Lista 3 - MTM

Geometria I
Lista de Exercícios 3
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Sejam três pontos A, B e C tais que A ∗ B ∗ C , considere também
outros três pontos A0 , B 0 e C 0 , tais que A0 ∗ B 0 ∗ C 0 e que AB ≡ A0 B 0
e AC ≡ A0 C 0 . Mostre que BC ≡ B 0 C 0 .
(ALA) Sejam dois triângulos ∆ABC e ∆DEF , moste que, se AB ≡
DE , ∠BAC ≡ ∠EDF e ∠ABC ≡ ∠DEF , então ∆ABC ≡ ∆DEF
(isto signicando que todos os outros lados e ângulos correspondentes são congruentes).
Um triângulo é isósceles se possui dois de seus lados congruentes.
Mostre que todo triângulo isósceles possui dois de seus ângulos internos congruentes.
Mostre também que, se um triângulo possui dois de seus ângulos
internos congruentes, então ele é isósceles.
Dois ângulos são ditos adjacentes se possuem um dos seus lados
em comum. São adjacentes internos se são adjacentes e o segundo
dos lados de um dos ângulos ca no interior do outro. São adjacentes externos se são adjacentes e não possuem pontos interiores
em comum. Dois ângulos adjacentes são ditos suplementares se os
lados não adjacentes dos dois ângulos constituem semirretas opostas
(isto é, contidas na mesma reta). Mostre que, se dois ângulos são
congruentes, então seus suplemenstares também o são.
Mostre queângulos opostos pelo vértice são congruentes.
−−→
Seja um ângulo ∠BAC e uma semirreta AD em seu interior e seja
−−→
um outro ângulo ∠B 0 A0 C 0 e uma semirreta A0 D0 em seu interior
tal que ∠BAC ≡ ∠B 0 A0 C 0 e ∠BAD ≡ ∠B 0 A0 D0 , então mostre que
∠CAD ≡ ∠C 0 A0 D0 .
−−→
Seja um ângulo ∠BAC e uma semirreta AD em seu interior e seja
−−→
um outro ângulo ∠B 0 A0 C 0 e uma semirreta A0 D0 em seu interior tal
que ∠BAD ≡ ∠B 0 A0 D0 e ∠CAD ≡ ∠C 0 A0 D0 , então mostre que
∠BAC ≡ ∠B 0 A0 C 0 .
Um ângulo reto é aquele que é congruente ao seu suplementar.
Mostre que existem ângulos retos.
(LLL) Sejam dois triângulos ∆ABC e ∆DEF , moste que, se AB ≡
DE , AC ≡ DF e BC ≡ EF , então ∆ABC ≡ ∆DEF .
Mostre que, se dois ângulos são congruentes a um terceiro, então
são congruentes entre si.
Mostre que a relação de congruência entre dois ângulos também é
uma relação de equivalência, isto é, valem as propriedades reexiva,
simétrica e transitiva.
Mostre que todos os ângulos retos são congruentes entre si.
Um ângulo suplementar a um dos ângulos de um triângulo é chamado
de ângulo externo. Mostre que um ângulo externo é sempre maior
1
2
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que os outros dois ângulos internos do triângulo que não lhe são
adjacentes. (este é o teorema do ângulo externo)
Mostre que se uma reta cruza outras duas e forma ângulos alternos
internos congruentes, então estas duas retas são paralelas.
Mostre que um triângulo não pode ter dois ângulos retos. Mostre
também que um triângulo não pode ter dois ângulos obtusos.
Mostre que, em um triângulo, o maior dos lados está oposto ao
maior dos ângulos.
Mostre também que, em um triângulo, o maior dos ângulos está
oposto ao maior dos lados.
(LLAo) Sejam dois triângulos ∆ABC e ∆DEF . Mostre que, se
AB ≡ DE , ∠BAC ≡ ∠EDF e ∠ACB ≡ ∠DF E , então os triângulos são congruentes.
Um ponto médio do segmento AB é um ponto M tal que A ∗ M ∗ B
e AM ≡ M B . Mostre que existe um ponto médio no segmento AB
e que este ponto médio é único.
−−→
Uma bissetriz do ângulo ∠BAC é uma semirreta AD no interior
deste ângulo tal que ∠BAD ≡ ∠DAC . Mostre que todo ângulo
possui bissetriz e que esta bissetriz é única.