Nome: RA.: Questões da 1ª Prova de Lógica Básica — 2016/2 1

Nome:
RA.:
Questões da 1ª Prova de Lógica Básica — 2016/2
1. Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade:
Aladdin encontra dois baús A e B em uma caverna. Ele sabe que cada um deles contém, exclusivamente, ou um
tesouro ou uma armadilha fatal. No baú A está escrito: “Pelo menos um desses dois baús contém um tesouro.” No baú B
está escrito: “Em um baú há uma armadilha fatal.” Aladdin sabe que ambas as inscrições são verdadeiras, ou ambas são
falsas. É possível Aladdin escolher um baú com a certeza de que ele vai encontrar um tesouro? Se este for o caso, qual baú
ele deve abrir?
Três caixas são apresentadas a você. Uma contém ouro, as outras duas estão vazias. Cada caixa tem estampada nela
uma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são: CAIXA 1: “O ouro não está aqui”. CAIXA 2: “O ouro não está aqui”. C AIXA 3:
“O ouro está na caixa 2”. Apenas uma mensagem é verdadeira, as outras são falsas. Qual caixa tem o ouro?
Suponha que sabemos que: (1) ”Se Paulo é magro, então Carlo não é loiro ou Roberta não é alta”. (2) “Se Roberta é
alta, então Sandra é adorável”. (3) “Se Sandra adorável e Carlo é loiro, então Paulo é magro”. (4) “Carlo é loiro”. Podemos
deduzir que “Roberta não é alta”?
Você está andando em um labirinto e de repente se depara com três caminhos possíveis: o caminho à sua esquerda
é por uma via pavimentada com ouro, o caminho em frente é pavimentado com mármore, o caminho à direita é por uma
via feita de pequenas pedras. Cada caminho é protegido por um guardião. Você conversa com os guardiões e isso é o que
eles dizem:
• O guardião da via de ouro: “Esta via irá levá-lo direto para o centro. Além disso, se as pedras levá-lo para o centro, em
seguida, também o mármore leva-o para o centro.”
• O guardião da via de mármore: “Nem a via de ouro nem a de pedras leva-o para o centro.”
• O guardião da rua de pedra: “Siga a via de ouro e você vai chegar ao centro, siga a de mármore e você estará perdido.”
Dado que você sabe que todos os guardiões são mentirosos, é possível escolher um caminho com a certeza de que ele vai
levar você para o centro do labirinto? Se esse é o caso, o caminho que você escolher?
Huguinho, Zezinho e Luizinho se encontram presos em um calabouço escuro e frio (como eles chegaram lá é outra
história). Depois de uma rápida pesquisa os meninos encontram três portas, a primeira vermelha, a segunda azul, e a
terceira verde. Atrás de uma das portas há um caminho para a liberdade. Atrás das outras duas portas, no entanto, há um
maldoso dragão que cospe fogo. Abrindo uma porta do dragão a morte é certa. Em cada porta há uma inscrição:
• Na porta vermelha: “A liberdade está atrás desta porta.”
• Na porta azul: “A liberdade não está atrás desta porta.”
• Na porta verde: “A liberdade não está atrás da porta azul.”
Os meninos sabem que pelo menos uma das três inscrições é verdadeira e pelo menos uma é falsa, qual porta levaria os
meninos para a liberdade.
2. Adicione parênteses na seguinte expressão modo que fique fórmula bem formada. Em seguida dê as suas subfórmulas.
¬(¬¬¬α ∧ β)
p ∧ ¬q ∧ r ∧ ¬s
p → q → r → p ∧q ∧r
3. Use o Princípio de Indução para fórmulas e defina a seguinte função para toda fórmula α da linguagem L da lógica proposicional:
`(α) é o número de símbolos da fórmula que não são de pontuação. Por exemplo `((¬p 1 )) = {2}, `((p 1 ∨ p 2 )) = 3,
`((p 1 ∧ (p 1 → p 2 ) ∨ (¬p 2 ))) = 8.
t (α) descreve o conjunto das variáveis proposicionais que ocorrem em α. Por exemplo t (p 1 ) = {p 1 }, t ((p 1 ∨ p 2 )) =
{p 1 , p 2 }, t ((p 1 ∧ (p 1 → p 2 ) ∨ (¬p 2 ))) = {p 1 , p 2 }.
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4. Demonstre a seguinte propriedade de `
Se Γ ` α e Σ ⊇ Γ então Σ ` α.
Se Γ ` αi para i = 1, 2, 3, 4 e {α1 , α2 , α3 , α4 } ` β então Γ ` β.
Se Γ, α ` β e Γ, ¬α ` β, então Γ ` β.
5. Um conjunto de fórmulas Γ é dito inconsistente se Γ ` ¬(α → α) para alguma fórmula α, caso contrário é consistente.
Demonstre que se Γ é satisfatível então é consistente.
Demonstre que se Γ é inconsistente então Γ ` β para qualquer fórmula β.
6. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente se não é possível deduzir uma fórmula α e também deduzir a sua negação ¬α a
partir de Γ.
Um conjunto de fórmulas Γ é maximalmente consistente se Γ é consistente (de acordo com a definição acima) mas Γ∪{ζ}
não é consistente para qualquer fórmula ζ 6∈ Γ.
Demonstre que
Se V : L → {0, 1} é uma valoração então o conjuntos das fórmulas verdadeiras, isto é {α ∈ L : V (α) = 1}, é maximalmente consistente.
Se Γ é maximalmente consistente e Γ ` β, então β ∈ Γ.
Se Γ é maximalmente consistente então β ∈ Γ se e só se ¬β 6∈ Γ.
7. Escreva uma prova para
` (¬α → α) → α
` (α → β) → ((¬α → β) → β)
` (β → ¬ α) → (α → ¬ β).
` (¬ β → α) → (¬ α → β).
` α → (¬ β → ¬ (α → β)).
Você pode usar os axiomas, MP e o teoremas listados abaixo. Qualquer outro teorema que você usar tem que ter prova.
(A1) α → (β → α)
(A5) α ∧ β → α
(A2) (α → (β → ξ)) → ((α → β) → (α →
ξ))
(A6) α ∧ β → β
(A3) (α → β) → ((α → ¬β) → ¬α)
(A8) β → α ∨ β
(A4) α → (β → (α ∧ β))
(A9) (α → γ) → ((β → γ) → (α ∨ β → γ))
(A11) (α ↔ β) → (α → β)
(A7) α → α ∨ β
(A12) (α ↔ β) → (β → α)
(A10) ¬¬α → α
(A13) (α ↔ β) → ((β → α) → (α ↔ β))
Teorema da Dedução Γ, α ` β então Γ ` α → β.
Teorema A. ` α → α
Lei de Duns Scotus. p 1 , ¬p 1 ` p 2
Teorema B. α → β, β → γ ` α → γ
Teorema C. θ → (φ → ξ) ` φ → (θ → ξ)
Teorema D. ` α → ¬¬α
Teorema E. α → (β → γ), α ∧ γ ` γ
Teorema F. ` (¬β → ¬α) → ((¬β → α) → β)
Teorema G. ` (¬β → ¬α) → (α → β)
Regra do destacamento Se Γ ` α e Γ ` α → β então Γ ` β.
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