TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO

TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A
RESOLUÇÃO - VERSÃO 2
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Grupo I
1.
B# C # D $# œ * tem centro no ponto de
coordenadas Ð!ß !ß $Ñ e raio $, pelo que é tangente ao plano BSC . Assim, a
A superfície esférica de equação
intersecção da superfície esférica com este plano é um ponto.
Resposta D
2.
A recta
"
< tem declive % , pelo que o declive da recta = é %
Este facto exclui as alternativas A e C.
Entre as alternativas B e D, a que corresponde a uma recta que passa no ponto de
coordenadas
Ð"ß #Ñ é a alternativa D.
Resposta D
3.
Na figura está representado o círculo trigonométrico, bem como os lados extremidade dos
ângulos cujo seno é
!, $
’!ß # “ e em ’ # ß 1“, a equação sen B œ !,$ não tem solução.
• em Ò1ß #1Ó , a equação sen B œ !,$ tem duas soluções.
Como se pode observar:
1
• em
• em
1
’ # ß # “ , a equação sen B œ !,$ tem apenas uma solução.
1
$1
Resposta C
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SE œ SG GE œ SG FG œ cos ) sen )
4.
Tem-se
5.
Das alternativas apresentadas, apenas a C e a D correspondem a pontos pertencentes à
Resposta A
fronteira da região admissível. Este facto permite excluir as alternativas A e B. Das hipóteses
C e D, aquela em que a função objectivo tem valor mais elevado é a C, pois
%$‚$ '$‚#
Resposta C
Grupo II
1.1.
A área do triângulo ÒEGHÓ é igual à diferença entre a área do triângulo
área do triângulo ÒEFGÓ.
•
Área do triângulo
ÒEFGÓ œ
%‚#
œ%
#
•
Área do triângulo
ÒEFHÓ œ
EF ‚ FH
#
Como
tgB œ
FH
EF
Assim, a área do triângulo
Logo, a área do triângulo
1.2.
FH
%
œ
ÒEFHÓ e a
FH œ % tgB
vem
ÒEFHÓ é igual a
% ‚ % tg B
œ ) tgB
#
ÒEGHÓ é dada por ) tgB %
) tgB % œ % Í ) tgB œ ) Í tgB œ "
Como
B designa a amplitude, em radianos, de um ângulo agudo, tem-se B œ %
1
Outro processo:
A área do triângulo
ÒEFGÓ é igual a %.
Portanto, tem-se:
Área do triângulo
Í
EF ‚ FH
#
Tem-se, então,
ÒEGHÓ œ % Í Área do triângulo ÒEFHÓ œ )
œ ) Í
EF œ FH
% ‚ FH
#
œ )
pelo que
Bœ %
Í
Í FH œ %
1
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1.3.
Tem-se
Como
senŠ # +‹ œ &
$
1
" tg# + œ cos# +
"
" tg# + œ
"
Í
$ #
Š&‹
Í " tg# + œ
2.1.
$
" tg# + œ
Ó !ß 1# Ò,
Assim, o plano
$
"
vem:
Í
*
#&
" Í tg# + œ
tg+ œ $
%
#!
#.
# pode ser definido por uma equação do tipo B #C #D . œ !
Como este plano contém o vértice do cone, o qual tem coordenadas
" # ‚ $ # ‚ ' . œ !, donde resulta . œ &
Portanto, uma equação do plano
2.2.
O vector de coordenadas
O vector de coordenadas
Os planos
"'
*
Ð"ß #ß #Ñ é perpendicular ao plano α, pelo que também é
O vector de coordenadas
perpendicular ao plano
#&
*
vem
) tg+ % œ ) ‚ $ % œ $
%
cos+ œ &
e como
Í tg# + œ
#&
*
Como + pertence ao intervalo
Logo,
Í cos+ œ &
Ð"ß $ß 'Ñ, vem:
# é B #C #D & œ !
Ð"ß #ß #Ñ é perpendicular ao plano α.
Ð$ß "ß #Ñ é perpendicular ao plano " .
α e " são perpendiculares se, e só se, os vectores de coordenadas
Ð"ß #ß #Ñ e Ð$ß "ß #Ñ forem perpendiculares, ou seja, se, e só se, o produto escalar
Ð"ß #ß #Ñ . Ð$ß "ß #Ñ for igual a zero.
Ora,
Ð"ß #ß #Ñ . Ð$ß "ß #Ñ œ " ‚ $ # ‚ " Ð #Ñ ‚ Ð #Ñ œ *
Portanto, os planos
α e " não são perpendiculares.
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2.3.
Tem-se que o ponto
A recta
[ tem coordenadas Ð"ß $ß 'Ñ
Z [ pode ser definida pela condição B œ " • C œ $
Assim, uma condição que define o segmento de recta
Bœ" • C œ$ • 'ŸD Ÿ'
2.4.
O volume de um cone é igual a
ÒZ [ Ó é
"
$ ‚ Área da base ‚ Altura
Relativamente ao cone em causa, tem-se:
• A área da base é igual a
• A altura é igual a
Para determinarmos
½Z G ½
1 ‚ $# œ * 1
½Z G ½, precisamos de saber as coordenadas do ponto G .
O ponto G é o ponto de intersecção do plano
e que passa por Z .
α com a recta perpendicular a este plano
Tem-se:
• uma condição que define o plano α é B #C #D œ "$
• uma condição que define a recta perpendicular a este plano e que passa por
ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß $ß 'Ñ - Ð"ß #ß #Ñ ß - − ‘
G satisfazem a condição
ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß $ß 'Ñ - Ð"ß #ß #Ñ • B #C #D œ "$ ,
ÐBß Cß DÑ œ Ð" -ß $ #-ß ' #-Ñ • B #C #D œ "$
Z é
Assim, as coordenadas de
que é equivalente a
" - #$ #- #' #- œ "$ Í
Í " - ' %- "# %- œ "$ Í *- œ ") Í - œ #
Tem-se:
Portanto, o ponto
Vem, então:
G tem coordenadas Ð" #ß $ # ‚ #ß ' # ‚ #Ñ œ Ð$ß (ß #Ñ
½Z G ½ œ lG Z l œ lÐ#ß %ß %Ñl œ È## %# Ð %Ñ# œ '
Portanto, o volume do cone é igual a
"
$ ‚ * 1 ‚ ' œ ") 1
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3.
Como
SF œ SG , o triângulo ÒSFGÓ é isósceles.
ÒSFGÓ é isósceles, a altura ÒSHÓ intersecta ÒFGÓ no ponto médio
deste segmento, donde FH œ GH, pelo que FG œ # GH
Como o triângulo
Como o ângulo FSE é um ângulo ao centro, a amplitude do arco
amplitude do ângulo FSE.
FE é igual à
FE é igual a α.
Portanto, a amplitude do arco
O ângulo FGE é um ângulo inscrito, pelo que a sua amplitude é igual a metade da
amplitude do arco FE.
Logo, a amplitude do ângulo
Como
Tem-se
Como
e como
vem
cos ˆ #
α
‰œ
FGE é igual a #
GH
GS
α
vem
GH œ GS cos ˆ #
α
α
GE. GF œ ½GE ½ ‚ ½GF ½ ‚ cos ˆ #
½GE ½ œ GE œ # <
α
½GF ½ œ GF œ # GH œ # < cos ˆ #
α
GE. GF œ # < ‚ # < cos ˆ #
‰
œ < cos ˆ #
α
‰
‰
‰
‰ ‚ cos ˆ α# ‰
œ % <# cos# ˆ #
α
‰
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