualquer resultado individual pode ser tomado como um evento. exemplos: se tomarmos o espaço amostral S4 apresentado acima poderíamos ter como eventos: A={sair número par}={2,4,6}; ou B={sair número maior que 4}={5,6}, etc. OBS.:Novos eventos podem ser originados da combinação de eventos existentes. A união de dois eventos é o evento que consiste de todos os resultados que estão contidos em qualquer um dos dois eventos originais. Simbolicamente usamos E1 ∪ E2. A interseção de dois eventos é o evento que consite the todos os resultados que estão contidos em ambos os eventos originais (ou seja, estão em comum). Simbolicamente usamos E1 ∩ E2. O complemento de um evento em um espaço amostral corresponde ao conjunto de resultados que não fazem parte do evento original. Simbolicamente usamos E para representar o complemento do evento E. 2.4. Eventos Mutuamente Exclusivos Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A∩B=∅. Equivalem aos conjuntos disjuntos na teoria dos conjuntos. Exemplo: Considere o espaço amostral S4 definido enteriormente. Considere também os eventos associados a S4: A={1}; B={5, 6}; C={número par}. Temos, então, que: A e B são mutuamente exclusivos pois A∩B=∅ A e C são mutuamente exclusivos pois A∩C=∅ B e C não são mutuamente exclusivos pois B∩C={6}. 29 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 3. Noções Fundamentais de Probabilidade - Conceitos Independentemente do experimento aleatório em questão, uma vez definidos alguns eventos de interesse, importante se faz atribuir valores de probabilidade a tais eventos. Vejamos alguns concentos úteis. Um conceito Seja E um experimento aleatório. Seja S um espaço amostral associado ao experimento E. Podemos entender a probabilidade como sendo em número real associado a um evento A qualquer, que satisfaz as seguintes propriedades: (1) 0 ≤ P(A) (2) P(S) = 1 (3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(A∪B) = P(A) + P(B) Generalizando para o caso de um número finito de eventos mutuamente exclusivos, tem-se: n P ( A 1 ∪ A 2 ∪... ∪A n ) = P ( A1 ) + P ( A 2 ) +... + P ( A n ) = ∑ P ( A i ) i =1 Todas essas propriedades parecem concordar com nosso conceito intuitivo de probabilidade, e essas poucas propriedades são suficientes para permitir toda a estrutura matemática a ser desenvolvida. Deve-se notar que as propriedades (ou axiomas, conforme citado em algumas referências) acima não fornecem uma maneira objetiva de se atribuir valores à probabilidade de um evento. Este seria o conceito subjetivo, moderno ou axiomático de probabilidade. Enfim, este conceito não fornece formas e sim condições para o cálculo de probabilidades, ou seja, qualquer processo de cálculo de probabilidade é válido desde que satisfaça os axiomas. Outro Conceito Uma regra mais prática que nos fornece uma maneira mais objetiva para a atribuição numérica da probabilidade de um evento é dado pelo chamado conceito clássico ou probabilidade a priori. Este conceito está ligado aos jogos de azar, que deram origem à teoria de probabilidade nos idos do século XVI. Entretanto, o método clássico para a obtenção de probabilidades se aplica a situações em que temos espaços amostrais finitos equiprováveis e enumeráveis. Definição: Espaço amostral finito equiprovável: Seja S um espaço amostral formado por um número finito de elementos. Se cada ponto ai de S tem a mesma probabilidade de ocorrer, então a espaço amostral chamase equiprovável ou uniforme. Em particular, se S contém n pontos amostrais então a probabilidade de cada ponto será 1/n. S = {a1, a2, …, an} P(a i ) = Probabilidade de ai P(a i ) ≥ 0, i = 1,2,..., n e n ∑ P(a ) = 1 i i =1 30 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli Desse modo, a probabilidade do evento A, associado a um espaço amostral finito equiprovável, é dada por: NCF P(A ) = NCP sendo: NCF = Número de casos favoráveis ao evento A NCP = número de casos possíveis pelos quais E pode ocorrer Exemplos: i) Seja E o experimento relativo ao lançamento de um dado honesto. Seja A o evento ocorrência da face 6. Portanto, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} e P(A) = 1/6 ii) Considerando ainda o mesmo experimento, seja B o evento ocorrência de uma face par. Logo, B = {2, 4, 6}; então: P(B) = 3/6 = 1/2 iii) Seja o espaço amostral referente ao número de caras obtidas em dois lances de uma moeda. Seja A o evento ocorrência de uma cara. Então, S = {0, 1, 2} e A = {1}. Aqui (Exemplo iii) o conceito clássico não pode ser imediatamente aplicado, pois os pontos de S não são equiprováveis, ou seja, P(A) ≠ 1/3. Observando o espaço amostral original: S' = {cc, ck, kc, kk}, sendo c=cara e k=coroa, vê-se que A = {ck, kc} e, portanto, P(A) = 2/4 = 1/2. Poderíamos empregar corretamente o espaço S da seguinte maneira: os resultados 0 e 2 são igualmente prováveis, enquanto o resultado 1 é duas vezes mais provável que qualquer um dos outros. Ainda outro conceito Por outro lado, a maneira teórica mais objetiva de se atribuírem probabilidades seria em casos onde o experimento pode ser repetido indefinidas vezes. A probabilidade seria o limite para o qual tenderia a proporção de vezes em que o evento ocorre, à medida que se aumenta o número de repetições do experimento, sob as mesmas condições. Ou seja, seria através da frequência relativa do evento considerado. Este seria o terceiro conceito de probabilidade: frequência relativa ou probabilidade a posteriori ou probabilidade empírica. Esta definição tem por base o princípio estatístico da estabilidade, ou seja, à medida que o número de repetições do experimento aumenta, a frequência relativa se aproxima da probabilidade P(A). Exemplo: Em 660 lançamentos de uma moeda foram observadas 310 caras. Qual a probabilidade de, num lançamento dessa moeda obter-se coroa? Como foram obtidas 310 caras, ocorreram 350 coroas, logo: f = 350/660 = 0,5303. Mas não é absolutamente essencial realizar um experimento para obter dados amostrais. Em muitos casos dispomos de informação histórica precisa, que pode ser usada da mesma maneira. Por exemplo, se quisermos a estimativa da probabilidade de certo jogador acertar um pênalti, não precisamos montar um experimento, caso já tenhamos os resultados anotados de vários treinamentos. Ou seja, não precisamos mandar ele bater vários pênaltis e contar os acertos. 31 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli Exemplo: Em Sobral, no Ceará, observaram-se seis anos de seca no período 1901-66 (66 anos). Qual é a probabilidade do próximo ano ser seco? Aqui, a estimativa f da probabilidade p será: f = 6/66 = 1/11. Importante: Ao adotarmos o método empírico, é importante atentarmos para os seguintes aspectos: a) A probabilidade assim determinada é apenas uma estimativa do verdadeiro valor. b) Quanto maior a amostra, mais confiável é a estimativa da probabilidade (desde que os princípios teóricos de amostragem sejam considerados ). c) A probabilidade só é válida para um conjunto de condições idênticas àquelas sob as quais se originaram os dados. Exemplo: Se jogarmos um dado “honesto” 90 vezes e obtivermos o resultado do quadro a seguir, teremos, na freqüência relativa, a probabilidade "a posteriori" e na freqüência esperada relativa, a probabilidade "a priori". Quando o número de tentativas aumenta consideravelmente, as duas se aproximam. Resultado hipotético do lançamento de um dado 90 vezes consecutivas Face nº Freqüência observada Freqüência relativa Freqüência esperada Freqüência esperada relativa 1 2 3 4 5 6 12 17 15 18 10 18 12/90 = 0,133 17/90 = 0,189 15/90 = 0,167 18/90 = 0,200 10/90 = 0,111 18/90 = 0,200 15 15 15 15 15 15 1/6 = 0,167 1/6 = 0,167 1/6 = 0,167 1/6 = 0,167 1/6 = 0,167 1/6 = 0,167 ∑ 90 1,000 Outro exemplo: Abaixo estão representados os histogramas de 6 experimentos de lançamento de um dado honesto. Cada experimento foi repetido um diferente número de vezes. Foram usados 6, 12, 60, 240, 2400 e 24000 repetições, respectivamente. Observa-se que, à medida que se aumenta o número de repetições, a frequência relativa de cada resultado do dado se aproxma de 1/6, que seria o verdadeiro valor de probabilidade. 32 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 0 0 2 2 4 4 Arremessos de um dado honesto. Número de arremessos variando de 6 a 24000. 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 5 6 5 6 5 6 sample(6, 12, T) 0 0 4 20 8 40 14 sample(6, 6, T) 4 0 1 2 3 4 5 6 1 2 4 sample(6, 240, T) 0 0 200 2000 sample(6, 60, T) 3 1 2 3 4 5 6 1 sample(6, 2400, T) 2 3 4 sample(6, 24000, T) 33 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli Uma definição – Probabilidade Geométrica. Suponhamos que um segmento l seja parte de um outro segmento L e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de L . Se admitirmos que a probabilidade de este ponto pertencer a l é proporcional ao comprimento de l e não depende do lugar que l ocupa em L , então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em l será P= comprimento de l comprimento de L Exemplo: Sejam AB um segmento de reta e E um evento que se caracteriza pela escolha, ao acaso, de um ponto do segmento AB , que pertença também ao segmento menor ab, contido em AB . Se os comprimentos de AB e ab são, respectivamente, 5 e 2 unidades, qual é a probabilidade da ocorrência de E ? Solução: comprimento de ab 2 = comprimento de AB 5 Analogamente, suponhamos que uma figura plana g seja parte de uma outra figura plana G e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de G . Se admitirmos que a probabilidade de este ponto pertencer a g é proporcional à área de g e não depende do lugar que g ocupa em G , então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em g será: P(E ) = P= área de g área de G Exemplo: Seja um experimento referente à escolha de um ponto ao acaso de um círculo de raio r centrado na origem. Tem-se então: S = {(x , y ):x 2 + y 2 ≤ r 2 } ou seja, os pares de valores (x, y ) que satisfazem a condição x 2 + y 2 ≤ r 2 , são os pontos amostrais que compõe S . Supondo um círculo de raio igual a 2 e os eventos A = {(x , y ):x 2 + y 2 ≤ 2} e 1 B = (x, y ):x 2 + y 2 ≤ , pede-se calcular P(A) e P(B). 2 Solução: ( ) 2 1 área do círculo de raio 2 π 2 P(A ) = = = 2 2 área do círculo de raio 2 π(2 ) e 2 1 π 1 área do círculo de raio 2 = 2 =1 P(B ) = 2 8 área do círculo de raio 2 π(2 ) 34 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 3.1. Principais Teoremas para o Cálculo de Probabilidades O cálculo de probabilidades, além dos axiomas apresentados na página 3, se baseia em quatro teoremas auxíliares. Os diagramas de Venn são úteis na compreensão, tanto dos teoremas, quanto dos processos de demonstração. I) Se ∅ for o conjunto vazio, então P(∅) = 0 Prova: A = A∪∅ P(A) = P(A∪∅) = P(A) + P(∅) logo, P(∅) = P(A) - P(A) = 0 (propriedade 2) II) Se A é o complemento de A, então P(A ) = 1 - P(A) Prova: S = A ∪ A ⇒ 1 = P(A) + P(A ) logo, P(A ) = 1 - P(A). (propriedades 2 e 3) III) Se A e B forem dois eventos quaisquer, então P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Prova: A idéia desta demonstração é decompor A∪B e B em dois eventos mutuamente exclusivos. logo, podemos escrever: A∪B = A ∪ (B∩ A ) ......(1) B = (A∩B) ∪ (B∩A ) .....(2) consequentemente, P(A∪B) = P(A) + P(B∩A ) .....(1) P(B) = P(A∩B) + P(B∩A ) .....(2) Subtraíndo-se a primeira igualdade da segunda, tem-se: P(A∪B) - P(B) = P(A) - P(A∩B) e , então: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) FATO: Para três eventos quaisquer A, B e C, temos que: P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) 35 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli IV) Se A⊂B, então P(A) ≤ P(B) Prova: B = A ∪ (B∩A ) P(B) = P[A ∪ (B∩A )] P(B) = P(A) + P(B∩A ) logo P(B) é ≥ P(A) pois P(B∩A ) é ≥ 0 pelo axioma enunciado em 3. 4. Probabilidade Condicional Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. A probabilidade do evento B condicionada à ocorrência do evento A, ou seja, a probabilidade condicional de B dado A, é dada por: P ( A ∩ B) , para P(A) > 0 P(B/A) = P( A ) P ( A ∩ B) Analogamente: P(A/B) = , para P(B) > 0 P ( B) Pode-se verificar que P(B/A) satisfaz aos vários postulados de probabilidade. Isto é: i) 0 ≤ P ( B / A ) ≤ 1 ii) P(S/A) = 1 iii) P ( B1 ∪ B2 ) / A = P ( B1 / A ) + P ( B2 / A ) − P ( B1 ∩ B2 ) / A ou P ( B1 / A ) + P ( B2 / A ) se B1 ∩ B2 = ∅ obs: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: P(B/A) = P(A/B) = 0 Exemplo: Os dados abaixo se referem a 200 alunos matriculados em determinado Instituto de matemática, de acordo com o sexo e o curso: Masculino Feminino Total Matemática Pura 60 50 110 Estatística 80 10 90 Total 140 60 200 Qual seria a probabilidade de uma pessoa aleatoriamente escolhida: a) Estar matriculada em matemática pura? b) Estar matriculada em matemática pura, dado ser homem? c) Ser homem? d) Ser homem dado que Esta matriculado em estatística? e) Estar matriculada em matemática pura, sabendo-se que é mulher ? Solução: sejam os eventos: A={aluno faz matemática pura} E={aluno faz estatística} 36 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli M={aluno é do sexo masculino} F={aluno é do sexo feminino} a) P(A) = NCF 110 = NCP 200 P ( A ∩ M ) 60 200 60 200 60 b) P(A/M) = = = ⋅ = 140 P( M) 200 140 140 200 140 c) P(M) = 200 P ( M ∩ E ) 80 200 80 d)P(M/E) = = = 90 P( E ) 90 200 P ( M ∩ F) 50 200 50 e) P(M/F) = = = 60 P ( F) 60 200 Podemos verificar que podemos calcular a probabilidade condicional [P(B/A)] de dois eventos A e B quaisquer de duas maneiras: i) Empregando a definição, onde P(A∩B) e P(A) são calculados em relação ao espaço amostral original S; ii) Diretamente, pela consideração da probabilidade de B em relação ao espaço amostral reduzido determinado pela ocorrência do evento A. 5. Teorema do Produto das Probabilidades Vimos que a probabilidade condicional de A na hipótese H (ou dado H) é P( A ∩ H ) P(A/H) = (1) P( H ) A fórmula (1) é frequentemente usada na forma P(A∩H) = P(A/H) . P(H) (2) Esse resultado é conhecido pelo nome de teorema do produto. A generalização desse resultado para três eventos A, B, C, é obtida por: P(A ∩ B ∩ C ) P(A ∩ B ∩ C ) P[C / (A ∩ B)] = , então: = P(A ∩ B) P(A ).P(B / A ) P(A∩B∩C) = P[C/(A∩B)] . P(B/A) . P(A) As generalizações para quatro ou mais eventos saem diretamente pelo mesmo processo. 6. Independência Estocástica (ou Probabilística) Dois eventos A e B, pertencentes a um mesmo espaço amostral (S), são independentes se as seguintes condições são válidas: P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B), então: P(A∩B) = P(A) . P(B) 37 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli obs: n eventos A 1 , A 2 , ⋅⋅⋅, A n são ditos mutuamente independentes se eles forem independentes 2 a 2, 3 a 3, ...,n a n. Isto é, se as seguintes igualdades forem verificadas: Para 1<i<j<k<n P ( A i ∩ A j ) = P ( A i ). P ( A j ) P ( A i ∩ A j ∩ A k ) = P ( A i ). P ( A j ). P ( A k ) ... n P ( A 1 ∩ A 2 ∩... ∩A n ) = ∏ P ( A i ) i =1 7. Partição do Espaço Amostral e o Teorema de BAYES 7.1. Teorema da Probabilidade Total Inicialmente, enunciaremos um teorema útil que relaciona a probabilidade de um evento com probabilidades condicionais, o qual é chamado Teorema da Probabilidade Total. Sejam B1 , B2 , ... , Bn eventos mutuamente exclusivos e exaustivos. Definição: { B1 , B2 , ... , Bn } é um conjunto de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos se quaisquer dois eventos Bi e B j não podem ocorrer ao mesmo tempo e um deles deve ocorrer. Simbolicamente, Bi ∩ B j = ∅, para i ≠ j, e B1 ∪ B2 ∪... ∪ Bn = S. B1 , B2 , ..., Bn são eventos que formam uma partição do espaço amostral S. Então, para um evento arbitrário A, tem-se: n P ( A ) = P ( A / B1 ). P ( B1 ) + P ( A / B2 ). P ( B2 ) + ⋅⋅⋅ + P ( A / Bn ). P ( Bn ) = ∑ P ( A / Bi ). P ( Bi ) i =1 Prova: Seja o diagrama de Venn a seguir: É claro que podemos escrever A como a união de eventos mutuamente exclusivos, isto é: Logo: A = ( A ∩ B1 ) ∪ ( A ∩ B2 ) ∪ ⋅⋅⋅ ∪ ( A ∩ Bn ). P ( A ) = P ( A ∩ B1 ) + P ( A ∩ B2 ) + ⋅⋅⋅ + P ( A ∩ Bn ). Mediante aplicação da probabilidade condicional, onde: P ( A ∩ Bi ) P ( A / Bi ) = ⇒ P ( A ∩ Bi ) = P ( A / Bi ). P ( Bi ) , P ( Bi ) teremos P ( A ) = P ( A / B1 ). P ( B1 ) + P ( A / B2 ). P ( B2 ) + ⋅⋅⋅ + P ( A / Bn ). P ( Bn ) 38 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli n ∴ P ( A ) = ∑ P ( A / Bi ). P ( Bi ) i =1 obs: Esta relação é útil quando desejamos calcular P(A) e esta é difícil de ser calculada diretamente, e sabemos da(s) ocorrência(s) do(s) B i . O fato é que é mais fácil calcular os termos que compõem o somatório do que a própria P(A). 7.2. Teorema de Bayes Com base na definição de probabilidade condicional e na partição do espaço amostral considerada anteriormente, pode-se estabelecer um resultado bastante útil, geralmente conhecido como Teorema de Bayes, o qual apresentaremos agora: Sejam A e B dois eventos arbitrários com P(A) > 0 e P(B) > 0. Então: P ( B ∩ A ) P ( A / B). P ( B) P(B/A) = = P( A ) P( A ) Combinando este resultado com o teorema da probabilidade total, temos, como consequência, P(A / B j ).P(B j ) P(B j / A) = n ∑ P(A / B ).P(B ) i i i =1 Para a aplicação do teorema, as probabilidades P(B j ) devem ser conhecidas e convenientemente consideradas, e os B i representam um conjunto de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos. Sua utilidade consiste em permitir-nos calcular a probabilidade a posteriori [P(B/A)] em termos das informações a priori P(B) e P(A). Exemplo: Em uma escola, as turmas A, B e C têm 40, 50 e 10 % do total de alunos de determinada série, respectivamente. Dos alunos de cada turma, 3, 5 e 2 %, respectivamente, serão reprovados. Escolhido ao acaso um aluno dessa série, pede-se: a) Qual a probabilidade de o aluno ser reprovado? b) Seleciona-se ao acaso um aluno dessa escola. Sabendo-se que o aluno será reprovado, qual a probabilidade de que ele seja da turma B? Solução: Sejam os eventos: A={aluno da turma A} B={aluno da turma B} C={aluno da turma C} R={aluno reprovado} Método 1: P(A) = 0,40 P(B) = 0,50 P(C) = 0,10 P(R/A) = 0,03 P(R/B) = 0,05 P(R/C) = 0,02 R = {(R ∩ A) ∪ (R ∩ B) ∪ (R ∩ C)} a) P(R) = P(R∩A) + P(R∩B) + P(R∩C) P(R) = P(A) . P(R/A) + P(B) . P(R/B) + P(C) . P(R/C) P(R) = 0,40 . 0,03 + 0,50 . 0,05 + 0,10 . 0,02 39 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli P(R) = 0,012 + 0,025 + 0,002 = 0,039 b) P(B/R) = P ( B ∩ R ) P ( B). P ( R / B) 0, 50. 0, 05 0, 025 25 = = = = = 0, 641 P( R ) P( R ) 0, 039 0, 039 39 Método 2: R 0,012 0,025 0,002 0,039 A B C R 0,388 0,475 0,098 0,961 0,40 0,50 0,10 1,00 a) P(R) = 0,039 0, 025 b) P(B/R) = = 0, 641 0, 039 Método 3: (Diagrama em árvore) R 0,03 0,97 R 0,40 A 0,05 R 0,50 B 0,95 R 0,10 C 0,02 R 0,98 R a) P(R) = P(A∩R) + P(B∩R) + P(C∩R) = 0,40 . 0,03 + 0,50 . 0,05 + 0,10 . 0,02 = 0,039 P ( B ∩ R ) 0, 50 . 0, 05 b) P(B/R) = = = 0, 641 P( R ) 0, 039 40 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 8. Exercícios propostos 1. Numa prova há 7 questões do tipo verdadeiro-falso ( V ou F ). Calcule a probabilidade de acertarmos todas as 7 questões se: a) Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas. b) Escolhermos aleatoriamente as respostas, mas, sabendo que ha mais respostas V do F. 2. Num exame de múltipla escolha há 3 alternativas para cada questão e apenas uma delas é correta. Portanto, para cada questão, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta correta se ele esta assinalando aleatoriamente e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele assinalou corretamente uma das questões, qual é a probabilidade de que ele tenha a assinalado ao acaso ? 3. Certa firma utiliza um teste para classificar os funcionários em categorias; ao final eles são classificados em: 25% bons ( B ); 50% médios ( M ) e 25% fracos ( F ). Um novo teste é proposto, de tal forma a classificar os funcionários como aprovado ( A ) ou reprovado ( R ). Com base em informações do antigo teste, foram obtidas as seguintes probabilidades com o novo teste. CATEGORIAS B M F % de APROVADOS 80 50 20 Deseja-se saber qual a probabilidade de um fucionário aprovado no novo teste, ser classificado como fraco pelo antigo teste ? 4. Considere a escolha aleatória de um número entre os 10 primeiros números inteiros positivos ( a partir de 1 ), e os eventos: A = {1,2,3,4,5}; B = {4,5,6,7} e C = {5,9}. Pede-se: Os eventos são Mutuamente Independentes ? Mostre porquê. 5. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada, aleatoriamente, dessa urna e não é reposta. Em seguida, duas bolas de cor diferente da bola extraída anteriormente ( branca ou vermelha ) são colocadas na urna. Se uma segunda bola é extraída aleatoriamente, qual é a probabilidade de: a) A segunda bola ser vermelha ? b) A segunda bola ser da mesma cor da primeira ? 6. Tendo-se tomado, ao acaso, dois números positivos x e y , que não excedem a dois, determinar a probabilidade P de que o produto xy não exceda à unidade e o quociente y x não exceda a dois. DICA: represente, num mesmo gráfico, essas duas funções e use seu conhecimento de Cálculo para solucionar o problema. 41 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli RESPOSTAS 1) a) 1/128 b) 1/64 2) 7/16 3) 0,10 4) Não 5) a) 41/72 b) 13/36 6) aproximadamente 0,385. ________________________________________________________________________ UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA --Departamento de Informática/CCE INF 161 - Iniciação à Estatística / INF 162 – Estatística I Lista de Exercícios: Probabilidade 1) Considerando o espaço amostral de um experimento constituído do lançamento de dois dados perfeitamente simétricos, pede-se: a) Qual a probabilidade de que o primeiro dado mostre a face 2 e o segundo a face 3? b) Qual a probabilidade de que ambos os dados mostrem a mesma face? c) Qual a probabilidade de que o segundo dado mostre um número par? 2) Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes e observado o número de caras. Qual é a probabilidade de ocorrer? a) Pelo menos uma cara? b) Só cara ou só coroa? c) Exatamente uma cara? 3) Dos 10 alunos de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de: a) Ambas terem olhos azuis? b) Nenhuma ter olhos azuis? c) Pelo menos uma ter olhos azuis? 4) Em um certo colégio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em química e 10% em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é selecionado aleatoriamente. Pede-se: a) Se ele foi reprovado em química, qual é a probabilidade de ter sido reprovado em matemática? b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ter sido reprovado em química? c) Qual é a probabilidade de ter sido reprovado em matemática ou química? 42 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 5) Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo número é proporcional ao seu valor. Pede-se: a) Qual é a probabilidade de sair o 3, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar? b) Qual é a probabilidade de sair um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3? 6) Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral S . Sabendo-se que: 1 1 1 P(A ) = P(B ) = ;P(C ) = ;P(A ∩ B ) = ; 3 4 8 1 1 P ( A ∩ C) = P ( B ∩ C) = e P( A ∩ B ∩ C) = , 9 20 Calcular as probabilidades: a) De ocorrer pelo menos um dos eventos A, B ou C ; b) De que não se realize nenhum dos eventos A, B ou C ; c) De que o evento A se realize, sabendo-se que já ocorreu B ou C . 7) Sendo S = {1,2,3,4} um Espaço amostral Equiprovável e os eventos A={1,2}, B={1,3} e C={1,4}. Verifique se os eventos A, B e C são mutuamente independentes. 8) Dois homens h1 e h2 e três mulheres m1, m2 e m3 estão num torneio de xadrez. Os do mesmo sexo tem igual probabilidade de vencer, mas cada mulher tem duas vezes mais probabilidade de vencer o torneio do que qualquer um dos homens. Pede-se: a) Qual é a probabilidade de que uma mulher vença o torneio ? b) Se h1 e m1 são casados, qual é a probabilidade de que um deles vença o torneio? 9) Um homem possui duas moedas, uma comum e a outra cunhada com duas caras. Ele apanhou uma moeda aleatoriamente e a lançou, se ocorreu a face cara, qual é a probabilidade de que a moeda lançada tenha sido a de duas caras ? 10) Jogam-se dois dados. Se as duas faces mostram números diferentes, qual é a probabilidade de que uma das faces seja o 4 ? 11) Considere dois tipos de caixas de bombons, B e C. O tipo B contém 65% de bombons doces e 35% de bombons amargos, enquanto no tipo C essas percentagens de sabor são inversas. Além disso, 45% de todas as caixas de bombons são do tipo B, e as restantes do tipo C. Escolhe-se, aleatoriamente, uma caixa e um bombom dessa caixa; se for constatado que ele é do tipo doce, qual é a probabilidade de ter vindo de uma caixa do tipo C ? 43 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 12) Definir e dar exemplos de: a) Eventos Mutuamente Exclusivos b) Eventos Independentes 13) Quatro urnas A, B,. C, e D contém bolas coloridas conforme abaixo: URNA A B C D VERMELHA 1 6 8 0 COR DA BOLA BRANCA 6 2 1 6 AZUL 3 2 1 4 Pede-se: a) Se, aleatoriamente, extrai-se uma bola vermelha de uma das urnas, qual é a probabilidade de ter sido da urna B ? b) Se forem extraídas duas bolas, sem reposição, da urna C. Qual é a probabilidade de que ambas NÃO sejam vermelhas ? 14) Numa placa de petri 20%, 40%, 25% e 15% do total das colônias bacterianas são dos tipos A, B, C e D, respectivamente. Sabe-se que 3%, 5%. 6% e 20% de cada colônia, respectivamente, são patogênicas. a) Se for retirada uma amostra aleatória de uma única colônia bacteriana, qual é a probabilidade de que esta amostra contenha somente bactérias patogênicas ? b) Se for constatado que a amostra do item a possui somente bactérias patogênicas, qual é a probabilidade de que as bactérias sejam do tipo D ? 15) Quatro equipes A, B, C e D participam de um torneio que premiará uma única equipe campeã. Quanto às probabilidades de cada equipe vencer o torneio, as equipes C e D são equiprováveis, a equipe A é duas vezes mais provável do que B, e B duas vezes mais do que as equipes C e D. Pede-se: Qual é a probabilidade de que as equipes C ou D sejam campeãs? 16) Considere o seguinte Experimento Aleatório: Lançamento de um dado até que a face com o número 5 ocorra pela primeira vez. Pede-se: a) O Espaço Amostral desse experimento. b) Uma fórmula geral para o cálculo das probabilidades. c) Mostre que a soma das probabilidades associadas aos pontos amostrais é um. a obs: S n = 1 , numa P.G. infinita ou ilimitada, quando 0<q<1. 1− q d) Qual é a probabilidade de ocorrer a face 5 no terceiro lançamento ? 17) Uma urna contém 5 bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha? 44 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 18) Uma caixa contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa: a) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam defeituosas? b) Qual a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não? c) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a peça defeituosa venha da caixa A? 19) Suponhamos que a probabilidade de que um vigia noturno num navio com luzes apagadas descubra um periscópio em certas condições de tempo é 0,7. Qual é a probabilidade de que uma combinação de dois vigias similares A e B, fizesse a descoberta? 20) A e B são eventos mutuamente exclusivos. Determine quais das relações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. JUSTIFIQUE. a) P(A/B) = P(A) b) P(A∪B/C) = P(A/C) + P(B/C) P(A / B) P(B / A) c) P(A) = 0, P(B) = 0, ou ambas d) = P(B) P (A ) e) P(A∩B) = P(A).P(B) Repita o problema supondo A e B independentes. RESPOSTAS 1) a) 1/36 b) 1/6 c) 1/2 2) a) 7/8 b) 1/4 c) 3/8 3) a) 1/15 b) 7/15 c) 8/15 4) a) 2/3 b) 2/5 c) 0,30 5) a) 1/3 b) 2/3 6) a) 223/360 b) 137/360 c) 67/170 7) Não são independentes porque a igualdade 3 a 3 não se verifica, isto é: P( A ∩ B ∩ C ) ≠ P( A) ⋅ P( B) ⋅ P(C ) 8) a) 3/4 b) 3/8 9) 2/3 10) 1/3 11) ≅ 0.3969 45 INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 13) a) 6/15 b) 1/45 14) a) 0.071 b) ≅ 0.4225 15) 0.25 16) a) S = {5,F5,FF5, ...} F = Qualquer face exceto 5 b) A probabilidade de ocorrer a face 5 no n-ésimo lançamento do dado n −1 5 1 é: P(n ) = 6 6 1 5 c) a1 = , q = e Sn = 1 6 6 d) ≅ 0.116 17) 9/40 18) a) 3/8 b) 19/40 c) 9/19 19) 0,91 20) A e B mutuamente exclusivos a) F b) V c) F d) V e) F A e B independentes a) V b) F c) F d) F e) V 46