Aula10 Amostra e IC

Estatística e Pesquisa - UVB
Aula 10
Estimação e Intervalo de
Confiança
Objetivos da Aula
Fixação dos conceitos de Estimação;
Utilização das tabelas de Distribuição Normal e t de Student
Introdução
Freqüentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer
informações gerais da população.
Já sabemos que a estatística indutiva é a ferramenta que vai nos
auxiliar neste processo, ou seja, vai nos permitir tirar conclusões
probabilísticas sobre aspectos das populações, com base na
observação de amostras extraídas dessas populações.
Estimação
A estimação é o processo que consiste no uso de dados da
amostra (dados amostrais) para estimar valores de parâmetros
populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão,
proporções etc.
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Estimativas Pontuais e Intervalares
Os dois tipos clássicos de estimação são as estimativas pontuais e as
intervalares.
Neste momento é importante definirmos dois conceitos:
Chamamos de estimador a quantidade calculada em função
dos elementos da amostra, que será usada no processo de
estimação do parâmetro desejado. O estimador é, como
vemos, uma estatística. Será, portanto, uma variável aleatória
caracterizada por uma distribuição de probabilidade e seus
respectivos parâmetros próprios.
Chamaremos de estimativa a cada valor particular assumido
por um estimador.
Estimativa Pontual
É quando fazemos uma única estimativa (um valor) para um
determinado parâmetro populacional. Vejamos os exemplos:
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Estimativa Intervalar
É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores possíveis,
no qual se admite esteja o parâmetro populacional.
Neste tipo de estimativa temos um intervalo de valores em torno do
parâmetro amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de
erro, estar o parâmetro da população. A esse intervalo chamamos
intervalo de confiança.
Estimativa de Médias de uma População
Para efetuar a Estimativa de Médias de uma População utiliza-se
desvio padrão da distribuição que constitui a amostra (distribuição
amostral), deve-se levar em consideração se o desvio padrão da
população é ou não conhecido.
Para desvio padrão populacional conhecido temos:
Estimativa Pontual da Média
Estimativa Intervalar da média
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Assim teremos a estimativa intervalar:
Salientamos que a estimativa intervalar da média populacional
baseia-se na hipótese de que a distribuição das médias amostrais é
normal, daí usarmos a nova variável z. Para grandes amostras (quando
n é maior que 30) esta premissa é garantida pelo Teorema do Limite
Central, que não estudaremos.
Para amostras de 30 ou menos elementos, é importante saber que
a população submetida à amostragem tem distribuição normal ou
aproximadamente normal.
Exemplo:
Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma
população aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2,
forneceu média de 35,6 ( ), construir intervalos de confiança de 90%,
95% e 99% para a média dessa população.
Vejamos como determinar z:
Ao observarmos a representação da distribuição normal reduzida
abaixo, sabemos que toda a área compreendida entre a curva e sua
base tem valor 1. Logo, a parte em cor amarela tem valor 0,5.
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Em nossa aula anterior calculávamos z e então encontrávamos a área
correspondente e, assim, a probabilidade desejada. Agora a ação
será inversa. Desejamos, em nosso exemplo acima, para seu primeiro
intervalo 90% de confiança, então fazemos:
Conhecendo a área que nos dá 90% de confiança no resultado, vamos
até a Tabela para a Distribuição Normal Padronizada e encontramos
o valor mais próximo de 0,45, que é 0,4494974. Para este valor temos
(considerando a linha e a coluna) z = 1,64
Podemos representar da seguinte forma:
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Erro admitido num intervalo (erro de estimação)
É a diferença entre a média da amostra e a verdadeira média
da população.
Como o intervalo de confiança tem centro na média da amostra, o
erro máximo provável que está sendo admitido é igual à metade da
amplitude do intervalo.
O erro de estimação pode ser descrito pela relação:
Percebemos que quando aumentamos
este erro potencial
aumenta. Podemos concluir também que maiores amostras (aumenta
n) possuem um potencial de erro menor.
No caso do desvio padrão populacional desconhecido que é
habitualmente a situação mais comum, teremos o mesmo raciocínio.
Entretanto, em nossa avaliação inicial devemos verificar o tamanho da
amostra (n), se:
Quando usamos a distribuição normal
Quando usamos a distribuição t de Student
Assim nos intervalos termos:
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Distribuição t de Student
Para pequenas amostras a distribuição normal apresenta valores
menos precisos, o que nos leva a utilizar um modelo melhor. Por
isso iremos conhecer a distribuição t de Student.
A principal diferença entre a distribuição normal e a t de Student
é que esta tem mais área nas caudas.
Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, sendo que
à medida que a amostra (n) cresce, a distribuição t de Student se
aproxima da distribuição normal.
Para calcular o valor de t a ser usado é necessário ter:
Um nível de confiança desejado:
Qual o número de graus de liberdade a ser utilizado:
Por exemplo:
Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, que a sua média 150
e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em
nível de 90%.
Como a amostra é menor que 30 elementos, então iremos usar a
distribuição t de Student. Se desejamos um intervalo de confiança de
90%, temos:
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Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de graus de
liberdade, que é: (n-1), logo (25-1)=24.
O nível de confiança desejado é
Conhecendo o número de graus de liberdade e o nível de
confiança desejado vamos a tabela e encontramos o valor t, neste
caso igual a 1,7109.
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Determinação do Tamanho da Amostra
O tamanho da amostra depende de 3 fatores, conforme abaixo:
O grau de confiança desejado (z);
Quantidade de dispersão entre os valores individuais da
população ( );
Erro tolerável ou admitido (e).
Sendo a fórmula para encontrarmos o tamanho da amostra:
Por exemplo:
Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de
uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de
confiança e erro de 0,5?
Lembramos que z foi retirado da tabela normal. Logo, precisamos de
uma amostra com 348 elementos.
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Bibliografia
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo : Editora
Saraiva, 1998.
COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed. São Paulo: Editora
Edgard Blücher Ltda., 1992.
MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antonio Carlos Pedroso de.
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Universidade de São Paulo, 2002.
MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon
Editora Ltda., 2003.
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VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed. São Paulo:
Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.
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Ed. Harbra, 1981.
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