Aula 8 - Distribuicao Normal - Páginas Pessoais

PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
[email protected]
Aula 8
11/2014
Distribuição Normal
¨ 
¨ 
¨ 
Vamos apresentar distribuições de probabilidades para
variáveis aleatórias contínuas.
Para ilustrar a correspondência entre área e
probabilidade, vamos aprender as
.
Em seguida, as
, que
ocorrem frequentemente em aplicações reais e têm
papel importante nos métodos de inferência
estatística.
Aulas 5 – Probabilidade
Probabilidade e Estatística
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Distribuição Normal
¨ 
Se uma variável aleatória contínua tem uma
distribuição com um gráfico simétrico e em forma
de sino, e que pode ser descrito pela equação a
seguir, dizemos que ela tem
2
1 " x−µ %
− $
'
2# σ &
e
y=
σ 2π
Depende
apenas de µ e σ
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Distribuição Normal Padrão
¨ 
A
tem as seguintes
propriedades:
1.  Seu gráfico tem forma de sino;
2.  Sua média é igual a 0 (µ = 0);
3.  Seu desvio-padrão é igual a 1 (σ = 1).
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Distribuições Uniformes
¨ 
O foco será o estudo da Distribuição de Probabilidade
Normal, porém iremos começar com a
, que nos dará informações para compreender
estas duas propriedades importantes:
1.  A área sob o gráfico de uma distribuição de probabilidades
é igual a 1;
2.  Há uma correspondência entre área e probabilidade (ou
frequência relativa), de modo que algumas propriedades
podem ser encontradas pela identificação das áreas
correspondentes.
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Distribuição Uniforme
¨ 
Uma variável aleatória contínua tem uma
se seus valores se espalham uniformemente
sobre a faixa de valores possíveis.
¨ 
O gráfico de uma Distribuição Uniforme resulta em uma
forma retangular.
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EXEMPLO
¨ 
A companhia de Energia fornece eletricidade com níveis de
voltagem que são uniformemente distribuídos entre 123 e
125 volts. Isto é, qualquer quantidade de voltagem entre 123
e 125 volts é possível, e todos os possíveis valores são
equiprováveis. Se selecionamos aleatoriamente um dos
níveis de voltagem e representarmos seu valor pela variável
aleatória x, então x tem uma distribuição que tem um gráfico
como:
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EXEMPLO
¨ 
Um gráfico de uma distribuição de probabilidade contínua,
como este, é chamado de
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.
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EXEMPLO
¨ 
Dada a distribuição uniforme do nível de voltagem, ache a
probabilidade de que um nível de voltagem selecionado
aleatoriamente seja maior do que 124,5 volts.
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Curva de Densidade
¨ 
Uma curva de densidade deve satisfazer os seguintes
requisitos:
1.  A área sob a curva tem que ser igual a 1.
2.  Cada ponto na curva tem que ter uma altura vertical maior
ou igual a 0, ou seja, a curva não pode estar abaixo do
eixo x.
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Área × Probabilidade
¨ 
Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1,
existe uma correspondência entre
e
.
¨ 
No caso da Distribuição Uniforme, a área abaixo da curva,
que é facilmente calculada por: Área = Base × Altura,
corresponderá à probabilidade referente a esta área.
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Área × Probabilidade
¨ 
Como a curva de densidade de uma Distribuição Normal tem
a forma de sino, é mais difícil acharmos a área, porém o
princípio básico é o mesmo:
Há uma correspondência entre
e
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Distribuição Normal Padrão
¨ 
A distribuição normal padrão é uma distribuição de
probabilidade normal com média µ = 0 e desvio-padrão
σ = 1, e a área total sob a curva de densidade é 1.
-3
-2
-1
0
1
2
3
Escore z
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Distribuição Normal Padrão
¨ 
Não é fácil a determinação de áreas para a curva de
densidade da distribuição normal padrão, então necessitamos
de valores já calculados previamente e que constam na
seguinte tabela:
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Distribuição Normal Padrão
¨ 
Ao usar a Tabela da distribuição normal padrão, temos que:
1.  A tabela refere-se apenas à
,
que tem média 0 e desvio padrão 1;
2.  A tabela é apresentada em duas páginas, uma para
e a outra para
;
3.  Cada valor no corpo da tabela é a
até uma reta vertical sobre um valor
específico do escore z;
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Distribuição Normal Padrão
4.  Ao trabalhar com um gráfico,
entre escores
z e áreas.
Distância na escala horizontal
da distribuição normal
Escore z
padrão; refere-se à coluna à
esquerda e à linha do topo da
tabela.
Área
Região sob a curva; refere-se
aos valores no corpo da
tabela.
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Distribuição Normal Padrão
z
-3,4
-3,3
-3,2
-3,1
,00
0,0003
0,0005
0,0007
0,0010
,01
0,0003
0,0005 Área
0,0007
0,0009
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EXEMPLO 1
¨ 
Uma companhia de instrumentos científicos de precisão
fabrica termômetros que devem informar temperaturas de
0oC no ponto de congelamento da água. Testes em uma
grande amostra desses instrumentos revelam que, no ponto
de congelamento da água, alguns termômetros indicam
temperaturas abaixo de 0oC e alguns dão temperaturas acima
de 0oC. Suponha que a leitura média seja 0oC e que o
desvio-padrão das leituras seja 1,00oC. Suponha, também,
que as leituras sejam normalmente distribuídas. Se um
termômetro é selecionado aleatoriamente, ache a
probabilidade de que, no ponto de congelamento da água, a
leitura seja menor que 1,27oC.
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EXEMPLO 1
¨ 
Gostaríamos de saber agora, qual a probabilidade de
selecionarmos aleatoriamente um termômetro que apresente
leitura (no ponto de congelamento da água) superior a
-1,23oC.
¨ 
Agora, determine a probabilidade de selecionarmos
aleatoriamente um termômetro que apresente letirua (no
ponto de congelamento da água) entre -2,00oC e 1,50oC.
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¨ 
O último resultado do exemplo 1, pode ser generalizado
como a seguinte regra:
¨ 
A área correspondente à região entre dois escores z
específicos pode ser encontrada achando-se
.
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¨ 
Com uma distribuição de probabilidade contínua, tal como a
distribuição normal, a probabilidade de se obter qualquer
valor único exato é 0 (P(z=a) = 0).
¨ 
De modo que:
P (a ≤ z ≤ b) = P (a < z < b)
¨ 
Então, a probabilidade de se obter um escore z no
é igual à probabilidade de se obter um escore z
.
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Escores z × Áreas conhecidas
¨ 
Em muitos casos, temos que:
¨ 
Dada uma área (ou probabilidade), achar o escore z
correspondente.
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Escores z × Áreas conhecidas
¨ 
Procedimento para a determinação de um Escore z a partir
de uma área conhecida.
1.  Desenhe uma curva em forma de sino e identifique a região
sob a curva que corresponde à probabilidade dada. Se a
região não é uma região acumulada à esquerda, trabalhe
com regiões conhecidas que sejam regiões acumuladas à
esquerda.
2.  Usando a área acumulada à esquerda, localize a
probabilidade mais próxima no corpo da tabela da
distribuição normal padrão e identifique o escore z
correspondente.
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Escores z × Áreas conhecidas
¨ 
Se um valor desejado de área
o valor
¨ 
;
Se um valor está a
tabela, selecione o
¨ 
na tabela, selecione
Para escores z
entre dois valores da
;
, podemos usar
como
uma aproximação para a área acumulada à esquerda;
¨ 
Para escores z
, podemos usar
como
uma aproximação para a área acumulada à esquerda.
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EXEMPLO 2
¨ 
Use os mesmos termômetros do exemplo anterior, com
leituras de temperatura no ponto de congelamento da água
normalmente distribuídas, com média de 0oC e desviopadrão de 1oC.
¨ 
Ache a temperatura correspondente a P95, o 95o percentil.
Isto é, ache a temperatura que separa os 95% inferiores dos
5% superiores.
¨ 
Ache, agora, as temperaturas separando os 2,5% inferiores e
os 2,5% superiores.
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Valores Críticos
¨ 
Para uma distribuição normal, um valor crítico é um escore z
na fronteira que separa os escores z que têm ocorrência
provável daqueles que têm ocorrência improvável.
¨ 
Valores críticos comuns são z = -1,96 e z = 1,96.
¨ 
Os valores abaixo de 1,96 são improváveis de acontecer,
pois ocorrem em apenas 2,5% dos dados, e os valores acima
de z = 1,96 também são improváveis de acontecer, pois
também ocorrem em apenas 2,5% das leituras.
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Valores Críticos
¨ 
¨ 
Na expressão zα, faça α = 0,025 e ache o valor de z0,025.
¨ 
A notação de z0,025 é usada para representar o escore z com
uma área de 0,025 à sua direita.
¨ 
Recorrendo à tabela da distribuição normal, podemos
observar que z0,025 = 1,96.
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Valores Críticos
¨ 
¨ 
Para encontrar o valor de zα , usando a tabela de
distribuição normal padrão, use o valor 1 – α.
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Aplicações da distribuição normal
¨ 
É pouco comum encontrarmos situações que seguem uma
distribuição normal padrão.
¨ 
As distribuições normais típicas envolvem médias diferentes
de 0 e desvios-padrão diferentes de 1.
¨ 
Nestes casos, devemos ser capazes de encontrar
probabilidades correspondentes a valores da variável x e,
dado algum valor de probabilidade, devemos ser capazes de
encontrar o valor correspondente da variável x.
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Aplicações da distribuição normal
¨ 
Para trabalhar com distribuições normais não padronizadas,
simplesmente iremos padronizar os valores para usar os
mesmo procedimentos aprendidos até aqui.
¨ 
Se convertermos valores para escores z padronizados usando
a fórmula a seguir, os procedimentos usados serão os
mesmos usados para a distribuição normal padrão.
x−µ
z=
σ
Arredonde os escores z
para 2 casas decimais
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Aplicações da distribuição normal
¨ 
Procedimento para achar áreas com uma distribuição normal
não padronizada:
1.  Esboce a curva normal, marque a média e os valores
específicos de x e, então, sombreie a região que representa a
probabilidade desejada;
2.  Para cada valor relevante de x que representa um limite da
região sombreada, converta o valor em seu escore z
equivalente;
3.  Consulte a tabela para achar a área da região sombreada.
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EXEMPLO 3
¨ 
Uma porta típica de uma casa tem uma altura de 2 metros.
Dado que as alturas de homens são normalmente
distribuídas, com média de 1,725 m e desvio-padrão de 7
cm,.
¨ 
Ache a porcentagem de homens que passarão por uma portapadrão sem se curvar e sem bater a cabeça.
¨ 
Essa porcentagem é alta o bastante para que se continue a
usar 2 metros como padrão de altura?
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EXEMPLO 3
¨ 
O valor do escore z é 3,93, dando uma área de 0,9999.
¨ 
Conclui-se que a proporção de homens que podem passar
pelas portas com altura-padrão de 2 m é 0,9999 ou 99,99%.
¨ 
Muitos poucos homens não poderão passar sem abaixarem
ou baterem a cabeça. Essa porcentagem é alta o suficiente
para justificar o suo de 2 m como altura-padrão para portas.
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EXEMPLO 4
¨ 
Os pesos ao nascer nos Estados Unidos são distribuídos
normalmente, com média de 3420 g e desvio-padrão de
495 g. O Hospital Geral de Newport exige tratamento
especial para bebês que nasçam com menos de 2450 g (não
usualmente leves) ou mais de 4390 g (não usualmente
pesados). Qual é a porcentagem de bebês que não requerem
tratamento especial por terem pesos ao nascer entre 2450 g e
4390g? Sob essas condições, muitos bebês precisam de
cuidados especiais?
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Probabilidade e Estatística
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EXEMPLO 4
¨ 
Expressando o resultado em porcentagem, podemos concluir
que 95% dos bebês não exigem cuidados especiais por terem
pesos entre 2450 g e 4390 g. Segue que 5% dos bebês
requerem tratamento especial por serem não usualmente
leves ou pesados.
¨ 
A taxa de 5%, provavelmente, não é muito alta para hospitais
típicos.
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Áreas conhecidas
¨ 
Não confunda escores z e áreas;
¨ 
Escolha o lado correto (direito/esquerdo) do gráfico;
¨ 
Um escore z tem que ser negativo sempre que se localizar na
metade esquerda da distribuição normal;
¨ 
Áreas (ou probabilidades) são valores positivos ou nulos,
mas NUNCA negativos.
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Áreas conhecidas
¨ 
Procedimento para achar valores a partir de áreas conhecidas
1.  Esboce o gráfico da distribuição normal, introduza a
probabilidade ou porcentagem dada na região apropriada do
gráfico e identifique o(s) valor(es) x de interesse;
2.  Use a Tabela para achar o escore z correspondente à área
mais próxima e, em seguida, identifique o escore z
correspondente;
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Probabilidade e Estatística
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Áreas conhecidas
3.  Usando a fórmula de conversão de valores para escore z,
encontre o valor de x;
x−µ
z=
σ
4.  Consulte o esboço da curva para verificar se a solução faz
sentido no contexto do gráfico e no contexto do problema.
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Probabilidade e Estatística
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EXEMPLO 5
¨ 
No planejamento de um ambiente, um critério comum é que
se ajuste a 95% da população. Qual a altura de uma porta se
95% dos homens devem passar por ela sem se abaixar e sem
bater a cabeça?
¨ 
Isto é, ache o 95º percentil das alturas dos homens, que são
normalmente distribuídas, com média de 1,75m e desviopadrão de 0,07 m.
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EXEMPLO 5
¨ 
O resultado é: x = 1,87 m.
¨ 
Isto significa que uma altura de porta de 1,87 permitiria que
95% dos homens passassem sem se curvar ou bater a cabeça.
Assim, 5% dos homens não passariam por uma porta com
altura de 1,87 m.
¨ 
Como muitos homens passam por portas com muita
frequência, esta taxa de 5%, provavelmente, não seria
prática.
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EXEMPLO 6
¨ 
O Hospital Geral de Newport deseja redefinir os pesos ao
nascer mínimo e máximo que exigem tratamento especial
por serem não usualmente baixos ou altos. Depois de
considerar fatores relevantes, um comitê recomenda um
tratamento especial para os 3% inferiores e os 1% superiores
dos pesos ao nascer. Ajude o comitê a identificar os pesos ao
nascer que separam os 3% inferiores e os 1% superiores.
¨ 
Os pesos ao nascer, nos Estados Unidos, são normalmente
distribuídos, com média de 3420 g e desvio-padrão de 495g.
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EXEMPLO 6
¨ 
O Resultado nos indica que:
¨ 
O peso ao nascer de 2489 g (arredondado) separa os 3%
inferiores dos pesos ao nascer, e 4573 (arredondado) separa
o 1% superior dos pesos ao nascer.
¨ 
Agora, o hospital tem critérios bem definidos para
determinar se um bebê recém-nascido deve receber
tratamento especial relativo a um peso ao nascer não
usualmente baixo ou alto.
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Probabilidade e Estatística
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