Trigonometria no Triangulo Retangulo

TRIGONOMETRIA
Aula 2
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Professor Luciano Nóbrega
1º Bimestre
Maria Auxiliadora
Elementos de um triângulo retângulo
C
 Hipotenusa
(Lado oposto ao ângulo reto)
a
b
ß
 cateto
oposto ao ângulo ß
 cateto
adjacente ao ângulo ß
B
c
A
Lembre-se: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer
triângulo resulta sempre em 180º.
Aˆ  Bˆ  Cˆ  180º
90º  Bˆ  Cˆ  180º
Bˆ  Cˆ  90º  Os ângulos agudos de um triângulo
retângulo são complementares.
2
Razões Trigonométricas
TERNA PITAGÓRICA
Este triângulo merece um destaque ESPECIAL.
Observe que as medidas dos seus lados, atende ao
TEOREMA DE PITÁGORAS:
5² = 3² + 4²
Ou seja, 25 = 9 + 16
10
Se multiplicarmos as medidas dos
lados deste triângulo por um mesmo
número real positivo diferente de 1,
obteremos outro triângulo retângulo
semelhante a este.
5
6
3
2,5
1,5
2
α
4
8
3
Razões Trigonométricas
Vamos fazer algumas comparações nesses três triângulos sobrepostos:
sen α =
_cateto oposto ao ângulo α_ =_1,5_ = _3_ = _6_ = 0,6
5
10
hipotenusa
2,5
cos α =_cateto adjacente ao ângulo α_ =_2_ = _4_ = _8_ = 0,8
hipotenusa
10
5
10
tg α = _cat. op. a α_=_1,5_= _3_= _6_ = 0,75
cat. Adj. a α
5
6
2,5
2
4
8
3
2,5
1,5
2
α
4
8
4
Razões Trigonométricas
cateto oposto ao ângulo
seno de um ângulo =
hipotenusa
C
seno do ângulo C = cateto oposto ao ângulo C
hipotenusa
a
sen C = c/a
b
seno do ângulo B =
A
c
B
cateto oposto ao ângulo B
hipotenusa
sen B = b/a
5
Razões Trigonométricas
cateto adjacente ao ângulo
cosseno de um ângulo =
hipotenusa
C
cosseno do ângulo C = cateto adjacente ao ângulo C
hipotenusa
a
b
A
cos C = b/a
cosseno do ângulo B = cateto adjacente ao ângulo B
hipotenusa
c
B
cos B = c/a
6
Razões Trigonométricas
cateto oposto ao ângulo
tangente de um ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
C
tangente do ângulo C =
cateto oposto ao ângulo C
cateto adjacente ao ângulo C
tg C = c/b
a
b
A
tangente do ângulo B =
c
B
cateto oposto ao ângulo B
cateto adjacente ao ângulo B
tg B = b/c
7
Consequências das definições
C
a
b
B
c
A
b
sen B =
a
sen C =
c
a
cos C =
cos B =
b
tg B =
c
tg C =
_
1ª CONSEQUÊNCIA - Como B e C são ângulos complementares,
podemos observar que o seno de um é igual ao cosseno do outro;
sen B = cos C
sen C = cos B
2ª CONSEQUÊNCIA - Observamos também que a tangente de um
ângulo é igual ao inverso da tangente do outro. tg B = 1/
tg C
8
Consequências das definições
C
4ª CONSEQUÊNCIA
DEMONSTRAÇÃO:
sen B = b/a
cos B
cos B
a . c
sen B = b
cos B
sen²α + cos²α = 1
a
b
c/a
B
sen B = b . a
c
c
3ª CONSEQUÊNCIA
(Relação fundamental da trigonometria)
A
DEMONSTRAÇÃO:
sen B = b/a
cos B = c/a
Elevando os membros ao quadrado:
sen² B = (b/a)²
cos² B = (c/a)²
Somando as duas equações: sen² B + cos² B = (b/a)² + (c/a)²
Desenvolvendo o 2º menbro: sen² B + cos² B = b²/a² + c²/a²
= tg B
sen² B + cos² B = (b² + c²)/a²
Ora, mas b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras),
então:
sen² B + cos² B = (a²)/a² = 1
9
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 45º
Considere o quadrado ABCD, com lado de medida ℓ.
A diagonal AC desse quadrado mede d = ℓ 2.
Destaquemos do quadrado o triângulo ABC.
Temos:
D
1
C
sen 45º =
l
l 2
 sen 45º =
1
2
 sen 45º =
2
2
1
d=ℓ 2
ℓ
2
2
ℓ
B
l
tg 45º =
 tg 45º = 1
l
45º
A
l
cos 45º =
l 2
=
10
Observe que os valores das razões trigonométricas não dependem da medida do lado do quadrado.
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 30º
Considere agora o triângulo eqüilátero ABC, com lado de medida ℓ .
l 3.
A altura AH do triângulo mede h 
2
Destaquemos do ABC o AHC.
Temos:
A
30º
ℓ
h
B
.
H
ℓ
2
l
ℓ . 1
1
sen 30º = 2  sen 30º =

sen
30º
=
2 ℓ
2
l
l 3
2  cos 30º = ℓ 3 . 1  cos 30º = 3
cos 30º =
ℓ
2
2
l
C
l
2
tg 30º =
l
2
1
3
ℓ . 2
 tg 30º =
 tg 30º =
2
3
3
ℓ
3
11
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 60º
Destaquemos novamente o AHC, temos:
l 3
3
ℓ 3. 1
2

sen
60º
=

sen
60º
=
sen 60º =
ℓ
2
2
l
A
ℓ
h
B
.
H
60º
ℓ
2
l
cos 60º = 2  cos 60º = ℓ . 1  cos 60º = 1
2
2 ℓ
l
C
l
tg 60º =
3
2
l
2
1
3. 2
ℓ
 tg 60º =
 tg 60º = 3
2
ℓ
12
Música Dos Ângulos Notáveis
“1, 2, 3... 3, 2, 1...
Coloca o “2” embaixo de todo mundo
E raiz onde não tem “1”
3, 1, 3... Coloca raiz no “3”
E divide o primeiro por 3”
Resumo
Vamos colocar numa tabela os valores encontrados:
Ângulo
30º
45º
60º
seno
1
2
2
2
cosseno
3
2
2
2
3
2
1
2
tangente
3
3
1
3
13
EXEMPLO:
No triângulo retângulo abaixo, qual é o
valor do cosseno de  ?
Mas, como descobrir o valor de x ?
HIP ² = CAT ² + CAT ²
8cm
10cm

SOLUÇÃO:
X
Cos  = _C. A._ = _x_ = 6  3
10 10
5
HIP
10² = 8² + x²
100 = 64 + x²
36 = x²
x=6
14
EXEMPLO:
Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em
um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é
a altura do prédio?
SOLUÇÃO:
0º
Inicialmente, façamos um esboço que
represente a situação descrita.
h
C.O
60º
HIP
12m
SEN
0
COS
1
TAN
30º
C.O
1 h
Sen 30º =
 
HIP
2 12
0
30º
1
2
3
2
3
3
45º
60º
90º
2
2
3
2
1
2
2
1
 2h=12 
1
2
0
3

h=6m
15
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
16
1 – (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a altura “h” do
edifício, sabendo que AB mede 25m e cos Θ = 0,6 .
2 – (UFCE) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local
plano com uma inclinação de 60º em relação à horizontal. Nesse
momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de
altura será, aproximadamente:
A) 10,2 m
B) 8,5 m
C) 5,9 m
D) 4,2 m
E) 3,4 m
GABARITO: 1) 20 m
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
3 – (UFPA) A figura representa um barco atravessando
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza
arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo
um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a
distância percorrida pelo barco até o ponto C, é:
A) 240 √3 m
B) 240 m
C) 80 √3 m
D) 80 m
E) 40 √3 m
4 – (UFPA) Para permitir o aceso a um monumento que está em um
pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa
com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração.
O comprimento da rampa será igual a:
A) √3/2 m
B) √3 m
C) 2 m
D) 4 m
E) 4√3 m
17
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
5 – (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um
prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador
está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m
de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio,
então a altura do prédio, em metros, é:
A) 4(3 + √3).
B) √3.
C) √3/2.
D) 6(√2 + 2).
E) ½.
6 – (UFRS) Uma torre vertical é presa por
cabos de aço fixos no chão, em um terreno
plano horizontal, conforme mostra a
figura. Se A está a 15m da base B da torre
e C está a 20m de altura, comprimento do
cabo AC é:
A) 15 m
B) 20 m
C) 25 m
D) 35 m
E) 40 m
18
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
7 – Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de
60º, o topo de uma torre na margem oposta. Quando ela se
afasta 40 metros perpendicularmente à margem do rio, esse
ângulo é de 30º.
a) Qual a largura do rio?
b) Qual a altura da árvore?
19
GABARITO: a) 20 m
b) 20√3
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
Do livro:
8 – Página 58 _ Questão 17 e 18
9 – Página 59 _ Questão 21 e 23
10 – Página 63 _ Questão 30
11 – Página 66 _ Questão 32 e 34
12 – Página 68 _ Questão 36
13 – Página 69 _ Questão 37, 38 e 39
14 – Página 70 _ Questão 40 e 41
15 – Página 71 _ Questão 42
16 – Página 72 _ Questão 46 e 48
20
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