PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - Páginas Pessoais

PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
[email protected]
Aula 4
09/2014
Estatística Descritiva
Medidas
de Variação
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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Medidas de Variação
¨ 
Vamos analisar os dados para o tempo de espera (em
minutos) de clientes em três bancos diferentes.
Banco
¨ 
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3
B1: Fila controlada
6
6
6
B2: Fila única
4
7
7
B3: Múltiplas filas
1
3
14
A tempo médio de espera é o mesmo para todos os bancos.
x = 6,0 min
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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Medidas de Variação
¨ 
Pelo gráfico vemos que os tempos de espera variam de
banco para banco.
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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Medidas de Variação
¨ 
As medidas de dispersão (ou variação) mais comuns
são:
¤ 
Amplitude (Total);
¤ 
Desvio-Padrão;
¤ 
Variância;
¤ 
Coeficiente de Variação (Medida de dispersão relativa).
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Amplitude Total
¨ 
A amplitude total (ou intervalo total) é a diferença entre o
máximo e o mínimo do conjunto.
At = X (n ) − X (1)
X (n ) = valor máximo
X (1) = valor mínimo
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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Desvio-padrão Amostral
¨ 
O desvio-padrão é a medida de variação mais importante e
útil.
n
2
s=+ s =+
2
∑ (x − x )
i
i =1
n −1
n
2
s=+ s =+
Desvio-padrão
Amostral
n∑
i =1
n
⎛
⎞
x − ⎜ ∑ xi ⎟
⎝ i =1 ⎠
n(n − 1)
( )
2
i
2
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Probabilidade e Estatística
Fórmula abreviada
para Desvio-padrão
Amostral
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Desvio-padrão Amostral
¨ 
O desvio padrão é uma medida da variação de todos os
valores a partir da média.
¨ 
O valor do desvio padrão é zero quando todos os valores dos
dados são o mesmo número.
¨ 
Maiores valores de s indicam maior variação.
¨ 
O valor do desvio padrão s pode crescer drasticamente com
a inclusão de um ou mais outliers.
¨ 
A unidade de medida do desvio padrão é a mesma dos
dados originais.
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Probabilidade e Estatística
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Desvio-padrão Populacional
n
2
2
∑ (x − µ )
i
σ =+ σ =+
i =1
N
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Variância
¨ 
A
de um conjunto de valores é uma medida da
variação igual ao quadrado do desvio padrão.
s
2
Variância
Amostral
σ
2
Variância
Populacional
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Variância
¨ 
A variância amostral s2 é considerada um estimador nãoviesado da variância populacional, ou seja, os valores de s2
tendem para o valor de σ2 em vez de sistematicamente
superestimarem ou subestimarem σ2.
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¨ 
Ao compararmos a variação em dois conjuntos de dados
diferentes, os desvios-padrão só devem ser comparados se os
dois conjuntos de dados usarem a
e
, e tiverem, aproximadamente, a
¨ 
Se as
forem substancialmente
amostras usarem
de medida
.
, ou se as
,
recorreremos a outra medida de variação.
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Coeficiente de Variação
¨ 
Ao comparar a variação para
, não
podemos utilizar o desvio-padrão.
¨ 
Cabe então, definir uma nova medida de variação, chamada
.
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Coeficiente de Variação
¨ 
O coeficiente de variação (CV), expresso em percentual,
descreve o desvio padrão relativo à média.
s
CV = ×100%
x
CV
Amostral
σ
CV = ×100%
µ
CV
Populacional
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Exemplo
¨ 
Usando dados amostrais de altura e massa obtidos em uma
pesquisa com 40 homens, encontramos as estatísticas dadas
na tabela a seguir. Compare os dois resultados.
Média
¨ 
¨ 
Desvio-padrão
Altura 173,58 cm
7,67 cm
Massa
11,94 kg
78,27 kg
Como comparar, se estamos tratando de variáveis diferentes,
com unidades de medida diferentes?
Usa-se o
.
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Medidas de Posição
Relativa
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¨ 
Medidas de posição relativa são números que mostram a
posição dos valores de dados relativamente a outros valores,
em um conjunto de dados.
¤ 
Escores z;
¤ 
Percentis;
¤ 
Quartis;
¤ 
Diagrama em caixa (boxplot).
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Escores z
¨ 
Encontra-se um
(ou
),
convertendo-se um valor para uma escala padronizada.
¨ 
Um escore z (ou valor padronizado) é o número de desviospadrão a que se situa determinado valor x, acima ou abaixo
da média.
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Escores z
¨ 
O escore z é encontrado usando-se:
x−x
z=
s
z=
x−µ
σ
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Probabilidade e Estatística
Escore z
Amostral
Escore z
Populacional
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Escores z
¨ 
Arredonde escores z para duas casas decimais.
¨ 
Exemplo: z = 2,46.
¨ 
Esta regra se deve ao fato de que a tabela-padrão de escores
z apresenta escores z com duas casas decimais.
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Exemplo
¨ 
¨ 
¨ 
¨ 
Vamos considerar o exemplo anterior, onde foram
comparados os coeficientes de variação das alturas e das
massas de 40 homens.
Vamos comparar dois valores individuais.
Qual é mais extremo, 193,55 cm de altura de um homem ou
107,55 kg de massa de um homem?
Precisaremos comparar os escores z.
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Probabilidade e Estatística
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Escores z
¨ 
¨ 
Valores não-usuais têm escores z menores do que -2 e
maiores do que +2.
Valores comuns têm escores z entre -2 e +2.
Valores Não Usuais
-3
-2
Valores Usuais
-1
0
1
Valores Não Usuais
2
3
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Probabilidade e Estatística
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Escores z
¨ 
Sempre que um valor de dado é
do que a média,
seu escore z correspondente é
¨ 
.
Sempre que um valor de dado é
seu escore z correspondente é
do que a média,
.
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Probabilidade e Estatística
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Percentis
¨ 
Os percentis são exemplos de
, que dividem os
dados em grupos com aproximadamente o mesmo número
de valores em cada grupo.
¨ 
Os percentis são medidas de localização, denotados por P1,
P2, ..., P99 que dividem os dados em
de
com cerca
dos valores em cada um.
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Percentis
¨ 
¨ 
Cálculo do Percentil de um Valor de Dado:
O processo para se encontrar o percentil que corresponde a
determinado valor x é dado pela seguinte expressão:
Número de valores menores que x
Percentil do valor de x =
⋅100
Número total de valores
¨ 
Arredonde para o inteiro mais próximo.
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Exemplo
¨ 
A tabela abaixo lista os 35 valores dos orçamentos (em
milhões de dólares) ordenados, de uma amostra aleatória
simples de filmes. Ache o percentil para o valor de
U$ 29 milhões.
4,5
30
60
72
120
5
35
65
74
125
6,5
40
68
75
132
7
40
68
80
150
20
41
70
100
160
20
50
70
113
200
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
29
52
70
116
225
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Conversão de um percentil
em um valor de dado
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Probabilidade e Estatística
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Ordene
os dados
Calcule
L = (k/100) × n
L é um número
inteiro?
NÃO
Mude L,
arredondando-o
para o próximo
inteiro maior.
O valor de Pk é o
L-ésimo valor,
contando a partir
do menor.
L é o localizador que dá a posição
de um valor;
k é o percentil em questão;
n é o número de valores.
Valor do k-ésimo percentil será a meio
caminho entre o L-ésimo valor e o
próximo valor, no conjunto ordenado dos
dados.
Ache Pk calculando a média entre o
L-ésimo valor e o próximo valor.
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Probabilidade e Estatística
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Exercício
¨ 
Estabelecendo os limites de velocidade: A seguir estão
listadas as velocidades (em mi/h) de carros selecionados
aleatoriamente e que viajavam em uma seção da rodovia 405
em Los Angeles. Essa seção da rodovia tem limite de
velocidade de 65 mi/h. Os engenheiros de tráfego, em geral,
estabelecem o limite de velocidade usando a “regra do 85º
percentil”, pela qual o limite de velocidade é estabelecido de
modo que 85% dos motoristas estejam, no máximo, a essa
velocidade.
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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Exercício
¨ 
¨ 
¨ 
Ache o 85º percentil das velocidades listadas.
Dado que as velocidades são, em geral, arredondadas para o
múltiplo de 5 mais próximo, qual limite de velocidade é
sugerido por esses dados? Explique sua escolha.
O limite de velocidade existente na Rodovia 405 está de
acordo com a regra do 85º percentil?
68
68
72
73
65
74
73
72
68
65
65
73
66
71
68
74
66
71
65
73
59
75
70
56
66
75
68
75
62
72
60
73
61
75
58
74
60
73
58
75
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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Quartis
¨ 
¨ 
¨ 
¨ 
QUARTIS são medidas de localização, denotadas por Q1,
Q2 e Q3, que dividem um conjunto de dados em quatro
grupos, com cerca de 25% dos valores em cada grupo.
Q1 = P25: Separa os 25% inferiores dos 75% superiores dos
valores ordenados.
Q2 = P50: O mesmo que a mediana (separa os 50% valores
ordenados inferiores dos 50% superiores).
Q3 = P75: Separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos
valores ordenados.
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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¨ 
Não existe um único método para determinar percentis e
quartis.
¨ 
Diferentes programas computacionais resultarão em valores
diferentes.
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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¨ 
Algumas estatísticas podem ser definidas usando-se quartis e
percentis:
¨ 
Amplitude Interquartil (AIQ) = Q3 – Q1
¨ 
Amplitude semi-interquartil = (Q3 – Q1) / 2
¨ 
Quartil Médio = (Q3 + Q1) / 2
¨ 
Amplitude percentil 10-90 = P90 – P10
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Probabilidade e Estatística
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Resumo dos Cinco Números
¨ 
O resumo dos cinco números consiste:
¤ 
No valor mínimo;
¤ 
No Q1;
¤ 
No Q2;
¤ 
No Q3;
¤ 
No valor máximo.
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Probabilidade e Estatística
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Diagrama em caixa (Boxplot)
¨ 
Um
é um gráfico de um
conjunto de dados que consiste em uma linha que se estende
do valor mínimo ao valor máximo, em uma
no primeiro quartil, na mediana e no
terceiro quartil.
¨ 
O diagrama em caixa nos dá informação sobre a distribuição
e dispersão dos dados.
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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Diagrama em caixa (Boxplot)
¨ 
Ache o resumo dos cinco números;
¨ 
Construa uma escala com valores que incluam os valores
máximo e mínimo dos dados;
¨ 
Construa uma caixa (retangular) estendendo-se de Q1 a Q3, e
trace uma linha na caixa no valor da mediana.
¨ 
Trace linhas estendendo-se para fora da caixa até os valores
mínimo e máximo dos dados.
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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Diagramas em caixa modificados
¨ 
¨ 
¨ 
¨ 
Como considerar outliers em diagramas em caixa?
Outliers são valores amostrais que se localizam muito
afastados da maioria dos outros valores no conjunto de
dados.
Em diagramas em caixa modificados, temos uma definição
mais específica.
Um valor é considerado um outlier se ele está:
Acima de Q3 por uma quantidade maior do que 1,5 × AIQ;
¤  Abaixo de Q1 por uma quantidade maior do que 1,5 × AIQ.
¤ 
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Probabilidade e Estatística
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Diagramas em caixa modificados
¨ 
Um diagrama em caixa modificado é um diagrama em caixa
construído com estas modificações:
¤ 
Um símbolo especial (asterisco ou ponto) é usado para a
identificação de outliers;
¤ 
A linha sólida horizontal se estende apenas até o menor valor dos
dados que não é outlier e até o maior valor dos dados que não é
outlier.
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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¨ 
Data de entrega: 03/10/2014.
¨ 
Considerando as taxas de pulsação de mulheres e homens da
Tabela 1 (na página pessoal). Construa os diagramas em
caixa para mulheres e para homens.
¨ 
Construa também o diagrama em caixa modificado para a
pulsação das mulheres.
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Probabilidade e Estatística
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Lista de Verificação
¨ 
Ao planejarmos um experimento, analisarmos dados, é importante
considerarmos certos fatores-chave, tais como:
¤  Contexto dos dados;
¤  Fonte dos dados;
¤  Método de amostragem;
¤  Medidas de centro;
¤  Medidas de variação;
¤  Distribuição;
¤  Outliers ou valores atípicos;
¤  Mudanças de padrão ao longo do tempo;
¤  Conclusões;
¤  Implicações práticas.
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Probabilidade e Estatística
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Lista de Verificação
¨ 
¨ 
Esta é uma excelente lista de verificação, mas ela não deve
substituir o pensamento crítico.
Você deve se perguntar se existem outros fatores relevantes,
ou se todos os fatores desta lista são relevantes.
Aulas 4 – Medidas de Variação
Probabilidade e Estatística
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